光輝燦爛的幾何文化

關(guān)于光輝燦爛的幾何文化主要內(nèi)容幾何發(fā)展幾何證明幾何計(jì)算幾何變換幾何作圖幾何解題幾何應(yīng)用幾何教學(xué)幾何課程每個(gè)板塊，每組下載1篇關(guān)于初等幾何研究的論文進(jìn)行研讀，并上臺(tái)講解。第2頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天考核方式理論知識(shí)考查與實(shí)踐能力考察相結(jié)合。課堂內(nèi)考察（聽(tīng)講，參與和思考）于課堂外考察（課外作業(yè)）作為平時(shí)成績(jī)共計(jì)30%。期末考核占70%；時(shí)間形式為期末集中考試的形式進(jìn)行，考試時(shí)間120分鐘，完成一套試題。第3頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天教學(xué)方式一、3人一組，以課題加習(xí)題的形式向各小組下達(dá)學(xué)習(xí)任務(wù)，以小組團(tuán)隊(duì)為單位參與“初等數(shù)學(xué)研究”課程的學(xué)習(xí)。二、分幾何證明、計(jì)算、變換、作圖、解題五個(gè)研究學(xué)習(xí)板塊，三周為一個(gè)學(xué)段完成一個(gè)板塊。小組結(jié)合教材內(nèi)容研究各自的課題和習(xí)題，課堂上進(jìn)行互動(dòng)交流，主要介紹自己小組的研究成果，在交流的過(guò)程中，有師生的提問(wèn)和評(píng)議。三、每人撰寫(xiě)一篇關(guān)于初等幾何的小論文。第4頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天課題來(lái)源《中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究》雜志《初等數(shù)學(xué)研究》作者:甘志國(guó)，圖書(shū)館有藏書(shū)第5頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天1第章光輝燦爛的幾何文化第6頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天

幾何學(xué)是一門(mén)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，多姿多彩的學(xué)科，在人類(lèi)的理性文明中，它是當(dāng)之無(wú)愧的老大哥。數(shù)千年來(lái)，不論在思想領(lǐng)域的突破上，在科學(xué)方法論的創(chuàng)建上，幾何學(xué)總是扮演著“開(kāi)路先鋒”的角色。今天，幾何學(xué)仍然是一門(mén)方興未艾、蓬勃發(fā)展的學(xué)科，在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中，幾何一直是一個(gè)重要的主角。

——題記第7頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天本章提綱一、幾何的發(fā)展歷史線(xiàn)索二、幾何學(xué)發(fā)展概述三、中學(xué)幾何的邏輯結(jié)構(gòu)四、小結(jié)第8頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、幾何的發(fā)展歷史線(xiàn)索經(jīng)驗(yàn)幾何（遠(yuǎn)古─元前600年）論證幾何（歐氏幾何）演繹化（元前600年─400年）積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，但未上升成系統(tǒng)理論埃及幾何跟希臘邏輯方法相結(jié)合，以抽象化、邏輯化為特點(diǎn)非歐幾何第Ⅴ公設(shè)研究幾何基礎(chǔ)（公理幾何）對(duì)古典公理體系的完善解析幾何射影幾何微分幾何研究方法改變拓?fù)鋵W(xué)哥德堡七橋問(wèn)題第9頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天畫(huà)法幾何仿射幾何代數(shù)幾何解析幾何(17世紀(jì))（坐標(biāo)法）代數(shù)法代數(shù)曲線(xiàn)代數(shù)曲面代數(shù)族域上多胞形微分幾何(19世紀(jì))（分析方法）張量分析微分流形、黎曼流形、復(fù)流形大范圍微分幾何射影幾何(19世紀(jì))（綜合法、愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)代數(shù)法）特例應(yīng)用第10頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天非歐幾何黎曼幾何（19世紀(jì)）拓?fù)鋵W(xué)（幾何與代數(shù)、分析相結(jié)合，多樣化發(fā)展）點(diǎn)集拓?fù)浯鷶?shù)拓?fù)浣馕鐾負(fù)浞中螏缀挝⒎滞負(fù)湮⒎至餍卫w維叢羅巴切夫斯基幾何第11頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.幾何學(xué)的產(chǎn)生——無(wú)意識(shí)幾何階段幾何學(xué)和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實(shí)踐，也可以說(shuō)幾何產(chǎn)生的歷史和算術(shù)是相似的。在遠(yuǎn)古時(shí)代(公元前5000年以前)，人們?cè)趯?shí)踐中積累了十分豐富的有關(guān)平面、直線(xiàn)、方、圓、長(zhǎng)、短、寬、窄、厚、薄等概念，并且逐步認(rèn)識(shí)了這些概念之間、它們以及它們之間位置關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來(lái)就成了幾何學(xué)的基本概念。

