《自動控制原理》課件Ch3-Time-domain-method

線性系統(tǒng)的三大分析方法：時域(Timedomain)分析法；頻域(Frequencydomain)分析法【頻率響應法】

；根軌跡(Rootlocus)法。

時域分析方法，是一種最基本、最直接的分析方法，具有直觀、準確的優(yōu)點；隨著計算機技術的發(fā)展，時域分析法不再局限于低階系統(tǒng)，幾乎可以解決各種系統(tǒng)的分析和綜合問題。第三章時域分析法時域法流程：根據系統(tǒng)的模型和典型輸入信號，利用拉普拉斯逆變換求出系統(tǒng)的時域響應，進而按照響應曲線來分析系統(tǒng)的性能。典型輸入控制系統(tǒng)（傳遞函數）Laplace逆變換穩(wěn)定性絕對、相對靜態(tài)誤差暫態(tài)性能指標輸出響應快速性準確性3.1典型輸入信號3.2線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和勞斯判據3.3控制系統(tǒng)的時域性能指標3.4一階系統(tǒng)響應3.5二階系統(tǒng)響應3.6高階系統(tǒng)的響應3.7控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第三章時域分析法意義鮮明表達簡單便于分析和處理易于實驗室獲得類型脈沖信號階躍信號速度信號加速度信號正弦信號特點3.1典型輸入信號（P40）

（Typicalinput/testsignals）

D為常量，D=1的脈沖信號稱為單位脈沖信號，記：1.脈沖（沖激）信號(impulsesignal)2.位置（階躍）信號(position/stepsignal)A為常量，A=1的階躍信號稱為單位階躍信號。3.速度（斜坡）信號(velocity/rampsignal)A為常量，A=1的速度信號稱為單位速度信號。判斷題：速度信號曲線上的點表示當前的運動速度值。A為常量，A=1的加速度信號稱為單位加速度信號。4.加速度（拋物線）信號(Acceleration/parabolicsignal)5.正弦信號(sinusoidalsignal)

分析一個系統(tǒng)時需要采用哪種信號，要根據系統(tǒng)實際輸入信號的性質而定。沖激信號位置信號速度信號加速度信號正弦信號思考題：3.1典型輸入信號3.2線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和勞斯判據3.3控制系統(tǒng)的時域性能指標3.4一階系統(tǒng)響應3.5二階系統(tǒng)響應3.6高階系統(tǒng)的響應3.7控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第三章時域分析法一、穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定平衡態(tài)不穩(wěn)定的平衡態(tài)AB任何系統(tǒng)在擾動的作用下都會偏離原平衡狀態(tài)而產生初始偏差。所謂穩(wěn)定性就是指當擾動消除后，由初始偏差狀態(tài)恢復到原平衡狀態(tài)的能力。若系統(tǒng)可恢復平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，對線性系統(tǒng)來說，它只取決于系統(tǒng)的結構和參數，而與初始條件及外部輸入無關。3.2線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和勞斯判據（P43）線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義(1)

若線性系統(tǒng)在擾動撤消后，其初始偏差逐漸衰減并趨于零（回到平衡狀態(tài)），則稱系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若在擾動撤銷后，系統(tǒng)的偏差逐漸發(fā)散，則稱其不穩(wěn)定。若在擾動撤銷后，系統(tǒng)狀態(tài)保持恒定或等幅振蕩，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。大范圍（漸近）穩(wěn)定：無論初始擾動引起的初始偏差有多大，系統(tǒng)在擾動取消后均可恢復到平衡狀態(tài)。小范圍（漸近）穩(wěn)定：要求初始擾動引起的初始偏差小于某個值。Note：只有非線性系統(tǒng)才會有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。對線性系統(tǒng)，必定是大范圍和小范圍都穩(wěn)定的。BIBO穩(wěn)定：若系統(tǒng)對于任意有界輸入，只能產生有界輸出，則該系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)。如果閉環(huán)傳遞函數能夠完全表征系統(tǒng)，即系統(tǒng)沒有零極點相消，或者相消的極點具有負實部，則BIBO穩(wěn)定等價于漸近穩(wěn)定。線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義(2)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件李雅普諾夫（1857-1918）

