2024年北京大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（六）（4月份）

2024年北京大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（六）（4月份）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知全集，集合，則（）A． B． C． D．2．（5分）已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，，則的值（）A．恒為正 B．恒為負(fù) C．恒為0 D．無法確定3．（5分）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得的圖象上的所有點(diǎn)向右平移2個單位長度，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．4．（5分）已知x，y滿足不等式，則的最小值是（）A．1 B．﹣3 C．﹣1 D．5．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱為（）A．4 B． C． D．26．（5分）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“對，恒成立”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14，10，8．若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是（）A．5 B．6 C．7 D．88．（5分）某電力公司在工程招標(biāo)中是根據(jù)技術(shù)、商務(wù)、報價三項(xiàng)評分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評分的，按照綜合得分的高低進(jìn)行綜合排序，綜合排序高者中標(biāo)．分值權(quán)重表如下：總分技術(shù)商務(wù)報價100%50%10%40%技術(shù)標(biāo)、商務(wù)標(biāo)基本都是由公司的技術(shù)、資質(zhì)、資信等實(shí)力來決定的．報價表則相對靈活，報價標(biāo)的評分方法是：基準(zhǔn)價的基準(zhǔn)分是68分，若報價每高于基準(zhǔn)價1%，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上扣0.8分，最低得分48分；若報價每低于基準(zhǔn)價1%，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上加0.8分，最高得分為80分．若報價低于基準(zhǔn)價15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基礎(chǔ)上扣0.8分．在某次招標(biāo)中，若基準(zhǔn)價為1000（萬元）．甲、乙兩公司綜合得分如下表：公司技術(shù)商務(wù)報價甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司報價為1100（萬元），乙公司的報價為800（萬元）則甲，乙公司的綜合得分，分別是（）A．73，75.4 B．73，80 C．74.6，76 D．74.6，75.4二、填空題（共6小題，每小題5分）9．（5分）若平面向量，且，則實(shí)數(shù)m的值為．10．（5分）將標(biāo)號為1，2，…，20的20張卡片放入下列表格中，一個格放入一張卡片．把每列標(biāo)號最小的卡片選出，將這些卡片中標(biāo)號最大的數(shù)設(shè)為a；把每行標(biāo)號最大的卡片選出，將這些卡片中標(biāo)號最小的數(shù)設(shè)為b．甲同學(xué)認(rèn)為a有可能比b大，乙同學(xué)認(rèn)為a和b有可能相等．那么甲乙兩位同學(xué)中說法正確的同學(xué)是．11．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入m＝5，則輸出k的值為．12．（5分）已知集合，且下列三個關(guān)系：有且只有一個正確，則函數(shù)的值域是．13．（5分）如圖，在矩形ABCD中，，E為AB的中點(diǎn)．將沿DE翻折，得到四棱錐．設(shè)的中點(diǎn)為M，在翻折過程中，有下列三個命題：①總有平面；②線段BM的長為定值；③存在某個位置，使DE與所成的角為90°．其中正確的命題是．（寫出所有正確命題的序號）14．（5分）在某藝術(shù)團(tuán)組織的“微視頻展示”活動中，該團(tuán)體將從微視頻的“點(diǎn)贊量”和“專家評分”兩個角度來進(jìn)行評優(yōu)．若A視頻的“點(diǎn)贊量”和“專家評分”中至少有一項(xiàng)高于B視頻，則稱A視頻不亞于B視頻．已知共有5部微視頻展，如果某微視頻不亞于其他4部視頻，就稱此視頻為優(yōu)秀視頻．那么在這5部微視頻中，最多可能有個優(yōu)秀視頻．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；（Ⅱ）已知是等差數(shù)列，為前n項(xiàng)和，且，求．16．（13分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面積．17．（13分）在平行四邊形ABCD中，，過A點(diǎn)作CD的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)E，．連結(jié)EB，交AD于點(diǎn)F，如圖1，將沿AD折起，使得點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P的位置，如圖2．（1）證明：平面平面BCP；（2）若G為PB的中點(diǎn)，H為CD的中點(diǎn)，且平面平面ABCD，求三棱錐的體積．18．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：當(dāng)時，函數(shù)既有極大值又有極小值．19．（14分）據(jù)《人民網(wǎng)》報道，“美國國家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠．”據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國新增綠化面積的420/0來自于植樹造林，下表是中國十個地區(qū)在2017年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù)．