小學(xué)數(shù)學(xué) 燕尾定理 專項(xiàng)訓(xùn)練

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形48C中，AD,BE,C尸相交于同一點(diǎn)。，那么SMBO：SMCO=BD:DC.

上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)锳48。和A4co的形狀很象燕子的尾巴，所以這

個(gè)定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何

一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.

通過(guò)一道例題證明一下燕尾定理：

如右圖，D是BC上任意一點(diǎn),請(qǐng)你說(shuō)明：S,:S4=S2:S3=S￡):DC

【解析】三角形與三角形同高，分別以8。、OC為底，

所以有￡:$4=8。：。。；三角形與三角形同高，S,:S2=ED:EA：三角形/CE與三角形

CED同高，54:S}=ED:EA,所以鳥：S&=S?耳；綜上可得百：邑=邑@=8O:OC.

【例1】如右圖，三角形48。中，BD:DC=4:9,CE:EA=4:3,求AF:FB.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

［解析】根據(jù)燕尾定理得S4A0B:S&A0C=Bi):CZ)=4:9=12:27

S&AOB:SABOC=4E:CE=3:4=12:16

(都有△/OB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù))

所以S&AOC-^ASOC=27:16=AF:FB

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把△408的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果

能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！

【答案】27:16

【鞏固】如右圖，三角形/8C中，BD:DC=3:4,AE:CE=5:6,求/尸：用.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)燕尾定理得%:S△松=80:00=3:4=15:20

S&AOB;S&B0c=AE:C￡=5:6=15:18

（都有△/O8的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以：5ABOr=20:18=10:9=4尸：/8

【答案】10:9

【鞏固】如圖，BD:DC=2:3,4E:CE=5:3,則4F:BF=

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【解析】根據(jù)燕尾定理有:S^ACC=2:3=10:15,%械；:S&BCG=5:3=10:6,所以

S&ACG：%CG=15：6=5:2=/尸:8尸

【答案】5:2

【鞏固】如右圖，三角形/8C中，BD:DC=2:3,EA:CE=5:4,求，F(xiàn):FB.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)燕尾定理得：S。"=80:8=2:3=10:15

S^AOB-S^BOC=AE：C￡=5:4=10:8

（都有△NOB的面積要統(tǒng)一,所以找最小公倍數(shù)）

所以%IOC:SABOC=15:8=/尸：尸8

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把△ZOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見(jiàn)不鮮，如果

能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！

【答案】15:8

【例2】如圖，三角形/BC被分成6個(gè)三角形，已知其中4個(gè)三角形的面積，問(wèn)三角形/8C的面積是多少?

2

A

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)由題意知8。：。。=4:3根據(jù)燕尾定理，得

33

=x

S^ABOSAACO=SMBDO-S^co。=4：3，所以S^AC0-(84+x)=63+—x,

3

再根據(jù):Sgeo=SZOE:SMOE,列方程(84+x):(40+30)=(63+-35):35解得x=56

Sa：35=(56+84):(40+30),所以S^AOE=70

所以三角形｛8C的面積是84+40+30+35+56+70=315

【答案】315

【例31如圖，三角形力8c的面積是1,E是/C的中點(diǎn)，點(diǎn)。在8C上，且8O:OC=1:2,4D與BE交

于點(diǎn)F.則四邊形。比C的面積等于.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí),初賽

【解析】方法一：連接CF,

根據(jù)燕尾定理，口及BD1S4ABF=AE=]

S△ACFDC2SMBFEC

［殳S&BDF=1份，貝?S&DCF=2份，ABF=3份,S&AEF=SNEFC=3%,如圖所標(biāo)

=

所以SDCEF=正

方法二：連接DE,由題目條件可得到S△謝

Q_1Q_1_1做RBF_S「

△*DL5s&ADC_5x-S^ABC--,FE~S2

ADE1

111

。。_c_111c

S^DEF=2XS^DEB=2X寸SgEC=2X]X-xS^ABC=

12'

所以則四邊形。尸EC的面積等于上.

而S&CDE=§*5*S4ABe

312

【答案】-

12

【鞏固】如圖，已知8。=。。，EC=2AE9三角形48。的面積是30,求陰影部分面積.

3

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步

判斷這道題不應(yīng)該通過(guò)面積公式求面積.又因?yàn)殛幱安糠质且粋€(gè)不規(guī)則四邊形，所以我們需要對(duì)它

進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線，

（法一）連接C尸，因?yàn)锽D=DC,EC=2AE,三角形/BC的面積是30,

所以S△彳4ABC=10,S&ABD=]S&ABC=匕.

