人教A版高一數(shù)學(xué)必修第二冊期中期末測試含答案

人教A版高一數(shù)學(xué)必修第二冊期中期末測試含答案期中測試卷姓名：___________考號(hào)：___________分?jǐn)?shù)：___________（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知向量，，則的最大值為（）A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，分和兩種情況討論，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：由向量，，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，綜上的最大值為1.故選：D.2．已知在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出的值，結(jié)合大邊對(duì)大角定理可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由正弦定理可得，且，故有兩解；對(duì)于B選項(xiàng)，由正弦定理可得，且，故只有一解；對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理可得，故無解；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則角為的最大內(nèi)角，且，故無解.故選：B.3．中，，，過點(diǎn)A作邊BC的垂線，垂足為H，若，則（）A．10 B．12 C．－10 D．－12【答案】A【解析】【分析】以H為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】解：以H為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，可知，由：，，所以，，又，故，，所以.故選：A.4．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于（）A．實(shí)軸上 B．虛軸上 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法及除法運(yùn)算可得，即得.【詳解】∵復(fù)數(shù)，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于虛軸上.故選：B.5．的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先用復(fù)數(shù)除法公式求出，進(jìn)而求出的共軛復(fù)數(shù).【詳解】，則的共軛復(fù)數(shù)為.故選：C6．三棱錐的底面是邊長為3的正三角形，，則三棱錐的體積等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】將三棱錐翻轉(zhuǎn)為，確定頂點(diǎn)A在底面的射影為斜邊的中點(diǎn)，利用勾股定理求出，然后由三棱錐的體積公式即可求解．【詳解】解：將三棱錐翻轉(zhuǎn)一下，如圖所示，因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，由斜線長相等，則射影長相等，可得點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影為直角三角形的外心，所以為直角斜邊的中點(diǎn)，且平面，則為三棱錐的高，由勾股定理可得，所以三棱錐的體積．故選：A．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．π B．π C．π D．π【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體的結(jié)構(gòu)，由此計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由半個(gè)圓柱，挖掉半個(gè)圓錐所得，如圖，所以幾何體的體積為.故選：C.8．如圖，矩形ABCD是圓柱的軸截面，若E，F(xiàn)分別為與線段BC的中點(diǎn)，圓柱的母線為4，側(cè)面積為，則異面直線EF與AC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則可得是異面直線EF與AC所成角，然后在中求解【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，所以是異面直線EF與AC所成角，因?yàn)閳A柱的母線為4，側(cè)面積為，所以，所以，所以，因?yàn)榇怪庇诘酌妫诘酌鎯?nèi)，所以，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所?所以,所以異面直線EF與AC所成角的余弦值為，故選：C多選題（本大題共4小題，每小題5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分，共20分）9．已知平面向量，，則下列命題中正確的有（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】由向量的定義判斷A，由模的坐標(biāo)表示求出模判斷B，根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示判斷C，由數(shù)量積求得向量的夾角余弦判斷D．【詳解】對(duì)于A，由于向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴，故B正確；對(duì)于C，∵，∴不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵，故D正確．