2024年中考數學復習（全國版）專題19 三角形的概念和性質【十六大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題19三角形的概念和性質【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1畫三角形的高、中線、角平分線】 2【題型2等面積法求三角形的高】 4【題型3利用網格求三角形的面積】 5【題型4根據三角形的中線求解】 6【題型5與垂心性質有關的計算】 8【題型6利用三角形的三邊關系求解】 9【題型7利用三角形內角和定理求解】 9【題型8三角形內角和與平行線的綜合應用】 10【題型9三角形內角和與角平分線的綜合應用】 12【題型10利用三角形內角和定理解決三角板問題】 13【題型11利用三角形內角和定理探究角的數量關系】 15【題型13利用三角形外角的性質求角度】 17【題型14三角形的外角性質與平行線的綜合】 18【題型15利用三角形的外角性質解決折疊問題】 20【題型16三角形內角和定理與外角和定理綜合】 21【知識點三角形】1.三角形的基本概念(1)三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。(2)三角形的分類①按邊之間的關系分：三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形；有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。②按角分類：三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。(3)三角形的三邊之間的關系三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。三角形三邊關系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關系。(4)三角形的高.中線.角平分線角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。高線：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。(5)三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。(6)三角形的角①三角形的內角和等于180°。推論：直角三角形的兩個銳角互余。有兩個角互余的三角形是直角三角形。②三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。內外角的關系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。三角形的外角和等于360°。(7)三角形的面積三角形的面積=×底×高【題型1畫三角形的高、中線、角平分線】【例1】（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【變式1-1】（2023·吉林長春·校聯考二模）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，在給定的網格中，按照要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖①中作△ABC的中線BD．(2)在圖②中作△ABC的高BE．(3)在圖③中作△ABC的角平分線BF．【變式1-2】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和ABC．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、【變式1-3】（2023下·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在小正方形的邊長均為1的方格紙中，△ABC

(1)在圖1中畫出△ABC中BC邊上的高AD，垂足為D(2)在圖2中畫出△ABC中AB邊上的中線CE(3)直接寫出圖2中三角形ACE的面積．【題型2等面積法求三角形的高】【例2】（2023·陜西西安·校考三模）如圖，將△ABC放在正方形網格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1），點A、B、C恰好在網格圖中的格點上，那么△ABC中A．7510 B．713 C．7【變式2-1】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）數學活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數據如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【變式2-2】（2023上·陜西延安·二模）如圖，△ABC在平面直角坐標系中，A，B，C三點在方格線的交點

(1)請在圖中作出△ABC中AB(2)求△ABC(3)點B到AC邊所在直線的距離為165，求AC【變式2-3】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點A，B，C，D中選一個點；與點M，N為頂點構成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，這個點為（

A．點A B．點B C．點C D．點D【題型3利用網格求三角形的面積】【例3】（2023·安徽安慶·?？家荒＃┤鐖D，點A，B在由邊長為1的小正方形組成的網格的格點上，在網格格點上除點A，B外任取一點C，則使△ABC的面積為1的概率是

【變式3-1】（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D均在格點上，則SΔABCSΔACD(填“＞”，“＜”或

【變式3-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學校校考三模）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB和線段DE，點A、B、D、E均在小正方形的頂點上．

(1)在方格紙中畫出以AB為斜邊的Rt△ABC，點(2)在方格紙中畫出以DE為一邊的等腰△DEF，點F在小正方形的頂點上，且△DEF的面積為【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在9×9的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B均在小正方形的頂點上(1)在圖中，按要求畫一個△ABC，使點C在格點上，使得AC=5，且△(2)在圖中，在格點上取一點D，畫一個△ABD，使得△ABD的面積是12，且(3)連接CD，直接寫出△ACD【題型4根據三角形的中線求解】【例4】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F分別為BC，CA，AB的中點，具有性質：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為．【變式4-1】（2023·福建泉州·模擬預測）如圖，BD是△ABC的中線，AB=6，BC=4，△【變式4-2】（2023·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=13，AD=1（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．【變式4-3】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則【題型5與垂心性質有關的計算】【例5】（2023·山東威?！そy(tǒng)考模擬預測）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）交于一點，該點叫三角形的垂心．【問題解決】如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H為△A．120° B．115° C．102° D．108°【變式5-1】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）如圖，H、O分別為△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圓的半徑為

