2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題85 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（原卷版）-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專題85分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理類型一、分類加法計(jì)數(shù)原理 例1.（2022·山西·芮城中學(xué)高二階段練習(xí)）書架的第層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，從書架上任取本書，有（

）種不同取法？從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有（

）種不同取法?A．9，20 B．20，9 C．9，24 D．24，9【解題總結(jié)】應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理，應(yīng)注意：①分類時(shí)，要按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來分，最忌采用雙重或多重標(biāo)準(zhǔn)分類；②每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；它的起點(diǎn)、終點(diǎn)就是完成這件事情的開始和結(jié)束；例2.（2022·江蘇南通·一模）某學(xué)校每天安排四項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加.學(xué)校規(guī)定：（1）每位學(xué)生每天最多選擇項(xiàng)；（2）每位學(xué)生每項(xiàng)一周最多選擇次.學(xué)校提供的安排表如下：時(shí)間周一周二周三周四周五課后服務(wù)音樂、閱讀、體育、編程口語、閱讀、編程、美術(shù)手工、閱讀、科技、體育口語、閱讀、體育、編程音樂、口語、美術(shù)、科技若某學(xué)生在一周內(nèi)共選擇了閱讀、體育、編程項(xiàng)，則不同的選擇方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種類型二、分步乘法計(jì)數(shù)原理例3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）將1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字填在如圖所示的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下增大，當(dāng)3，4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法有（

）34A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【解題總結(jié)】解決這類問題的關(guān)鍵是搞清分類還是分步．用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)分步的可行標(biāo)準(zhǔn)；其次還要注意完成這件事情必須且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事情才算圓滿完成，這時(shí)才能使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．同時(shí)，要弄清每一步驟中完成本步驟的方法種數(shù)．例4．（2022·遼寧·大連八中高二期末）年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對，所做皆稱心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（

）A． B． C． D．例5．（2021·上海靜安·一模）已知直線的斜率大于零，其系數(shù)a、b、c是取自集合中的3個(gè)不同元素，那么這樣的不重合直線的條數(shù)是（

）A．11 B．12 C．13 D．14例6．（2022·陜西武功·二模（理））假期里，有4名同學(xué)去社區(qū)做文明實(shí)踐活動，根據(jù)需要，要安排這4名同學(xué)去甲、乙兩個(gè)文明實(shí)踐站，每個(gè)實(shí)踐站至少去1名同學(xué)，每名同學(xué)只去1個(gè)實(shí)踐站，則不同的安排方法共有________種．類型三、兩個(gè)原理的對比應(yīng)用例7.（2022·全國·高三專題練習(xí)）古人用天干、地支來表示年、月、日、時(shí)的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________組．【解題總結(jié)】在用兩個(gè)原理解決問題時(shí)，一定要分清完成這件事，是有，l類辦法還是需分成n個(gè)步驟．應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理必須要求各類中的每一種方法都保證完成這件事．應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理則是需各步均是完成這件事必須經(jīng)由的若干彼此獨(dú)立的步驟．例8．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.（1）若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有________種不同的帶法；（2）若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，則有________種不同的帶法；（3）若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，則有________種不同的帶法.類型四、涂色問題例9．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數(shù)為______（用數(shù)字作答）例10．（2021·全國·高二單元測試）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域，，，，涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂1種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有______種．例11．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種.ABC

D類型五、數(shù)字排位問題例12．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如果一個(gè)三位正整數(shù)如“”滿足且，則稱這個(gè)三位數(shù)為“凸數(shù)”（如120，343，275等），那么所有三位數(shù)中“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為______．例13．（2021·上海市建平中學(xué)高二期末）從7張印有數(shù)字0、1、2、3、4、5、6的卡片中取出4張（數(shù)字6的卡片可以倒過來當(dāng)9用），可以組成個(gè)_____無重復(fù)數(shù)字的被4整除的四位數(shù)．例14．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）從1到200的自然數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上都不含有數(shù)字8的自然數(shù)有________個(gè)．類型六、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)必報(bào)且限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．例16．（2021·北京市景山學(xué)校通州校區(qū)高二期中）5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有_______種.（用具體數(shù)字作答）例17．（2017·重慶市合川實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中（理））加工某個(gè)零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有______種.類型七、列舉法例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）小明有4枚完全相同的硬幣，每個(gè)硬幣都分正反兩面.他想把4個(gè)硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，不同的擺法有________種.例19．（2019·江蘇連云港·高二期末（理））已知，N*，滿足，則所有數(shù)對的個(gè)數(shù)是____．例20．（2020·全國·高三專題練習(xí)）從1，2，3，4，7，9六個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對數(shù)值的個(gè)數(shù)為____.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·山西·芮城中學(xué)高二階段練習(xí)）書架的第層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，從書架上任取本書，有（

