2024年中考數(shù)學復習（全國版）第32講 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（練習）（解析版）

第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長題型06已知余弦值求邊長題型07已知正切值求邊長題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算題型09求特殊角的三角函數(shù)值題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值題型12根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)題型13已知角度比較三角函數(shù)值大小題型14根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型15利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系題型17構(gòu)造直角三角形解直角三角形題型18網(wǎng)格中解直角三角形題型19在坐標系中解直角三角形題型20解直角三角形的相關(guān)計算題型21構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積題型22仰角、俯角問題題型23方位角問題題型24坡度坡比問題題型25坡度坡比與仰角俯角問題綜合題型01理解正弦、余弦、正切的概念1．（2022·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于A．ADAB B．BDAD C．BDBC【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故選：D．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊是解題關(guān)鍵．2．（2023·安徽合肥·一模）一個鋼球沿坡角31°的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距地面的高度是（單位：米）（

）A．5cos31° B．5sin31° C．【答案】B【分析】鐵球上滾的距離，鐵球距地面的高度，可看作直角三角形的斜邊與已知角的對邊，可利用正弦函數(shù)求解．【詳解】∵鐵球上滾的距離×sin31°=∴鐵球距地面的高度=5sin故選：B．【點睛】本題考查了一個角的正弦等于這個角的對邊比斜邊，熟知三角形的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB，故D故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無關(guān)是解題的關(guān)鍵．題型02求角的正弦值1．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC,PD與⊙O相切，切點分別為C，D．若AB=6,A．35 B．25 C．34【答案】D【分析】連接OC，CP，DP是⊙O的切線，根據(jù)定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin∠COP【詳解】解：連接OC，CP，DP是⊙O的切線，則∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵AB∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴sin∠CAD=sin∠故選：D．【點睛】本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解．2．（2017·廣東東莞·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為4,3，那么sinα的值是（

A．34 B．43 C．45【答案】D【分析】過A作AB⊥x軸于點B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根據(jù)正弦的定義即可求解.【詳解】如圖，過A作AB⊥x軸于點B，∵A的坐標為(4,3)∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，OA=∴sin故選：D．【點睛】本題考查求正弦值，利用坐標求出直角三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江金華·?？家荒＃┤鐖D，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則sinA【答案】45【分析】如圖所示，過點C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的長，從而利用勾股定理求出AC的長，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點C作CE⊥AB于E，由題意得CE=4∴AC=∴sinA故答案為：45【點睛】本題主要考查了求正弦值，勾股定理與網(wǎng)格問題正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型03求角的余弦值1．（2022·吉林長春·?？寄M預(yù)測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6A．45 B．35 C．43【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=CD2∴cos∠ADC=ADCD=8∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為45故選：A．【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于點D，則cosA=（

）A．5-14 B．5+14 C【答案】B【分析】過點D作DE⊥AB于E，設(shè)AB=AC=a，BC=b．根據(jù)等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC和∠C，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD和∠CBD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BDC，根據(jù)等角對等邊確定AD=BD=BC，并用b表示出AD的長度，進而表示出DC的長度，根據(jù)該等腰三角形的性質(zhì)用a來表示AE的長度，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)列出比例式，并用a表示b，進而用a表示AD的長度，最后根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：如下圖所示，過點D作DE⊥AB于E，設(shè)AB=AC=a，BC=b．∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．∴∠BDC=∠C，AD=BD．∴AD=BD=BC=b．∴DC=∵DE⊥AB，∴AE=∵∠ACB=∠BCD，∴△ABC∴ABBD∴ab∴用a表示b得b1=5∴b=∴AD=∴cosA故選：B．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，等邊對等角，等角對等邊，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，余弦的定義，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵．3．（2022·河北·模擬預(yù)測）在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，則cosC的值為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．3【答案】C【分析】根據(jù)tanB的值，把AC、AB邊長設(shè)為3t、4t，勾股定理求出BC邊，再利用三角函數(shù)的定義求解cosC．【詳解】在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=ACAB=0.75=3設(shè)AC=3t，AB=4t，則BC=5t，故，cosC=ACBC=4故選C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的計算、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型04求角的正切值1．（2022·廣東廣州·廣東實驗中學?？级＃┤鐖D，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C和點D，則tan∠ADC＝（

）A．43 B．32 C．1 D【答案】D【分析】先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC，再利用正切的定義得到tan∠ABC=32，從而得到tan∠ADC【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACBC∵∠ADC=∠ABC，∴tan∠ADC=32故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了解直角三角形．2．（2022·湖北省直轄縣級單位·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若PA．33 B．22 C．13【答案】C【分析】由P1,1可知，OP與x軸的夾角為45°，又因為OP∥AB，則△OAB為等腰直角形，設(shè)OC=x，【詳解】∵P點坐標為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵OP∥則∠BAO=45°，△OAB∴OA=OB，設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴tan∠【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點坐標推出特殊角是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，CD是平面鏡，光線從A點出發(fā)經(jīng)CD上點O反射后照射到B點，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則tanα的值為．【答案】4【分析】如圖（見解析），先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得∠A=α,∠B=β【詳解】解：如圖，由題意得：OP⊥∵AC∴AC∴∠A同理可得：∠B∵α∴∠A在△AOC和△BOD中，∴△AOC∴OC∵AC∴OC解得OC=4經(jīng)檢驗，OC=4則tanα故答案為：43【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識點，正確找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．題型05已知正弦值求邊長1．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F，若BC=4，sin∠CEF=35，則△AEF的面積為（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】連接BF，由已知CE=AE=BE得到∠A=∠FBA=∠ACE，再得出∠【詳解】解：連接BF，∵CE是斜邊AB上的中線，∵CE=∴∠A又∵∠BCA在△ABC中，∠CBF在△AEC中，∠CEF∴∠CEF∴sin∵BC=4，設(shè)則BC2+解得x=1∴CF∴EF是AB的垂直平分線，∴BF=∴S∴S故選：C．【點睛】本題綜合考查了垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)等相關(guān)知識，熟練利用相關(guān)定理和性質(zhì)進行計算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2020·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，以直角坐標系的原點O為圓心，以1為半徑作圓．若點P是該圓上第一象限內(nèi)的一點，且OP與x軸正方向組成的角為α，則點P的坐標為（