二、幾何學(xué)發(fā)展概述第12頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)是從計(jì)算時(shí)間和器皿制造中產(chǎn)生的”。計(jì)算時(shí)間產(chǎn)生了“數(shù)”，而器皿制造則產(chǎn)生了“形”。正是這些有如器皿制造等生產(chǎn)實(shí)踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識(shí)。雖然這些知識(shí)是零散的，而且大多數(shù)是經(jīng)驗(yàn)性的，但是幾何學(xué)就是建立在這些零散、經(jīng)驗(yàn)性的、粗淺的幾何知識(shí)之上的。第13頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是在數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域里最基礎(chǔ)的分支之一。古巴比倫、古埃及、古印度、中國(guó)、古希臘都是幾何學(xué)的重要發(fā)源地。在我國(guó)的史前時(shí)期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識(shí)，這有大量出土文物可以證明，第14頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天如甘肅省景泰縣張家臺(tái)（新石器時(shí)代，約公元前2000年左右）出土的彩陶罐上發(fā)現(xiàn)的大量的平行線(xiàn)、三角形、正方形、圓弧等。在西安半坡遺址（新石器時(shí)代）的考古過(guò)程中發(fā)現(xiàn)一些陶罐片上繪有方格、米字、回文等幾何圖案?？匆豢催h(yuǎn)古時(shí)期人們使用過(guò)的物品中那許許多多精巧的、對(duì)稱(chēng)的圖案的繪制，一些簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說(shuō)明當(dāng)時(shí)人們掌握的幾何知識(shí)是多么豐富了。第15頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.幾何學(xué)的初步發(fā)展——經(jīng)驗(yàn)幾何階段當(dāng)人們經(jīng)歷了無(wú)意識(shí)幾何的漫長(zhǎng)的醞釀之后、初步形成了“形”的意識(shí)，進(jìn)而嘗試了一些簡(jiǎn)單的“度量”工作，同時(shí)對(duì)幾何“結(jié)構(gòu)”關(guān)系的探索也慢慢地開(kāi)始了。這樣，幾何就從無(wú)意識(shí)幾何階段步入了經(jīng)驗(yàn)幾何階段。第16頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天所謂經(jīng)驗(yàn)幾何，就是人們通過(guò)對(duì)大量的具體幾何素材進(jìn)行反復(fù)的感受和體驗(yàn)，歸納、概括出較為一般的幾何關(guān)系，在實(shí)踐中對(duì)其加以驗(yàn)證和檢驗(yàn)，并從中挖掘和發(fā)現(xiàn)更新的幾何關(guān)系的一種實(shí)驗(yàn)型幾何的歷史階段。第17頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天經(jīng)驗(yàn)幾何最大的好處就是它包含了很重要的思想方法——特例研究發(fā)現(xiàn)法，即對(duì)具體事例進(jìn)行分析、研究和實(shí)驗(yàn)，采用歸納、類(lèi)比、聯(lián)想等思維方法，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系的本質(zhì)特征，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，尋找解決問(wèn)題的辦法，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。第18頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天但是在經(jīng)驗(yàn)幾何階段，人們的思維發(fā)展水平不高限制了對(duì)一些難度較大的問(wèn)題的進(jìn)一步探索，被迫轉(zhuǎn)而采用實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行粗略的、近似的處理。在這些問(wèn)題中，人們首要考慮的是實(shí)際應(yīng)用迫切需要但理論上又暫時(shí)得不到解決的問(wèn)題，比如“如何求圓的面積”，“球體體積如何計(jì)算”等等。第19頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天林永偉先生認(rèn)為：對(duì)于現(xiàn)今中小學(xué)幾何教學(xué)而言，經(jīng)驗(yàn)幾何的思想方法無(wú)疑給我們提供了許多更深層次的啟示意義：經(jīng)驗(yàn)幾何能夠提供學(xué)生廣闊的數(shù)學(xué)活動(dòng)空間，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為真正意義上的“數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”。第20頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天以經(jīng)驗(yàn)幾何的活動(dòng)方式對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行探索，不僅能使學(xué)生充分體會(huì)到幾何原理的來(lái)龍去脈，加深對(duì)其本質(zhì)意義的理解，而且其過(guò)程本身就包含了豐富的內(nèi)容，體現(xiàn)一定的趣味性和吸引力，從而使提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性；經(jīng)驗(yàn)幾何中所包含的還有另一主要思想方法——不完全歸納法，而這一方法在發(fā)展學(xué)生“策略創(chuàng)造”思維方面具有獨(dú)特的效能。第21頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以在幾何教學(xué)，尤其是初等幾何教學(xué)中，我們主張先從“宏觀(guān)”——生動(dòng)活潑的“策略效能”出發(fā)，再以“微觀(guān)”——一絲不茍的“邏輯演繹”予以補(bǔ)正。