陜西省寶雞市陳倉區(qū)2023屆高三二模文科數(shù)學試題（解析版）

2023年陳倉區(qū)高三質量檢測（二）

數(shù)學（文科）

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)

域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1已知集合1小-12<。},吟*2,1,3,5,7},則AB=「

A.{-2,1,3,5}B.{-4,-2,1}C.{-4,-2,1,3}D.{1,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】通過解一元二次不等式得集合4再求交集即可.

【詳解】因為A=—4x—12<o}={可―2<x<6},B=4,—2,1,3,5,71,

所以4B={1,3,5},

故選：D.

2.已知復數(shù)z滿足（2+i）z+3i=4（i是虛數(shù)單位），則忖=（）

A.73B.75C.3D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法法則及復數(shù)的模長公式即可求解.

A

【詳解】由（2+i）z+3i=4,得z=

斫以z=4-3i（"3i）x（2-i）8-4i-6i+3i?5-lOi

~2+i（2+i）x（2-i）4-2i+2i-i25，

故選：B.

3.Keep是一款具有社交屬性的健身APP,致力于提供健身教學、跑步、騎行、交友及健身飲食指導、裝備

購買等一站式運動解決方案.Keep可以讓你隨時隨地進行鍛煉，記錄你每天的訓練進程.不僅如此，它還

可以根據(jù)不同人的體質，制定不同的健身計劃.小張根據(jù)Keep記錄的2022年1月至2022年11月期間每月

跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列說法錯誤的是（）

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月

C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應的里程數(shù)

D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至H月波動性更小

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)折線圖，結合選項即可逐一求解.

【詳解】由折線圖可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A不正確；

月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，故B正確；

月跑步里程數(shù)從小到大排列分別是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月,

故5月份對應的里程數(shù)為中位數(shù)，故C正確；

1月到5月月跑步里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.

故選:A.

4.在等差數(shù)列｛4,｝中，a6,是方程%2-8%—17=0的兩個根，則｛%｝的前23項的和為（）

A.-184B.-92C.92D.184

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質，結合求和公式即可求解.

【詳解】%,，%是方程V—8%—17=0的兩個根，所以4,+。18=8，所以｛%｝的前23項的和

S_23（%+&3）_23（4+陽）_92

23—2-2-,

故選:C.

5.已知少是兩個不重合的平面，且直線則“a，尸”是“〃/，”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由線面、面面關系，結合平面的基本性質判斷線面關系，根據(jù)面面垂直的判定判斷線面是否平行，

再由充分、必要性定義判斷條件間的充分、必要關系.

【詳解】解：由若則可能平行或/<=分，充分性不成立；

由/La,////?,由面面垂直的判定知a，/?,必要性成立.

所以“”是“〃/分”的必要不充分條件.

故選：B.

6.若雙曲線根>0）的漸近線與圓/+9―6y+l=0相切，則機=（）

m

A正B.72C.述D.2夜

42

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)漸近線的公式寫出直線方程，根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線的距離等于半徑列出方程求解.

丫2V

【詳解】雙曲線>2一、=i（〃>o）的漸近線為y=土二，

mm

即x±2y=0,由于對稱性不妨取x+my=0,

圓V+y2—6y+l=0.即尤2+（,一3）2=8,

所以圓心為（0,3）,半徑廠=2立，

依題意圓心（0,3）到漸近線x+/孫=0的

距離d=J珈=2/,解得m=2四或加=一20（舍去）.

Vl+m2

故選:D.

7.設a=log30.9,沙=0.4°8,C=2°2,則。，b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】利用指對數(shù)函數(shù)的單調性與圖像性質及與特殊值（0,1）的比對，易知三者的大小關系.

【詳解】由于y=log3X在（0,+8）上單調遞增，故log30.9<log31=0,即a<0；

由于y=0.4'在R上單調遞減且y=0.4*〉0,故0<0.4°-8<0.4°=1，即0<6<1；

由于>=2工在R上單調遞增，故2°2>2°=1，即c〉l；

所以Q

故選：A.

8.已知函數(shù)/（x）=G：2+Zdnx的圖象在點（1,/。））處的切線方程為y=3x—1.則a—匕的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】對函數(shù)求導，再求出％=1處的切線方程，即可求得a力；

【詳解】解：函數(shù)/（%）=加+句nx,則r（x）=2ax+2,函數(shù)的圖象在點處的切線方

程為y=3%—1,

/⑴=2〃+匕=3a=2

所以<解得〈7/則a—b=3.