根據(jù)燕尾定理，近紇=W互=_1,殳皿=￡2=1,

S4CBFEC2SMCFCD

所以S&ABF=叢ABC=7,5，=15—7.5=7.5,

所以陰影部分面積是30—10—7.5=12.5.

(法二)連接。E,由題目條件可得到SDABE=；S/=1°，

==X

-=10,所以=S板二1

4BD匕cdbtA-crZ■17LLVCI7

223FDS^BDE1

XX

S^DEF~3義SADEA=3義SMDC~]X~~^4BC=2.5,

21

而Sg：=-x—xS八-二10.所以陰影部分的面積為12.5.

【答案】12.5

【鞏固】如圖，三角形Z8C的面積是200cm2,E在4C上，點(diǎn)。在8c上，且4E:EC=3:5,8。：OC=2:3,

AD與BE交于點(diǎn)F.則四邊形OFEC的面積等于.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【解析】連接CF,

根據(jù)燕尾定理，區(qū)處=些=2=9,2維=任=3=9

S..CFDC39S.caFEC510

5453

設(shè)S△加=6份，則=9份，&及丁=10份，S&EFc=9xqF=q冊(cè),S.zv=10x丁'=6份，

3+33Z+J

4545

所以SF￡=200+(6+9+10)x(—+6)=8x(—+6)=93(cm2)

0c88

【答案】93

【鞏固】如圖，已知8O=3OC,EC=1AE,BE與C。相交于點(diǎn)。，則。被分成的4部分面積各占△RBC

面積的幾分之幾？

4

AA

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】連接C。,設(shè)以功=1份，則其他部分的面積如圖所示，所以5八.「=1+2+9+18=30份，所以四部

分按從小到大各占面積的讓竺132__3_13.5_9

303060?30-i0，^0~~20

9

【答案】—

20

【鞏固】如圖所示，在△/8C中，CP=；CB,CQ=^CA,8。與/P相交于點(diǎn)X,若△Z8C的面積為6,

則A4BX的面積等于.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】杳港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

【解析】方法一：連接P0.

由于CP=3cB,CQ=—CA,所以S&AB2=§S“BC'S.BPQ=^^BCQ=^^ABC?

21

7

由蝴蝶定理知，AX\XP=SA.4D(7ADR/P(7)=_3SATAI,OC:-$SAABC=4:1,

所以S.ABX=3邑，"=；S“BC=|S“BC=36=2.4.

方法二：連接CX設(shè)打“x=1份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積，

所以S=BX=6+(1+1+4+4)X4=2.4

【答案】2.4

【鞏固】?jī)蓷l線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示，三個(gè)三角形的面積分別是3,7,7,

則陰影四邊形的面積是多少？

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計(jì)算.

再看這道題，出現(xiàn)兩個(gè)面積相等且共底的三角形.

設(shè)三角形為/8C,BE8CD交于F,則BF=FE,再連結(jié)。E.

5

所以三角形。E尸的面積為3.設(shè)三南形4DE的面積為x,

則巾(3+3)=/。：。8=卜+10):10,所以x=15,四邊形的面積為18.

方法二：設(shè)S△的?=X,根據(jù)燕尾定理打攻：SABFC=$△.￡：S&EFC，得到S/MEF=X+3,再根據(jù)向右下

飛的燕子，有(x+3+7):7=x:3,解得x=7.5四邊形的面積為7.5+7.5+3=18

【答案】18

【鞏固】如圖，三角形/8C的面積是1,BD=2DC,CE=2AE,與8E相交于點(diǎn)尸，請(qǐng)寫出這4部分

的面積各是多少？

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】連接C尸，設(shè)$△，￡>=1份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以

G_>C_6_2_8_2+4_2

Q4AEF~五，"ABF一天一,，°&BDF~天，?FDCE~一,

2

【答案】-

7

【鞏固】如圖，E在/C上，。在3c上，且NE:EC=2:3,8O:Z)C=1:2,4D與BE交于點(diǎn)F.四邊形OFEC

的面積等于22cm。則三角形/8C的面積________.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【解析】連接CF,根據(jù)燕尾定理，=—=-,

SycFDC2S&CBFEC3

、2

設(shè)S^BDF=1份,則S&DCF=2份,S〉A(chǔ)BF=2份,S^AFC=4份,S4/所=4X5方=1.6

3

份，S&EFC=4x—―-=2.4份，如圖所標(biāo)，所以SEFDC=2+2.4=4.4份，SAABC=2+3+4=9份

2

所以SAABC=22+4.4X9=45(cm)

【答案】45

【鞏固】三角形43。中，。是直角，已知4C=2,CQ=2,CB=3,AM=BM,那么三角形(陰影

部分)的面積為多少？

6

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】連接BN.