第22頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.由哲學(xué)而來(lái)的新幾何——論證幾何幾何之所以能成為一門(mén)系統(tǒng)的學(xué)科，希臘學(xué)者的工作曾起了十分關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產(chǎn)比較發(fā)達(dá)，一批學(xué)者熱心追求科學(xué)知識(shí)，研究幾何就是最感興趣的內(nèi)容之一。在這里應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注的是古希臘著名哲學(xué)家、幾何學(xué)家柏拉圖和亞里士多德對(duì)發(fā)展幾何學(xué)的貢獻(xiàn)。第23頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天論證幾何有兩大基本要素：一是幾何的基本原理——公理是否可靠，即出發(fā)點(diǎn)是否正確；二是邏輯推理的過(guò)程是否嚴(yán)密。古希臘的哲學(xué)為論證幾何的產(chǎn)生和發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和思想支柱，因?yàn)檎軐W(xué)研究的思想方法就是從最簡(jiǎn)單的始點(diǎn)出發(fā)演繹出最復(fù)雜、最豐富的世界。另外，對(duì)理性的追求，對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目释?，深深扎根于古希臘人的心靈深處。第24頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天事實(shí)上，古代中國(guó)的數(shù)學(xué)研究者注重的是實(shí)際問(wèn)題的解決，如土地面積計(jì)算等，這也正是為什么論證幾何沒(méi)有也不可能在中國(guó)產(chǎn)生的原因。柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識(shí)受邏輯學(xué)的指導(dǎo)逐步趨向于系統(tǒng)和嚴(yán)密的方向發(fā)展。柏拉圖在雅典給他的學(xué)生講授幾何學(xué)，已經(jīng)運(yùn)用邏輯推理的方法對(duì)幾何中的一些命題作了論證。第25頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天亞里士多德被公認(rèn)是邏輯學(xué)的創(chuàng)始人，他所提出的“三段論”的演繹推理的方法，對(duì)于幾何學(xué)的發(fā)展，影響更為巨大。到今天，在初等幾何學(xué)中，更多的仍然運(yùn)用三段論的形式來(lái)進(jìn)行推理。但是，盡管那時(shí)候已經(jīng)有了十分豐富的幾何知識(shí)，這些知識(shí)仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總結(jié)成一門(mén)具有比較嚴(yán)明理論的學(xué)科的，是古希臘杰出的數(shù)學(xué)家歐幾里得。第26頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天歐幾里得(EuclidofAlexandria)的生平，“從生活年代來(lái)說(shuō)，屬于希臘歷史上第二個(gè)大分期，即亞歷山大里亞時(shí)期。4.歐幾里得的《幾何原本》歐幾里得在公元前300年左右生活在亞歷山大里亞城并在該處授徒，這一點(diǎn)是很肯定的，雖然他本人的教育可能得自雅典學(xué)院。我們對(duì)歐幾里得個(gè)人的生平幾乎就只知道這點(diǎn)情況，而且連這點(diǎn)情況也還是從Proclus《評(píng)述》的一段文字中得來(lái)的?！保ㄒ?jiàn)M.克萊因《古今數(shù)學(xué)思想史》65頁(yè)）。第27頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天《幾何原本》是歐幾里得最出名的著作。它最突出的是從一些特別提出的公理、公設(shè)和定義有計(jì)劃地來(lái)論證其它命題，其次是它第一次把豐富而散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)嚴(yán)明的讀本。正因?yàn)槿绱?，它成為人?lèi)歷史上最作大的科學(xué)杰作。所以他的《幾何原本》一直被后世所推崇，以至于二千多年來(lái)所有初等幾何教科書(shū)以及初等幾何的論著無(wú)不以他的《幾何原本》為根據(jù)。第28頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天第29頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于《幾何原本》有其無(wú)與倫比的歷史意義，我們有必要對(duì)其作一個(gè)基本的介紹，特別是平面幾何部分?！稁缀卧尽饭灿惺＃ㄒ唬┑谝黄冉o出書(shū)中第一部分的所用概念的定義，共23個(gè)。第30頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義1.點(diǎn)是沒(méi)有部分的東西。定義2.線(xiàn)只有長(zhǎng)度而沒(méi)有寬度。定義3.一線(xiàn)的兩端是點(diǎn)。定義4.直線(xiàn)是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線(xiàn)。定義5.面只有長(zhǎng)度和寬度。定義6.面的邊緣是線(xiàn)。定義7.平面是它上面的線(xiàn)一樣地平放著的面。定義8.平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線(xiàn)上的兩條相交線(xiàn)相互的傾斜度。定義9.當(dāng)包含角的兩條線(xiàn)都是直線(xiàn)時(shí)，這個(gè)角叫做直線(xiàn)角。第31頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義10.當(dāng)一條直線(xiàn)和另一條直線(xiàn)交成鄰角彼此相等時(shí)，這些角每一個(gè)被叫做直角，而且稱(chēng)這一條直線(xiàn)垂直于另一條直線(xiàn)。定義11.大于直角的角稱(chēng)為鈍角。定義12.小于直角的角稱(chēng)為銳角。定義13.邊界是物體的邊緣。定義14.圖形是一個(gè)邊界或者幾個(gè)邊界所圍成的。