）A．cosα,1 B．1,sinα C．【答案】D【分析】作PA⊥x軸于點A．那么OA是α的鄰邊，是點P的橫坐標，為cosα；PA是α的對邊，是點P的縱坐標，為sinα．【詳解】解：如圖，作PA⊥x軸于點A，則∠POA=α，則sinα=PAPO∴PA=OPsinα，∵cosα=AOPO∴OA=OPcosα．∵OP=1，∴PA=sinα，OA=cosα．∴P點的坐標為(cosα,sinα)，故選D.【點睛】解決本題的關(guān)鍵是得到點P的橫縱坐標與相應(yīng)的函數(shù)和半徑之間的關(guān)系．3．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB交AB于點E，交AC的延長線于點(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若EB=1，且sin∠CFD=【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）連接OD，直接利用切線判定定理證明即可；（2）根據(jù)sin∠CFD=ODOF，則設(shè)OD=3x，OF=5x，可得EB=65x=1【詳解】（1）(1)連接OD，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠B=∠ODC，∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切線；（2）∵sin∠設(shè)OD=3x，OF=5x，則AB=AC=6x，AF=8x，∴AE=∴EB=∴65∴x=∴OD=52∴DF=【點睛】本題是圓的綜合問題，涉及到切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理等知識點，本題第二問關(guān)鍵在于能夠用表示OD的字母表示出EB．題型06已知余弦值求邊長1．（2022·廣西南寧·南寧二中校考三模）如圖，在△ABC中，∠C=90°,cosAA．4 B．8 C．83 D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：∵∠C∴AB故選B．【點睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在DA，BC的延長線上，且BE⊥ED，CF=AE．(1)求證：四邊形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC【答案】(1)見解析(2)BF的長為325【分析】（1）利用“SAS”證明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可證明四邊形EBFD是矩形；（2）在Rt△BCO中，利用余弦函數(shù)求得OB的長，在Rt△BDF中，再利用余弦函數(shù)即可求得BF的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，∴∠EAB=∠FCD，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE=DF，∠F=∠E=90°，∴BE∥DF，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵∠E=90°，∴四邊形EBFD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AB=5，∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，在Rt△BCO中，cos∠OBC=4∴OBBC∴OB=4，則BD=2OB=8，在Rt△BDF中，cos∠OBC=4∴BFBD∴BF=45×8=32【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上且不與點A，B重合，CD是⊙O的切線，過點B作BD⊥CD于點D(1)證明：點C是AE的中點；(2)若BD=4，cos∠ABD【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）連接OC,AE，根據(jù)題意證明（2）先證明四邊形CDEF是矩形，根據(jù)cos∠ABD=13，設(shè)BE=a，則AB【詳解】（1）如圖，連接OC,∵AB是⊙O∴∠AEB=90°,∵CD是⊙O∴CO∵BD⊥∴AE∴CO∴AC∴點C是AE的中點；（2）如圖，連接OC,AE，設(shè)AE,由（1）可知OC⊥∴四邊形CDEF是矩形，∴CF∵cos∠設(shè)BE=a，則∴AE∴AF∵AO=∴OF∴DE∴DB∵DB∴a∴AB∴⊙O的半徑為1【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，矩形的性質(zhì)與判定，已知余弦求邊長，勾股定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．題型07已知正切值求邊長1．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長的最大值是（

A．25+34 B．25+1 C．2【答案】B【分析】過點A作∠DAP=∠BAC，過點D作AD⊥DP交AP于點P，分別求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三邊關(guān)系即可求出CD長的最大值．【詳解】解：如圖，過點A作∠DAP=∠BAC，過點D作AD⊥DP交AP于點P，∵∠ABC=90°，tan∠∴tan∠∴DPAD∵AD=2，∴DP=1，∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，∴△ADP∽△ABC，∴APAC∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，∴∠DAB=∠PAC，APAC∴△ADB∽△APC，∴ADAP∵AP=∴PC=∴PD+PC=1+2在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC?PD<DC，∴25當D，P，C三點共線時，DC最大，最大值為25故選：B．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，直角△ABC中，∠C=90°，根據(jù)作圖痕跡，若CA=3cm，tan【答案】15【分析】先解直角三角形ABC求出BC的長，從而求出AB的長，再由作圖方法可知DE是線段AB的垂直平分線，即可得到BE的長，再解直角△BED即可得到答案．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，tanB∴tanB∴BC=4cm，∴AB=由作圖方法可知DE是線段AB的垂直平分線，∴DE⊥AB，AE=∴tanB∴DE=故答案為：158【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，正確理解DE是線段AB的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB=∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．

(1)試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若PC＝4，tanA＝12，求△OCD【答案】(1)PC與⊙O相切，理由見解析(2)9【分析】（1）先證明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可證明∠PCO=90°即可；（2）先證明BCAC=12，再證明△PBC∽△PCA，從而求出PA=4，PB=1，AB=3，OC=OB=3【詳解】（1）解：PC與⊙O相切，理由如下：∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC與⊙O相切；（2）解：∵∠ACB=90°，tanA∴BCAC∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PCPA∴PA=8∴AB=6，∴OC=∴OP=5∵BC∥∴△PBC∽△POD，∴PBOP=PC∴PD=10∴CD=6，∴S△【點睛】本題主要考查了切線的判定，等邊對等角證明，解直角三角形，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握圓切線的判定是解題的關(guān)鍵．題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算1．（2022·廣東珠海·珠海市第九中學?？家荒＃┯嬎悖?sin【答案】-3【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式等運算法則計算即可．【詳解】解：原式=6×=3=-3．【點睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，絕對值的意義，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式等知識點，熟知相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江西·模擬預(yù)測）（1）計算：-1（2）先化簡，再求值：x2+2x【答案】（1）-5；（2）【分析】（1）先每項化簡，再加減算出最終結(jié)果即可；（2）先因式分解，化除為乘，通分，化簡；再帶入數(shù)值計算即可．【詳解】（1）(-1)==-1+2+=-5（2）x===∵x=∴原式==1【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的意義，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·河南商丘·校考二模）先化簡，再求值：a2-2【答案】11-a【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡分式，再把特殊角的三角函數(shù)值代入，求出a值，然后把a值代入化簡式計算即可．【詳解】解：原式===1當a=2原式=【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．題型09求特殊角的三角函數(shù)值1．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）tan30°的值等于（