△/8C的面積為3x2+2=3

根據(jù)燕尾定理，/XACN:/\ABN=CD:BD=2-.\;

同理4CBN:△ON=BM-.AM=\.\

設(shè)A4MN面積為1份,則的面積也是1份，所以△/N8的面積是1+1=2份，而△/CN的

面積就是2x2=4份，ZkCBN也是4份，這樣△NBC的面積為4+4+1+1=10份，所以AAMN的

面積為3+10x1=0.3.

【答案】0.3

【例4】如圖所示，在△Z8C中，BE:EC=3:\,。是/E的中點(diǎn)，那么/尸：/C=.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【解析】連接CO.

由于S&ABD'=1：1，S^BED-S4sc。=3：4,所以S&ABD:=3：4

根據(jù)燕尾定理，AF:FC=SMBD：SM8=3：4.

【答案】3:4

【鞏固】在A/48c中，BD:DC=3:2,ZE:EC=3:1,求08:OE=?

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】連接OC.

3

因?yàn)?。：。。=3:2,根據(jù)燕尾定理，S^OB-.S^OC=BD-.BC=3-.2,即^

4.334

又/E:EC=3:1,所以%0c=.則S1VlO.=10c=5'=25Azi,

所以08:OE=S^OB:SMOE=2:1.

【答案】2:1

【鞏固】在A/i8c中，BD-.DC=2.AE:EC=\:3,^OB:OE=2

7

A

E

BDC

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】題目求的是邊的比值，一般來(lái)說(shuō)可以通過(guò)分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過(guò)三角形的面積

比來(lái)做橋梁，但題目沒(méi)告訴我們邊的長(zhǎng)度，所以應(yīng)該通過(guò)面積比而得到邊長(zhǎng)的比.本題的圖形一看

就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個(gè)燕尾似乎少了一個(gè)，因此應(yīng)該補(bǔ)全，所以第一步要連接。C.

連接0c.

因?yàn)?Z):OC=2:1,根據(jù)燕尾定理，SMOB：SMOC=BD:BC=2:1，即5Am=2%^；

又AE:EC=1:3,所以0c=-則SMOB=2SM0C=2X45^0￡=^SM0E,

所以08:0￡=50。8：5.?！?8:1.

【答案】8:1

［例5］如圖9,三角形BAC的面積是1,E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且BD:DC=1:2,AD與BE交

于點(diǎn)F,則四邊形DEFC的面積等于。

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第二十題，6分

【解析】題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上式比例的關(guān)系，由此我們初步可以

判斷這道題不應(yīng)該通過(guò)面積公式求面積。又因?yàn)殛幱安糠质且粋€(gè)不規(guī)則四邊形，所以我們需要對(duì)它

進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線，

方法一:連接CF,因?yàn)锳E=EC,DC=2BD,三角形ASC的面積是1,

所以S.ABD='“BC=g，S“B￡=g。

根據(jù)燕尾定理，=—=-,^^=—=1,

S“CFDC2S.CBFEC

8

所以S0臚=；S"BC=1，S.AFEm'

所以陰影部分的面積分面積是i-」-L=2。

3412

方法二：連接DE,由題目條件可得到妝=g,

S“DE=5sMpc=不xRXS.XXX=-X-X-XS,A8c=—,

7115

而Sc”=*xLxSABC」C所以陰影部分的面積為3。

tA-Ut.32anoC3]2

【答案】—

12

【例6】如圖1,\ABC中，點(diǎn)E在4B上,點(diǎn)尸在ZC上，8斤與CE相交于點(diǎn)尸，如果

S四邊必=S/iBEP=SACFP=4，貝!ISABPC=---------

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【解析】連接EF,4P.