第32頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義15.圓：由一條線(xiàn)包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線(xiàn)上任何一個(gè)點(diǎn)所連成的線(xiàn)段都相等。定義16.這個(gè)點(diǎn)（指定義15中提到的那個(gè)點(diǎn)）叫做圓心。定義17.圓的直徑是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線(xiàn)在兩個(gè)方向被圓截得的線(xiàn)段，且把圓二等分。定義18.半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同。第33頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義19.直線(xiàn)形是由直線(xiàn)圍成的.三邊形是由三條直線(xiàn)圍成的,四邊形是由四條直線(xiàn)圍成的,多邊形是由四條以上直線(xiàn)圍成的。定義20.在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形;只有兩條邊相等的,叫做等腰三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形。定義21.此外,在三邊形中,有一個(gè)角是直角的,叫做直角三角形;有一個(gè)角是鈍角的,叫做鈍角三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形。第34頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義22.在四邊形中,四邊相等且四個(gè)角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四邊不全相等的,叫做長(zhǎng)方形;四邊相等,但角不是直角的,叫做菱形;對(duì)角相等且對(duì)邊相等,但邊不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形。定義23.平行直線(xiàn)是在同一個(gè)平面內(nèi)向兩端無(wú)限延長(zhǎng)不能相交的直線(xiàn)。第35頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天五個(gè)公設(shè)（公設(shè)只應(yīng)用于幾何）：1.從任一點(diǎn)到任一點(diǎn)作直線(xiàn)[是可能的]。2.把有限直線(xiàn)不斷循直線(xiàn)延長(zhǎng)[是可能的]。3.以任一點(diǎn)為中心和任一距離[為半徑]作一圓[是可能的]。4.所有直角彼此相等。5.若一直線(xiàn)與兩直線(xiàn)相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線(xiàn)無(wú)限延長(zhǎng)后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)。第五條公設(shè)就是著名的平行公設(shè),它引發(fā)了幾何史上最著名的長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線(xiàn)理論”的討論,并最終誕生了非歐幾何。第36頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天五個(gè)公理（公理是適用于一切科學(xué)的真理）：1.跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。2.等量加等量，總量仍相等。3.等量減等量，余量仍相等。4.彼此重合的東西是相等的。5.整體大于部分。第37頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天（二）第一篇到第四篇講直邊形和圓的基本性質(zhì)．第一篇的內(nèi)容是關(guān)于全等形的一些熟知的定理，平行線(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)定理，初等作圖法,等價(jià)形(有等面積的圖形)和平行四邊形．所有圖形都是直邊的,就是說(shuō)都是由直線(xiàn)段組成的．特別值得指出的是以下幾個(gè)定理：命題1．在給定直線(xiàn)上作一等邊三角形．命題4.若兩個(gè)三角形的兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等，它們就全等．第38頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天命題5.等腰三角形兩底角相等．命題16.三角形一角的外角大于其他兩角中的任一角．命題20.任何三角形的兩邊之和必大于第三邊．命題27.若一直線(xiàn)與兩直線(xiàn)相交并使內(nèi)錯(cuò)角相等，則該兩直線(xiàn)平行．命題29.一直線(xiàn)與兩平行線(xiàn)相交時(shí)內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，且同傍內(nèi)角之和等于兩直角．第39頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天命題44.在給定直線(xiàn)上作一平行四邊形，使其一角等于已給角，而其面積等于已知三角形.命題47.直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和。這定理告訴我們?cè)鯓幼鞒鲆粋€(gè)正方形使其面積為所給兩正方形之和。因此這是幾何代數(shù)法的又一個(gè)例子。命題48.若三角形一邊上的正方形等于其他兩邊上的正方形之和，則其他兩邊的夾角是直角。第40頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第二篇中的突出內(nèi)容是對(duì)于幾何代數(shù)法的貢獻(xiàn)。如：命題4．若把一線(xiàn)在任意一點(diǎn)割開(kāi)，則在整個(gè)線(xiàn)上的正方形等于兩段上的正方形加上以?xún)啥螢檫叺木匦?。命題11、分割一已給直線(xiàn)，使整段與其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。第41頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天第三篇含37個(gè)命題．它開(kāi)頭給出有關(guān)圓的一些幾何定義，然后著手討論弦、切線(xiàn)、割線(xiàn)、圓心角及圓周角等等．這些定理大多是中學(xué)幾何里所熟知的。第四篇在它的16個(gè)命題里論述圓的內(nèi)接和外切圖形，如三角形、正方形、正五邊形和正六邊形。最后的命題講怎樣在一給定圓內(nèi)作正15邊形。第42頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天第五篇：比例論這一篇被認(rèn)為是歐幾里得幾何的最大成就。第六篇：相似形第六篇里利用第五篇的比例理論討論相似形。這里從33個(gè)定理中舉出幾個(gè)來(lái)．看看歐幾里得怎樣用幾何來(lái)處理現(xiàn)代代數(shù)里的幾個(gè)基本結(jié)果．第43頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天命題1.等高的三角形和等高的平行四邊形[的面積]之比等于它們的底邊之比。命題4.在各角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形里，夾等角的邊以及所等角所對(duì)的相應(yīng)邊都成比例。命題5.若兩三角形的邊成比例，則兩三角形有同樣的角且此兩三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)之角相等。命題12.從三根已給直線(xiàn)求其比例第四項(xiàng)．第44頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天命題13.求兩根已給直線(xiàn)的比例中項(xiàng)。命題19.相似三角形[面積]之比等于其對(duì)應(yīng)邊的二次比．命題31.直角三角形斜邊上的一直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和．這是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)定理的一個(gè)推廣．第45頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天第七、八、九篇：數(shù)論這三篇講述數(shù)論，即講述關(guān)于整數(shù)和整數(shù)之比的性質(zhì)。這三篇是《幾何原本》中純粹討論算術(shù)的唯一篇章。第十篇：不可公度量的分類(lèi)