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，與外界條件無關。按照李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，當系統(tǒng)的脈沖響應h(t)滿足：，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。，系統(tǒng)不穩(wěn)定。r(t)y(t)設閉環(huán)傳遞函數有個實極點,對復極點，脈沖響應:分析上式：（1）若，即所有閉環(huán)極點具有負實部，則，系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）若有任一個大于零，則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）只要中有一個為零，即系統(tǒng)有一對純虛根，則，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。結論：欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數的極點必須全部位于s的左半平面。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)傳遞函數的極點全部位于s的左半平面。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定課堂練習李雅普諾夫第一方法（間接法，求解方程）

第一定理：若微偏線性化后系統(tǒng)的閉環(huán)極點全在s左半平面，則原系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；被忽略的高階項不會使系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。

第二定理：若微偏線性化后的系統(tǒng)只要有一個閉環(huán)極點不在s左半平面，則原系統(tǒng)的運動不穩(wěn)定；被忽略的高階項也不會使系統(tǒng)變成穩(wěn)定。二、勞斯穩(wěn)定判據(P44)由LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性充要條件可知，必須求出閉環(huán)傳遞函數的所有極點，方能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在計算機不發(fā)達的時期，三階以上系統(tǒng)的極點難以求解。因此,人們希望不求解高階方程而進行穩(wěn)定性的間接判斷。1877年，勞斯（Routh）提出了利用特征方程的系數進行代數運算，得到全部極點具有負實部的條件，以此判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。EdwardJohnRouth(1831–1907)Residence UnitedKingdomNationality EnglishFields MathematicianInstitutions UniversityofLondonUniversityofCambridge(Routhstabilitycriterion)回顧：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)傳遞函數的極點全部位于s的左半平面。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定因為所有根都在s的左半平面，即

證：特征方程：式中所有系數均為實數，并設設系統(tǒng)傳遞函數有q個實根：r

對共軛復根：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:特征方程的系數同號且不缺項。勞斯判據1、列出系統(tǒng)的特征方程：初步觀察：特征方程系數若缺項或異號，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、列寫勞斯表，共n+1行：3、考察勞斯表,分析穩(wěn)定性。若勞斯表中第一列元素均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定；且第一列元素的變號次數等于右根（正實部根）的個數?！纠?-1】勞斯判據三、兩種特殊情況(Specialcases)1、勞斯表中某行的首列元素為0，其余各元素不為0。

解決方法：用小正數ε來代替0，繼續(xù)運算。

若ε上下兩行首列元素符號相反，則系統(tǒng)有右根（不穩(wěn)定）；若符號相同，則系統(tǒng)有一對純虛根。（臨界穩(wěn)定，等幅振蕩?？捎搔?/p>

上一行元素構造輔助方程求解振蕩頻率）?！纠?-4】【例】

2、勞斯表中某一行元素全為0。（說明有對稱于原點的根。）這時應構造一個輔助方程繼續(xù)進行分析，求解方法是：（a）用全0行的上一行元素構造輔助多項式Q(s);（b）對輔助多項式Q(s)求導，用的系數代替全0行元素，繼續(xù)運算;（c）可由方程Q(s)=0求解原系統(tǒng)中對稱于原點的根。【例3-3】四、三階系統(tǒng)的穩(wěn)定判據充分必要條件：閉環(huán)特征方程的系數為正，且滿足?！纠俊纠课濉⒎€(wěn)定裕度的檢驗

應用勞斯判據可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，即絕對穩(wěn)定性。還可以判斷系統(tǒng)的是否具有一定的穩(wěn)定裕度，即相對穩(wěn)定性。這時可以移動s平面的坐標系，然后再應用勞斯判據。如圖：

