江西省部分高中學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

江西省部分高中學(xué)校2023—2024學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)第一章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列與角終邊相同的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義即可求解.【詳解】由題意知，，所以與角終邊相同的角為.故選：C2.下列函數(shù)的最小正周期為π的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出各選項(xiàng)函數(shù)的最小正周期即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期是，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期是，B是；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期是，C不是；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期是，D不是.故選：B3.2023年度江西省大學(xué)生電子商務(wù)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)挑戰(zhàn)賽啟動(dòng)以來，該比賽受到了全省各高校和廣大師生的高度重視并得到積極響應(yīng)，真實(shí)場(chǎng)景的競(jìng)賽內(nèi)容與形式極大地激發(fā)了大學(xué)生的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)熱情．已知參加該比賽的高校共63所，其中本科院校有30所，高職院校有33所．若采用分層隨機(jī)抽樣的方法從所有本次參賽的院校中，隨機(jī)抽取21所高校的比賽風(fēng)采照片進(jìn)行展示，則被抽取到的本科院校有（）A.9所 B.10所 C.11所 D.12所【答案】B【解析】【分析】由分層抽樣定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，被抽取到的本科院校有所.故選：B4.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平移2個(gè)長(zhǎng)度單位 B.向右平移1個(gè)長(zhǎng)度單位C.向左平移2個(gè)長(zhǎng)度單位 D.向左平移1個(gè)長(zhǎng)度單位【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)圖象變換求解即得.【詳解】顯然，因此函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移1個(gè)長(zhǎng)度單位而得，D正確，ABC錯(cuò)誤.故選：D5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察給定函數(shù)圖象，求出及周期，進(jìn)而求出，再利用最大值點(diǎn)求出即得.【詳解】觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，由，得，而，于，所以.故選：A6.若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.【詳解】正數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以漢時(shí)，取得最小值8.故選：C7.世界青年羽毛球錦標(biāo)賽將于2024年10月在南昌舉辦，這是南昌歷史上舉辦的規(guī)格最高的國(guó)際級(jí)賽事．小王和小李為了準(zhǔn)備羽毛球錦標(biāo)賽，計(jì)劃每日繞著半徑為200米（為了計(jì)算方便，跑道的寬度忽略不計(jì)）的圓形跑道逆時(shí)針勻速跑步，以提高身體素質(zhì)．圓形跑道示意圖如圖所示，O為圓形跑道的圓心．已知小王以290米/分鐘的速度從A點(diǎn)出發(fā)，小李以300米/分鐘的速度從B點(diǎn)出發(fā)，兩人同時(shí)出發(fā)．若，則當(dāng)小王與小李相遇時(shí)，小李跑的總路程可能為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出，結(jié)合路程問題求出兩人相遇的時(shí)間，進(jìn)而即可求解.【詳解】由題意知，米，設(shè)兩人經(jīng)過分鐘后相遇，則解得，所以小李跑的總路程為當(dāng)時(shí)，小李跑的總路程為米.故選：D8.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，再由換底公式代入計(jì)算，即可判斷，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，又，，由可得，所以，所以，則，所以，又，所以，所以，且，所以，則，所以.

故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是角α終邊上的一點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義求出，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)各選項(xiàng)判斷即得.【詳解】角終邊上點(diǎn)，則，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），于是，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD10.下列區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有零點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，分別畫出函數(shù)與的圖像，即可得到有兩個(gè)零點(diǎn)，然后由零點(diǎn)存在定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，分別畫出函數(shù)與的圖像，結(jié)合圖像可知兩函數(shù)的圖像交點(diǎn)有2個(gè)，且，，所以，所以在內(nèi)有零點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以，所以在?nèi)有零點(diǎn).故選：AC11.已知函數(shù)在上恰好有3個(gè)不同的，使得，且在上單調(diào)遞增，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由給定區(qū)間上的最值點(diǎn)的個(gè)數(shù)及單調(diào)增區(qū)間列出不等式求出范圍，判斷即得.【詳解】由，得，依題意，，解得，由，得，于是，解得，因此取值范圍是，而，所以的值可能為，.故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)則的值為______．【答案】1【解析】【分析】由函數(shù)解析式可得，代入計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，.故答案為：113.扇形拼盤是一種可以在宴會(huì)或聚會(huì)中展示美食的獨(dú)特器具，它不僅可以為食物增添美觀的視覺效果，還可以使每個(gè)人輕松地享用到不同的食物．已知某不銹鋼扇形拼盤如圖所示，其示意圖可以看成是由中間的一個(gè)直徑為24cm的圓，四周是8個(gè)相同的扇環(huán)形組成的，寓意“八方進(jìn)寶”．