《幾何原本》第十篇著手對(duì)無(wú)理量(與給定量不可公度的量)進(jìn)行分類(lèi)。本篇共有115個(gè)命題。其中就有我們熟悉的是無(wú)理數(shù)的證明等。第46頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天第十一、十二、十三篇：立體幾何及窮竭法《原本》十三篇中共含467個(gè)命題．綜上可以看出，人們普遍認(rèn)為歐幾里得的《幾何原本》是一本幾何學(xué)的經(jīng)典著作，其實(shí)不盡然。甚至，我們說(shuō)《幾何原本》是古代所有數(shù)學(xué)成果之大成也一點(diǎn)不為過(guò)。在《幾何原本》出版以來(lái)到16世紀(jì)，《幾何原本》幾乎成了數(shù)學(xué)的代名詞。第47頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天在中國(guó)，因明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》而介紹到中國(guó)，當(dāng)時(shí)稱(chēng)為“形學(xué)”。在1857年李善蘭、偉烈亞力再續(xù)譯了《幾何原本》后9卷。第11次印刷成翻刊本時(shí)，徐樹(shù)勛就將其改名為《續(xù)幾何》。至此，“幾何學(xué)”就被國(guó)人普遍使用。第48頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天歐幾里得《幾何原本》的誕生標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一門(mén)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的獨(dú)立學(xué)科。從歐幾里得發(fā)表《幾何原本》到現(xiàn)在，已經(jīng)過(guò)去了兩千多年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，但是歐幾里得幾何學(xué)仍然是中小學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的經(jīng)典著作。特別是公理化思想已經(jīng)成為影響幾乎所有科學(xué)學(xué)科乃至所有文化的重要思想?；蛘哒f(shuō)，公理化思想是影響世界文化的重要思想之一。第49頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天但是，在人類(lèi)認(rèn)識(shí)的長(zhǎng)河中，無(wú)論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問(wèn)題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學(xué)的“根據(jù)”問(wèn)題并沒(méi)有得到徹底的解決，他的理論體系并不是完美無(wú)缺的。比如，對(duì)直線(xiàn)的定義實(shí)際上是用一個(gè)未知的定義來(lái)解釋另一個(gè)未知的定義。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續(xù)”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過(guò)這個(gè)概念。第50頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.笛卡兒和他的《幾何》一千年后，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（ReneDescartes，1596～1650）在其著作《方法論》（Discoursdelaméthode）的附錄《幾何》中，將“坐標(biāo)”引入幾何。由此給幾何帶來(lái)了革命性的進(jìn)步——實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題“代數(shù)化”和代數(shù)問(wèn)題“幾何化”。第51頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天文藝復(fù)興使“理性精神”得以復(fù)蘇和發(fā)揚(yáng)。歐洲學(xué)者繼承了古希臘的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫷膸缀螌W(xué)，同時(shí)也接受了東方傳入的代數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問(wèn)題之一。第52頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另外一種包含這兩門(mén)科學(xué)的好處，而沒(méi)有它們的缺點(diǎn)的方法”。他在《幾何學(xué)》卷一中，用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線(xiàn)的距離來(lái)確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來(lái)描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問(wèn)題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過(guò)代數(shù)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。第53頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來(lái)代數(shù)和幾何相互分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)，使幾何曲線(xiàn)與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見(jiàn)，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開(kāi)拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。正如恩格斯所說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。”第54頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天6.球面幾何我們生活在地球上，雖然地球的局部地貌是丘陵起伏、山川縱橫，但是其全局的形狀十分接近于一個(gè)球面。遠(yuǎn)在公元前3世紀(jì)，古希臘亞歷山大城的依茨都山尼就應(yīng)用簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)和日光觀(guān)察，對(duì)地球的大小作了一個(gè)初步的估計(jì)，他的計(jì)算結(jié)果化為現(xiàn)代單位，地球半徑約為7270千米，比近代人造地球衛(wèi)星測(cè)得的數(shù)據(jù)6378千米僅相差15%.第55頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天在空間，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，構(gòu)成一個(gè)封閉曲面——球面。專(zhuān)門(mén)研究球面上幾何圖形性質(zhì)和有關(guān)的數(shù)量關(guān)系的理論叫做球面幾何。球面幾何產(chǎn)生于大地測(cè)量，航海，航空等實(shí)際需要，具有重要的實(shí)用價(jià)值。近200年來(lái)，隨著幾何學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，人們把球面看作高斯曲面為正的長(zhǎng)曲率曲面；把球面看作一類(lèi)非歐幾何的代表，并且把球面幾何與拓?fù)鋵W(xué)聯(lián)系起來(lái)，這樣球面幾何的研究又具有重要的理論意義。第56頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天球面幾何與歐氏幾何相比較，有如下的特點(diǎn)：（1）在相對(duì)于半徑來(lái)說(shuō)，很小的一片球面看起來(lái)幾乎是一片平面。（2）一個(gè)過(guò)球心的平面與球面的截線(xiàn)叫做該球面的一個(gè)大圓。大圓在球面幾何中扮演的角色相當(dāng)于平面幾何中的直線(xiàn)。（3）在球面上任意兩條直線(xiàn)都相交，三角形的內(nèi)角和是一個(gè)變式，且大于平角。第57頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天三角形的研究是平面幾何學(xué)的核心問(wèn)題，同樣的，球面三角形(球面上連接三個(gè)頂點(diǎn)的大圓圓弧，每一段均小于πR/2)的研究也是球面幾何的核心問(wèn)題。大約在公元16世紀(jì)，球面幾何就成為航海、天文學(xué)研究的基本工具了。2001年，中國(guó)的第八次基礎(chǔ)教育課程改革，將“球面中的幾何”作為選修系列4中的一個(gè)專(zhuān)題，開(kāi)設(shè)這個(gè)專(zhuān)題的目的就是：通過(guò)比較球面幾何和歐氏平面幾何的差異和聯(lián)系，感受自然界中存在著豐富多彩的數(shù)學(xué)模型。第58頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天7.現(xiàn)代幾何公理體系——希爾伯特公理體系前面提到，歐幾里得《幾何原本》并不是完美無(wú)缺的，或者說(shuō)其“公理體系”存在邏輯漏洞。特別是“第五公設(shè)”的“獨(dú)立性”受大家質(zhì)疑。而正是這種“質(zhì)疑”極大地推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展。德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他1899年發(fā)表的《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)中提出了一個(gè)更加完善的幾何學(xué)的公理體系。這個(gè)公理體系叫做希爾伯特公理體系。第59頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天希爾伯特不僅提出了—個(gè)完善的幾何體系,并且還提出了建立一個(gè)公理系統(tǒng)的原則。第一、和諧性(無(wú)矛盾性)。就是在一個(gè)公理系統(tǒng)中，各條公理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。第二、獨(dú)立性。公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨(dú)立而互不依附的，沒(méi)有一條公理是可以從其它公理引伸出來(lái)的。第三、完備性。公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證明本學(xué)科的任何新命題。第60頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天這種用公理系統(tǒng)來(lái)定義幾何學(xué)中的基本對(duì)象和它的關(guān)系的研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。公理化的方法給幾何學(xué)的研究帶來(lái)了一個(gè)新穎的觀(guān)點(diǎn)，在公理法理論中，由于基本對(duì)象不予定義，因此就不必探究對(duì)象的直觀(guān)形象是什么，只專(zhuān)門(mén)研究抽象的對(duì)象之間的關(guān)系、性質(zhì)。第61頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天從公理法的角度看，我們可以任意地用點(diǎn)、線(xiàn)、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿(mǎn)足公理中的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿(mǎn)足公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學(xué)。第62頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學(xué)，每一個(gè)幾何學(xué)的直觀(guān)形象不止只有—個(gè)，而是可能有無(wú)窮多個(gè)，每一種直觀(guān)形象我們把它叫做幾何學(xué)的解釋?zhuān)蛘呓凶瞿撤N幾何學(xué)的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學(xué)的時(shí)候，并不是必須的，它不過(guò)是一種直觀(guān)形象而已。第63頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天就此，幾何學(xué)研究的對(duì)象更加廣泛了，幾何學(xué)的含義比歐幾里得時(shí)代更為抽象。這些，都對(duì)近代幾何學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響?？梢哉f(shuō)，希爾伯特公理體系是現(xiàn)代幾何的奠基石。下面簡(jiǎn)單地介紹一下希爾伯特公理體系。第64頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天希爾伯特公理體系的結(jié)構(gòu)是：1.基本概念（不加定義）基本元素：點(diǎn)，線(xiàn)，面基本關(guān)系