將上式代入原方程，得到以s’為變量的新的特征方程，再檢驗其穩(wěn)定性。此時系統(tǒng)如果仍然穩(wěn)定，則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕度。例：系統(tǒng)特征方程為判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并檢驗有幾個根在s=-1的右邊。解：根據三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可知，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。將s=s’-1代入原方程得：新列勞斯表：故系統(tǒng)有一個根在s=-1的右邊。P48【例3-5】欲使閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部位于s=-1之左，求KI六、參數的穩(wěn)定域分析例：解：特征方程為：故，當0<K<30時，系統(tǒng)穩(wěn)定。，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。根據三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則有：多參數的穩(wěn)定域（P49）【例3-6】分析K及T1,T2的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。——controllerplant解：閉環(huán)傳遞函數為：例：單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。特征方程為：根據三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，得：作業(yè)：3.0—3.53.3控制系統(tǒng)的時域性能指標(P42)對于線性定常（LTI）系統(tǒng)：systemr(t)y(t)時域響應暫態(tài)過程

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從初始態(tài)到接近穩(wěn)態(tài)的響應。穩(wěn)態(tài)過程

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t趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。分析方法：建模得如果和是互異的，那么系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：系統(tǒng)的時域性能指標可以從零狀態(tài)響應中求取。

為的極點。為的極點。系統(tǒng)的輸出：穩(wěn)態(tài)響應暫態(tài)響應強迫響應自由響應穩(wěn)態(tài)誤差ess0y(t)1超調量overshoottr上升時間risetimetp峰值時間peaktime誤差帶Allowabletolerancets調整時間settlingtime階躍響應輸出單位階躍響應的性能指標（P42）Steadyspec.tTransientspec.1

上升時間tr：指y(t)第一次上升到穩(wěn)態(tài)值（有振蕩），或從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間（無振蕩）。2峰值時間tp：y(t)第一次達到峰值所需的時間。3超調量%：y(t)的偏離穩(wěn)態(tài)值的最大百分比：4調整時間ts：y(t)和y()之間的偏差達到允許范圍（2%或5%）時的暫態(tài)過程時間。單位階躍響應暫態(tài)性能指標（P42）：3.4一階系統(tǒng)的響應(P50)典型一階系統(tǒng)：_

r(t)y(t)機電液熱閉環(huán)傳遞函數：uiucT0Tehy(t)r(t)一、單位脈沖響應(Unit-impulseresponse)李雅普諾夫ty(t)1T2T3T4T0穩(wěn)絕對穩(wěn)定性：BIBO穩(wěn)定非振蕩特性，相對穩(wěn)定性好快

t=T,y(t)=0.632;

t=2T,y(t)=0.865;

t=3T,y(t)=0.950;

t=4T,y(t)=0.982;準階躍響應靜差為零。Note：一階系統(tǒng)可以無差跟蹤階躍信號。0.6320.8650.9500.982二、單位階躍響應(Unit-stepresponse)調整時間上升時間Note：一階系統(tǒng)可以有差跟蹤速度信號。三、單位速度響應(Unit-rampresponse)穩(wěn)態(tài)誤差T0TTT2T2T3T3T4T4ty(t)四、單位加速度響應(Unit-parabolicresponse)r(t)y(t)Note：一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度信號。r(t)y(t)思考題：五、一階系統(tǒng)的典型響應歸納⒈單位脈沖響應：⒉單位階躍響應：

⒊單位速度響應：⒋單位加速度響應：微分積分微分積分微分積分微分積分微分積分微分積分小結1.穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的結構與參數（傳遞函數）；2.一階系統(tǒng)階躍響應滯后、快速性差，但無超調；3.靜態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構、參數和外界輸入；4.一階系統(tǒng)跟蹤能力有限（理論指導實踐）。作業(yè)：3.6時間（s）0510152025溫度（℃）2017.816.114.713.712.9作業(yè)3.6提示：氣象溫度計的輸入輸出動態(tài)關系可以視為一階系統(tǒng)，當它從20℃的環(huán)境突然移至10℃環(huán)境時，其溫度示數隨時間變化關系如表所示：試確定其傳遞函數。提示：r(t)y(t)現象（感覺）理論（本質）3.5二階系統(tǒng)的響應