A．33 B．22 C．1 D【答案】A【分析】根據(jù)30°的正切值直接求解即可．【詳解】解：由題意可知，tan30°=故選：A．【點睛】本題考查30°的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題，熟記其正切值即可．2．（2022·天津濱海新·統(tǒng)考二模）2sin45°的值等于（A．22 B．33 C．1 D【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得解．【詳解】解：2sin故選：D．【點睛】此題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀3．（2021·貴州黔西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，若∠A，∠B都是銳角，且sinA=12A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可判斷∠A=30°，∠B=60°，從而可求出【詳解】∵∠A，∠B都是銳角，且sinA∴∠A=30°，∴∠C∴△ABC故選D．【點睛】本題考查由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀，三角形內(nèi)角和定理．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．2．（2020·四川自貢·?？家荒＃┰凇鰽BC中，若sinA-32+12-【答案】等邊【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出∠A和∠B，繼而可判斷△ABC【詳解】解：∵sinA∴sinA-3∴sinA=3∴∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC故答案為：等邊．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．3．（2019·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中，（cosA﹣12）2+|tanB﹣1|＝0，則∠C＝【答案】75°．【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定cosA=12，tanB=1【詳解】解：∵（cosA﹣12）2+|tanB﹣1|＝0∴cosA﹣12＝0，tanB﹣1＝0則cosA＝12，tanB＝1∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案為75°．【點睛】熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，同時還考查了三角形內(nèi)角和定理4．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知△ABC中，∠A、(1)分別求出三個內(nèi)角度數(shù)；(2)若AC=2，求AB【答案】(1)∠A=60°，(2)1+【分析】(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得cosA=12，tanB=1，進而確定∠A(2)過點C作CD⊥AB于點D，求出AD和BD即可．【詳解】（1）解：∵∴cosA-∴cosA=∴∠A=60°∴∠C（2）解：如圖：過點C作CD⊥AB∵AC=∴∠ACD∴AD=1∵∠B∴∠BCD∴BD∴AB【點睛】本題主要考查非負數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，熟練掌握解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值1．（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）利用科學計算器計算12cos35°A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】簡單的電子計算器工作順序是先輸入者先算，根據(jù)按鍵順序?qū)懗鍪阶?，再根?jù)開方運算即可求出顯示的結(jié)果．【詳解】解：利用該型號計算器計算12

故選：A．【點睛】本題主要考查了計算器-三角函數(shù)，要求學生對計算器上的各個功能鍵熟練掌握，會根據(jù)按鍵順序列出所要計算的式子．借助計算器這樣的工具做題既鍛煉了學生動手能力，又提高了學生學習的興趣．2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）運用我們課本上采用的計算器進行計算時，下列說法不正確的是（

）A．計算5的按鍵順序依次為B．要打開計算器并啟動其統(tǒng)計計算功能應(yīng)按的鍵是C．啟動計算器的統(tǒng)計計算功能后，要清除原有統(tǒng)計數(shù)據(jù)應(yīng)按鍵D．用計算器計算時，依次按如下各鍵，最后顯示結(jié)果是0.5【答案】D【分析】根據(jù)計算器的使用方法依次判斷各個選項即可．【詳解】解：A選項，計算5的按鍵順序正確，本選項不符合題意；B選項，要打開計算器并啟動其統(tǒng)計計算功能應(yīng)按的鍵正確，本選項不符合題意，C選項，啟動計算器的統(tǒng)計計算功能后，要清除原有統(tǒng)計數(shù)據(jù)應(yīng)按鍵，說法正確，本選項不符合題意，D選項，用計算器計算時，依次按如下各鍵，最后顯示結(jié)果是0.866025403，不是0.5，原說法錯誤，本選項符合題意，故選：D．【點睛】本題主要考查計算器的基礎(chǔ)知識，熟練掌握計算器的使用是解題的關(guān)鍵．3．（2020·山東淄博·統(tǒng)考一模）運用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下，則計算器顯示的結(jié)果是．

【答案】-1【分析】根據(jù)計算器的按鍵代表的運算可得答案．【詳解】解：(-2)3故答案為：-【點睛】本題考查的是計算器的使用，掌握使用計算器是解題的關(guān)鍵．題型12根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（2021·廣東廣州·校聯(lián)考二模）已知∠A是銳角，且1﹣2sinA＝0，則∠A＝．【答案】30°/30度【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而計算得出答案．【詳解】解：∵1﹣2sinA＝0，∴sinA＝12∴∠A＝30°．故答案為：30°．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．2．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤魌an（a-10°）＝1，則銳角a=【答案】55°/55度【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)tan45°＝1【詳解】解：∵tan（a-10°）＝1∴a-∴a=55°故答案為：55°．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)，熟記特殊角的三角函數(shù)值tan45°＝1題型13已知角度比較三角函數(shù)值大小1．（2019·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，則下列結(jié)論正確的是(

)A．sinA＜sinB B．cosA＜cosBC．tanA＜tanB D．sinA＜cosA【答案】B【分析】本題可采用特殊值法，令∠A【詳解】∵∠C＝90°，∠A>∠∴可令∠AA.sinA=3B.cosA=1C.tanA=3D.sinA=3故選：B．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，掌握特殊值法在選擇題中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2020·四川成都·?？寄M預(yù)測）比較大小：sin54°cos35°（填“<”“>【答案】<【分析】把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可．【詳解】∵cos35°=在銳角范圍內(nèi)，sinα隨α∴sin54°<∴sin54°<故答案為：＜．【點睛】本題考查三角函數(shù)值的大小比較，利用正弦余弦的關(guān)系進行大小比較即可．3．（2017·四川遂寧·統(tǒng)考一模）化簡：(1-sinA．tan52°-sin52°C．2-sin52°-tan【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵1-sin52°＞0，1-tan52°＜0，∴1-=1-sin52°-tan52°+1=2-sin52°-tan52°．故選：C．【點睛】本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)和正弦、正切的增減性是解題的關(guān)鍵．題型14根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍1．（2023·陜西西安·?？既＃┤魌anA=2，則∠A的度數(shù)估計在（