結(jié)合關(guān)系順序關(guān)系合同關(guān)系點(diǎn)與直線(xiàn)結(jié)合，點(diǎn)與平面結(jié)合一點(diǎn)在兩點(diǎn)之間線(xiàn)段合同角合同第65頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天公理（五組公理共20條）：結(jié)合公理：Ⅰ1-Ⅰ8順序公理：Ⅱ1-Ⅱ4合同公理：Ⅲ1-Ⅲ5連續(xù)公理：Ⅳ1-Ⅳ2平行公理：Ⅴ以上公理組滿(mǎn)足和諧性、獨(dú)立性、完備性。（公理詳細(xì)內(nèi)容后面介紹。）；使用公理體系時(shí)，除邏輯法則和實(shí)數(shù)理論外，不允許利用其它知識(shí)。第66頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天希爾伯特公理體系的產(chǎn)生源于兩個(gè)方面：一個(gè)是對(duì)“第Ⅴ公設(shè)”的試證，另一個(gè)是對(duì)古典公理體系的完善。這個(gè)公理體系是希爾伯特集前人研究之大成：

1866年，霍姆霍爾茲（1821-1924）提出了“運(yùn)動(dòng)”的概念，為合同公理的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。1871年，康托（1845-1918）和戴德金(1831-1905)擬成了連續(xù)公理。第67頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天帕須(1843-1931)首先給出了順序公理；皮亞諾（1858-1932）和他的學(xué)生給出了結(jié)合公理，改進(jìn)了帕須的順序公理。希爾伯特（1862-1943）完成了希爾伯特公理體系，對(duì)前人的公理作了許多修正和精煉。在所有的初等幾何公理體系中，希爾伯特公理體系的概念最簡(jiǎn)單、陳述最簡(jiǎn)明，闖出的路子最接近歐幾里得，最受人們的歡迎。第68頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天希爾伯特在他的名著《幾何基礎(chǔ)》中指出：“公理化就是抽象化。幾何空間叫做幾何元素的‘對(duì)象’或‘物’的集合，它們互相之間的關(guān)系滿(mǎn)足一定的公理要求。這樣，所謂歐幾里得空間可以看作滿(mǎn)足歐幾里得幾何公理的元素的集合，所謂羅巴切夫斯基空間可以看作滿(mǎn)足羅巴切夫斯基公理要求的元素的集合?！钡?9頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天附錄：皮阿諾算術(shù)公理體系1.基本概念：1