（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和）單位：公頃按造林方式分地區(qū)造林總面積人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南149002976471342922111715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；（Ⅱ）在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，求該地區(qū)人工造林面積與造林總面積的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）從上表新封山育林面積超過十萬公頃的地區(qū)中，任選兩個地區(qū)，求至少有一個地區(qū)退化林修復(fù)面積超過五萬公頃的概率．20．（14分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)與短軸一個頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，過點(diǎn)且與x軸不重合的直線l與橢圓交于M，N不同的兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓P的方程；（Ⅱ）當(dāng)AM與MN垂直時，求AM的長；（Ⅲ）若過點(diǎn)P且平行于AM的直線交直線于點(diǎn)Q，求證：直線NQ恒過定點(diǎn)．

2019年北京大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（六）（4月份）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【分析】進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可．【解答】解：．故選：D．【點(diǎn)評】考查描述法、區(qū)間表示集合的概念，以及補(bǔ)集的運(yùn)算．2．【分析】由題意利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，求得f（a）+f（b）+f（c）＜0，可得結(jié)論．【解答】解：定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上也單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減．根據(jù)，可得，∴，，∴，∴，故選：B．3．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系分別進(jìn)行求解即可．【解答】解：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到，再把所得的圖象上的所有點(diǎn)向右平移2個單位長度，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，結(jié)合平移，坐標(biāo)變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論【解答】解：由，得，作出x，y滿足不等式對應(yīng)的可行域：平移直線，由平移可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時，直線的截距最小，此時z取得最小值，由，解得代入，得，即的最小值為．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．5．【分析】幾何體為四棱錐，作出直觀圖，計(jì)算棱長即可得出答案．【解答】解：由三視圖可知幾何體為四棱錐，由側(cè)視圖可知棱錐底面ABCD是邊長為2的正方形，頂點(diǎn)S在底面ABCD上的射影M為CD的中點(diǎn)，由主視圖可知，∴．由對稱性可知．∴幾何體最長的棱為．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征與三視圖，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】對，恒成立，即，化簡即可判斷出結(jié)論．【解答】解：對，恒成立，∴，化為：，∴．∴數(shù)列為遞增數(shù)列，反之也成立．∴“對，恒成立”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7．【分析】設(shè)周一，周二，周三開車上班的職工組成的集合分別為A，B，C，集合A，B，C中元素個數(shù)分別為，，，根據(jù)，且，可得．【解答】解：設(shè)周一，周二，周三開車上班的職工組成的集合分別為A，B，C，集合A，B，C中元素個數(shù)分別為，則，因?yàn)?，且，，，所以，即．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系以及運(yùn)算，屬中檔題．8．【分析】根據(jù)定義計(jì)算甲，乙兩公司的報價得分，再計(jì)算綜合得分．【解答】解：甲公司的報價分?jǐn)?shù)，乙公司的報價分?jǐn)?shù)，∴甲公司的綜合得分為分，乙公司的綜合得分為分．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題．二、填空題（共6小題，每小題5分）9．【分析】可求出，根據(jù)便可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出m的值．【解答】解：；∵；∴；∴．故答案為：﹣6．【點(diǎn)評】考查向量坐標(biāo)的加法和數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量垂直的充要條件．10．【分析】利用信息可以先自己隨便填寫出來一種情況，然后對圖分析結(jié)果即可．【解答】解：2012101119349121856131617781415比如此時每一列的最小值分別為17，1，2，9，11，此時最小值中最大的是a＝17，每一行中最大的分別是20，19，18，17，此時四個最大值中最小的是b＝17從而得出每列最小數(shù)中的最大數(shù)，最大是17，比如一列排20，19，18，17，即，且此時故答案為乙【點(diǎn)評】利用信息，分析思考解決問題，屬于邏輯思維的有難度的題目．11．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次時，，滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出k的值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)集合相等的條件，列出a、b、c所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出a，b，c的值，結(jié)合的最值即可求出函數(shù)的值域．