根據(jù)題意，不難得出EF//8C,那么CF:FA=BE:EA;

而CF:FA=S&BPC:Sapp*；BE:EA=SABPC:SMPC;

所以，所以，4尸平分四邊形/EPP，那么8￡:E/=2:L

Sgpc-=BE:EA=2:1,5.0=12

【答案】12

【例7】如圖4,三角形田地中有兩條小路/E和C產(chǎn)，交叉處為O,張大伯常走這兩條小路，他知道。尸=

DC,S.AD=2DE.則兩塊田地NC尸和CF5的面積比是.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，復(fù)賽，第十一題，5分

【解析】方法一、4CF和CF8為同高三角形，所以面積比等于底邊比4尸:尸8。

過(guò)尸作8C的平行線，交AE于G,則因?yàn)?。?QC,所以三南形CED和FGO全等，GD=DE。又因

為AD=2DE,所以。和G是/E的三等分點(diǎn)，所以4F:FB=4G:GE=k2。

方法一、連接8。,設(shè)5\c￡o=l（份），則履“0>=$△<??='=2。

設(shè)3=x,s-=y，則有匕;L，解得｛；=：，

9

所以S〉A(chǔ)CF:S^CFB=(2+2):(4+3+1)=1:2。

【答案】1:2

【例8］如圖，長(zhǎng)方形488的面積是2平方厘米，EC=IDE,廠是。G的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少

平方厘米？

N

B@C

【考點(diǎn)】燕尾定理【；隹度】4星【題型】解答

—S^=2平方厘米.

【解析】設(shè)5讖環(huán)=1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示S陰影=BCD

12區(qū)B8］2

【答案】-

12

【例9］如圖所示，在四邊形中，AB=3BE,AD=3AF,四邊形/￡。尸的面積是12,那么平行四

邊形BODC的面積為________.

BB

cC

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】4星【題型】填空

【解析】連接NO,8,根據(jù)燕尾定理S△的：S△的=AF:FD=\:2,S△AOD-S2。口=HE:BE=2:1,設(shè)SABEO=1,

則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以=2邑￡8=2x12二24.

【答案】24

【例10］/8CD是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形，E、尸分別是/8、8C邊的中點(diǎn)，AF與CE交于G,則四邊

形AGCD的面積是_________平方厘米.

DCD______________C

AEBAEB

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】4星【題型】填空

【解析】連接4C、G8,設(shè)份，根據(jù)燕尾定理得葭g=1份，另,3“=1份，則S正方形=0+14-0x2=6

2

份，S.ncc=3+1=4^,所以=12?+6x4=96(cm)

【答案】96

【例11］如圖，正方形Z8C。的面積是120平方厘米，E是的中點(diǎn),尸是3c的中點(diǎn)，四邊形BGHF的

面積是_____平方厘米.

10

DD

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】4星【題型】填空

【解析】連接,根據(jù)沙漏模型得8G:GO=1:2,設(shè)與B“c=1份，根據(jù)燕尾定理工的=2份，2份,

1?77

因此S正方形=(l+2+2)x2=10份，SBFHG所以S/HG=120+10x—=14(平方厘米).

'236'6

【答案】14

【例12］如圖，四邊形是矩形，E、尸分別是48、8c上的點(diǎn)，且CF=-BC,4F與

34

CE相交于G,若矩形N8CA的面積為120,則A4EG與ACGF的面積之和為.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測(cè)試題

【解析】（法1）如圖，過(guò)/做CE的平行線交于"，則EH:HB=CF:FB=1:3,

所以4E=LEB=2EH,AG:GF=AE-.EH=2,FpAG=2GF,

2

12231

所以SmEG=§*§XSMBF=-X-X-5皿D=10.

22311

SLEG=-3HF=-3x-4EC=-2EC，,故CG=GE7,則S△、[r1■“//*=Ix2-xS^y=5.

所以兩三角形面積之和為10+5=15.

（法2）如上右圖，連接ZC、BG.

根據(jù)燕尾定理，:SMCG=BF:CF=3:1,SABCG:SMCG=BE:AE=2:1,

而SMBCH^SDABCD=60,

3121

5X

所以S.SG上3,7，^C=T60=30,S=--S^c=，、6°=2°，

JIaIJL乙ABCGJI/IxJ

=

則S'AEG=3sA=10,S^CFG=^^ASCG5'

所以兩個(gè)三角形的面積之和為15.