A．23 B．22 C．4 D【變式5-2】（2023·河北·模擬預測）已知銳角△ABC的頂點A到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，則∠A的度數是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式5-3】（2023·福建泉州·南安市實驗中學?？寄M預測）如圖1，設ΔABC是一個銳角三角形，且AB≠AC，Γ為其外接圓，O、H分別為其外心和垂心，CD為圓Γ直徑，M為線段（1）證明：M為BC中點；（2）過O作BC的平行線交AB于點E，若F為AH的中點，證明：EF⊥（3）直線AM與圓Γ的另一交點為N（如圖2），以AM為直徑的圓與圓Γ的另一交點為P．證明：若AP、BC、

【題型6利用三角形的三邊關系求解】【例6】（2023·四川·中考真題）若實數x、y滿足x-4+y-8=0【變式6-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）下列每組數分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【變式6-2】（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）平面內，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【變式6-3】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P、Q分別是AB、A1C1的中點，PQ的最小值等于．【題型7利用三角形內角和定理求解】【例7】（2023·黑龍江哈爾濱·?？寄M預測）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°，得到△A'B'C，連接AA．70° B．65° C．60° D．55°【變式7-1】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點D在BC邊上，連接AD，若△【變式7-2】（2023·湖北·中考模擬）如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點，并連接BD、DE．若∠A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°【變式7-3】（2023·江蘇·無錫市第一女子中學?？贾锌寄M）如圖，在△ACB和△DCE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE、BD交于點O，AE與DC交于點M，

【題型8三角形內角和與平行線的綜合應用】【例8】（2023·四川·中考真題）如圖，在△ABC中，∠CAB=70°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△A

A．35° B．40° C．50° D．70°【變式8-1】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點D，DE∥AC，交BC于點E．若∠A．25° B．40° C．45° D．50°【變式8-2】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，AD//BC，∠ADC=120°，∠BAD=3∠CAD，E為AC上一點，且∠ABE=2∠CBE，在直線AC上取一點【變式8-3】（2023·浙江金華·一模）如圖，已知AB∥CD，小妍同學進行以下尺規(guī)作圖：①以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線AB于點E；②以點E為圓心，小于線段CE的長為半徑作弧，與射線CE交于點M，N；③分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，交于點F，直線EF交CD于點G．若∠CGE=α，則∠A．90°-α B．90°-12α C．【題型9三角形內角和與角平分線的綜合應用】【例9】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°A．35° B．60° C．70° D．85°【變式9-1】（2023·浙江·中考真題）如圖，在△ABC中，點P是△ABC的內心，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=度．【變式9-2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，已知△ABC的三個內角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且AD=AO，CB(1)求證：∠OBD(2)若∠BAC=80°，求【變式9-3】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD為△ABC的角平分線．以點A圓心，AD長為半徑畫弧，與

(1)求證：△ADE(2)若∠BAC=80°，求【題型10利用三角形內角和定理解決三角板問題】【例10】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角板的斜邊上，AC與DM、DN分別交于點E、F，把△MDN繞點D旋轉到一定位置，使得DE=DF，則∠BDN的度數是(

)A．105° B．115° C．120° D．135°【變式10-1】（2023·甘肅·中考真題）（1）如圖，BD與CD分別平分∠ABC和∠ACB，已知∠BDC（2）將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，求∠1的度數【變式10-2】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）如圖，將一個含30°角的直角三角板的斜邊和量角器的直徑所在的邊重合放置，其中點D所在位置在量角器外側的讀數為110°，∠ACB=90°，連結DC交AB于點E，則