）A．在0°和30°之間 B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間 D．在60°和90°之間【答案】D【分析】由題意直接結(jié)合特殊銳角三角函數(shù)值進行分析即可得出答案.【詳解】解：∵tan60∴∠A∴60°故選：D.【點睛】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握tan30°2．（2021·安徽安慶·統(tǒng)考一模）若銳角α滿足cosα＜22且tanα＜3，則α的范圍是(A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【答案】B【詳解】∵α是銳角，∴cosα>0，∵cosα<22∴0<cosα<22又∵cos90°=0,cos45°=22∴45°<α<90°；∵α是銳角，∴tanα>0，∵tanα<3，∴0<tanα<3，又∵tan0°=0,tan60°=3，0<α<60°；故45°<α<60°.故選B.【點睛】本題主要考查了余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性與特殊角的余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵題型15利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解1．（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于點DA．23 B．63 C．62【答案】B【分析】先根據(jù)題目已知條件推出△ABD∽△CAD，則可得∠DAC=∠B，然后根據(jù)BD:CD=3:2，設(shè)【詳解】∵在Rt△ABC中，∴∠B∵AD⊥BC于點∴∠B+∠∴∠BAD=∠C∴Rt△ABD∽∴BDAD=AD∵BD:∴設(shè)BD=3x，∴AD=∴tan∠故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、相似比、銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直證明三角形相似，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求邊長．2．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，則tanA＝【答案】4【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長，運用三角函數(shù)的定義解答．【詳解】由sinA＝45知，可設(shè)a＝4x，則c＝5x，b＝3x∴tanA＝ab=4故答案為43【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系．求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．3．（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測）α為銳角，則sin2α+cos2α=【答案】150°【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系可得結(jié)果．【詳解】解：∵α為銳角，∴sin2α∵sinα∴α=90°-40°=50°故答案為：1，50°．【點睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)知識．4．（2018·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，AE平分∠BAC交BC于點E，交CD于點F．且CE=CF．（1）求證：直線CA是⊙O的切線；（2）若BD=43DC，求DF【答案】（1）證明見解析；（2）35【分析】（1）若要證明直線CA是⊙O的切線，則只要證明∠ACB=90°即可；（2）易證△ADF∽△ACE，由相似三角形的性質(zhì)以及結(jié)合已知條件即可求出DFCF【詳解】解：（1）證明：∵BC為直徑，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵CE=CF∴∠4=∠5，∵∠3=∠4，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直線CA是⊙O的切線；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴ADAC∵BD=43DC∴tan∠ABC=CDBD=∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=34∴sin∠ACD=ADAC∴DFCF=AD【點睛】本題考查了切線的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)、圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記切線的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系1．（2018·山東聊城·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=13，那么sinA．223 B．22 C．2【答案】A【分析】一個角的正弦值等于它的余角的余弦值．【詳解】∵Rt△ABC中,∠C=90°，sinA=13∴cosA=1-sin2A=∴∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=22故選A.【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)sinA得出cosA的值是解題的關(guān)鍵.2．（2023·云南昆明·?？既＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，sin【答案】6【分析】根據(jù)一個角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【詳解】解：∵∠C=90°，∴sinA∴cosB故答案為：67

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，由定義推出互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系：若∠A+∠B3．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：sinα-β=sinαcos例：sin15°=(1)試仿照例題，求出cos75°(2)若已知銳角α滿足條件sinα=1【答案】(1)6(2)4【分析】（1）把75°化為30°+45°直接代入三角函數(shù)公式cosα（2）把2α化為α+α【詳解】（1）解：∵cosα∴cos===6（2）解：∵sinα=13，解得cosa∴sin==2×=4【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來求解．4．（2020·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：

如圖1：sin2如圖2：sin2如圖3：sin2①觀察上述等式，猜想：如圖4，在Rt△ABC中，∠C=②如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠③已知：∠A+∠B=【答案】1，1，1①1②見解析③sin【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義，計算即可得出結(jié)果；①由上計算可想到在Rt△ABC中，∠C②在Rt△ABC中，∠C=90°，利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=ac③利用關(guān)系式sin2A+sin【詳解】由圖可知：sinsinsin故答案為：1，1，1．①觀察上述等式，可猜想：sin故答案為：1．②在Rt△ABC∵sinA=∴sin∵∠∴a∴sin③∵sinA=0.7∴sin【點睛】本題側(cè)重考查互余兩角三角函數(shù)值，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型17構(gòu)造直角三角形解直角三角形1．（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖1，在6×4的小正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長都為1，ΔABC的頂點均在格點上，利用四邊形的不穩(wěn)定性，將網(wǎng)格變化成小菱形網(wǎng)格，且小菱形的較小角為60°，ΔABC也相應(yīng)地變成了△A'B'CA．3 B．323 C．32【答案】B【分析】設(shè)ΔABC以BC為底邊的高為h，ΔA'B'C'【詳解】設(shè)ΔABC以BC為底邊的高為h，ΔA'B'由題意可得h=2，h即ΔA'B故選：B．【點睛】本題考查了圖形變換及特殊角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理清變換前后兩三角形高之間的關(guān)系．2．（2021·江蘇常州·統(tǒng)考二模）在銳角△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝27，BC＝6，則∠B的正切值為．【答案】3【分析】過點A作AD⊥BC于D，過點B作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中可求EC，BE，在Rt△BEA中可求AE，由AC=AE+EC，可求AC；在Rt△ADC中，可求CD，AD，由BD=BC-CD，可求BD；則在Rt△BAD中，∠B的正切值可求．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，過點B作BE⊥AC于E，如圖，在Rt△BEC中，∵cosC＝CEBC∴EC=BC?cos60°=3．∴BE=BC2-CE在Rt△BEA中，AE=AB2-B∴AC=AE+EC=3+1=4．在Rt△ADC中，∵cosC=CDAC∴CD=AC?cos60°＝2．∴AD=AC2-CDBD=BC﹣CD=6﹣2=4．在Rt△BAD中，tan∠B=ADBD=234故答案為：32【點睛】本題主要考查了解非直角三角形，勾股定理．作出銳角三角形的高線，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，tanB=34【答案】14【分析】過點C作CD⊥AB于點D，設(shè)AD=CD=3x，則BD=4x，根據(jù)勾股定理計算出x的值計算即可．【詳解】過點C作CD⊥AB于點D，∵∠A=45°，tanB=3∴∠B＜45°，∵tan45°=tanA=CDAD=1設(shè)AD=CD=3x，則BD=4x，∴9x解得x=2，x=-2舍去，∴AB=AD+BD=7x=14，故答案為：14．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)，熟練化斜三角形為直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2018·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=223，則∠ABC的大小為【答案】30或150/150或30【分析】作AD⊥BC于點D，在Rt△ACD中，先求出CD的長，進而分兩種情況求解∠ABC的大小即可，①若點B在AD左側(cè)，②若點B在AD右側(cè)．【詳解】如圖，作AD⊥BC于點D，在Rt△ACD中，