若每個(gè)扇環(huán)形的周長(zhǎng)為32+10πcm，則每個(gè)扇環(huán)形的面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式列式求解即得.【詳解】設(shè)扇環(huán)形所在圓的半徑為，依題意，扇環(huán)形所在扇形的圓心角為，于是，解得，所以每個(gè)扇環(huán)形的面積為（）.故答案為：14.定義：對(duì)于非常數(shù)函數(shù)，若，，，則稱是“米函數(shù)”．已知函數(shù)是“米函數(shù)”，則ω的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)新定義可得，即（令），結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分類討論、、、不符合題意，故或.再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分類討論、的情況，求出對(duì)應(yīng)的即可.【詳解】由題意知，，使得，又，所以，令，則.若，取，則，所以，與矛盾；若，取，則，所以，與矛盾；若，取，則，所以，與矛盾；若，取，則，所以，與矛盾；綜上，或.當(dāng)時(shí)，，即，得，解得，又，所以；當(dāng)時(shí)，，即，得，解得，又，所以；綜上，的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是三角函數(shù)的性質(zhì).四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某地文化和旅游局統(tǒng)計(jì)了春節(jié)期間100個(gè)家庭的旅游支出情況，統(tǒng)計(jì)得到這100個(gè)家庭的旅游支出（單位：千元）數(shù)據(jù)，按分成5組，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．（1）估計(jì)這100個(gè)家庭的旅游支出的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；（2）估計(jì)這100個(gè)家庭的旅游支出的第70百分位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（3）以這100個(gè)家庭的旅游支出數(shù)據(jù)各組的頻率代替各組的概率，在全國(guó)范圍內(nèi)隨機(jī)抽取2個(gè)春節(jié)期間出游的家庭，每個(gè)家庭的旅游支出情況互相不受影響，求恰有1個(gè)家庭的旅游支出在內(nèi)的概率．【答案】（1）8.3千元；（2）9.7；（3）0.18.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù).（2）利用頻率分布直方圖求出第70百分位數(shù).（3）利用頻率估計(jì)概率，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求解即得.【小問1詳解】估計(jì)這100個(gè)家庭的旅游支出的平均值為：（千元）.【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，旅游支出在的頻率為，在的頻率為，則這100個(gè)家庭的旅游支出的第70百分位數(shù)，則，解得，所以估計(jì)這100個(gè)家庭的旅游支出的第70百分位數(shù)為9.7.【小問3詳解】以頻率估計(jì)概率，得每個(gè)家庭的旅游支出在內(nèi)的概率為，所以抽取2個(gè)家庭，恰有1個(gè)家庭的旅游支出在內(nèi)的概率為.16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（1）求φ的值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)求解即得.（2）由（1）求出的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間.（3）由（2）求出的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域.【小問1詳解】依題意，，則，解得，而，則，所以.【小問2詳解】由（1）得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問3詳解】由（2）得.由，得，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故在上的值域?yàn)?17.已知函數(shù)，其中，．（1）若函數(shù)的值域?yàn)镽，求t的取值范圍；（2）若不等式在上恒成立，求t的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與定義域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域求解.（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性變形不等式，分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最小值即得.【小問1詳解】依題意，，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，由的值域?yàn)?，得，而，則，因此，解得，所以的取值范圍為.【小問2詳解】依題意，在上恒成立，由，得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則，于是對(duì)恒成立，而，則當(dāng)，即時(shí)，，因此，此時(shí)滿足，所以的取值范圍為.18.已知函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為4．（1）求的定義域；（2）若是定義在上的函數(shù)，求關(guān)于x的不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】1）由題意，結(jié)合圖形，根據(jù)割補(bǔ)法可知陰影部分的面積等價(jià)于矩形的面積，進(jìn)而求出，結(jié)合正切函數(shù)的概念即可求解；（2）由（1）知，由，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形即可求解.【小問1詳解】如圖，陰影部分的面積等價(jià)于矩形的面積，對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋赃^點(diǎn)C垂直于x軸的直線為，又，則，解得，所以，由，得，即函數(shù)的定義域?yàn)?；【小?詳解】由（1）知，所以，，則，設(shè)，，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即不等式的解集為.19.已知函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)．（1）證明：為定值．（2）若函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，記，請(qǐng)寫出X的所有可能取值．【答案】（1）證明見解析；（2）的所有可能取值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助正弦型函數(shù)是偶函數(shù)的特性求出，求出解析式即可計(jì)算得證.（2）由（1）求出，換元并構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合圖象求出的所有可能取值.【小問1詳解】依題意，，由為偶函數(shù)，得，解得，而，則，又，所以，為定值.【小問2詳解】由（