2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題4.6 動角問題專項訓(xùn)練（40道）（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題4.6動角問題專項訓(xùn)練（40道）【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了動角的綜合問題的所有類型！解答題（共40小題）1．（2022·吉林白山·七年級期末）如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角．(本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角)(1)如圖1所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，則∠AOD垂角為和；(2)如果一個角的垂角等于這個角的補(bǔ)角的23(3)如圖2所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射線OC繞點O以9°/s的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點O以6°/s的速度順時針旋轉(zhuǎn)，兩條射線OC、OD同時運動，運動時間為ts(0＜t＜20)，試求當(dāng)t為何值時，∠AOC和∠AOD互為垂角．2．（2022·四川成都·七年級期末）如圖1，點D、O、A共線且∠COD＝20°，∠BOC＝80°，射線OM，ON分別平分∠AOB和∠BOD．如圖2，將射線OD以每秒6°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一周，同時將∠BOC以每秒4°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，∠BOC停止運動．設(shè)射線OD的運動時間為t．(1)運動開始前，如圖1，∠AOM＝°，∠DON＝°；(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)t為何值時，射線OB平分∠AON？(3)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使得∠MON＝35°？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．3．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級期中）如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，∠AOB=45°，射線OC為∠AOB的“幸福線”，求∠AOC的度數(shù)；(3)如圖②，已知∠AOB=60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動的時間為t秒（0<t<9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的t值．4．（2022·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數(shù)．5．（2022·浙江金華·七年級期末）閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個大格，每個大格分成5個小格，所以每個大格對應(yīng)的是30°角，每個小格對應(yīng)的是6°角，時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是0.5度，分針每分針轉(zhuǎn)過的角度是6度．(1)解決問題：當(dāng)時鐘的時刻是8：30時，求此時分針與時針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)．(2)8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時針．(3)設(shè)在8：00時，分針的位置為OA，時針的位置為OB，運動后的分針為OP，時針為OQ．問：在8：00~9：00之間，從8：00開始運動幾分鐘，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？6．（2022·貴州銅仁·七年級期末）沿河縣某初中七年級的數(shù)學(xué)老師在課外活動中組織學(xué)生進(jìn)行實踐探究，用一副三角尺（分別含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器180°刻度線重合，邊AP與量角器0°刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點P以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與180°刻度線重合時停止運動，設(shè)三角尺ABP的運動時間為t秒．(1)當(dāng)t=5時，∠BPD=__________°；(2)若在三角尺ABP開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺PCD也繞點P以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺ABP停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺PCD也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)t為何值時，邊PB平分∠CPD；②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使∠BPD=2∠APC，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．7．（2022·浙江寧波·七年級期末）如圖1,已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度按順時針方向向射線OB旋轉(zhuǎn)；與此同時，射線OQ以每秒4°的速度，從OB位置出發(fā)按逆時針方向向射線OA旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線OA后又以同樣的速度按順時針方向返回，當(dāng)射線OP與射線OB重合時，兩條射線同時停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t（s）．(1)當(dāng)t=5時，求∠POQ的度數(shù)；(2)當(dāng)OP與OQ重合時，求t的值；(3)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線OC始終平分∠AOQ，問：是否存在t的值，使得∠POQ=∠COQ?