【解答】解：由得，a、b、c的取值有以下情況：當(dāng)時，、時，都正確，不滿足條件．當(dāng)時，、時，成立，成立，此時不滿足題意；當(dāng)時，、時，都不正確，此時不滿足題意；當(dāng)時，、時，成立，此時滿足題意；當(dāng)時，，時，，成立，此時不滿足題意；當(dāng)時，、時，，成立，此時不滿足題意；綜上得，、、，則函數(shù)，當(dāng)4時，，當(dāng)時，，綜上，即函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的值域的計(jì)算，根據(jù)集合相等關(guān)系以及命題的真假條件求出a，b，c的值是解決本題的關(guān)鍵．13．【分析】取的中點(diǎn)N，連接MN，EN，根據(jù)四邊形MNEB為平行四邊形判斷①，②，假設(shè)得出矛盾結(jié)論判斷③．【解答】解：取的中點(diǎn)N，連接MN，EN，則MN為的中位線，∴M，又BE為矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，∴，∴，即四邊形MNEB為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面，故①正確；由四邊形MNEB為平行四邊形可得，而在翻折過程中，NE的長度保持不變，故BM的長為定值，故②正確；取DE的中點(diǎn)O，連接A1O，CO，由可知，若，則平面，∴，又，∴為等腰直角三角形，故而，而，與矛盾，故與所成的角不可能為．故③錯誤．故答案為：①②．【點(diǎn)評】本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．14．【分析】記這5部微視頻為，設(shè)這5部微視頻為先退到2部微視頻的情形，若的點(diǎn)贊量的點(diǎn)贊量，且的專家評分的專家評分，則優(yōu)秀視頻最多可能有2部，以此類推可知：這5部微視頻中，優(yōu)秀視頻最多可能有5部．【解答】解：記這5部微視頻為，設(shè)這5部微視頻為先退到2部微視頻的情形，若的點(diǎn)贊量的點(diǎn)贊量，且的專家評分的專家評分，則優(yōu)秀視頻最多可能有2部；再考慮3部的情形，若若的點(diǎn)贊量的點(diǎn)贊量的點(diǎn)贊量，且的專家評分的專家評分的專家評分，則優(yōu)秀視頻最多可能有3部；以此類推可知：這5部微視頻中，優(yōu)秀視頻最多可能有5部．故答案為：5【點(diǎn)評】本題考查了簡單的合情推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式即可求出，（Ⅱ）先求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求出【解答】解：（Ⅰ）由題意可得，∴．（Ⅱ），∴，∴，∴【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題16．【分析】（Ⅰ）在中，，求出正弦函數(shù)值，利用正弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．（Ⅱ）由余弦定理得，然后求解三角形的面積．【解答】（本小題13分）解：（Ⅰ）在中，，∴，∵，由正弦定理得，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，∴，解得或（舍）∴．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法，考查計(jì)算能力．17．【分析】（1）證明．，．推出，，得到平面BFP，然后證明平面平面BCP．（2）解法一：證明平面ABCD．取BF的中點(diǎn)為O，連結(jié)GO，得到平面ABCD．然后求解棱錐的高．解法二：證明平面ABCD．三棱錐的高等于．說明的面積是四邊形ABCD的面積的，通過，求解三棱錐的體積．【解答】（1）證明：如題圖1，在中，，，所以．在中，，所以．所以．如題圖2，．又因?yàn)?，所以，，，所以平面BFP，又因?yàn)槠矫鍮CP，所以平面平面BCP．（2）解法一：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ADP，，所以平面ABCD．取BF的中點(diǎn)為O，連結(jié)GO，則，所以平面ABCD．即GO為三棱錐的高．且．因?yàn)?，三棱錐的體積為．解法二：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ADP，所以平面ABCD．因?yàn)镚為PB的中點(diǎn)．所以三棱錐的高等于．因?yàn)镠為CD的中點(diǎn)，所以的面積是四邊形ABCD的面積的，從而三棱錐的體積是四棱錐的體積的．面，所以三棱錐的體積為．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．18．【分析】（Ⅰ）求且時的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而求得在上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由時，討論和時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)是否存在極大與極小值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)，且時，，所以，令，得，或；當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：23+0﹣0+極大值極小值所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是；（Ⅱ）當(dāng)時，若，則，所以；因?yàn)?，所以；若，則，所以；令，，所以有兩個不相等的實(shí)根，，且；不妨設(shè)，所以當(dāng)變化時，的變化情況如下表：0+無定義﹣0+極大值極小值因?yàn)楹瘮?shù)圖象是連續(xù)不斷的，所以當(dāng)時，即存在極大值又有極小值．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值問題，也考查了分類討論思想與方程根的應(yīng)用問題，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）結(jié)合表格數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷即可（Ⅱ）根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可（Ⅲ