故選：BD．10．關(guān)于復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是（）A．|z|＝1 B．z＋z2＝－1 C．z3＝－1 D．(z＋1)3＝i【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求得復(fù)數(shù)的模，可判斷A;根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算可判斷B,C,D.【詳解】由復(fù)數(shù),可得，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤，故選：AB.11．如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，則（）A．當(dāng)時(shí)， B．四棱錐體積的最大值為C．當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí) D．四面體的體積為定值【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，再推理、計(jì)算并判斷作答.【詳解】在直四棱柱中，底面是正方形，，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為線段AC中點(diǎn)，連DP，，如圖，，而平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，于是得，又對(duì)角面是矩形，即，所以，A正確；依題意，平面，而點(diǎn)P在AC上，則點(diǎn)P到平面距離的最大值為AB=1，而矩形面積為，所以四棱錐體積的最大值為，B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在AC上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，平面截直四棱柱所得截面為等腰梯形，如圖，顯然，則，，等腰梯形的高，等腰梯形的面積，由幾何體的對(duì)稱性知，當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí)，或，C不正確；因平面，則點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離，為定值，又的面積為定值，所以四面體的體積為定值，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作多面體截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.12．已知m，n是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面.下列說法中正確的是（）A．若，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；對(duì)B，可能存在，對(duì)C，由面面垂直的性質(zhì)可判斷正確；對(duì)D，由垂直和平行的性質(zhì)可判斷正確.【詳解】對(duì)A，由線面平行的性質(zhì)可知，直線平行于已知平面，則直線平行于過該直線的平面與已知平面的交線，故A正確；對(duì)B，當(dāng)，不滿足命題，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，如圖所示，，作，因?yàn)?，，，所?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，，所以，又，則，故D正確.故選：ACD填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知菱形的邊長為2，E是的中點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求得答案.【詳解】依題意，，因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2．所以．故答案為：-3.14．已知平面向量的夾角為，滿足．平面向量在上的投影之和為2，則的最小值是___．【答案】【解析】【分析】設(shè)向量，的單位方向向量，用所設(shè)的單位向量作為基底，表示出已知條件，進(jìn)而表示出，繼而求得答案.【詳解】設(shè)與方向相同的單位向量是，且，設(shè)與方向相同的單位向量是，且，又.注意到.，，∵，∴設(shè)(1)與(2)聯(lián)立得：(7)(3)與(4)聯(lián)立得：(8)將(8)代入(5)中得：，∴，與聯(lián)立得：，對(duì)應(yīng)，故,故答案為：15．已知復(fù)數(shù)?滿足，若和的幅角之差為，則___________.【答案】【解析】【分析】分別設(shè)，，可得，由題意可得或，即可得，再代入計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋O(shè)，，所以由題意可知或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述：，故答案為：.16．如圖，矩形是平面圖形斜二測畫法的直觀圖，且該直觀圖的面積為8，則平面圖形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直觀圖形和原圖形面積之間的比例關(guān)系求解即可．【詳解】根據(jù)直觀圖與原圖的面積比值為定值，可得平面圖形的面積為.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）17．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，且.