【答案】15

【例13】正六邊形4，4，4，4，4，4的面積是2009平方厘米，q,B2,鳥，4,冬，紇分別是正

六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是

______平方厘米.

11

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級(jí)，初賽

【解析】（方法一）因?yàn)榭瞻椎拿娣e等于△AHG面積的6倍，所以關(guān)鍵求△44G的面積，根據(jù)燕尾定理可

33I1

得Sym=^sw=-x-x-s^,但在△444用燕尾定理時(shí)，需要知道4。,的長(zhǎng)度比，

連接44,44，4G，過(guò)紇作44的平行線，交44于E，根據(jù)沙漏模型得4。=DE，再根據(jù)金字塔

模型得A、E=A3E，因此4。：4。=1：3，在△444中，設(shè)=1份，則必=3份,S^Afi=3

33111

份，所以S△.c==yx-x5s正六邊彩=正六邊形,

14

因此S陰影=（1-^x6）S正六邊形=,x2009=1148（平方厘米）

（方法二）既然給的圖形是特殊的正六邊形，且陰影也是正六邊形我們可以用下圖的割補(bǔ)思路，把正

Q

六邊形分割成14個(gè)大小形狀相同的梯形，其中陰影有8個(gè)梯形，所以陰影面積為2x2009=1148（平

14

方厘米）

【答案】1148

【例14］已知四邊形"BCD,CHFG為正方形，S甲：S乙=1:8,“與人是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，求a:b=?

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】觀察圖形，感覺(jué)陰影部分像蝴蝶定理，但是細(xì)細(xì)分析發(fā)現(xiàn)用蝴蝶定理無(wú)法繼續(xù)往下走，注意到題目

條件中給出了兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，有邊長(zhǎng)就可以利用比例，再發(fā)現(xiàn)在連接輔助線后可以利用燕尾，

那么我們就用燕尾定理來(lái)求解

12

連接E。、AF,

根據(jù)域尾定理：S&AOE：SAAOF=a：b>SAAOF：S&EOF=。：力

所以s^A0E-s^0F=a2-h2'OM±AE.ONVEF,

"：AE=EF

：.OM:ON=a2:b2

S甲:S乙=/：/=1：8

a:b=1:2

【答案】1:2

【例15】右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積

是.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【解析】方法一：整個(gè)題目讀完，我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何與邊長(zhǎng)相關(guān)的條件，也沒(méi)有任何與高或者垂直有關(guān)系的

字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個(gè)

比例關(guān)系：

2：.影=。+3）：4,解得％彭=2.

方法二：回顧下燕尾定理，有2:（S陰影+4）=1:3,解得$騰=2.

【答案】2

【例16］如右圖，三角形N8C中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形/8C的面積是1,則三角

形/8E的面積為,三角形/GE的面積為,三角形GH/的面積為.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，六年級(jí)

【分析】連接、BI、CG.

222

由于CE:/E=3:2,所以NE=-5/C,故乂IS,/i柄DC=5tJ=uiDv.-一5；

根據(jù)燕尾定理，SMCG：SMBG=CD:BD=2:3，S^BCG:SMBG=CE:EA=3:2所以

49

SWG'SMBG：SA5CG=4：6：9,則S^CG=歷,S&BCG=歷；

ic2c=2x4=8

丹口4SMGE=1sA4Gc~~~；

9

同樣分析可得幾心=n，則EG:E〃=S,G：S“W=4：9,EG:EB=S^CG:SMCB=4:\9,所以

EG:GH:HB=4:5:10,同樣分析可得ZG:G/:/Q=10:5:4,

的5c521。5。511

所以^/￡=-5^=-X?=-,SA0W=-SzW￡=-x-=-.

【答案】—

19

13

【鞏固】如右圖，三角形/8C中，/尸：F8=8O:DC=CE:/E=3:2,且三角形GH/的面積是1,求三角形

/8C的面積.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】連接8G,SXGC=6份

根據(jù)燕尾定理，S,rr:SARrr=AF:FB=3:2=6:4,,sr:5A.rr=BD:DC=3:2=9:6

得s△浜=4（份），S△詼=9（份），則%..=19（份），因此^^=白，

同理連接力/、得鼠也=9,二。=9,

s△詼19S：19

所亡以乙S4Z\GCHHiI=-1-9-—--6-—--6-—--6=_1

s△布1919

三角形G///的面積是1,所以三角形/8C的面積是19

【答案】19

【鞏固】如圖，\ABC中8。=2DA,CE=2EB,AF=2FC,那么A48C的面積是陰影三角形面積的

倍.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)

【分析】如圖，連接4.

根據(jù)燕尾定理，S^c/:SMC/=BD:AD=2:\S^ci:SMBI=CF:AF=\:2,

所以,SMCI:S^gCI:SMBI=1:2:4,

22

月卜么，MB

RS“ABDCVI/=-]--2---4-S^AHBDCC=-7SZViiJCC”

2

同理可知A4CG和MBH的面積也都等于A48C面積的一，所以陰影三角形的面積等于A48C面積

7

21

的l—±x3=—,所以A48C的面積是陰影三角形面積的7倍.