若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．8．（2022·福建·廈門市逸夫中學(xué)七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s．兩條射線OM，ON同時運動，運動時間為t秒．（本題出現(xiàn)的角均小于平角）(1)當(dāng)t=2時，∠MON=_______，∠AON=_______；(2)當(dāng)0＜t＜12時，若∠AOM=3∠AON=60°．試求出t的值；(3)當(dāng)0＜t＜6時，探究∠BON?∠COM+∠AOC∠MON的值，問：t9．（2022·福建·泉州七中七年級期末）如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角尺（∠M＝30°）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．（1）若將圖1中的三角尺繞點O以每秒5°的速度，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)t秒，當(dāng)OM恰好平分∠BOC時，如圖2．①求t值；②試說明此時ON平分∠AOC；（2）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON＝α，∠COM＝β，當(dāng)ON在∠AOC內(nèi)部時，試求α與β的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3若∠AOC＝60°，將三角尺從圖1的位置開始繞點O以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)ON與OC重合時，射線OC開始繞點O以每秒20°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，三角尺按原來的速度和方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角板運動到OM邊與OA第一次重合時停止運動．當(dāng)射線OC運動到與OA第一次重合時停止運動．設(shè)三角形運動的時間為t．那么在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得ON，OM兩條邊所在的射線及射線OC，三條射線中的某一條射線是另兩條射線的角平分線？若存在，直接寫出所有滿足條件的t的值，若不存在，請說明理由．10．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝12∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，則∠AOC＝12∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠【解決問題】（1）在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖3，射線OB從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；同時，射線OC從與射線OA的反向延長線重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止．問：當(dāng)運動時間為多少秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？11．（2022·湖北武漢·七年級期末）定義：過角的頂點在角的內(nèi)部作一條射線，得到三個角，若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱這條射線為這個角的“二倍角線”．（1）如圖1，∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“二倍角線”，則∠AOC＝．（2）如圖2，射線OB為∠COD的“二倍角線”，且∠DOB＝2∠BOC．射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，問∠AOD+∠BOC∠MON（3）如圖3．已知∠AOB＝120°，射線OC、OD為∠AOB的“二倍角線”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，將∠COD繞點O以10°/秒的速度順時針轉(zhuǎn)動，運動時間為t秒（0≤t≤14），射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線．OB、OM、ON三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出t所有可能的值．12．（2022·天津南開·七年級期末）已知：如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：5．將一等腰直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊ON在射線OB上，另一直角邊OM在直線AB的下方．（1）將圖1中的等腰直角三角板繞點O以每秒3°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，直角邊ON旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊為ON'，直角邊OM旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊為OM'．在此過程中，經(jīng)過t秒后，OM'恰好平分∠BOC，求t的值；（2）如圖2，在（1）問的條件下，若等腰直角三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞點O以每秒4°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線為OC'．當(dāng)射線OC'落在射線OC的反向延長線上時，射線OC和等腰直角三角板同時停止運動．在此過程中，是否存在某一時刻t，使得OC'//M'N'．若存在，請求出t的值，若不存在，誚說明理由；（3）如圖3，在（1）問的條件下，若等腰直角三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線OC也繞點O以每秒5°的速度順針方向旋轉(zhuǎn)，射線OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線為OC'．當(dāng)?shù)妊苯侨前逋Ｖ惯\動時，射線OC也停止運動．在整個運動過程中．經(jīng)過l秒后，∠M'ON'的某一邊恰好平分∠AOC'，請直接寫出所有滿足條件的t的值．13．（2022·山西晉中·七年級期末）綜合與探究：射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時，由于完成下列任務(wù)：（1）如圖2，∠AOB=150°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=°，若∠AOB的度數(shù)是x，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是．