河北省唐山市2022屆高三年級上冊開學(xué)摸底演練數(shù)學(xué)含答案

唐山市2021-2022學(xué)年度高三年級摸底演練

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在答題卡上

“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如

需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.設(shè)集合4={X[1<X<4},B={X|X<2或X>5},貝l」AUB=

A.{x|l<x<2}B.{x|x<2或x>5}C.{x|l<x<2或x>5}D.{x|x<4或x>5)

2.已知i是虛數(shù)單位,若z=(l+i)(2—i),則|z|=

A.VlOB.V2C.10D.2

3.設(shè)a=log20.2,b=2°-2,c=0.22,貝U

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

4.已知單位向量a,b滿足(2a+b)，b,則a與b的夾角為

7T71271571

A.—B.—C.D.

6336

5.現(xiàn)有4份不同的禮物，若將其全部分給甲、乙兩人，要求每人至少分得一份，則不同的分法共有

A.10種B.14種C.20種D.28種

6.已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點A(l,m),B(m,4),則cosa

,V5y[5,2752A/5

A.i----B.-----C.i------D.------

5555

7.已知圓O：x2+y2=?(r>0),設(shè)直線/：x+2y—8=0與兩坐標(biāo)軸的交點分別為A,B,若圓。上存在點P

滿足|AP|=|BP|,則r的最小值為

6V56“仁c

A.----B.—C.2yJ5D.3

55

8.若(2x+l)8=ao+ai(x+l)+a2(x+l)2+—+a8(x+l)8,則a3=

A.56B.448C.-56D.-448

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是

A.若隨機(jī)變量X服從兩點分布，P(X=1)=,，則E(X)=，

22

B.若隨機(jī)變量Y的方差D(Y)=3,則D(2Y+1)=6

132

C.若隨機(jī)變量自服從二項分布B(4,-),則P《=3)=—

381

D.若隨機(jī)變量n服從正態(tài)分布N(l,o2),P(q<2)=0.82,則P(0<n<2)=0.64

龍22

10.已知橢圓E：一+乙=1的左、右焦點分別為Fl,F2,點P在E上，若△FFF2是直角三角形，則△F1PF2

94

的面積可能為

,c4752亞

A.5B.4C.----D.----

33

11.聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純音合成的。已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asimot。我

們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音。若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)f(x)=sinx+；sin2x,

則

3

A.f(x)的最大值為一B.2兀為f(x)的最小正周期

2

JI

C.X=Q■為曲線y=f(x)的對稱軸D.(TT,0)為曲線y=f(x)的對稱中心

12.在直四棱柱ABCD-AiBiGDi中，AB//CD,AB±AD,AB=2AD=2DC=2DDi=4。

A.在棱AB上存在點P,使得DF//平面AiBCi

B.在棱BC上存在點P,使得DR/平面AIBCI

C.若P在棱AB上移動，則AiD_LDF

D.在棱A1B1上存在點P,使得DPJ_平面A1BC1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.圓臺的軸截面上、下底邊長分別為2和4,母線長為2,則圓臺的體積是。

14.若函數(shù)f(x)=k>g2(4*+a)-x為偶函數(shù)，則a=。

15.不過原點的直線/與曲線f(x)=x3相切于A(xi,yi),相交于點B(X2,y2)，則」=。

X1

公式：a3—b3=(a—b)(a2+ab+b2)

16.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F,直線/：x=my-1與C交于A,B,若AFLBF,則m=，

|AF|+|BF|=?

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知｛aj為等差數(shù)列，前n項和為Sn，數(shù)列｛、｝是首項為1的等比數(shù)列，4b2—b3=4,b4=a4+4ai，2S15

=15b50

(1)求｛an｝和｛bn｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹U｛anb2n+1｝的前n項和。

18.(12分)

數(shù)字人民幣是由央行發(fā)行的法定數(shù)字貨幣，它由指定運(yùn)營機(jī)構(gòu)參與運(yùn)營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣

等價。截至2021年6月30日，數(shù)字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費(fèi)、餐飲服務(wù)、交通出行、

購物消費(fèi)、政務(wù)服務(wù)等領(lǐng)域。為了進(jìn)一步了解普通大眾對數(shù)字人民幣的感知以及接受情況，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了

一次問卷調(diào)查，部分結(jié)果如下：

學(xué)歷小學(xué)及以下初中高中大學(xué)?？拼髮W(xué)本科碩士研究生及以上

不了解數(shù)字

35358055646

人民幣

了解數(shù)字人

406015011014025

民幣

(1)如果將高中及高中以下的學(xué)歷稱為“低學(xué)歷”，大學(xué)?？萍耙陨蠈W(xué)歷稱為''高學(xué)歷”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完

成下面的2X2列聯(lián)表：

學(xué)歷

了解情意低學(xué)歷高學(xué)歷合計

不了解數(shù)字人民幣

了解數(shù)字人民幣

合計

(2)若從低學(xué)歷的被調(diào)查者中，按對數(shù)字人民幣的了解程度用分層抽樣的方法抽取8人，然后從這8人中抽

取2人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，求被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的概率；

(3)根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學(xué)歷高低”有關(guān)？

附：片=——^ad-bcY——。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(犬260.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)

在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2c—b=a(73sinC-cosC)?