/⑴=a=3xl-l=2b=-l

故選：C.

9.已知函數(shù),=作也（。尤+2）（4>0,。>0,冏<兀）的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為（）

B.y=4sin[2x+]X71D.y=4sin(2x—/

C.y=4sin2~3

【答案】A

【解析】

2兀

【分析】由圖象確定4=4以及周期，進而得出。=不=2,再由/4得出9的值.

【詳解】顯然A=4,因為人T=53兀+7二i=7。T，所以丁=兀，所以。=2臼7r=臼2冗=2,

212122Tn

(7117171

4,得4sin2x---+0=4,所以-----(p—2左兀~\—,k￡Z,

\12JJ62

n兀：II27r

即夕=2kliH——,k￡Z.因為1@V兀，所以/二§，

所以/(%)=4sin2x+

故選：A.

10.更相減損術是出自中國古代數(shù)學專著《九章算術》的一種算法，其內容如下：“可半者半之，不可半者，

副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之"，如圖是該算法的程序框圖，如果輸入

〃=99,b=231,則輸出的〃是（）

A.23B.33C.37D.42

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.

【詳解】根據(jù)程序框圖，輸入的。=99,5=231,因為出b,且所以＞=231—99=132；第二

次循環(huán)，6=132—99=33；

第三次循環(huán)，4=99—33=66；

第四次循環(huán)，。=66—33=33,止匕時a=Z?=33,輸出a=33.

故選：B

n+l+aa

11.已知5,是等比數(shù)列｛a,J的前〃項和，JISn=2+a,則01a2+^2%+wu~（）

223—80213-8c220-l「225-8

A.---------B.---------C.---------D.---------

3333

【答案】A

【解析】

【分析】由％與S”的關系求出數(shù)列｛4｝的通項公式，推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定其首項和公比,

結合等比數(shù)列求和公式可求得所求代數(shù)式的值.

【詳解】因為S"=2向+a,所以％=因=4+1,g=S2-S]=（2^+a）-Q2+a）=4,

43

a3=S3-S2=（2+fl）-（2+fl）=8,

又｛4｝是等比數(shù)列，所以蠟=%/，即42=8（4+a）,解得a=—2,所以S“=2用—2.

n+1

當淪2時,an=Sn-=（2-2）-（2"-2）=2\又％=2滿足4=2",

所以，。"+2。“+1=吐=二=4,故數(shù)列｛%+1?！埃枪葹?,首項為qa,=2x4=8的等比數(shù)列，

4+4a”2

斫以80-*223-8

叫以弓。2+42%++?io?ii=1-4=^—'

故選：A.

12.己知點尸為拋物線C：/=8x的焦點，過點產作兩條互相垂直的直線12,直線4與C交于A,B兩

g

點，直線乙與。交于，E兩點，則|43|+/。￡|的最小值為（）

A.64B.54C.50D.48

【答案】c

【解析】

Q

【分析】利用韋達定理表示出弦長|AB|=8+至和。曰=8+8左2,利用基本不等式可求最小值.

【詳解】拋物線C：產=8%的焦點-2,0),

因為所以直線4，6斜率存在，且均不為0.

設直線4的方程為丁=左(％-2),B(x2,y2),

y2=8x

由＜得上2^2—4（k2+2）龍+4左2=o,

y=k（x—2）

而I、I4（二+2）8優(yōu)2+1）&

所以玉+々=——2一所以=玉+x,+4=~~~-=8+—，

kkk

Q1

因為所以將|AB|=8+記中的左替換為—1可得|。曰=8+8左2,

所以|陰+3。同=8+5+^（8+8/）=26+j+18父226+21-1842=50,

當且僅當微=18左2,即左=±/時取等號.

n

故|/冏+京。用的最小值是50.

故選:C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知向量a=(-4,-3),Z?=(—2,”2—1),若(a+2b)_l_a,貝1」機=.

475

【答案】—##7-

66

【解析】

【分析】根據(jù)向量坐標運算及垂直關系的向量表示求解即可.

