人教A版高一數學必修第一冊期末復習知識點

人教A版高一數學必修第一冊期末復習知識點匯總必修第一冊·第一章《集合與常用邏輯用語》1.元素把研究的對象統(tǒng)稱為元素.（用小寫字母表示：）2.集合把一些元素組成的總體叫做集合.（用大寫字母表示：）3.元素的特征確定性、互異性、無序性.①求集合或元素時，一定要檢驗集合中元素的互異性.4.元素與集合的關系①屬于：；②不屬于：.5.常用數集①自然數集（包含和正整數）②正整數集或③整數集④有理數集⑤實數集⑥復數集⑦素數集（質數集）6.集合的分類①有限集；②無限集；③空集.7.集合的表示方法①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用括起來.例如、②描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為.例如、③圖示法（圖）：用平面上封閉曲線的內部代表集合.例如8.常見集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函數自變量構成的集合：④函數因變量構成的集合：⑤函數圖象上的點構成的集合：⑥方程組的解：或⑦奇數集：⑧偶數集：①做題時，要認清集合中元素的屬性（點集、數集、自變量、因變量···），以及元素的范圍（、、、···）.9.子集集合中任意一個元素都是集合中的元素.記作：或讀作：包含于或包含①任何一個集合是它本身的子集.②若，且，則.10.集合相等若，且，則.①若，且，則.②欲證，只需證，且.11.真子集如果集合是集合的子集，并且中至少有一個元素不屬于.記作：或讀作：真包含于或真包含①若，且，則.②若，且，則.③和用于集合和集合之間，和用于元素和集合之間.12.空集不含任何元素的集合.符號：①空集是任何集合的子集.②空集是任何非空集合的真子集.③解決有關、等問題時，一定要先考慮的情況，以防漏解.13.子集個數與元素個數的關系設有限集合有個元素,則其子集個數是，真子集個數是，非空子集個數是，非空真子集個數是.14.交集屬于集合且屬于集合.（和的公共部分）記作：讀作：交含義：①；②；③；④；⑤；⑥.15.并集屬于集合或屬于集合.（包含和的所有元素）記作：讀作：并含義：①；②；③；④；⑤；⑥.16.全集研究問題中涉及的所有元素.符號：17.補集由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合.符號：含義：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.⑨注意補集思想在解題中的運用，“正難則反”.18.命題可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題；判斷為假的語句是假命題.表示：“若，則”、“如果，那么”.其中為命題的條件,為命題的結論.19.充分條件與必要條件①“若，則”是真命題，即，則是的充分條件，是的必要條件；②“若，則”是假命題，即，則不是的充分條件，不是的必要條件.判斷充分條件、必要條件的三種方法：①定義法：直接判斷“若，則”以及“若，則”的真假；②集合法：利用集合的包含關系判斷；③傳遞法：充分條件、必要條件、充要條件都具有傳遞性，若，，則.20.充要條件如果“若，則”和“若，則”都是真命題，即既有，又有，則可記作，這時稱是的充分必要條件，簡稱充要條件.充分條件、必要條件的判斷：①且是的充分不必要條件②且是的必要不充分條件③是的充要條件④且是的既不充分也不必要條件21.全稱量詞短語“所有的”“任意一個”通常叫做全稱量詞.符號：含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.“對中任意一個，成立”用符號記為：22.存在量詞短語“存在一個”“至少有一個”通常叫做存在量詞.符號：含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.“存在中元素的，成立”用符號記為：23.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定①全稱量詞命題的否定為：.②存在量詞命題的否定為：.①命題的否定的書寫：既要轉換量詞，又要否定結論.②全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.③一個命題和它的否定，只能是一真一假.必修第一冊第二章一元二次函數、方程和不等式2.1等式性質與不等式性質1.比較大小的基本事實：比較兩實數大小的方法——求差比較法；；。2.恒成立的不等式：一般地，，有，當且僅當時等號成立。說明：（1）指出定理適用范圍：；（2）強調取“”的條件。3.等式的性質：性質1：若a=b，則b=a;性質2：若a=b,b=c,則a=c;性質3：若a=b，則a±c=b±c;性質4：若a=b，則ac=bc;性質5：若a=b，c≠0，則4.不等式的性質：性質1：若，則；若，則．即。說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。性質2：若，，則。不等式的傳遞性。性質3：若，則。性質4：如果且，那么；如果且，那么。性質5：若。性質6：如果且，那么。性質7：如果，那么。2.2基本不等式1.如果是正數，那么（當且僅當時取“=”）說明：（1）這個定理適用的范圍：；（2）我們稱的算術平均數，稱的幾何平均數。即：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。（3）對于兩個正數，①若為定值，則，當且僅當時，ab有最大值；②若為定值，則，當且僅當時，a+b有最小值2.3二次函數與一元二次方程、不等式1.一元二次不等式：一般地，我們把只有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式。一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均為常數，a≠0.2..一元二次方程根的存在性及實根的個數：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）△>0，方程有兩個不等實根；（2）△=0，方程有兩個相等實根；（3）△<0，方程無實根3..從函數觀點看一元二次方程和不等式：二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系：注：①當a<0時，轉化為a>0的情況研究。②ax2+bx+c<0的解集為R，則；③ax2+bx+c≤0的解集為R，則；④ax2+bx+c>0的解集為,則；⑤ax2+bx+c≥0的解集為,則.必修第一冊第四章指數函數與對數函數4.1指數1．（1）實數指數冪：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N。當n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數。記作當n為偶數時，正數的n次方根有兩個且為互為相反數，負數沒有偶次方根。