∵AC=3，cos∠ACB=22∴CD=ACcos∠ACB=3×223=22，則AD=①若點B在AD左側(cè)，∵AB=2、AD=1，∴∠ABC=30°；②若點B在AD右側(cè)，則∠AB′D=30°，∴∠AB故答案為30或150．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，理解題意，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．5．（2021上·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）根據(jù)新冠疫情的防疫需要，學校需要做到經(jīng)常開窗通風．如圖1，一扇窗戶打開一定角度，其中一端固定在窗戶邊OM上的點A處，另一端B在邊ON上滑動，如圖2為某一位置從上往下看的平面圖，測得此時∠ABO是45°，AB長為20cm．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，（1）求固定點A到窗框OB的距離；（2）若測得∠AOB=37°，求【答案】（1）14cm；（2）23cm．【分析】（1）過A作AD⊥OB于D，解直角三角形（2）根據(jù)（1）中AD的長，解直角三角形ADO即可．【詳解】解：（1）過A作AD⊥OB于則AD的長就是A到OB的距離，在Rt△∵ADABAB=20，∠∴AD20即AD20∴AD=102（2）∵AD⊥在Rt△∵ADAOAD=14，∠∴14AO即14AO∴AO=14【點睛】本題考查了作高構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形，熟練掌握構(gòu)造高線構(gòu)造直角三角形，并靈活求解是解題的關(guān)鍵．題型18網(wǎng)格中解直角三角形1．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過格點（網(wǎng)格線的交點）A，B，D，點C為弧BD上一點．若∠CAD=30°，則陰影部分的面積為（A．56π+543 B．5【答案】D【分析】取AD的中點O，連接OC，過點O作OE⊥AC于點E，分別求出扇形OCD和△OAC的面積，得到陰影部分的面積．【詳解】解：取AD的中點O，連接OC，過點O作OE⊥AC于點E，∵∠AFD=90°，∴AD為直徑，AD=AF∴OA=OC=OD=13,∠COD=2∠DAC=60°，∴S扇形OCD=在直角△OAE中，OE=OAsin∠A=12AE=OAcos∠A=32∴AC=2AE=39,∴S△∴陰影部分的面積S=136π故選擇D

．【點睛】本題考查求不規(guī)則圖形的面積，解決問題的關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差．2．（2021·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△ABC的三個頂點在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC=【答案】3【分析】過點A作AD⊥BC于D，過點B作BE⊥AC于E，只需求得【詳解】如圖，過點A作AD⊥BC于D，過點B作BE⊥由圖可得，AB=10，AC=10，∵S∴1∴BE∴sin故答案為：35【點睛】本題主要是應(yīng)用三角函數(shù)定義來解直角三角形．要注意直角三角函數(shù)的性質(zhì)進行解題，本題易錯點在于學生誤認為sin∠3．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sin∠AOB

【答案】2【分析】由題意可知，要求出答案首先需要構(gòu)造出直角三角形，連接AB，設(shè)小正方形的邊長為1，可以求出OA、OB、AB的長度，由勾股定理的逆定理可得△ABO是直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求出答案【詳解】連接AB如圖所示：設(shè)小正方形的邊長為1，∴OA2=32+1=10，∴△ABO∴sin∠故答案為：22【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函數(shù)的定義，熟練掌握技巧即可得出答案.題型19在坐標系中解直角三角形1．（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=60°，點B的坐標為(-2，0)

【答案】-【分析】解直角三角形求出A點坐標，然后用待定系數(shù)法求出解析式．【詳解】解：如圖所示，過A作AM⊥BO于點

∵點B的坐標為(-2，∴OB=2在Rt△OAB中，∠A∴∠AOB=30°，在Rt△OAM中，∠AMO∴AM=12∴點A的坐標為-3∵反比例函數(shù)y=kx∴k=-故答案為：-3【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，解直角三角形，求得A的坐標是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，含30°角的直角三角尺的斜邊OA在y軸上，點O是坐標原點，點A的坐標為(0,8)，∠OAB=30°，直角頂點B在第一象限，把直角三角尺OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)75°得到△OA'B'，則點

【答案】(2【分析】先根據(jù)題意畫出點B'的位置，然后過點B'作x軸的垂線，接下來依據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)可得到OB【詳解】解：如圖所示：過點B'作B

∵點A的坐標為(0,8)，∴OA∵∠OAB=30°，∴OB=1∵把直角三角尺OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)75°得到△OA∴∠BOB'∴∠CO∴OC∴B'的坐標為故答案為：(22【點睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，得到∠CO3（2023·廣東梅州·校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知⊙D經(jīng)過原點O，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點B坐標為0,23，OC與⊙D交于點C，∠OCA

【答案】2π-【分析】連接AB，從圖中明確S陰影【詳解】解：連接AB，

∵∠AOB∴AB是直徑，根據(jù)同弧對的圓周角相等得：∠OBA∵點B坐標為0,23∴OB=23∴

OA=OBtan即圓的半徑為2，∴S陰影故答案為：2π【點睛】本題考查了同弧對的圓周角相等；90°的圓周角對的弦是直徑；銳角三角函數(shù)的概念；圓、直角三角形的面積分式，解題的關(guān)鍵是熟練運用所學的知識進行解題．4．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學校考模擬預(yù)測）某款沙發(fā)三視圖如圖1所示，將沙發(fā)側(cè)面展示圖簡化后放入平面直角坐標系，得到圖2．其中椅背AB是雙曲線y=kxk>0的一部分，椅面BD是一條線段，點B20,32，沙發(fā)腿DE⊥

（1）k＝；（2）過點A作AF⊥x軸于點F．已知CF=4?cm，DE①A點坐標為；②沙發(fā)的外包裝箱是一個長方體，則這個包裝箱的體積至少是cm3【答案】6408,802.5×【分析】（1）通過待定系數(shù)法可直接求出k的值；（2）過點B作BM⊥x軸，垂足為M，過點D作BN⊥DE軸，垂足為N，通過tanα=4可求出CM=8cm，當x=8時，y=640【詳解】解：（1）∵B20,32∴32=k∴k=640故答案為：640；（2）過點B作BM⊥x軸，垂足為M，過點D作BN⊥