Responseofthe2nd-ordersystem機械電氣二階系統(tǒng)(2nd-ordersystem)的研究意義數學角度：二階數學模型；物理角度：兩個獨立儲能元件；研究意義：工程中比較常見，而且許多高階系統(tǒng)也可以轉化為二階系統(tǒng)來研究，還能引出控制理論的諸多概念，因此研究二階系統(tǒng)的響應具有理論和現實的雙重意義。阻尼響應：舊日朋友豈能相忘？高等數學大學物理電路信號與系統(tǒng)機械振動開環(huán)系統(tǒng)的阻尼響應反饋系統(tǒng)的阻尼響應自動化定位系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數：閉環(huán)特征方程：為阻尼系數，無量綱。

為無阻尼自然振蕩角頻率或固有頻率，單位：rad/s。二階微分方程的特征值問題特征根的形式→響應齊次解形式①當時，無阻尼系統(tǒng)(Undamped)二階系統(tǒng)的特征根：

此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩角頻率。1、二階系統(tǒng)的阻尼響應

二階系統(tǒng)的特征根：②當時，欠阻尼系統(tǒng)（underdamped）阻尼角阻尼振蕩角頻率s域輸出響應：時域響應：

欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應（）暫態(tài)分量隨時間衰減振蕩，振蕩頻率為：③當

=1時，臨界阻尼系統(tǒng)(criticallydamped)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根：

s域響應為：

時域響應為：

④當時：過阻尼系統(tǒng)(overdamped)系統(tǒng)的特征根：s域響應：時域響應：

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數、特征根（閉環(huán)極點）、特征根分布和單位階躍響應如下表所示：單位階躍響應特征根分布特征根阻尼系數單調上升兩個互異負實根單調上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復根(左半平面）

等幅振蕩一對共軛虛根

y(t)02468101200.20.40.60.811.21.41.61.82z=00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0z=21.5t二階系統(tǒng)的阻尼響應曲線最佳阻尼比最佳阻尼比的概念及應用阻尼比最佳阻尼系統(tǒng)調和了快速性和相對穩(wěn)定性的矛盾，兩者兼顧！中庸之美！Tradeoff?折衷閉環(huán)極點的坐標與阻尼比的關系：2、二階欠阻尼系統(tǒng)暫態(tài)響應性能指標與系統(tǒng)參數的關系(P56)(1)上升時間trtr

d-z

n

n(2)峰值時間tptp(3)超調量

%%的大小完全取決于，越小，%越大。tp反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性（相對穩(wěn)定性）。(3)超調量

%%的大小完全取決于，越小，%越大。反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性（相對穩(wěn)定性）。(4)調整（節(jié)）時間ts按定義：同時反映了系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性。(4)調整（節(jié)）時間ts典型例題P58，例3-8例3-9(P59)例3-10(P60)作業(yè)：3.7，3.9典型例題溫故二階系統(tǒng)的階躍響應知新1）具有零點的系統(tǒng)響應如何？2）其他典型輸入信號的響應？3）高階系統(tǒng)的響應？3、含零點的二階系統(tǒng)響應分析(P60)無零點二階系統(tǒng)：含零點二階系統(tǒng)：單位階躍響應：單位階躍響應：3、含零點的二階系統(tǒng)響應分析(P60)3、含零點的二階系統(tǒng)響應分析(P60)4、二階系統(tǒng)對其他典型輸入信號的響應(P61)若y(t)為單位階躍響應，則LSr(t)y(t)單位脈沖響應單位速度響應單位加速度（拋物線）響應3.6高階系統(tǒng)的響應(P62)用高階數學模型描述的系統(tǒng)為高階系統(tǒng)（n>2）；工程中的實際系統(tǒng)大都為高階系統(tǒng)；分析高階系統(tǒng)的最有效工具是數值方法（軟件）；高階系統(tǒng)的解析解比較復雜，但有時高階系統(tǒng)可以近似為低階系統(tǒng)（利用主導極點）,從而可以運用一、二階系統(tǒng)的研究結論。閉環(huán)傳遞函數1、高階系統(tǒng)（n>2）的響應分析高階系統(tǒng)的單位階躍響應：經拉普拉斯反變換系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)極點位于s左半平面。遠離虛軸的極點，小，對應響應分量衰減快；極點在虛軸上，單位階躍響應有等幅振蕩。2、高階系統(tǒng)的近似分析（P62）主導（優(yōu)勢）極點：穩(wěn)定的高階系統(tǒng)中，若離虛軸最近的閉環(huán)極點附近無閉環(huán)零點，同時其他閉環(huán)極點離虛軸的距離是其5倍以上，則該極點是高階系統(tǒng)的主導極點。高階系統(tǒng)可以忽略非主導極點，近似為低階系統(tǒng)。Note：1）主導極點可以是實極點、共軛復極點或它們的組合。2）工程中，通常采用共軛復極點作為主導極點，兼顧系統(tǒng)的快速性和準確性。

