2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題75 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題75拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程題型一利用拋物線定義求動點軌跡1．(多選)若動點P到定點的距離與到直線的距離相等，則P點的軌跡不可能是（）A．拋物線 B．線段 C．直線 D．射線【答案】BCD【解析】因為動點到定點的距離等于到定直線的距離，且點不在直線上，符合拋物線的定義，所以P點的軌跡是拋物線，不可能是線段、直線、射線，故選：BCD2．與圓外切，且與直線相切的動圓圓心的軌跡方程是_____.【答案】【解析】由圓可得，圓心，半徑，設(shè)所求動圓圓心為，過點作直線，為垂足，則，可得，因此可得，點的軌跡是到定點的距離和到直線的距離相等的點的集合.由拋物線的定義可知，點的軌跡是拋物線，定點為焦點，定直線是準(zhǔn)線.所以拋物線的方程為故答案為：3．若位于軸右側(cè)的動點到的距離比它到軸的距離大，求點的軌跡方程．【答案】．【解析】若位于軸右側(cè)的動點到的距離比它到軸的距離大，所以動點到的距離與它到直線的距離相等．由拋物線的定義知動點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點)，其方程應(yīng)為的形式，而，所以，，故點的軌跡方程為．題型二拋物線上的點到定點的距離及最值4．設(shè)拋物線上一點到軸的距離是則點到該拋物線焦點的距離是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，據(jù)已知拋物線方程可得其準(zhǔn)線方程為，又由點到軸的距離為，可得點的橫坐標(biāo).由拋物線定義可知點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即.故選：C.5．設(shè)某曲線上一動點M到點與到直線的距離相等，經(jīng)過點的直線l與該曲線相交于A、B兩點，且點P恰為的中點，則（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由曲線上一動點M到點與到直線的距離相等，知曲線為拋物線，其方程為，過點的直線l與該曲線相交于A、B兩點，且點P恰為的中點，分別過點A、B、P向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、、，連接、，由梯形的中位線知，，，所以.故選：D.6．已知F為拋物線C：x2＝8y的焦點，P為C上一點，M（﹣4，3），則△PMF周長的最小值是_____.【答案】5【解析】如圖，F(xiàn)為拋物線C：x2＝8y的焦點，P為C上一點，M（﹣4，3）拋物線C：x2＝8y的焦點為F（0，2），準(zhǔn)線方程為y＝﹣2.過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則有當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，所以△PMF的周長最小值為55.故答案為：5.題型三根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線7．若拋物線上一點到該拋物線的焦點的距離，則點到軸的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，∵到該拋物線的焦點的距離為，∴到準(zhǔn)線的距離為，即，∴，代入拋物線方程求得，∴點到軸的距離為.故選：A8．已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線得準(zhǔn)線方程為y＝﹣，因此雙曲線的一個焦點為，∴c＝．雙曲線化為，∴a＝1，∴雙曲線的離心率＝．故選：C．9．拋物線y2=4x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準(zhǔn)線上的動點，當(dāng)為等邊三角形時，其面積為________.【答案】【解析】解析：如圖，F(xiàn)PM是等邊三角形.由拋物線的定義知PM⊥l，，在中，|QF|=2，∠QMF=30°，所以|MF|，即等邊三角形邊長為4，故等邊三角形面積為.故答案為：.題型四拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解10．拋物線的焦點為橢圓＋＝1的下焦點，頂點在橢圓中心，則拋物線方程為________．【答案】x2＝－4y【解析】由橢圓方程知，a2＝9，b2＝4，焦點在y軸上，下焦點坐標(biāo)為(0，－c)，其中c＝＝.所以拋物線焦點坐標(biāo)為(0，－)，所以拋物線方程為x2＝－4y.故答案為：x2＝－4y11．分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）過點(3,-4)；（2）焦點在直線x+3y+15=0上.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）∵點(3,-4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(p>0)或(p1>0).將(3,-4)的坐標(biāo)分別代入方程中，∴由，得：；由，得.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15.∴拋物線的焦點為(0,-5)或(-15,0).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.12．已知拋物線的焦點F，C上一點到焦點的距離為5．（1）求C的方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點的縱坐標(biāo)為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.13．已知拋物線C：（）與圓O：相交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為.F是拋物線C的焦點，過焦點的直線l與拋物線C相交于不同的兩點M，N.（1）求拋物線C的方程.（2）過點M，N作拋物線C的切線，，是，的交點，求證：點P在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）點A的橫坐標(biāo)為，所以點A的坐標(biāo)為，代入解得，所以拋物線的方程為；（2）拋物線，則，設(shè),，所以切線PM的方程為，即,同理切線PN的方程為，聯(lián)立解得點，設(shè)直線MN的方程為，代入，得，所以，所以點P在上，結(jié)論得證.題型五求拋物線的軌跡方程14．已知A，B兩點的坐標(biāo)分別是，，直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點M的軌跡方程．【答案】，【解析】解：設(shè)，則，整理，得，．動點的軌跡方程是，．故答案為：，．15．已知圓心在y軸上移動的圓經(jīng)過點，且與x軸、y軸分別交于，兩個動點，求點的軌跡方程.【答案】【解析】因圓心在y軸上移動，且該圓過點和，則線段AC是圓的直徑，圓心，而點在圓上，則，即，化簡整理得，所以點的軌跡方程.16．已知動點在拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為，動點滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）點，過點且斜率為的直線交軌跡于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)點，可得，則可得出點的坐標(biāo)為，得動點軌跡的方程為.（2）設(shè)過點的直線方程為，聯(lián)立方程有，可得，則.，.17．（1）已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸，且過點，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求到定點的距離，比到定直線的距離小1的點的軌跡方程．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由題意，因