①∵tanα=4，tanα∴CM=8cm∵OM=20，F(xiàn)C∴OF=OM∵雙曲線y=∴當x=8時，y∴A8,80故答案為：8,80；②∵DN=DE-NE∴BN8∴BN=40cm∴FE=BN∴包裝箱的體積至少為60×AF采用科學記數(shù)法，且精確到萬位得2.5×105故答案為：2.5×10【點睛】本題考查反比例函數(shù)和直角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)和直角三角函數(shù)的相關(guān)知識．題型20解直角三角形的相關(guān)計算1．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，連接AC，OC．若sin∠BAC＝13，則tan∠BOC＝【答案】2【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥BC，設(shè)BC＝x，AC＝3x，根據(jù)勾股定理得到AB＝AC2-BC2＝【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵sin∠BAC＝BCAC＝1∴設(shè)BC＝x，AC＝3x，∴AB＝AC2-BC2＝∴OB＝12AB＝2x∴tan∠BOC＝BCOB=x故答案為：22【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD邊長為3，點E在邊AB上，以E為旋轉(zhuǎn)中心，將EC逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，AD與FE交于P點．若tan∠BCE=13【答案】10【分析】先根據(jù)tan∠BCE=BEBC=13求出BE，即可求出AE，根據(jù)勾股定理求出CE，可知EF，然后在【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=3，∠B=∠A=90°．在Rt△BCE中，tan∠∵BC=3，∴BE=1，∴AE=AB-BE=2．在Rt△BCE中，CE=∴EF=∵∠AEP=∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，∴∠AEP=∠BCE，∴tan∠∵AE=2，∴AP=在Rt△AEP中，PE=∴PF=故答案為：103【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等，求出tan∠3．（2020·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是小明畫的卡通圖形，每個正六邊形的邊長都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點A，B，C均為正六邊形的頂點，AB與地面BC所成的銳角為β，則tanβ的值是．【答案】19【分析】作AT//BC，過點B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=32a，然后再.求出BH、AH【詳解】解：如圖，作AT//BC，過點B作BH⊥AT于H，設(shè)正六邊形的邊長為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=32觀察圖像可知：BHAH所以tanβ＝BHAH故答案為1915【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)和解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確添加常用輔助線、構(gòu)造直角三角形求解．4．（2020·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE．若∠ADB=30°，則如【答案】3【分析】過C向BD作垂線，可以構(gòu)造出一個30°直角三角△CDF，進而求出△AEB≌△CFD，設(shè)直角△CDF最小邊【詳解】解：過C作CF⊥BD，垂足為F點∵矩形ABCD,∠∴AD∥BC，∠ABC∵AE∴∠BAE+∠ABE∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°設(shè)DF=a,則CF=3a，CD=2a，BD=∵AE∴∠AEB=∠CFD=90°∴△AEB∴EB=DF=a∴EF=4a∴tan∠故答案是32【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形知識點，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題關(guān)鍵．題型21構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積1．（2019·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一塊含有45°角的直角三角板，外框的一條直角邊長為10cm，三角板的外框線和與其平行的內(nèi)框線之間的距離均為2cm，則圖中陰影部分的面積為cm【答案】14+16【分析】過頂點A作AB⊥大直角三角形底邊，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面積減去小直角三角形面積即可【詳解】如圖：過頂點A作AB⊥大直角三角形底邊由題意：EC=∴CD