(1)求角；(2)若，且，求面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用及正弦定理得到，直接求出角C；（2）先由余弦定理求出，再由正弦定理求得，直接利用三角形的面積公式即可求解.(1)因?yàn)橄蛄?，，?所以，，由正弦定理得：，∵，∴，∴，∴，∵，∴.(2)，∴，又，，得，由正弦定理：得.由所以.18．已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且，.(1)求角的大?。?2)若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式可得，從而可求.（2）利用正弦定理可得，利用兩角差的正弦化簡后可得.(1)因?yàn)?，所以，所以，而為三角形?nèi)角，所以，所以，∵是三角形內(nèi)角，∴.(2)∵，∴由正弦定理可得，可得，所以，即.19．已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的實(shí)部等于的虛部，的虛部等于的實(shí)部，求復(fù)數(shù).【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)，寫出實(shí)部，虛部，即可得復(fù)數(shù).【詳解】由復(fù)數(shù)，實(shí)部為，虛部為，設(shè)復(fù)數(shù)，所以所以.20．（1）已知，，，.問以上4個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？（2）設(shè).（i）求，；（ii）求.【答案】（1）四點(diǎn)不共圓；（2）（i），；（ii）.【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，求得四個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圓的方程，即可求解；（2）（i）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（ii）根據(jù)的周期性，即可求解.【詳解】（1）由題意，復(fù)數(shù)，，，，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的分別為，設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為，可得，解得，所以圓的方程為，即，其中點(diǎn)不適合圓的方程，即點(diǎn)不在圓上，所以四點(diǎn)不共圓.（2）由，可得，，則，又由，可得，且是以為周期的循環(huán)，所以.21．在直棱柱中，,其中，，點(diǎn)在上，且，延長至使得.(1)求證：；(2)求到平面距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）在直角梯形中，求得，得到，再由平面，證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，進(jìn)而證得；（2）由（1）得平面，得到點(diǎn)E到直線BD距離為，求得，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，結(jié)合，即可求解.(1)證明：在直角梯形中，有，所以，所以，可得，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又由，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?2)由（1）得平面，且，所以點(diǎn)E到直線BD距離為，且，所以在中，因?yàn)椋傻?，，由?）知，故，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則，解得，所以點(diǎn)到平面距離為.22．如圖，三棱柱中，底面為正三角形，平面，且，是的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得三棱錐的體積是，若存在，求長；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理得到平面再由面面垂直的判定定理可得答案；（2）利用等體積轉(zhuǎn)換可得答案.(1)三棱柱中，平面，則，底面為正三角形，且是的中點(diǎn)，則，，則平面，平面，平面平面.(2)，底面為邊長為2的正三角形，是的中點(diǎn)，，,，解得，即，在側(cè)棱上是存在一點(diǎn)，且，使得三棱錐的體積是.期末測試卷(滿分:150分;時(shí)間:120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知復(fù)數(shù)z=3+i(i是虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)記作z,則z|z|= A.3C.-3【答案】A【解析】z|z|2.水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示,若A1C1=2,△A1B1C1的面積為22,則AB的長為 ()2B.217【答案】B【解析】因?yàn)椤鰽1B1C1的面積為22,所以22=12A1C1×B1C1易知AC⊥BC,AC=A1C1=2,由勾股定理得AB=AC2+B3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),AB·AC=12,則|BC|= (A.2【答案】A【解析】∵AB=(2,3),AC=(3,t),∴AB·AC=6+3t=12,解得t=2,∴AC=(3,2),∴BC=AC-AB=(1,4.