記作±0的任何次方根都是0。（2）當n為奇數時，=a；當n為偶數時，=|a|=；（3）①；②（4）實數指數冪的運算性質為：①；②；③4.2指數函數1．指數函數概念：一般地，函數叫做指數函數。2．指數函數的性質：0<a<1a>1圖象定義域R值域性質①過定點（0，1）②單調性減函數增函數③x>0,ax的范圍：（0，1）（1，+∞）④x<0,ax的范圍：（1，+∞）（0，1）4.3對數1．對數概念：（1）對數的概念：一般地，如果，那么數稱以為底N的對數，記作其中稱對數的底，N稱真數。2.對數與指數間的關系：當時，3.有關對數的幾個結論：①負數和零無對數；②；③；④4..對數運算性質：如果則①；②；③R）。④換底公式：⑤4.4對數函數1.對數函數函數：一般地，函數叫做對數函數2．對數函數的性質：0<a<1a>1圖象定義域(0,+∞)值域R性質①過定點(1,0)②單調性減函數增函數③0<x<1,的范圍：（0，+∞）（-∞，0）④x>1,的范圍：（-∞，0）（0，+∞）3．叫做互為反函數。4.5函數的零點與方程的解1.函數零點：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。2.函數零點的等價含義：函數的零點方程實數根函數的圖象與軸交點的橫坐標。3.函數零點的存在性判斷：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點。4.零點存在性定理：如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數在區(qū)間內有零點。既存在，使得，這個也就是方程的根。5.二分法：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．6.二分法求零點的步驟：給定精確度，（1）確定零點x0的初始區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0.（2）求區(qū)間(a,b)的中點c。（3）計算f(c),并進一步確定零點所在區(qū)間：

①若f(c)=0，（此時x0=c），則c就是函數的零點；②若f(a)f(c)<0,（此時x0∈(a,c)）,則令b=c;③若f(b)f(c)<0,（此時x0∈(c,b)）,則令a=c;（4）判斷是否達到精確度：若|a-b|<,則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟（2）～（4）.必修第一冊第五章三角函數5.1任意角和弧度制1．任意角的概念：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角。2．終邊相同的角：所有與某個角α具有同終邊的所有角，連同角α在內，可以構成一個集合{β|β=2kπ+α，k∈Z}，J即任意與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與正數個周角的和。3．弧度制（1）長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角；一般地,正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定。（2）角的弧度數的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。（3）弧度與角度互換公式：180°=rad,1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）?；￠L公式：（是圓心角的弧度數），扇形面積公式：。5.2三角函數的概念1．三角函數定義設是一個任意角，∈R,它的終邊OP與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦,記做,即；（2）叫做的余弦,記做,即；（3）叫做的正切,記做,即。也是一角為自變量，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數值的函數，稱為正切函數。我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統(tǒng)稱為三角函數。2.三角函數值在各個象限的符號：函數符號第一象限第二象限第三象限第四象限sin++--cos+---tan+-++3.同角三角函數的基本關系同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切。5.3誘導公式1.誘導公式公式一：，，其中公式二：=；=-；公式三：；；公式四：；；公式五：；；公式六：；2.任意角化為銳角三角函數的方式：5.4三角函數的圖像與性質1.正弦、余弦與正切函數的圖像與性質：函數性質正弦函數余弦函數正切函數圖像周期性;最小正周期2;最小正周期2;最小正周期定義域RR{x|x}值域[-1,1][-1,1]R最值當x=時取最小值-1，當x=時取最大值1；當x=時取最小值-1，當x=時取最大值1；無最值奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是遞增區(qū)間是圖像的軸對稱性對稱軸為，對稱軸為，無圖像的中心對稱性對稱中心為；對稱中心為（，0）；對稱中心為零點2.周期函數：一般地，設函數f(x)的定義域為D，若果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D，都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫周期函數，非零常數T叫這個函數的周期。k∈Z，且k≠0,常數kT都是它的周期。如果周期函數的所有周期中存在一個最小的正數那么這個最小正數就叫f(x)的最小正周期。3.函數，,， （其中）的相關性質：函數性質周期性周期;最小正周期周期;最小正周期周期;最小正周期定義域RR{x|}值域[-A,A][-A,A]R最值當=時取最小值-1，當=時取最大值1；當=時取最小值-1，當=時取最大值1；無最值奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性遞增區(qū)間是∈遞減區(qū)間是∈遞增區(qū)間是∈遞減區(qū)間是∈遞增區(qū)間是∈圖像的軸對稱性對稱軸為，對稱軸為，無圖像的中心對稱性對稱中心為：對稱中心為（，0）；對稱中心為零點5.5三角恒等變換1．兩角和與差的三角函數；；。2．二倍角公式；；。注：三角函數式的化簡常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函數；⑤盡量使被開方數不含三角函數。3.降冪公式；；。4.輔助角公式，。5.6函數圖像1．由y＝sinx的圖象變換出y＝Asin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑：途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象