⑴求A；

S

(2)若a=2,I,S分別表示AABC的周長和面積，求一的最大值。

20.(12分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD,底面ABCD,底面ABCD是菱形，側(cè)面PAD是等邊三角

(1)求四棱錐P-ABCD的體積；

(2)求二面角A-PB-C的余弦值。

21.(12分)

廠V

已知雙曲線E：=b>0)的離心率為2,點P(2,3)在E上。

a2b-

(1)求E的方程；

(2)過點Q(0,1)的直線/交E于不同的兩點A,B(均異于點P),求直線PA,PB的斜率之和。

22.(12分)

己知函數(shù)f(x)=aex—ln(x+l)—Inao

(1)當(dāng)a=l時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：f(x)有唯一極值點t,且

唐山市2021—2022學(xué)年度高三年級摸底演練

數(shù)學(xué)參考答案

選擇題：

1-4DACC5-8BBAD

選擇題：

9.AD10.BC11.BD12.ABC

三.填空題：

13.△?14.115.-216.土加，8（第一空3分，第二空2分）

四.解答題：

17.解：

（1）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為4，等比數(shù)列｛d｝的公比為（7.

由已知4b2一歷=4,得從（4q—q2）=%而6=],所以如―4q+4=0,

解得4=2,所以為=2廣1.…2分

由/?4=4u+4ai得5”|+3d=8.①，

由2s|5=15打得ai+7d=8.②，

聯(lián)立①②解得ai=d=l,所以斯=〃.

故｛?！埃耐椆綖樾?〃，｛與｝的通項公式為與=2廠1…5分

（2）設(shè)數(shù)列｛&歷“+夕的前n項和為T,?

由an—n<岳"+|=4"得a”i>2"+i="X4".

7；=1X4+2X42+3X434-----”義4”,

47；,=1X42+2X43+3X44+—+nX4fl+l,

上述兩式相減,得一3刀產(chǎn)1X4+1X42+1X434---MX4n-nX4n+1,

口一一4X（l-4"）（1-3〃）4"+1-4

所以一37；=—.'-nX4"+，1=-------------,

I—43

（3〃-1）4"+】+4八

即HnT“=g.“TO分

18.解：

（2）從低學(xué)歷被調(diào)查者中按對數(shù)字人民幣的了解程度用分層抽樣的方法抽取8人,

抽取的8人中，不了解數(shù)字人民幣的有150X肅=3人，了解數(shù)字人民幣的有

8

250X府=5人,,?,6分

從這8人中抽取2人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，求被選中的2人中至少有1人對數(shù)字人民幣不了解的概率P=\

C9

ci14--8分

（3）根據(jù)列聯(lián)表得

800X（125X250-150X275）2800一

k=275X525X400X400=而心工463<t841??,10分

故沒有95%的把握認(rèn)為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學(xué)歷高低”有關(guān).,?,12分

19.解：

(1)由正弦定理得2sinC—sinB=y[3sinA?sinC—sinA,cosC,

由sinB=sin(A+C)可得2sinC=yf3s\nA,sinC+cosA?sinC,

即sin(A+點)=1,因為OVAVe所以A=?…4分

(2)由余弦定理可得可+3—bc=4,所以(〃+c)2—4=3〃c........(*)

]S

/=ci+b+c=2+b+c,5=y/?csinA=Z?c,??,6分

S_y[3bc

所以?7=4(2+0+C)?

將⑺式代入，可得好用隹;二＞害S+c—2).,?,8分

因為從'W也誓，所以由(*)式可得3+c)2-4W當(dāng)江

即方+cW4.(等號當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時成立)

故號的最大值為坐.

??,12分

20.解:

(1)過B作BO_LAD于O,連接OP.

；側(cè)面物DJL底面ABCD,且交線為AD,BOA-AD,BOu平面48C。，

.,.BO_L平面PAD,

；.NOPB即為PB與面附。所成的角，于是NOPB=45。，

AOB=OP.…3分

又?.?底面ABC。是菱形，側(cè)面南。是等邊三角形，

.?.△以0gZ\8A0,

J.POVAD,故。為4D中點，

又；側(cè)面以O(shè)_L底面ABC。，且交線為AO,PO1.AD,尸Ou平面物。，

二20_1_平面48。。，由題意得尸0=80=坐AD=小.

...四棱錐尸-A8CZ)的體積V=1S/?=|X2XV3XV3=2.…6分

(2)以。為坐標(biāo)原點，OA,OB,9分

別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間

直角坐標(biāo)系。-孫z,貝I」4(1,0,0),P(0,0,小),8(0,小,0),

0(-1,0,0).

酢=(一1,0,小)，茂=(0,小，一小)，CB=1)A=(2,

0,0)…7分

設(shè)平面APB的法向量機(jī)=(x”)，”zi),

,AP,m=0,f—xi+VSzi=O,仃

由J得A6八取m=(小，1,1).

〔前5=0,1曲"一母尸0，

,?,9分

設(shè)平面PBC的法向量”=(及，”，Z2),

,PB?n=0,/曰卜歷絲一小Z2=0，??八八

由j得；_v取〃=(0,1,1).…10分

[CB.?=0,%一°n，

..、.2回八

..cosM"〉—M"一小X也一5，…11分

又；二面角A-PB-C為鈍二面角,

...二面角4-PB-C的余弦值為一早.“T2分

21.解：

(1)由己知可得e=§=2,

/.e2=^2=1+,^2=4,解得序=3層①

4Q

又???點P(2,3)在七上，J/一/=1②

由①②可得〃2=1,廬=3.

雙曲線E的方程為f一號=1.…5分

(2)過點。(0,1)的直線/斜率顯然存在，

設(shè)/的方程為：y=kx+l,A(M，》)，8(及，義)，

將/的方程代入雙曲線E的方程并整理得(3一標(biāo)]一2履一4=0,

依題意3一斤￥0,且A>0,所以Q<4且MW3,

2〃~'4

因此，可得xi+及=3二?x\x?=3二話.…7分

y一3y2—3

:*kpA+kpB=

汨-2X2-2

辰i+1—3履2+1~~3

x\—2X2—2

=2%+(2-