寧夏銀川一中高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）

絕密★啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題卷(銀川一中第一次模擬考試)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知z1+iA．2 B．22 C．2 3．若A． B． C．或 D．或4．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說(shuō)法正確的是A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”5．已知向量，，則A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若與的夾角為鈍角，則6．將頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸的銳角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)后，交單位圓于點(diǎn)，那么的值為A． B． C． D．7．賀蘭山巖畫(huà)公園不僅擁有深厚的歷史文化底蘊(yùn)，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖是巖畫(huà)公園風(fēng)景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛(ài)心．圖是由此抽象出來(lái)的一個(gè)“心形”圖形，這個(gè)圖形可看作由兩個(gè)函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為A． B．C．D．8．已知，點(diǎn)滿(mǎn)足方程，且有，則的取值范圍是A． B． C． D．9．若數(shù)列滿(mǎn)足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是A．B．C．D．或11．多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得分，有選錯(cuò)的得分，部分選對(duì)的得分．若選項(xiàng)中有其中個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，隨機(jī)作答該題時(shí)至少選擇一個(gè)選項(xiàng)所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量其中，則有A． B．C． D．12．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是A．勒洛四面體被平面截得的截面面積是B．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為二、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.13．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則角________.14．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行某種勞動(dòng)技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”，從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共可能有________種不同的情況.（用數(shù)字作答）15．斜率為k的直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓（x5）2+y2=9相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)，則k=________.16．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且，則的值是________.解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．(12分)已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=2，且(n≥2)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．18．(12分)已知菱形邊長(zhǎng)為，，以為折痕把△ABD和△CBD折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，，不重合.（1）求證：；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.19．(12分)某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽(tīng)的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門(mén)從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱(chēng)產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合小小班幼兒使用（簡(jiǎn)稱(chēng)A類(lèi)產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱(chēng)B類(lèi)產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱(chēng)C類(lèi)產(chǎn)品），A，B，C，三類(lèi)產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)；（2）該公司為了解年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用，和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷(xiāo)售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程.（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷(xiāo)售利潤(rùn)營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)用，?。?參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.20．(12分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的上焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，記△APE面積為的面積為，求的取值范圍．21．(12分)已知函數(shù)，其中．（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+2cosθ，y=2sinθ（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C(2)若直線l:y=kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P，Q，且|OQ|=|PQ|，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為1,0，求23．[選修45：不等式選講]已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)的最小值為4．(1)求證：；(2)求證：．銀川一中2024屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)(理科)參考答案1．【答案】C由,解得，又因?yàn)?，所以，又由，可得，解得，所以，所以?．由z1+i=1?1i=1+i3．A4．【答案】C【解析】由題意知，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30，成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”．5.【答案】B【解析】對(duì)于A，若，則有，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則有，所以，B正確；對(duì)于C，，所以，解得或，C錯(cuò)誤；若與的夾角為鈍角，則，即，且與不能共線且反向，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與共線且反向，所以若與的夾角為鈍角，則且，D錯(cuò)誤，故選:B.6．【答案】A【詳解】由點(diǎn)在單位圓上，則，解得，由銳角，即，則，故，.故選A.7.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得，知A錯(cuò)誤；由時(shí)，可知B錯(cuò)誤；根據(jù)、圖象中的特殊點(diǎn)及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根據(jù)函數(shù)定義域可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），在上的最大值為，與圖象不符，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，；又過(guò)點(diǎn)；由得：，解得：，即函數(shù)定義域?yàn)?；又，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：與圖象相符，C正確；對(duì)于D，由得：，不存在部分的圖象，D錯(cuò)誤.故選：C.8.【答案】B【詳解】由題意，點(diǎn)且滿(mǎn)足，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其中，可得，則，可得雙曲線的漸近線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)滿(mǎn)足方程，即，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得，即的取值范圍是.故選：B.9.【答案】A解：“，，”，取，則，為等比數(shù)列．反之不成立，為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，，只有時(shí)才能成立滿(mǎn)足．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，則“，，”是“為等比數(shù)列”的充分不必要條件．10.【答案】D設(shè)切點(diǎn)．因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)處的切線方程為，又因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即.令，則與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞增，顯然時(shí)，，于是符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，則，即．綜上，或．故選：D11.【答案】B12.【答案】C對(duì)A選項(xiàng)結(jié)合勒洛三角形得到其截面圖，利用扇形面積和三角形面積公式即可得到答案，而A選項(xiàng)的截面積為C選項(xiàng)的最大截面積，對(duì)B選項(xiàng)需要利用正四面體的高以及外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，得到外接球半徑為，再根據(jù)圖形得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，而此半徑即為該勒洛四面體的能夠容納的最大球的半徑，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A故A錯(cuò)誤，截面示意圖如下：對(duì)于B，由對(duì)稱(chēng)性知,勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心,如圖：正外接圓半徑,正四面體的高,令正四面體的外接球半徑為,在中,，解得,此時(shí)我們?cè)俅瓮暾爻槿〔糠掷章逅拿骟w如圖所示：圖中取正四面體中心為,連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則由圖得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過(guò)正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，由對(duì)A的分析知，故C正確；對(duì)于D，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切,即為勒洛四面體內(nèi)切球,所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，故D錯(cuò)誤.故選：C．13.π14.54由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3種情況，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，其他三名同學(xué)排在三位置全排列有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有種，故答案為：.15.【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則又兩式相減得，則.設(shè)圓心為C（5，0），則kOM=，因?yàn)橹本€l與圓相切，所以，解得，代入得16．先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，其中，，由于函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，即，化簡(jiǎn)得，所以，即，所以，故選：C.（1），，且，數(shù)列是以每一項(xiàng)均為的常數(shù)列，則，即；（2）由（1）得，，.18.（1）證明：菱形中，，設(shè)，交于點(diǎn)，連接，，則，，又，平面，平面，所以平面；又平面，所以；（2）因?yàn)榱庑芜呴L(zhǎng)為，，所以，則，又，所以，則，所以；在中，，，則，所以，所以；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意，即，則.19.【詳解】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，，，三類(lèi)產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，所以，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：1.53.55.50.150.450.4所以，，故每件產(chǎn)品的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)為4元；（2）（i）由得，，令，，，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，所以，，即，因?yàn)?，所以，故所求的回歸方程為；（ii）設(shè)年收益為萬(wàn)元，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時(shí)，有最大值為768，即該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬(wàn)元.20.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以．因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，可知過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由，化簡(jiǎn)可得，設(shè)，則，，由，解得．根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得．因?yàn)榈拿娣e為的面積為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，所以，因此，因?yàn)椋?，則，從而，所以的取值范圍是．21．【解析】（1）由有兩個(gè)零點(diǎn)，得方程有兩個(gè)解，設(shè)，則，由，可得，單調(diào)遞增，由，可得，單調(diào)遞減，所以的最大值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以可得函數(shù)的大致圖象，所以，解得，所以，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是；設(shè)，即，則恒成立，由，，可得，下面證明當(dāng)時(shí)，，即證，令，則證，，令為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，由（1