（用含x的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒6°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；②當(dāng)t為多少秒時，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．請直接寫出結(jié)果．14．（2022·陜西·西安高新一中實驗中學(xué)七年級期末）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開始出發(fā)，繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線OQ從OC處開始出發(fā)，繞點O順時針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時，OP、OQ同時停止運動），旋轉(zhuǎn)時間為t秒.（旋轉(zhuǎn)速度÷旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時間）(1)當(dāng)t＝秒，射線OP平分∠AOB時；(2)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時，請求出當(dāng)∠POQ=60°時，射線OP旋轉(zhuǎn)的時間；(3)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時，是否存在某個時刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．15．（2022·浙江杭州·七年級期中）在同一平面內(nèi)的三條射線OA、OB、OC，①當(dāng)射線OC在∠AOB內(nèi)時，若滿足∠AOC=2∠COB，則稱射線OC是【OA,OB】的好線；若滿足∠BOC=2∠AOC，則稱射線OC是【OB,OA】的好線；②當(dāng)射線OC在∠AOB外時，若滿足∠AOC=2∠COB，稱射線OC是【（1）如圖1，∠AOD=∠DOC=∠COB=20°，則射線OC是【OA,OB】的好線，又是【OA,OD】的皮線；射線______是【OB,OA】的好線，又是____的皮線．（2）如圖2，點O在線段AB上，∠BOD=30°,∠AOC=60°，求【OC,OD】的好線與OA的夾角（寫出完整的解答過程）．（3）如圖3，點O在直線AB上，∠BOD=30°,?∠AOC=60°，射線OM從OC位置出發(fā)以每秒10°的速度繞著點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為①求當(dāng)t為何值時，【OB,OM】的皮線與OC垂直？②若有射線ON從OD位置與射線OM同時出發(fā)以每秒5°的速度繞著點O順時針方向旋轉(zhuǎn)，并與射線OM同時停止運動，求當(dāng)t為何值時，OM、OB、ON三條射線中恰好能使得其中一條為其余兩條的好線（直接寫出答案）．16．（2022·廣東汕頭·七年級期末）已知∠AOB=150°，射線OP從OB出發(fā)，繞O逆時針以1°/秒的速度旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OA出發(fā)，繞O順時針以3°/秒的速度旋轉(zhuǎn)，兩射線同時出發(fā)，運動時間為t秒0<t≤60（1）當(dāng)t=12秒時，求∠POQ；（2）當(dāng)OP⊥OQ，求t的值；（3）射線OP，OQ，OB，其中一條射線是其他兩條射線所形成的角的平分線，求t的值．17．（2022·湖北武漢·七年級期末）問題背景整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理，整體思想在代數(shù)和幾何中都有很廣泛的應(yīng)用．(1)如圖1，A、B、O三點在同一直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，則∠DOE的度數(shù)為（直接寫出答案）．(2)當(dāng)x＝1時，代數(shù)式ax3+bx+2021的值為2020，當(dāng)x＝﹣1時，求代數(shù)式ax3+(3)①如圖2，點C是線段AB上一定點，點D從點A、點E從點B同時出發(fā)分別沿直線AB向左、向右勻速運動，若點E的運動速度是點D運動速度的3倍，且整個運動過程中始終滿足CE＝3CD，求ACAB②如圖3，在①的條件下，若點E沿直線AB向左運動，其它條件均不變．在點D、E運動過程中，點P、Q分別是AE、CE的中點，若運動到某一時刻，恰好CE＝4PQ，求此時ADAB18．（2022·四川·麓山師大一中七年級階段練習(xí)）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=3∠AOC，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°至圖2的位置，則∠MOC=______°．（2）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由．（3）將圖1中的三角尺繞著點O以每秒15°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)；同時，射線OC也繞著點O以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時停止，另一方同時也停止轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線OC恰好平分∠MON時，求此時三角板繞點O的運動時間t的值．19．（2022·山東臨沂·七年級期末）已知∠AOB=150°，OC為∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠BOC=60°．（1）如圖1，若OE平分∠AOB，OD為∠BOC內(nèi)部的一條射線，∠COD=12∠BOD（2）如圖2，若射線OE繞著O點從OA開始以15度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)至OB結(jié)束、OF繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至OA結(jié)束，運動時間t秒，當(dāng)∠EOC=∠FOC時，求t的值．20．（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖1，平面內(nèi)一定點A在直線EF的上方，點O為直線EF上一動點，作射線OA、OP、OA'，當(dāng)點O在直線EF上運動時，始終保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，將射線OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到射線OB．