【詳解】解:因為a=(T,—3)力=(—2,機—1),

所以a+=(―4,—3)+(T,2加一2)=(-8,2m-5),

因為(a+2")±a,

所以(a+2Z?}a=32—6m+15=0,解得機=:

47

故答案為：—

6

3

14.己知角戊的終邊經過點(2a+l,a—2),且coscr=—《，貝”山(2023兀-2￡)=

24

【答案】—##0.96

25

【解析】

4

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義列出求解出。=-2,得到sina=-不，結合誘導公式和正弦二倍角公式即可

計算得到答案.

2a+13

cosa-?

【詳解】由題意知，r2a+1a2+l),

a+\5，

所以9(片+1)=5(2。+1)2,

化簡得114+2()a_4=0

,2

解得a=-2^a=—

又因為2a+K0,即〃V—,所以〃=-2,

2

所以角a的終邊經過點(—3,T),所以sina=—1

4324

所以sin(20237i-2a)=sin2a=2sin(7coscr=2xX

25

24

故答案為：--

25

15.若/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且〃%+1)是偶函數(shù)，當0<x<l時，/(x)=log3(x+l),則

163

【答案】lTog32

【解析】

【分析】由奇、偶函數(shù)和周期函數(shù)的定義，可得了(力的最小正周期，結合對數(shù)的運算性質可得答案.

【詳解】解：由/(九)是定義在R上的奇函數(shù)，/(％+1)為偶函數(shù),

可得〃T)=—〃力,/(-x+l)=/(x+l),即/(—x)=〃x+2),

所以/(x+2)=_/(X),可得，(尤+4)=—〃x+2)=/(x),

則了(%)的最小正周期為4,

當0<%<1時，/(x)=log3(x+l),

16.已知球。的表面積為12兀，四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球面上，則當該四棱錐的

體積最大時，該四棱錐的高為.

【答案】1

【解析】

【分析】先得到圓的內接四邊形中，正方形面積最大，從而得到當四棱錐的高右一定時，要使體積M最

大，則要底面四邊形面積S最大，此時四棱錐的底面為正方形，表達出

2

V=—-h3+2h,利用導函數(shù)得到其單調性，從而得到極值和最值情況，得到答案.

3

【詳解】首先說明圓的內接四邊形中，正方形面積最大，過程如下：如圖1,四邊形ABCD為圓內接四邊

形，面積為S,設圓的半徑為r,

由二角形面積公式得：S=sAMB+s^CMB+S+s^CMD

=-AMMBsinZAMB+-MCMBsinZCMB+-AMMDsinZAMD+-CMDMsinZCMD

2222

=^AM-MBsin0+^MC-MBsm(7i-0)+^AM-MDsin(7i-0)+^CM-DMsind

=-AM-+-MC-MBsmO+-AM-MDsrnO+-CM-DMsinO

2222

=1(AM+CM)(MB+MD)sin6?=1ACB￡)sin61,

因為ACK2r,BD<2r,0<sin3<1f

11,

所以5=54。8。$指。43（2廠）晨1=2產，

當且僅當為圓的直徑且AC人9時，等號成立，

此時四邊形ABCD為正方形，

即半徑為r的圓內接四邊形中，正方形面積最大，最大面積為2r2,

如圖2,設球的半徑為A,則4?；?=12兀，解得：Rf,

該四棱錐O-ABCD底面積為S,四棱錐的高為/?,則其體積為V=1S/z,

3

當人一定時，要使丫最大，則要S最大，此時四棱錐的底面A3CD為正方形,

因為。4=尺=百,OE=/z,由勾股定理得：AE=ylo^-OE2=^-h2-

所以S=g（2AE）2=2（3—/?）,y=|s/z=|（3-/I2）X/Z=-|/Z3+2/I,

所以V'=—2/?+2，當l</z<6時，V'=—2/?+8<0，

當0＜為＜1時，V'=—2/?+8＞0,

2_

即v=—§川+2丸在0<為<1單調遞增，在1Vzz<6上單調遞減,

V=-|川+2/2在。=1時取得極大值，也是最大值.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.記一ABC的內角A,3,C的對邊分別為a,4c,如￡=,2—1,sinB=-.

tanA3

（1）求一A?C的面積;