天氣預(yù)報(bào)說,在未來三天中,每天下雨的概率均為40%,用數(shù)字0,1,2,3表示下雨,數(shù)字4,5,6,7,8,9表示不下雨,由計(jì)算機(jī)生成如下20組隨機(jī)數(shù):977,864,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,394,027,556,488,730,113,537,908.由此估計(jì)未來三天中至少有一天下雨的概率為 ()A.0.6B.0.7C.0.75D.0.8【答案】B【解析】代表未來三天都不下雨的隨機(jī)數(shù)有977,864,458,569,556,488,共6組,記“未來三天中至少有一天下雨”為事件A,“未來三天都不下雨”為事件B,則A與B為對(duì)立事件,所以P(A)=1-P(B)=1-620=710=0.5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八,西鄉(xiāng)算七千二百三十六,南鄉(xiāng)算八千三百五十六,凡三鄉(xiāng),發(fā)役三百七十八人,欲以算數(shù)多少出之,問各幾何?”意思是:北鄉(xiāng)有8758人,西鄉(xiāng)有7236人,南鄉(xiāng)有8356人,現(xiàn)要按人數(shù)多少從三鄉(xiāng)共征集378人,問從各鄉(xiāng)征集多少人?在上述問題中,需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是 ()A.102B.112C.130D.136【答案】B【解析】因?yàn)楸编l(xiāng)有8758人,西鄉(xiāng)有7236人,南鄉(xiāng)有8356人,現(xiàn)要按人數(shù)多少從三鄉(xiāng)共征集378人,所以需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是378×723686.設(shè)兩個(gè)單位向量a,b的夾角為2π3,則|3a+4b|= (A.1B.13C.【答案】B【解析】∵兩個(gè)單位向量a,b的夾角為2π∴|a|=1,|b|=1,a·b=|a||b|cos2π∴|3a+4b|2=9a2+16b2+24a·b=9+16+24×-12=13,∴|3a+4b|=13.7.在四面體A-BCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,則直線AB與CD所成角的余弦值為 ()A.-13C.1【答案】D【解析】因?yàn)樗拿骟w的對(duì)邊分別相等,所以該四面體的頂點(diǎn)為長方體的不相鄰的四個(gè)頂點(diǎn),如圖所示,設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則a連接D'C',交AB于點(diǎn)O,則D'C'∥DC,所以∠AOD'(或其補(bǔ)角)是直線AB與CD所成的角.易知AO=D'O=32,AD'=2在△AOD'中,cos∠AOD'=AO所以直線AB與CD所成角的余弦值為13,故選8.如圖,某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為45°,沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)若干米后到達(dá)D處,又測得山頂?shù)难鼋菫?5°,已知山的高度BC為1千米,則該登山隊(duì)從A到D前進(jìn)了 ()A.2千米B.(6-2C.1千米D.1.5千米【答案】C【解析】如圖,過D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E,DF⊥AC交AC于點(diǎn)F,由題意得∠BAC=∠ABC=45°,∠DAC=30°,∠BDE=75°,則∠BAD=15°,∠DBE=15°,則∠ABD=30°.設(shè)AD=x千米,在△ABD中,由正弦定理得xsin∠ABD=BDsin∠BAD,即在△BED中,BE=BDcos15°=2xsin15°·cos15°=xsin30°=12x在△ADF中,DF=CE=xsin30°=12x,因?yàn)锽C=1,所以BE+CE=x=1,即該登山隊(duì)從A到D前進(jìn)了1千米,故選二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.有5件產(chǎn)品,其中3件正品,2件次品,從中任取2件,則互斥的兩個(gè)事件是 ()A.至少有1件次品與至多有1件正品B.至少有1件次品與2件都是正品C.至少有1件次品與至少有1件正品D.恰有1件次品與2件都是正品【答案】BD【解析】在A中,至少有1件次品與至多有1件正品能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故A錯(cuò)誤;在B中,至少有1件次品與2件都是正品是對(duì)立事件,屬于互斥事件,故B正確;在C中,至少有1件次品與至少有1件正品能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故C錯(cuò)誤;在D中,恰有1件次品與2件都是正品不能同時(shí)發(fā)生,但能同時(shí)不發(fā)生,是互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件,故D正確.故選BD.【解題模板】對(duì)于互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件的判斷,解題時(shí)要認(rèn)真審題,對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)劃分,注意對(duì)立事件、互斥事件定義的合理運(yùn)用.10.已知甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率是0.7,乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率是0.8,若甲、乙各投籃一次,則 ()A.