（1）如圖1，當(dāng)點O運動到使點A在射線OP的左側(cè)，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度數(shù)；（2）當(dāng)點O運動到使點A在射線OP的左側(cè)，且∠AOE＝3∠A'OB時，求∠AOF∠AOP（3）當(dāng)點O運動到某一時刻時，∠A'OB＝130°，請直接寫出∠BOP＝_______度．21．（2022·福建·莆田華亭第一中學(xué)七年級期末）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（2）如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線相交于E、F，則∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數(shù)．22．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC:∠BOC=2:1將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角形板繞點O按照順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得OM落在射線OA上，此時ON旋轉(zhuǎn)的角度是____°；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得OM在∠BOC的內(nèi)部，則∠BON?∠COM=_____________°；（3）在上述直角板從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中，若三角板繞點O按每秒鐘15°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OM恰好為∠BOC的平分線時，此時，三角板繞點O23．（2022·福建三明·七年級期末）一副三角尺按照如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器0刻度線重合，邊AP與量角器180°刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點P以每秒4°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與0°刻度線重合時停止運動.設(shè)三角尺ABP的運動時間為t（秒）（1）當(dāng)t=5秒時，邊PB經(jīng)過的量角器刻度線對應(yīng)的度數(shù)為_;（2）t=秒時，邊PB平分∠CPD;（3）若在三角尺ABP開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺PCD也繞點P以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺ABP停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺PCD①當(dāng)t為何值時，邊PB平分∠CPD;②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻，使得∠BPD:∠APC=3:2.若存在，請求出t的值;若不存在，請說明理由.24．（2022·福建·福州時代中學(xué)七年級期末）已知∠AOB=120°，OC、OD是過點O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則∠MON=______°(2)如圖②，若∠COD=40°，∠AOC≠∠DOB，則∠MON=______°(3)如圖③，在∠AOB內(nèi)，若∠COD=α0°<α<60°，則∠MON=(4)將（3）中的∠COD繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部（0<∠AOC<180°，0<∠BOD<180°），求此時∠MON的度數(shù)．25．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．問：此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．(2)將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第n秒時，直線ON恰好平分∠AOC，則n的值為______（點接寫結(jié)果）(3)若圖1中的三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部時，∠AOM?∠NOC的度數(shù)是多少？26．（2022·四川成都·七年級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側(cè)，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如圖1，當(dāng)α=70°，OM平分∠BOC時，求∠NOB的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)OM與OB邊重合，ON在OB的下方時，α=80°，將∠MON繞O點按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時旋轉(zhuǎn)一共用了多少秒；(3)當(dāng)∠MON在直線AB上方時，若α=90°，點F在射線OB上，射線OF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，請直接寫出此時n的值．27．（2022·山東臨沂·七年級期末）定義：在同一平面內(nèi)，有公共端點的三條射線中，一條射線是另兩條射線組成夾角的角平分線，我們稱這三條射線為“共生三線”．如圖為一量角器的平面示意圖，O為量角器的中心．作射線OA，OB，OC，并將其所對應(yīng)的量角器內(nèi)圈刻度分別記為a°，b°，m°．(1)若射線OA，OB，OC為“共生三線”，且OC為∠AOB的角平分線．①如圖1，a=0，b=80，則m=______；②當(dāng)a=40，b=150時，請在圖2中作出射線OA，OB，OC，并直接寫出m的值；③根據(jù)①②的經(jīng)驗，得m=______．（用含a，b的代數(shù)式表示）．(2)如圖3，a=0，b=m=60．將OA，OB，OC按逆時針方向繞點O同時旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度分別為每秒10°，8°，6°，若旋轉(zhuǎn)t秒后得到的射線OA′，OB′，28．（2022·福建莆田·七年級期末）將一副直角三角板AEF，AGH如圖1擺放在直線PQ上，其中A，E，G三點在直線PQ上，三角板AEF在直線PQ上方，三角板AGH在直線PQ下方，∠GAH＝90°，∠FAE＝60°．