=42∴小等腰直角三角形的直角邊為2CD∴大等腰直角三角形面積為10×10÷2=50cm2小等腰直角三角形面積為（8-22）2∴S

【點睛】本題主要考查陰影部分面積的計算，涉及到直角三角形的基本性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于做出正確的輔助線進行計算2．（2020下·浙江溫州·九年級期末）如圖1是一盞可調(diào)節(jié)臺燈，圖2，圖3為示意圖，AO為固定底座，且AO⊥OE于點O，AB為固定支撐桿，BC為可繞著點B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，燈體CD始終保持垂直BC,MN為臺燈照射在桌面的區(qū)域，如圖2，旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)桿使BC//OE，已知此時DM=DN，tan∠B=43,AO=【答案】1010【分析】如圖1：延長OA交BC于點G，延長CD交ON于點H，可得四邊形OHCG是矩形，從而得AG=4，BG=3，結(jié)合DM=DN，點M恰好為ON的中點，即可求解；如圖2，延長過點B作BH⊥OE于點H，過點M作PF∥BC交BA的延長線于點P，交DN于點F，交CD的延長線于I，過點N作NJ⊥CD的延長線于點J，則∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，cos∠DMF=1010，設(shè)MI=x，則MP=7-x，DM=10x，DI=3x，根據(jù)BP=CI，列出方程，求出x的值，從而求得MQ=72，設(shè)NJ=y，根據(jù)IFNJ=【詳解】解：如圖1：延長OA交BC于點G，延長CD交ON于點H，∵BC//OE，AO⊥OE，∴OG⊥BC，CH⊥OE，∴四邊形OHCG是矩形，∵在Rt△ABG中，又∵AB∴AG=4，BG=3，∴OG=AO+AG=1+4=5，OH=CG=BC-BG=7-3=4，∴CH=OG=5，∴DH=5-1=4，∵DM=DN，點M恰好為∴MH=12∴MH=13∴MD=DH∴cos∠DME=如圖2，延長過點B作BH⊥OE于點H，過點M作PF∥BC交BA的延長線于點P，交DN于點F，交CD的延長線于I，過點N作NJ⊥CD的延長線于點J，則∠AGO=∠MGP=∠CQM=∠NQJ，AO∥BH，BH=5，∴AGBG=AOBH，即：AG5+∴OG=AG由題意得：cos∠DMF=1010，DJ是∠MDN設(shè)MI=x，則MP=7-x，DM=10x，DI=3x∴PG=MPtan∵BP=CI，∴5+54+34(7-x)=1+3x∴MI=IF=145，DI=145×3=IQ=MItan∠CQM=MItan∠設(shè)NJ=y，則QJ=NJtan∠NQJ=NJ∵IF∥NJ，∴IFNJ=DI解得：y=經(jīng)檢驗：y=∴NQ=54∴MN=72+356=【點睛】本題主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義，列方程，是解題的關(guān)鍵．3．（2019·浙江溫州·統(tǒng)考二模）小明家的門框上裝有一把防盜門鎖(如圖1)其平面結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，鎖身可以看成由兩條等弧AD，BC和矩形ABCD組成，BC的圓心是倒鎖按鈕點M．其中AD的弓高GH=2cm,AD=8cm,EP=11cm．當鎖柄PN繞著點N旋轉(zhuǎn)至NQ位置時，門鎖打開，此時直線PQ與BC所在圓相切，且PQ//DN,【答案】29.8【分析】作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，連接BM，設(shè)HM交BC于K，求出BM＝5，MK＝3，然后PQ∥DN,tan∠NQP=2，求出DE＝NG＝8，TQ＝12，NT＝9，TP＝6，PQ【詳解】解：如圖，作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，連接BM，設(shè)HM交BC于K．由等弧AD，BC可知：BC的弓高為2cm，設(shè)BM＝rcm，在Rt△BMK中，則有r2＝42＋（r?2）2，解得r＝5，∴BM＝5，MK＝3，∵DN∥PQ，∴∠DNE＝∠P，∵NP＝NQ，∴∠P＝∠NQP，∴∠DNE＝∠NQP，∴tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝DENE∵NE＝DG＝4cm，∴DE＝NG＝8cm，設(shè)PT＝xcm，則tan∠P＝tan∠NQP＝2＝TQPT∴TQ＝2x，在Rt△NTQ中，則有152＝（15?x）2＋（2x）2，解得x＝6，∴TQ＝12cm，NT＝9cm，TP＝6cm，PQ＝65cm∵直線PQ與BC所在的圓相切，作MF⊥PQ于F，則MF＝5，延長PQ交NM的延長線于S，∵TQ∥SN，∴TQSN=PT∴SN＝30cm，∵sin∠S＝MFSM∴5SM∴SM＝55cm∴MN＝SN?SM＝（30?55）cm∴AB＝GN＋MN＋MK＝8＋30?55＋3＝41?55故答案為：29.8．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，平行線分線段成比例定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考填空題中的壓軸題．4．（2022·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）如圖，某社區(qū)公園內(nèi)有A，B，C，D四個休息座椅，并建有一條從A-B-C-D-A的四邊形循環(huán)健身步道．經(jīng)測量知，∠ABC=75°，∠A=60°，∠D=60°，步道AB長40米，步道CD長(1)求步道BC的長；(2)公園管理處準備將四邊形ABCD的內(nèi)部區(qū)域全部改建成兒童活動區(qū)，經(jīng)調(diào)研，改建兒童活動區(qū)成本為每平方米200元．社區(qū)公園目前可用資金為18萬元，計算此次改建費用是否足夠？【答案】(1)步道BC的長為24米；(2)此次改建費用足夠．【分析】（1）過點B作BE⊥AD，垂足為E，過點C作CG⊥AD，垂足為G，過點C作CF⊥BE，垂足為F，根據(jù)題意可得∠BFC=90°，EF=CG，先在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE，BE的長，再在Rt△GCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG，DG的長，從而求出BF的長，最后在Rt△CBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，即可解答；（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積=△ABE的面積+梯形BEGC的面積+△CGD的面積，進行計算即可求出四邊形ABCD的面積，然后再求出此次改建費用，進行比較即可解答．【詳解】（1）過點B作BE⊥AD于點E，過C作CF⊥AD于點F，∴∠1=∠2=∠3=90°，在Rt△ABE中，∴∠4=30°，∴sin∠∴BE=在Rt△CDF中，∴sin∠D在矩形CGEF中，GE=∴BG=在Rt△CBG，∠3=90°，且∴tan∠5=∴CG=∴BC=答：步道BC的長為24米．（2）在Rt△ABE中1，∴cos∠∴AE=在Rt△CDF中，∴cos∠∴DF=∴S==1∴總共花費：200×875=175000，∵180000>175000，答：此次改建費用足夠．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚，將魚竿AB擺成如圖1所示．已知AB=4.8m，魚竿尾端A離岸邊0.4m，即AD=0.4m．海面與地面AD（1）如圖1，在無魚上鉤時，海面上方的魚線BC與海面HC的夾角∠BCH=37°，海面下方的魚線CO與海面HC垂直，魚竿AB與地面AD的夾角∠BAD=22°．求點（2）如圖2，在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角∠BAD=53°，此時魚線被拉直，魚線BO=5.46m，點O恰好位于海面．求點O到岸邊DH的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°=cos53°≈35，cos【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）過點B作BF⊥CH，垂足為F，延長AD交BF于點E，構(gòu)建Rt△ABE和Rt△BFC，在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出BE,AE;再用BE+（2）過點B作BN⊥OH，垂足為N，延長AD交BN于點M，構(gòu)建Rt△ABM和Rt△BNO，在Rt△ABM中，根據(jù)53°和AB的長求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△【詳解】（1）過點B作BF⊥CH，垂足為F，延長AD交BF于點則AE⊥BF，垂足為由cos∠BAE=AE∴1516=AE∴DE=由sin∠BAE=BE∴38=BE∴BF=又tan∠BCF=BF∴34=3∴CH=即C到岸邊的距離為8.1m（2）過點B作BN⊥OH，垂足為N，延長AD交BN于點則AM⊥BN，垂足為由cos∠BAM=AMAB，∴即AM=2.88，∴DM由sin∠BAM=BMAB，∴即BM=3.84，∴BN∴ON=∴OH=即點O到岸邊的距離為4.58m【點睛】本題以釣魚為背景，考查了學生運用三角函數(shù)知識解決實際問題的能力，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的直角三角形，運用三角函數(shù)的運算，根據(jù)一邊和一角的已知量，求其他邊；再根據(jù)特殊的幾何位置關(guān)系求線段長度．6．（2022上·重慶·九年級重慶一中校考期末）翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1，已知空地邊緣AB∥CD，且AB、CD之間的距離為30米，經(jīng)測量∠A=30°，∠C=45(1)求空地邊緣AB的長度；（結(jié)果精確到1米）(2)為了打造更具觀賞性、娛樂性、參與性的城市名片，如圖2，公園管理處準備在四邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道EFGH，其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000元，請用（1）的結(jié)果計算此次修建費用是否足夠？【答案】(1)空地邊緣AB的長度為64米；(2)此次修建費用足夠【分析】（1）過D作DK⊥AB交AB于K，過C作CH⊥AB交AB的延長線于H，證得四邊形DKHC是矩形，從而CD=HK，分別在RtΔ（2）分別求出?EFGH和梯形ABCD的面積，從而S塑膠地面【詳解】（1）解：（1）如圖，過D作DK⊥AB交AB于K，過C作CH⊥AB交∵DK⊥AB∴∠AKD∵AB∴∠CDK=∠DKH∴四邊形DKHC是矩形，∴CD=HK在RtΔCBH中，∴tan∴CH∴KB在RtΔAKD中，∠3=90∴AK∴AB答：空地邊緣AB的長度為64米．（2）解：由題得，四邊形EFGH為平行四邊形，∴S∴S∴S∴總花費為：60×80+1530×45=73650（元），∵73650<75000答：此次修建費用足夠．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造出含有特殊角的直角三角形，屬于中考常考題型．題型22仰角、俯角問題1．（2022·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預(yù)測）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC為米．【答案】1203【分析】分別利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BD，DC的長，進而求出該建筑物的高度．【詳解】解：由題意可得：tan30°＝BDAD=BD90=解得：BD＝303(米)tan60°＝DCAD=DC90=解得：DC＝903(米)故該建筑物的高度為：BC＝BD+DC＝1203(米故答案為1203【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2022·廣東汕尾·統(tǒng)考二模）如圖，從樓頂A處看樓下荷塘C處的俯角為45°，看樓下荷塘D處的俯角為60°，已知樓高AB為30米，則荷塘的寬CD為米．（結(jié)果保留根號）【答案】30-10【分析】由三角函數(shù)分別求出BC、BD，即可得出CD的長．【詳解】解：由題意知：∠BAC=90°-45°=45°，△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB，AB=30∴BC=AB?tan45°=30米，∵∠BAD=90°-60°=30°，tan∠BAD=BDAB∴BD=AB?tan30°=30×3∴CD=BC-BD=30-103故答案為：30-103【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，由三角函數(shù)求出BC和BD是解決問題的關(guān)鍵解題的關(guān)鍵．3．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，為了測量某風景區(qū)內(nèi)一座古塔CD的高度，某校數(shù)學興趣小組的同學分別在古塔對面的高樓AB的底部B和頂部A處分別測得古塔項部C的仰角分別為45°和30°，已知高樓AB的高為24m，則古塔CD的高度為是m（3≈1.732，2【答案】56.8【分析】在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠30°=33AH=33BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠45°=BD，根據(jù)DH=CD-CH=BD-33BD，可得BD-33BD【詳解】如圖，根據(jù)題意可知四邊形ABDH是矩形，AB=DH=24m，AH=BD，∠AHC=∠BDC=90°，在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠CAH=AH×tan∠30°=33AH=33在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠CBD=BD×tan∠45°=BD，∵DH=CD-CH=BD-33BD∴BD-33BD=24∴BD=36+123∴CD=36+123≈36+12×1.732=56.784≈56.8（故答案為：56.8．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解仰角的含義．4．（2021·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，山頂上有一個信號塔AC，已知信號塔高AC=15米，在山腳下點B處測得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔頂A的仰角∠ABD=42°．求山高CD((參考數(shù)據(jù)：tan36.9°≈0.75,【答案】75米【分析】設(shè)山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出AD，然后可得關(guān)于x的方程，解方程即得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)山高CD=x米，則在Rt△BCD中，tan∠CBD=∴BD=在Rt△ABD中，tan∠ABD=∴AD=∵AD－CD=15，∴1.2x－x=15，解得：x=75．∴山高CD=75米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握三角函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南·統(tǒng)考一模）如圖，樓頂上有一個廣告牌AB，從與樓BC相距15m的D處觀測廣告牌頂部A的仰角為37°，觀測廣告牌底部B的仰角為30°，求廣告牌AB的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2【答案】2.6m【分析】分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用正切的定義即可分別求得AC、BC的長，從而可求得AB的長．【詳解】在Rt△ACD中，AC=CD·在Rt△BCD中，BC=CD·∴AB=AC-BC=11.25-8.65≈2.6(m)即廣告牌AB的高度約為2.6m．【點睛】本題考查了解直角三角形在實際測量中的應(yīng)用，題目較簡單，運用正切函數(shù)的定義即可解決．6．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA=160cm，識別的最遠水平距離

