弧長(zhǎng)及扇形的面積

3.9

弧長(zhǎng)及扇形的面積

第三章

圓問題1

你注意到了嗎，在運(yùn)動(dòng)會(huì)的

4×100米比賽中，各選手的起跑線不再同一處，你知道這是為什么嗎？問題2

怎樣來計(jì)算彎道的“展直長(zhǎng)度”？因?yàn)橐ＷC這些彎道的“展直長(zhǎng)度”是一樣的.探究一

如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm.（1）轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？A2πr=20πcm1弧長(zhǎng)的計(jì)算如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm.（2）轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？A如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm.（3）轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)

n°，傳送帶上的物品A

被傳送多少厘米？A在半徑為

R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為_____________________.n表示

1°圓心角的倍數(shù).°°歸納總結(jié)例1

制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”再下料.試計(jì)算如圖所示的管道的展直長(zhǎng)度，即弧

AB的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1mm）.40mm110°AB典例精析解：R＝40mm，n＝110，所以

所以

的長(zhǎng)因此，管道的展直長(zhǎng)度約為

76.8(mm).

1.(廣西)如圖在

△ABC

中，CA

=CB

=

4，∠BAC

=α

將

△ABC

繞點(diǎn)

A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

2α

得到

△AB′C′

連接

B′C

并延長(zhǎng)交

AB

于點(diǎn)

D，當(dāng)

B′D⊥AB

時(shí)，

的長(zhǎng)是

(

)B鏈接中考想一想在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上栓著一條長(zhǎng)3m的繩子，繩子的一端栓著一只狗.（1）這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？πr2=9πm2半徑為3m的圓的面積扇形面積的計(jì)算1

（2）如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，那么它的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？狗活動(dòng)的區(qū)域是一個(gè)什么圖形呢？如何求它的面積？n°探究二

如何求圓的部分面積?扇形扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形．°合作探究問題1

由扇形的定義可知，扇形面積就是圓面積的一部分．你能類比剛才我們研究弧長(zhǎng)公式的方法推導(dǎo)出扇形面積的計(jì)算公式嗎？360°

所對(duì)的扇形的面積：1°

所對(duì)的扇形的面積：

πR2360

πR2問題2

圓心角是

n°

的扇形的面積呢？°歸納總結(jié)如果扇形的半徑為

R，圓心角為

n°，那么扇形面積的計(jì)算公式為S扇形=________.°探究三

圓心角是

n°

所對(duì)的弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式之間的關(guān)系.R總結(jié)圓心角為

n°

的扇形的面積是:方法總結(jié)2.(蘭州)如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板；該展板的部分示意圖如圖

2

所示；它是以

O

為圓心，OA，OB

長(zhǎng)分別為半徑，圓心角∠O

=120°

形成的扇面，若

OA

=

3m

，OB=1.5m，則陰影部分的面積為

(

)A.4.25πm2B.3.25πm2C.3πm2

D.2.25πm2D鏈接中考例2

扇形AOB

的半徑為12cm，∠AOB=120°，求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1cm）和扇形AOB

的面積（結(jié)果精確到0.1cm2）.典例精析因此，的長(zhǎng)約為25.1cm，扇形AOB的面積約為150.7cm2.例3如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積

(精確到0.01m2).∵OC＝0.6，DC＝0.3，∴OD＝OC-

DC＝0.3.∴OD＝DC.又AD⊥OC，∴AD是線段

OC的垂直平分線.∴AC＝AO＝OC.從而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.解：如圖，連接

OA、OB，過點(diǎn)

O作弦

AB

的垂線，垂足為

D，交

于點(diǎn)

C，連接

AC.在Rt△AOD中，OA=0.6m，OD=0.3m，∴AD=m.∴AB=2AD=m.∴截面上有水部分的面積為S=S扇形AOB

-

SΔOABOO弓形的面積

=扇形的面積

±

三角形的面積弓形的面積公式:

S弓形

=S扇形

-

S三角形S弓形

=S扇形

+

S三角形方法總結(jié)計(jì)算公式弧長(zhǎng)面積公式面積公式________扇形弓形________________S弓形

=S扇形

-S三角形S弓形

=S扇形

+S三角形2.某扇形的圓心角為

72°，面積為

5π，則此扇形的弧長(zhǎng)為()

A．πB．2πC．3πD．4πB1.75°

的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是

2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是_____cm.63.

如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長(zhǎng)為

5

的正方形鐵絲框

ABCD

變形為以

A

為圓心，AB

為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細(xì))，則所得扇形

ABD

的面積為______.254.(宜昌)“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時(shí)廣泛使用的一種圖形如圖以邊長(zhǎng)為

2

厘米的等邊三角形ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”，該“萊洛三角形”的面積是_____________________.S萊洛三角形=(S扇形BAC