都命中的概率是0.56B.恰有一人命中的概率是0.42C.恰有一人沒命中的概率是0.38D.至少有一人命中的概率是0.94【答案】ACD【解析】對(duì)于A,都命中的概率為0.7×0.8=0.56,故A正確;對(duì)于B,恰有一人命中的概率是0.7×0.2+0.3×0.8=0.38,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,恰有一人沒命中的概率是0.7×0.2+0.3×0.8=0.38,故C正確;對(duì)于D,至少有一人命中的概率是1-0.3×0.2=0.94,故D正確.故選ACD.11.下列條件中能夠判定△ABC是鈍角三角形的是 ()A.a=4,b=5,c=6B.AB·BCC.cD.b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC【答案】BC【解析】對(duì)于A,a2+b2=41>c2,所以△ABC是銳角三角形,錯(cuò)誤;對(duì)于B,AB·BC=-accosB=2b,所以cosB<0,所以△ABC為鈍角三角形,對(duì)于C,c-ba+b=sinAsinC+sinB=ac+b?c2=a2+b2+ab,所以cos對(duì)于D,由b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,得b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB·cosC,整理得b2+c2=(bcosC+ccosB)2,即b2+c2=a2,所以△ABC是直角三角形,錯(cuò)誤.故選BC.12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點(diǎn)O為A1D1的中點(diǎn),若以O(shè)為球心,6為半徑的球面與正方體ABCD-A1B1C1D1的棱有四個(gè)交點(diǎn)E,F,G,H,則下列結(jié)論正確的是 ()A.A1D1∥平面EFGHB.A1C⊥平面EFGHC.A1B1與平面EFGH所成角的大小為45°D.平面EFGH將正方體ABCD-A1B1C1D1分成體積比為1∶7的兩部分【答案】ACD【解析】如圖,連接OA,OE,則OA=22故球面與棱AA1,DD1,A1D1,AD沒有交點(diǎn),同理,球面與棱A1B1,C1D1,B1C1也沒有交點(diǎn).因?yàn)槔釧1D1與棱BC之間的距離為22>所以球面與棱BC沒有交點(diǎn).所以球面與棱AB,CD,CC1,BB1相交,交點(diǎn)分別記為E,F,G,H.在Rt△AOE中,OA=5,OE=6,所以AE=OE2所以E為AB的中點(diǎn),同理,F,G,H分別為CD,CC1,BB1的中點(diǎn),則EFHG,所以四邊形EFGH為平行四邊形.因?yàn)锳1D1∥AD,EF∥AD,所以A1D1∥EF.因?yàn)锳1D1?平面EFGH,EF?平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH,故A正確.連接A1B,假設(shè)A1C⊥平面EFGH,則A1C⊥GH,又GH∥BC,所以A1C⊥BC.因?yàn)锽C⊥平面AA1B1B,A1B?平面AA1B1B,所以BC⊥A1B,在△A1BC中,有兩個(gè)角為90°,矛盾.故假設(shè)不成立,故B錯(cuò)誤.連接AB1,因?yàn)锽C⊥平面AA1B1B,EF∥BC,所以EF⊥平面AA1B1B,所以EF⊥A1B.在正方形AA1B1B中,A1B⊥AB1,因?yàn)镋,H分別為AB,BB1的中點(diǎn),所以EH∥AB1,所以EH⊥A1B.因?yàn)镋F∩EH=E,所以A1B⊥平面EFGH.因?yàn)锳1B1∥AB,所以A1B1與平面EFGH所成的角即為AB與平面EFGH所成的角,即為∠BEH=45°,故C正確.易知S△BEH=14所以S△BEH=17所以VBEH-CFG∶VAEHB1A1-DFGC1D1三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試,成績的頻率分布直方圖如下,數(shù)據(jù)的分組依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],則可估計(jì)這次數(shù)學(xué)測試成績的第40百分位數(shù)是.

【答案】65【解析】由題圖得,成績在[20,60)內(nèi)的頻率是(0.005+0.010)×20=0.3,成績在[20,80)內(nèi)的頻率為0.3+0.020×20=0.7,故第40百分位數(shù)一定位于[60,80)內(nèi),則這次數(shù)學(xué)測試成績的第40百分位數(shù)為60+0.414.已知向量a,b滿足|b|=3,|a+b|=4,|a-b|=5,則向量a在向量b上的投影為.

【答案】-34【解析】∵|a+b|=4,∴a2+b2+2a·b=16,∵|a-b|=5,∴a2+b2-2a·b=25,∴a·b=-94,∴向量a在向量b上的投影為a【解題模板】研究向量a在向量b上的投影有兩種方法:一是用定義|a|cosθ(θ為向量a與向量b的夾角),二是將定義式用夾角公式化為a·b15.若復(fù)數(shù)2+i為一元二次方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個(gè)根,則復(fù)數(shù)|a+bi|=.

【答案】41【解析】因?yàn)?+i為一元二次方程x2+ax+b=0的根,所以(2+i)2+a(2+i)+b=0,所以(a+4)i+2a+b+3=0,又a,b∈R,故a+4=0,2a+b+3=0,解得a=-4,b=5.則|a+bi|=|-4+5i|=16+25=16.三棱錐P-ABC中,頂點(diǎn)P在底面ABC的射影為△ABC的內(nèi)心,三個(gè)側(cè)面的面積分別為12,16,20,且底面面積為24,則該三棱錐P-ABC的體積為,它的外接球的表面積為.