77

【答案】7

nr型=理=二求△G”/的面積的佶

【鞏固】如圖在中，——~EC"~FA~2^△力8C的面積怛

DB

14

AA

EE

BDCBDC

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】連接BG,設(shè)S^BGC=1份，根據(jù)燕尾定理S色AGC:S&BGC=AF:FB=2A,S.:S^AGC=BD:DC=2:1,

得S”;c=2（份），S=4（份），則以由=7（份），因此也，同理連接4、CH得

3AABC7

S/X.48〃_2S_2

S^ABC7S^ABC7

所以生也=2z2±2=L

S4ABe77

【點(diǎn)評(píng)】如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，

但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們

有對(duì)稱法作輔助線.

【答案】-

7

名二2=理=1△G"/的面積的

【鞏固】如圖在△48C中,

DBECFA3個(gè)△48C的面積

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

［解析］連接8G,設(shè)5,優(yōu)=1份，根據(jù)燕尾定理S^AGC:SABCC=AF:FB=3:\,S^ABC:SAAGC=BD:DC=3:\,

得也cc=3（份），S△用；=9（份），則S“c=13（份），因此白”=白，同理連接4、CH得

,△ABCI，

S^ABH=］3S^BIC_

S&ABCS&ABC13

所以S?=13-3-3-3=$

S&ABC1313

4

【答案】—

13

【鞏固】如右圖，三角形形C中，4尸：尸8=8。：。。=?！?孤=4:3,且三角形/3。的面積是74,求角形6〃/

的面積.

15

AA

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】連接BG,S/=12份

根據(jù)燕尾定理，S4-.J/.icWc-.SO.0RVCVC=AF:FB=/ID4U:3=Q/I1UL2:9,S211c:S..rr=8。：DC=4:3=16:12

得%cc=9（份），5=兇=16（份），則%9+12+16=37（份），因此考工=［，

,△ABC3/

同理連接4、CH得江皿上，屋次=在,

S4ABe37S4ABe37

所d7以S&△G.H，I/=-3--7---1--2----1--2----1--2-=一1

SAABC3737

三角形/8C的面積是74,所以三角形GH/的面積是74x±=2

【答案】2

【例17】三角形N8C的面積為15平方厘米，。為N8中點(diǎn)，E為/C中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn),求陰影部分的面

積.

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

［解析］令BE與CD的交點(diǎn)為M,CD與EF的交點(diǎn)為N,連接AM,BN.

在△48C中，根據(jù)燕尾定理，5二3：SABCM=4E:CE=1:1,S^ACM:S^BCM=AD:BD=1:1,

==

所以S^ABM=SAACMS&BCNgSMBC

由于S捻EM=；S^MC=S,所以:"E=2:1

在△E3C中，根據(jù)燕尾定理，sABEN.?SACEN=BF:CF=\:\SMEN：sMBN=ME:MB=\:2

設(shè)%c￡N=l（份），則=1（份），S2BCN=?（"》）'S43C￡=4（份），

=

所以S&BCN=7s>BCE=二SAABC，^BNE~~7^^BCE,因?yàn)閯?lì)/:ME=2：1/為BC中點(diǎn),

244o

X

所以S&BMN=5s△BN￡=~~^^ABC=^ABC>S&BFN~^,BNC=^BC，

所以%=6+{K曲=3△3域x15=3.125（平方厘米）

【答案】3.125

【例18］如右圖，△48C中，G是ZC的中點(diǎn)，D、E、廠是8c邊上的四等分點(diǎn)，4D與BG交于M,AF

與8G交于N,已知△/B歷的面積比四邊形尸CGN的面積大7.2平方厘米，則△Z8C的面積是多

16

少平方厘米？

【考點(diǎn)】燕尾定理【難度】3星【題型】解答

【解析】連接CM、CN.

根據(jù)燕尾定理,S&ABM-SMBM=NG：GC=1:1,SAABM-^ACM=BD：CD=1:3,所以S^ABM=《S△月BC;

再根據(jù)燕尾定理,S^ABN:S^CBN=AG:GC=1:1,所以SAABN：SAFBN=SMBN：SMBN=4：3，所以

AN:NF=4:3,那么|=；x￡],所以$s=(l聞%FC=*SMC=￡SA.

根據(jù)題意，有△尼-焉SMBC=7.2,可得5Ale=336(平方厘米)

J2o

【答案】336

【鞏固】