例:作業(yè)：3.8,3.103.1典型輸入信號3.2線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和勞斯判據3.3控制系統(tǒng)的時域性能指標3.4一階系統(tǒng)響應3.5二階系統(tǒng)響應3.6高階系統(tǒng)的響應3.7控制系統(tǒng)的靜態(tài)誤差第三章時域分析法3.7控制系統(tǒng)的靜（穩(wěn)）態(tài)誤差（P63）對控制系統(tǒng)的基本要求：穩(wěn)、快、準。靜態(tài)誤差衡量系統(tǒng)的準確性，為穩(wěn)態(tài)性能指標。討論穩(wěn)態(tài)誤差的前提：系統(tǒng)是穩(wěn)定的。控制系統(tǒng)的誤差包括：①原理性誤差，由系統(tǒng)模型和輸入信號決定；②擾動引起的誤差；③系統(tǒng)機械結構、非線性誤差。衛(wèi)星通訊地面站和射電望遠鏡，射電信號非常微弱，一般采用大型高增益針狀波束天線，對精度要求高，使目標處于主波束的中心附近，偏開距離不超出主波束頂部比較平坦的范圍（主瓣寬度的1/10左右）。一、原理性靜態(tài)誤差的概念1、定義（兩種方法）①從輸入端：參考輸入信號與主反饋信號之差。e(t)=r(t)–b(t)②從輸出端：期望值與實際輸出值之差。e(t)=r(t)–y(t)Note：對單位反饋系統(tǒng)（H(s)=1），兩種定義等同。_y(t)r(t)e(t)b(t)2、誤差傳遞函數誤差傳遞函數_①單位反饋系統(tǒng)一、原理性靜態(tài)誤差的概念_②非單位反饋系統(tǒng)誤差傳遞函數一、原理性靜態(tài)誤差的概念3、靜態(tài)誤差的計算例：一階系統(tǒng)在單位速度信號作用下的靜態(tài)誤差（ess=T）._一、原理性靜態(tài)誤差的概念二、擾動引起的靜態(tài)誤差G1(s)G2(s)H(s)R(s)B(s)Y(s)E(s)N(s)擾動作用下的誤差傳遞函數擾動作用下的靜態(tài)誤差系統(tǒng)的總誤差設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：三、系統(tǒng)的類型（型數，typenumber），0型系統(tǒng)。，Ⅰ型系統(tǒng)。按照開環(huán)傳遞函數中積分環(huán)節(jié)的個數進行分類：，Ⅱ型系統(tǒng)。

III型及其以上系統(tǒng)難穩(wěn)定，很少采用。誤差傳遞函數_四、典型輸入信號作用下系統(tǒng)的靜差誤差信號象函數1、位置（階躍）誤差定義為靜態(tài)位置誤差系數，有0型系統(tǒng)：Ⅰ型及以上系統(tǒng)：_2、速度誤差0型系統(tǒng)：Ⅰ型系統(tǒng)：Ⅱ型系統(tǒng)：定義為靜態(tài)速度誤差系數，有_3、加速度誤