【答案】163;316π3【解析】因?yàn)镻在底面ABC的射影是△ABC的內(nèi)心,所以三棱錐P-ABC的斜高相等,設(shè)為h',設(shè)三棱錐P-ABC的高為h,底面邊長為a,b,c(a<b<c),則a∶b∶c=12∶16∶20=3∶4∶5①,則△ABC所以S△ABC=12ab=24②,由①②得a=6,b=8,c=10,因?yàn)?2ah'=12,所以h'△ABC內(nèi)切圓的半徑r=24×2則h=h'所以V三棱錐P-ABC=13設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,△ABC的內(nèi)心為H,斜邊中點(diǎn)為G,則HG=5,球心O在過G且與PH平行的直線上,過O作ON∥GH,經(jīng)計(jì)算知N在PH的延長線上,所以PN-HN=PN-OG=23,即R2-5-R2-所以外接球的表面積S=4πR2=316π四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖,在△OAB中,已知P為線段AB上一點(diǎn),OP=(1)若BP=PA,求實(shí)數(shù)x,y(2)若BP=3PA,|OA|=4,|OB|=2,且OA與OB的夾角為60°,【解析】(1)∵BP=∴BO+即2OP=OA+OB, ∴OP=12OA+12OB,即x=12,(2)∵BP=3PA,∴BO+OP=3PO+3OA,即∴OP=34OA+1∴OP·AB=3=1=14×22-34×418.(本小題滿分12分)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且a=7,c=1,A=2π(1)求b及△ABC的面積S;(2)若D為BC邊上一點(diǎn),且,求∠ADB的正弦值.

從①AD=1,②∠CAD=π6這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問題中,并作答【解析】(1)∵a=7,c=1,A=2π3,∴由余弦定理得(7)2=b2+12-2b×1×cos2π3,整理得b2+b-6=0, 解得b=2或b=-3(舍去),∴S=12bcsinA=(2)選①,如圖所示:在△ABC中,由正弦定理得ACsinB=BCsin2π3,∴sinB在△ABD中,∵AD=AB=1,∴∠ADB=B,∴sin∠ADB=sinB=217. (12分選②,在△ABC中,由正弦定理得ABsinC=BCsin2π3易知C為銳角,∴cosC=1-sin2C=∴sin∠ADB=sinC+π6=3219.(本小題滿分12分)6月17日是聯(lián)合國確定的“世界防治荒漠化和干旱日”,為增強(qiáng)全社會(huì)對(duì)防治荒漠化的認(rèn)識(shí)與關(guān)注,聚焦聯(lián)合國2030可持續(xù)發(fā)展目標(biāo)——實(shí)現(xiàn)全球土地退化零增長.自2004年以來,我國荒漠化和沙化狀況呈現(xiàn)整體遏制、持續(xù)縮減、功能增強(qiáng)、成效明顯的良好態(tài)勢.治理沙漠離不開優(yōu)質(zhì)的樹苗,現(xiàn)從苗圃中隨機(jī)地抽測了200株樹苗的高度(單位:cm),得到以下頻率分布直方圖.(1)求圖中a的值及數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù);(2)估計(jì)苗圃中樹苗的平均高度;(3)在樣本中從205cm及以上的樹苗中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出5株,再從這5株中抽出2株樹苗,求其中含有215cm及以上樹苗的概率.【解析】(1)由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1可得(0.0015+0.011+0.0225+0.03+a+0.008+0.002)×10=1,解得a=0.025. (2分)眾數(shù)為185+1952=190. (4分設(shè)中位數(shù)為x,因?yàn)?0.0015+0.011+0.0225)×10=0.35<0.5,(0.0015+0.011+0.0225+0.03)×10=0.65>0.5,所以185<x<195,由0.35+0.03×(x-185)=0.5,解得x=190. (6分)(2)x=160×0.015+170×0.11+180×0.225+190×0.3+200×0.25+210×0.08+220×0.02=189.8(cm).