）種不同取法？從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有（

）種不同取法?A．9，20 B．20，9 C．9，24 D．24，92．（2022·遼寧·大連八中高二期末）年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對，所做皆稱心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字填在如圖所示的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下增大，當(dāng)3，4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法有（

）34A．6種 B．12種 C．18種 D．24種4．（2022·遼寧葫蘆島·高二期末）算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．10 C．15 D．165．（2022·江蘇通州·高三期末）甲、乙、丙共3人參加三項(xiàng)知識競賽，每項(xiàng)知識競賽第一名到第三名的分?jǐn)?shù)依次為10，5，3.競賽全部結(jié)束后，甲獲得其中兩項(xiàng)的第一名及總分第一名，則下列說法錯誤的是（

）A．第二名、第三名的總分之和為29分或31分B．第二名的總分可能超過18分C．第三名的總分共有3種情形D．第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名6．（2022·湖南師大附中高二期末）如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種7．（2022·全國·高二）甲?乙?丙?丁四名交通志愿者申請?jiān)趪鴳c期間到三個(gè)路口協(xié)助交警值勤，他們申請值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲?乙?丙?丁甲?乙?丙丙?丁這4名志愿者的申請被批準(zhǔn)，且值勤安排也符合他們的意向，若要求三個(gè)路口都要有志愿者值勤，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．14種 B．11種 C．8種 D．5種8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某教學(xué)大樓共有四層，每層都有東、西兩個(gè)樓梯，則從一層到四層不同的走法種數(shù)為（

）A．32 B．23C．43 D．249．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某班有9名運(yùn)動員，其中5人會打籃球，6人會踢足球，現(xiàn)從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有（

）A．28種 B．30種C．27種 D．29種二、多選題10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客的乘坐站數(shù)實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價(jià)如表：乘坐站數(shù)x票價(jià)/元234現(xiàn)有小花、小李兩位乘客同時(shí)從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若小花、小李兩人共花費(fèi)5元，則小花、小李下地鐵的方案共有9種B．若小花、小李兩人共花費(fèi)5元，則小花、小李下地鐵的方案共有18種C．若小花、小李兩人共花費(fèi)6元，則小花、小李下地鐵的方案共有27種D．若小花、小李兩人共花費(fèi)6元，則小花比小李先下地鐵的概率為11．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有不同的黃球5個(gè)，黑球6個(gè)，藍(lán)球4個(gè)，則下列說法正確的是（

）A．從中任選1個(gè)球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地選出任意的2個(gè)球，有240種不同的選法12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校高一年級數(shù)學(xué)課外活動小組中有男生7人，女生3人，則下列說法正確的是（

）A．從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有100種不同的選法B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競賽，其中男、女生各1人，共有21種不同的選法C．從中選1人參加數(shù)學(xué)競賽，共有10種不同的選法D．若報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、羽毛球隊(duì)，每人限報(bào)其中的1個(gè)隊(duì)，共有100種不同的報(bào)名方法13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E，則下列結(jié)論正確的是（

）A．最高處的樹枝為G，I中的一個(gè)B．最低處的樹枝一定是FC．這九根樹枝從高到低不同的順序共有33種D．這九根樹枝從高到低不同的順序共有32種三、填空題14．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數(shù)為______（用數(shù)字作答）15．（2022·陜西武功·二模（理））假期里，有4名同學(xué)去社區(qū)做文明實(shí)踐活動，根據(jù)需要，要安排這4名同學(xué)去甲、乙兩個(gè)文明實(shí)踐站，每個(gè)實(shí)踐站至少去1名同學(xué)，每名同學(xué)只去1個(gè)實(shí)踐站，則不同的安排方法共有________種．16．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期末）一排有10盞燈，如果用燈亮表示數(shù)1，用燈不亮表示數(shù)0，每一種亮燈方式代表一個(gè)數(shù)據(jù)，如：0010100101表示一個(gè)數(shù)據(jù)，那么這10盞燈可以表示的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是___________.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有A，B，C型高級電腦各一臺，甲.乙.丙.丁4個(gè)操作人員的技術(shù)等級不同，甲.乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦.從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有________種(用數(shù)字作答).18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)必報(bào)且限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn)).四、解答題20．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為，，求使為整數(shù)的概率.21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用種不同的顏色給圖中的，，，四個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色.(1)有多少種不同的涂法？(2)若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，有多少種