(2)sinAsinC=——，求從

3

【答案】(1)—

8

⑵I

【解析】

【分析】(1)利用切化弦，結合兩角和差正弦公式可化簡己知等式得到sinC=°2sinAcos3,利用正弦定

理角化邊可得accos3=l,利用同角三角函數(shù)關系求得COSA后，可得“C的值，代入三角形面積公式即可得

到結果；

h191

(2)利用正弦定理可求得—j=Z，代入sin3=—即可求得結果.

sin2B43

【小問1詳解】

⑦11'_sin5cosA_02一1，...sinBcosA=(c?—l)sinAcosB=c1sinAcosB—sinAcosB,

tanAsinAcosB'7

即sinBcosA+sinAcosB=c2sinAcosB，??sin(A+5)=sinC=c2sinAcosB,

由正弦定理得：c=ac2cosB，即改cosB=l,，

/——7^—2行?13372

2n

cosB=y/l—sinB=-----，則QC=----------=—尸二-----，

3cosB2V24

1

,c_.D_13721V2

..SARC=-acsinB——x-----x-=-----

ABC22438

【小問2詳解】

由（1）知：ac—之也^；

4

3枝

bacb2ac49

由正弦定理知：則一'

sin3sinAsinCsm'BsinAsmCJ24

-----=一,又,sinB=—,b——sinB=-.

sinB2322

18.盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊，或者設計師單獨設計出來的玩偶.由于盒子上沒有標注，購

買者只有打開后才會知道自己買到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經濟”.某款盲盒

內裝有正版海賊王手辦，且每個盲盒只裝一個.某銷售網點為調查該款盲盒的受歡迎程度，隨機抽取了400

人進行問卷調查，并全部收回.經統(tǒng)計，有30%的人購買了該款盲盒，在這些購買者當中，男生占工；而在

3

未購買者當中，男生、女生各占50%.

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為是否購買該款盲盒與性別有關?

女生男生總計

購買

未購買

總計

(2)從購買該款盲盒的人中按性別用分層抽樣的方法隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人發(fā)放優(yōu)惠

券，記X為抽到的3人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

,一，，“2n(ad—bc)2…,

參考公式：K=7-7--7-八，其中〃=a+6+c+d.

^a+b)(c+d)^a+c)[b+d)

參考數(shù)據(jù):

尸（1「泊)0.100.050.0250.0100.0050.001

k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)表格見解析，有99.5%的把握認為是否購買該款盲盒與性別有關

(2)分布列見解析，2

【解析】

【分析】(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，計算得至UK?。9.428,對比得到答案.

(2)X的所有可能取值為1,2,3,計算概率得到分布列，再計算數(shù)學期望得到答案.

【小問1詳解】

女生男生總計

購買8040120

未購買140140280

總計220180400

400x(80x140-40x140)22800

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得K2=X9.428，

220x180x120x280297

因為9.428>7.879,所以有99.5%的把握認為是否購買該款盲盒與性別有關.

【小問2詳解】

8040

抽取6人中，女生有：6x------=4（人），男生有:6x=2（人）.

80+4080+40

X的所有可能取值為1,2,3,

「2cl1R031

尸（X=l）=芝尸（X=2）=巖=:，P（X=3）=年=，

所以X的分布列為:

X123

131

P

555

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形A3CD是正方形，PD=AD=1,平面A3CD,點E是

棱PC的中點，點歹是棱PB上的一點，且EE工PB.

（2）求點尸到平面石DB的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵正

9

【解析】

【分析】（1）利用三角形中位線證明線線平行，即可由線面平行的判斷求證,

（2）根據(jù)垂直關系以及相似求解長度，即可利用等體積法求解.

【小問1詳解】

連接AC交于G,連接EG,如圖所示.

因為四邊形A3CD是正方形，所以G是AC的中點，又點E是棱PC的中點,

所以EG是△P4C的中位線，所以B4//EG,

又平面￡DB,￡Gu平面￡DB,所以B4//平面￡/組.

【小問2詳解】

因為平面A3CD,DC,5Cu平面A3CD,所以PDYBC,

又BCLCD,CDPD=D,CD,P￡>u平面PC。，所以BC上平面PCD,

又PC,DEu平面尸CD,所以PCL5C,DELBC.

5

在△PDC中，PD±DC,PD=CD=1,E是PC的中點，所以PE=EC=DE="，DE工PC,

2

又DELBC,BCcPC=C,BC,尸Cu平面P5C,

所以DE1平面P5C,所以OE是三棱錐D—3石尸的高.