A．55° B．65° C．75° D．85°【變式10-3】（2023·山西·統(tǒng)考三模）綜合與實踐??探究特殊三角形中的相關問題問題情境：某校學習小組在探究學習過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉α0°<α<90°，如圖2，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，(1)初步探究：勤思小組的同學提出：當旋轉角α=時，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏學小組的同學提出在旋轉過程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；(3)再探究：在旋轉過程中，當旋轉角α=30°時，求△ABC與△AFE重疊的面積；(4)拓展延伸：在旋轉過程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉角α的度數；若不能，說明理由．【題型11利用三角形內角和定理探究角的數量關系】【例11】（2023·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數量關系始終保持不變，這個關系是（A．2∠A=∠1+∠2 BC．∠A=∠1+∠2 D【變式11-1】（2023·廣西百色·校聯考一模）如圖，有四條互相不平行的直線L1、L2、L3、LA．∠2=∠4+∠7 B．∠1+∠4+∠6=180°C．∠3=∠1+∠6 D．∠2+∠3+∠5=360°【變式11-2】（2023·海南儋州·海南華僑中學校聯考模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，將△ABC繞點B旋轉得到△DBE，使點D落在AC邊上，DE，BC相交于點E．設∠A．α+β=150°C．52α+【變式11-3】（2023·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設∠BAC=α，∠BCE=β．(1)如圖①，當點D在線段BC上，如果α=60°，β=120°；如圖②，當點D在線段BC上，如果α=90°，β=90°；如圖③，當點D在線段BC上，如果α，β之間有什么樣的關系？請直接寫出．(2)如圖④，當點D在射線BC上，（1）中結論是否成立？請說明理由；(3)如圖⑤，當點D在射線CB上，且在線段BC外，（1）中結論是否成立？若不成立，請直接寫出你認為正確的結論．【題型12三角形內角和定理與新定義問題綜合】【例12】（2023上·江蘇南京·九年級校聯考期中）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關于凹四邊形ABCD（如圖），以下結論：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，則AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，則BC＝CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正確結論的序號是．【變式12-1】（2023·江蘇·蘇州高新區(qū)第二中學?？级＃┒x：等腰三角形的一個底角與其頂角的度數的比值kk>1稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A=36°,則它的優(yōu)美比A．32 B．2 C．52 D【變式12-2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：如果三角形的一個內角是另一個內角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=3【變式12-3】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）【閱讀理解】如果三角形的兩個內角α與β滿足2a+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為【基礎鞏固】（1）若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A=50°【嘗試應用】（2）如圖①，在△ABC中，∠ACB>90°，AC=5，BC=73，且BC邊上的高AD【靈活運用】如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，試問在邊BC上是否存在點E，使得△ABE【題型13利用三角形外角的性質求角度】【例13】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC分別相切于點D，E，連接

【變式13-1】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是正方形ABCD內的一點，將△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°得到△CBF．若∠ABE=55°

【變式13-2】（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點P．若∠A=48°，∠APD=80°【變式13-3】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB,

A．180°-α B．180°-2α C．90°+α【題型14三角形的外角性質與平行線的綜合】【例14】（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小穎按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次畫出了直線a，b，c．如果∠1=70°，則∠2的度數為（

）．

A．110° B．70° C．40° D．30°【變式14-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則

A．70° B．65° C．60° D．50°【變式14-2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數為（）

A．14° B．16° C．24° D．26°【變式14-3】（2023·浙江·校聯考三模）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是射線AB上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交直線CD于點F，∠BEF

(1)如圖1，點E在線段AD上運動．①若∠B=60°，∠②若∠A=90°，求(2)若點E在射線DB上運動時，探究∠EGC與∠【題型15利用三角形的外角性質解決折疊問題】【例15】（2023·遼寧丹東·?？?/p>