(1)將三角板AGH從圖1位置開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，則∠HAE﹣∠FAG＝_______；(2)若三角板AEF和三角板AGH同時從圖1所示的位置分別以速度1、6（度/秒）繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，問：經(jīng)過多少秒后，AH和AF第一次重合；(3)三角板AGH旋轉(zhuǎn)到直線PQ上方，點B在射線AQ上，若射線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180），∠BAP＝2∠PAG，AC平分∠HAF，當(dāng)∠BAC＝∠PAF時，求n的值．29．（2022·福建·廈門一中七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，∠AOB=α，∠BOC=β．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當(dāng)α=40°，β=70°時，∠COM=______，∠CON=______，∠MON=______；②∠MON=______（用含有α或β的代數(shù)式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點，直線PQ過點O，點Q在∠AOB外部：①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；（∠MON的度數(shù)用含有α或β的代數(shù)式表示）(3)如圖（4），當(dāng)α=40°，β=70°時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°？30．（2022·北京·清華附中七年級期末）已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE，OF分別平分∠AOD，∠BOD．(1)如圖1，當(dāng)OA，OC重合時，∠EOF=度；(2)若將∠COD的從圖1的位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角∠AOC=α，滿足0°<α<90°且α≠40°．①如圖2，用等式表示∠BOF與∠COE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在∠COD旋轉(zhuǎn)過程中，請用等式表示∠BOE與∠COF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案．31．（2022·湖南長沙·七年級期末）如圖1，在數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別是6，－6，∠DCE＝90°（C與O重合，D點在數(shù)軸的正半軸上）．（1）如圖1，若CF平分∠ACE，則∠AOF＝________；（2）如圖2，將∠DCE沿數(shù)軸的正半軸向右平移t（0＜t＜3）個單位后，再繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)30t度，作CF平分∠ACE，此時記∠DCF＝α．①當(dāng)t＝1時，α＝________；②猜想∠BCE和α的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，開始∠D1C1E1與∠DCE重合，將∠DCE沿數(shù)軸正半軸向右平移t（0＜t＜3）個單位，再繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)30t度，作CF平分∠ACE，此時記∠DCF＝α，與此同時，將∠D1C1E1沿數(shù)軸的負(fù)半軸向左平移t（0＜t＜3）個單位，再繞頂點C1順時針旋轉(zhuǎn)30t度，作C1F1平分∠AC1E1，記∠D1C1F1＝β，若α，β滿足|α－β|＝75°，請求出t的值．32．（2022·四川·達(dá)州市第一中學(xué)校七年級期末）如果兩個角的差的絕對值等于60°，就稱這兩個角互為“伙伴角”，其中一個角叫做另一個角的“伙伴角”（本題所有的角都指大于0°小于180°的角），例如∠1＝80°，∠2＝20°，|∠1﹣∠2|＝60°，則∠1和∠2互為“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，∠2也是∠1的“伙伴角”．（1）如圖1，O為直線AB上一點，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，則∠AOE的“伙伴角”是；（2）如圖2，O為直線AB上一點，∠AOC＝30°，將∠BOC繞著點O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)得∠DOE，同時射線OP從射線OA的位置出發(fā)繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OP與射線OB重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，若設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒；①當(dāng)t為何值時，OD為∠AOC的角平分線；②當(dāng)t為何值時，∠POD與∠POE互為“伙伴角”．33．（2022·安徽合肥·七年級期末）如圖所示，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如圖①，若∠AOC=28°，求∠DOE的度數(shù)；（2）在圖①，若∠AOC=α，直接寫出∠DOE的度數(shù)_________（用含a的代數(shù)式表示）；（3）將圖①中的∠COD繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；②在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足∠AOC?4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由．34．（2022·河南·鄭州市第四初級中學(xué)七年級期末）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．(1)∠AOB的角平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC＝．【問題解決】(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時，運動停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t（s），當(dāng)t為何值時，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運線？試說明理由．35．（2022·湖北黃岡·七年級期末）已知：如圖1，∠AOB=30°，∠BOC=3(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)如圖2，若射線OP從OA開始繞點O以每秒旋轉(zhuǎn)10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線OQ從OB開始繞點O以每秒旋轉(zhuǎn)6°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；其中射線OP到達(dá)OC后立即改變運動方向，以相同速度繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OQ到達(dá)OC時，射線OP，OQ同時停止運動．