在,PBC中，PCLBC,PC=垃,BC=1,所以尸8=6,

pcBPBC

所以RtBCPRtEFP,所以一=—=—

PFEPEF

得PF=*@=叵,EF=區(qū)旦

亞BF=^

BP3BP63

VD-BEF=]SBEF-DE=~x-xBFEFDE=—

3218

b_________

在ABDE中,BD=O，DE=J，BE=yJEC2+BC2=

2

所以BD?=DE?+BE?，所以。ELBE，

所以S=-DEBE=—

BDE24

設點尸到平面EDB的距離為人所以/.“丸=走丸=%8所=工，解得丸=冬8,

r-DL)tL3DL)tL]2D—DiLr]89

即點F到平面EDB的距離為空.

9

/

22

20.已知橢圓E：——+-^-―過A1,,BV3,兩點.

a2b2V

（1）求橢圓E的方程;

（2）已知。（4,0）,過P（LO）的直線/與E交于M，N兩點，求證：粽=需.

22

【答案】（1）—+^=1

42

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）將兩點坐標代入，求出橢圓方程;

（2）依據(jù)斜率是否為零，分類討論，斜率為零時易得結論，斜率不為零時證明。尸平分NMQN,可得結

論.

【小問1詳解】

由題知，橢圓E過A1,,B

13,

二+壽=1

所以《。:，解得片=4，b2=2,

--1--=I

[a22b2

22

所以橢圓E的方程為土+匕=1.

42

【小問2詳解】

證明：當直線/的斜率為0時，直線/的方程為y=0,所以M（2,0）,N（—2,0）或M（—2,0）,N（2,0）.

所以可聞

當直線/的斜率不為。時，設直線/的方程為1=%+1,以（玉,另），N（%2，%），

2i=i

由＜42一，得(m2+2)J+2my—3=0,

x=my+\

si2m3

所以i=一卡'2-m‘

A=（2根）2+12（巾2+2）=16m2+24>0,

所以《照=臺，所以3。+“2=己+亡=而*+意方

%（沖2-3）+%（沖1—3）2陽1%-3（%+%）

（沖「3）（陽2-3）療％%-3m（％+%）+9

2m

=0,

咋一尸叱離產

\MP\sinNM0P|NP|_sinZNQP

所以QP平分NMQN,因為

\MQ\sinZMPQ|NQ|-sinZNPQ

幽_凹\MP\_\MQ\

m

\MQ\\NQ\,函一師,

21.已知函數(shù)〃x)=Inx+(y(aeR).

⑴討論〃x)的單調性；

3/7-1

(2)當a>l時，證明：/(%)>------.

''2a+2

【答案】⑴"％)在僅,&)上單調遞減，在(6,+可上單調遞增

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導，利用導數(shù)的正負，結合對。的討論即可求解，

(2)求解/(x).=/(G)=glna+g,將問題轉化為證明lna+/^—2>0,

構造函數(shù)

4

g(x)=lnx+------2,利用導數(shù)求解最值即可求解.

x+1

【小問1詳解】

“X）的定義域為（0,+⑹，/,（x）=--4=^-r￡

XXX

當aWO時，制勾>0對任意的x?0,y)恒成立，所以“力在(0,+。)上單調遞增;

當a>0時，令/'(x)<0,解得0<x<&；令#^)>。，解得x>后,

所以了(%)在(0,6)上單調遞減，在(G,+8)上單調遞增.

【小問2詳解】

由(1)可知，當時，/(x)mm=/(^)=ln^+-^7=1lna+1

3/7-1113/7-14

要證〃%)>------,只需證一lna+—>-----,即證ln〃+-----2>0.

2。+2222cl+2a+1

令g(x)=lnx+/——2,x>\,所以~——r=>0,

''x+1x(x+1)-%(%+1)-

AQ1

所以g(x)在(1,+8)上單調遞增，所以g(x)>g⑴=0,所以lna+---2>0,所以/'(x)>=二不.

【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：

一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；

二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

22.在平面直角坐標系xOy中，以。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線C1的極坐標方程為

。后("R).

(1)求直線G的一個參數(shù)方程；

(2)在極坐標系中，方程夕=3—3sin，表示曲線。2,若直線G與曲線G相交于加，。，N三點，求

線段的長.

1

X——t

2

【答案】(1