基本關(guān)系：“后繼”2.公理Ⅰ：1是數(shù)（1∈N*,N*表示正整數(shù)集。）Ⅱ：數(shù)的后繼是數(shù)（若a∈N*,則a’∈N*）Ⅲ：任何兩個(gè)數(shù)的后繼都不相同（若a、b∈N*,且a’=b’，則a=b.）Ⅳ:1不是任何數(shù)的后繼（若a∈N*,a有后繼a’，則a≠1）Ⅴ：歸納公理：若兩個(gè)條件：“1∈M”及“若a∈M,a’∈M”得到滿(mǎn)足，則N*是M的子集。第70頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天§1.2中學(xué)幾何的邏輯結(jié)構(gòu)在一般的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，大體上是按照下面的邏輯結(jié)構(gòu)，采用演繹方法展開(kāi)的：原始概念的描述定義的敘述公理的敘述命題定理——推論公式第71頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天各章節(jié)教材在具體展開(kāi)時(shí)，為便于學(xué)生接受，一般都增添了便于理解教材內(nèi)容的實(shí)例，采用如下的塊狀結(jié)構(gòu)：感性材料實(shí)例、背景設(shè)置公理定義、概念引進(jìn)并證明定理、公式應(yīng)用舉例第72頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、中學(xué)幾何對(duì)公理體系的處理方法從它的邏輯結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容上看，基本上沿用了歐氏幾何的不完善的公理系統(tǒng)。首先選定一批基本元素和一批關(guān)系（包括基本關(guān)系）作為基本概念，采用了擴(kuò)大公理體系，然后以此為出發(fā)點(diǎn)，用邏輯方法定義有關(guān)概念，推導(dǎo)一系列定理，把有關(guān)的幾何知識(shí)貫穿起來(lái)。如“在內(nèi)”、“在外”、“一旁”、“之間”、“在同一側(cè)”、“在異側(cè)”等概念在中學(xué)幾何例是作為普通常識(shí)性語(yǔ)言使用的。第73頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天中學(xué)平面幾何的公理之間是相容（不矛盾）的，但所選取的公理既過(guò)剩又不足，是不獨(dú)立和不完備的。其中新增了一些公理，強(qiáng)化了一些公理，默認(rèn)(減少)了一些公理和定理?！皟牲c(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”，“同位角相等，則兩直線(xiàn)平行”等都是新增的公理；而“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)平行”是強(qiáng)化了的平行公理。教材的這種處理方案，雖然從公理系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是不夠嚴(yán)格的，有悖于公理體系的完備性和獨(dú)立性。但是，這樣做能減少初學(xué)者的困難，便于學(xué)生接受，從教學(xué)論的角度看是有積極作用的。第74頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天附錄一：1794年勒讓德?tīng)柧帉?xiě)的新幾何教材內(nèi)容：第一章一般原則，直線(xiàn)型；第二章圓，角之測(cè)定，作圖題；第三章相似性，面積，作圖題；第四章正多邊形，圓之度量。二、中學(xué)幾何內(nèi)容及系統(tǒng)第75頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天附錄二：我國(guó)中學(xué)平面幾何采用擴(kuò)大公理體系的直線(xiàn)安排，主要內(nèi)容有：（1）基本概念：幾何圖形，線(xiàn)段，角等；（2）直線(xiàn)形：相交線(xiàn)和平行線(xiàn)，三角形和四邊形，全等形和相似性，銳角三角函數(shù)，定理和證明，畫(huà)圖和作圖，幾何變換初步，面積；（3）圓：圓，直線(xiàn)和園，兩圓的位置關(guān)系，正多邊形和圓，基本軌跡。第76頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天附錄三：中學(xué)幾何公理體系中學(xué)幾何公理系統(tǒng)基本概念公理原始概念——“在內(nèi)”、“在外”、“一旁”、“同側(cè)”、“異側(cè)”、“長(zhǎng)度”等基本關(guān)系運(yùn)動(dòng)關(guān)系——…放…，…重合…等順序關(guān)系——在……之間結(jié)合關(guān)系點(diǎn)在平面上點(diǎn)在直線(xiàn)上基本元素平面直線(xiàn)點(diǎn)結(jié)合公理（4條）線(xiàn)段公理（3條）(刻度尺公理1條，量角器公理1條)求積公理(3條)平行公理(3條)全等公理(3條)第77頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天作業(yè)：1.中學(xué)幾何公理體系與希爾伯特公理體系有哪些區(qū)別？第78頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天資料：高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線(xiàn)—幾何《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2004）將高中數(shù)學(xué)分為必修課（288學(xué)時(shí)）、選修課，選修課包括選修I（52學(xué)時(shí)）和選修II（104學(xué)時(shí)）。學(xué)校根據(jù)教學(xué)實(shí)際自行安排必修課、選修課的開(kāi)設(shè)。幾何仍舊是高中數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容,在內(nèi)容選擇上,既有以往的經(jīng)典內(nèi)容,如立體幾何、解析幾何,也有一些新增內(nèi)容,如球面上的幾何。在教材編寫(xiě)的方面,注重了幾何與其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)合,特別是與代數(shù)學(xué)的結(jié)合。第79頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天高中幾何結(jié)構(gòu)圖第80頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天幾何內(nèi)容設(shè)計(jì)的思路幾何課程的設(shè)計(jì)分為兩部分。一部分是將“把握?qǐng)D形”的能力作為指導(dǎo)思想，貫穿在整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的始終。另一部分是設(shè)計(jì)相應(yīng)的幾何內(nèi)容。具體的內(nèi)容見(jiàn)下：第81頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天