(1)身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點(2)身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別．社區(qū)及時將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為20°（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.26,【答案】(1)12.9(2)能，見解析【分析】（1）根據(jù)正切值求出EF長度，再利用三角形全等可求出EF=DF=35.1(（2）根據(jù)正切值求出MP長度，再利用三角形全等可求出MP=PN=54.0(cm)【詳解】（1）解：過點C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點E，D，交水平線于點F，如圖所示，

在Rt△AEF中，∴EF∵AF∴△ADF∴EF∴CE=CF∴小杜下蹲的最小距離=208-195.1=12.9(cm（2）解：能，理由如下：過點B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點M，N，交水平線于點P，如圖所示，

在Rt△APM中，∴MP∵AP∴△AMP∴PN∴BN小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹?20+3=123(cm∴小若頭頂超出點N的高度123-106.0=17.0(cm∴小若墊起腳尖后能被識別．【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及到的知識點有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質(zhì)、三角形的全等，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實際題結(jié)合數(shù)學相關(guān)知識．解題的重點在于熟練掌握相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法．題型23方位角問題1．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是nmile．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3【答案】34【分析】作CF⊥AB與點F，則CF為C島到航線AB的最短距離，設(shè)CF=xnmile，表示出AF=CF【詳解】解：作CF⊥AB與點F，則CF為C島到航線由圖可知：∠CAF=80°-50°=30°，∵AD∥BE，∴∠EBA∵∠EBC∴∠CBF設(shè)CF=xnmile，則AF∵AB=3x∴C島到航線AB的最短距離是34nmile．故答案為：34【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解CF為C島到航線AB的最短距離，求出∠CBF=60°，利用2．（2022·重慶·重慶八中?？寄M預(yù)測）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島20千米的點A處，它沿著點A的南偏東15°的方向航行．(1)漁船航行多遠距離小島B最近（結(jié)果保留根號）？(2)漁船到達距