因此估計(jì)苗圃中樹苗的平均高度為189.8cm. (8分)(3)從[205,215)內(nèi)抽取5×0.080.08+0.02=4(株),分別設(shè)為a1,a2,a3,a4,從[215,225]內(nèi)抽取5×0.020.08+0從這5株樹苗中抽出2株有a1a2,a1a3,a1a4,a1b,a2a3,a2a4,a2b,a3a4,a3b,a4b,共10種情況,其中含有215cm及以上樹苗的有4種,故所求概率P=410=25. 20.(本小題滿分12分)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知點(diǎn)M在正方形A1B1C1D1內(nèi)部,A1M=2,CM=6.(1)經(jīng)過點(diǎn)M在平面A1B1C1D1內(nèi)作一條直線與CM垂直(說明作法及理由);(2)求直線CM與平面BDD1B1所成角的余弦值.【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)M為A1C1,B1D1的交點(diǎn)時(shí),B1D1為所求作的直線. (2分)理由如下:連接C1M,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面A1B1C1D1,又C1M,B1D1?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥C1M,CC1⊥B1D1,所以C1M=CM2-CC12=2則A1C1=A1M+C1M,所以M為A1C1的中點(diǎn). (4分)因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1為正方形,所以M為B1D1的中點(diǎn),易知B1D1⊥MC1,因?yàn)镸C1∩CC1=C1,MC1,CC1?平面CMC1,所以B1D1⊥平面CMC1,又CM?平面CMC1,所以B1D1⊥CM.(6分)(2)由(1)知M∈B1D1,故M∈平面BDD1B1,連接AC,設(shè)AC∩BD=O,連接OM,易知OM?平面BDD1B1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知BB1⊥平面ABCD,因?yàn)镃O?平面ABCD,所以CO⊥BB1,在正方形ABCD中,易知CO⊥BD,又BB1∩BD=B,BB1,BD?平面BDD1B1,所以CO⊥平面BDD1B1,所以CO⊥OM,所以∠CMO為直線CM與平面BDD1B1所成的角. (9分)在△COM中,CO=2,CM=6,所以sin∠CMO=COCM=3則cos∠CMO=1-sin即直線CM與平面BDD1B1所成角的余弦值為63. (12分21.(本小題滿分12分)2020年是我國5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)的加速之年.截至2020年年底,中國已建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò).為了切實(shí)推動(dòng)移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量提升,不斷改善用戶體驗(yàn),中國信通院受工信部委托,定期在全國范圍內(nèi)開展重點(diǎn)場所移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量專項(xiàng)測評(píng),其中一項(xiàng)測評(píng)內(nèi)容是在每座受測城市中任意挑選一條典型路段進(jìn)行測評(píng),以評(píng)估當(dāng)?shù)?G網(wǎng)絡(luò)發(fā)展水平,其中5座受測城市的5G綜合下載速率(單位:Mbps)數(shù)據(jù)如表:城市路段5G綜合下載速率(單位:Mbps)福州五四路708.92廣州大學(xué)城外/中/內(nèi)環(huán)817.13哈爾濱紅軍街630.34杭州環(huán)城東路882.60成都二環(huán)高架916.02(1)從這5座城市中隨機(jī)選取2座城市進(jìn)行分析,求選取的2座城市5G綜合下載速率都大于800Mbps的概率;(2)甲、乙兩家5G網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營商分別從以上5座城市中隨機(jī)選取1座城市考察(甲、乙的選取互不影響),求甲、乙兩家運(yùn)營商中恰有一家選取的城市5G綜合下載速率大于800Mbps的概率.【解析】(1)這5座城市中5G綜合下載速率大于800Mbps的有3座,設(shè)為A1,A2,A3,5G綜合下載速率不大于800Mbps的有2座,設(shè)為B1,B2. (2分)隨機(jī)選取