平面向量第82頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天異面直線(xiàn)的距離平面三個(gè)公理三個(gè)推論空間兩條直線(xiàn)平行直線(xiàn)公理4及等角定理相交直線(xiàn)異面直線(xiàn)垂直判定與性質(zhì)異面直線(xiàn)所成的角空間直線(xiàn)與平面直線(xiàn)在平面內(nèi)直線(xiàn)與平面平行判定與性質(zhì)直線(xiàn)與平面相交空間兩個(gè)平面兩個(gè)平面平行距離判定與性質(zhì)兩個(gè)平面相交二面角垂直判定與性質(zhì)定義性質(zhì)面積體積公式表面上兩點(diǎn)間距離棱柱、棱錐球直線(xiàn)與平面所成的角、三垂線(xiàn)定理

立體幾何直線(xiàn)平面簡(jiǎn)單幾何體第83頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天直線(xiàn)直線(xiàn)的傾斜角和斜率直線(xiàn)的方程五種形式應(yīng)用兩直線(xiàn)的位置關(guān)系兩直線(xiàn)垂直兩直線(xiàn)平行兩直線(xiàn)相交夾角及公式交點(diǎn)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式兩平行直線(xiàn)的距離公式圓圓的方程圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓與圓的位置關(guān)系圓的一般方程相交弦圓的切線(xiàn)

直線(xiàn)與圓第84頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天圓錐曲線(xiàn)由圓錐曲線(xiàn)求方程直線(xiàn)和方程曲線(xiàn)上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)解曲線(xiàn)的交點(diǎn)橢圓定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)作圖第二定義雙曲線(xiàn)定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)作圖第二定義作圖拋物線(xiàn)定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)統(tǒng)一定義直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系第85頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天球面上的幾何

對(duì)球面上的幾何，顧名思義，討論“球面上圖形的性質(zhì)”，基礎(chǔ)教育階段已學(xué)過(guò)平面幾何，這兩種幾何有什么相同，有什么不同？球面上的幾何有什么用處？“球面上的幾何”這一專(zhuān)題主要就學(xué)習(xí)這些問(wèn)題。第86頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天球面上的幾何第87頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天歐拉公式與閉曲面分類(lèi)

歐拉是最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他的成就非常豐富，多面體的歐拉公式就是其中之一。四面體、長(zhǎng)方體等都是多面體，歐拉發(fā)現(xiàn)了：這些圖形的“面數(shù)減去棱數(shù)再加上頂點(diǎn)數(shù)等于2”，并且他給出了很好的證明。這是很有趣的，它反映了這些圖形——曲面的性質(zhì)。那么，是否還有其他圖形也有這樣的性質(zhì)？是否所有多面體的曲面都有這樣的性質(zhì)？就是這個(gè)專(zhuān)題主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。第88頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天歐拉公式與閉曲面分類(lèi)第89頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天三等分角與數(shù)域擴(kuò)充

“用尺規(guī)可以三等分角嗎？”這是學(xué)生都想了解的一個(gè)問(wèn)題。在“三等分角與數(shù)域擴(kuò)充”這個(gè)專(zhuān)題中，將引導(dǎo)學(xué)生一步一步地解決這個(gè)問(wèn)題。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，解決這樣問(wèn)題與做習(xí)題不大一樣，其中蘊(yùn)涵著一種思考方法，不論是否專(zhuān)門(mén)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這種思考問(wèn)題的方法都是很有用的。第90頁(yè),共103頁(yè)，2024年2月25日，星期天三等分角與數(shù)域擴(kuò)充作圖欣賞三大作圖問(wèn)題非尺規(guī)作圖的方法尺規(guī)作圖原則尺規(guī)作圖的范圍（1）—能作的范圍尺規(guī)作圖的范圍（2）僅能作的范圍應(yīng)用不能作的范圍能作的范圍倍方三等分角正十七邊形范例有理數(shù)域與尺規(guī)作圖數(shù)域擴(kuò)充與尺規(guī)作圖擴(kuò)域“列”、擴(kuò)域“樹(shù)”與尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖代數(shù)化直線(xiàn)的表示圓的表示數(shù)域與尺規(guī)作圖的封閉性圓規(guī)作圖與擴(kuò)域補(bǔ)充知識(shí)第91