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，當(dāng)∠POQ=10°時，試求t的值；(3)如圖3，若射線OP從OA開始繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，試求在運動過程中，∠MON的度數(shù)是多少？（請直接寫出結(jié)果）36．（2022·湖北武漢·七年級期末）已知如圖1，線段∠AOB=40°（1）若∠AOC=13∠BOC（2）如圖2，∠AOC=20°，OM為∠AOB內(nèi)部的一條射線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如圖3，∠AOC=20°，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運動的時間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，當(dāng)t在某個范圍內(nèi)4∠AON+∠BOM會為定值，請直接寫出定值，并指出對應(yīng)t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．37．（2022·浙江寧波·七年級期末）如圖1，點O在直線AB上，過點O引一條射線OC，使∠AOC=50°，將一個直角三角尺的直角頂點放在點O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點O以每秒15°的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．（1）∠BOC的度數(shù)是___________，圖1中與它互補(bǔ)的角是___________．（2）三角尺旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可表示為___________（用含t的代數(shù)式表示）：當(dāng)t=___________時，MO⊥OC．【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點也放在點O處，另一端點E在射線OC上．如圖3，在三角尺繞著點O以每秒15°的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)的同時，直尺也繞著點O以每秒5°的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．（3）當(dāng)t為何值時，OM⊥OE，并說明理由？（4）試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)0≤t≤623，是否存在某個時刻，使得∠COM與∠COE中其中一個角是另一個角的兩倍？若存在，請求出所有滿足題意的38．（2022·重慶·七年級期末）如圖1，∠AOB=40°，∠COD=60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON=70°，則∠BOC=_________°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整個運動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON①當(dāng)OC′平分∠BON②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得∠BOP?∠MON′的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應(yīng)的39．（2022·福建泉州·七年級期末）一副三角板，∠AOD=∠CBO=90°（1）按如圖①所示方式放置，點O、D、C三點共線，∠BOC=30°，求∠AOB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，若OP,OQ分別是∠COA與∠BOC內(nèi)部的一條射線，且OP,OQ均以點O為中心，分別從OA、OC位置出發(fā)，以3n度/秒、n度/秒的旋轉(zhuǎn)速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OQ與OB重疊時，所有旋轉(zhuǎn)均停止，試說明:當(dāng)旋轉(zhuǎn)t秒后，∠COP=3∠BOQ;（3）若三角板BOC(不含30°角)是一塊非標(biāo)準(zhǔn)三角板，按如圖②所示方式放置，使∠AOC=3∠BOC，作射線OT，若∠BOT?∠AOT=∠COT，求∠COT與∠AOB的度數(shù)之比．40．（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級開學(xué)考試）已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(圖中的角均大于0°且小于180°)(1)如圖1，求∠MON的度數(shù)；(2)若OD與OB重合，OC從圖2中的位置出發(fā)繞點O逆時針以每秒10°的速度旋轉(zhuǎn)，同時OD從OB的位置出發(fā)繞點O順時針以每秒5°的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒①當(dāng)8<t<24時，試確定∠BOM與∠AON的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)0<t<26且t≠283時，若專題4.6動角問題專項訓(xùn)練（40道）【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了動角的綜合問題的所有類型！一．解答題（共40小題）1．（2022·吉林白山·七年級期末）如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角．(本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角)(1)如圖1所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，則∠AOD垂角為和；(2)如果一個角的垂角等于這個角的補(bǔ)角的23(3)如圖2所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射線OC繞點O以9°/s的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點O以6°/s的速度順時針旋轉(zhuǎn)，兩條射線OC、OD同時運動，運動時間為ts(0＜t＜20)，試求當(dāng)t為何值時，∠AOC和∠AOD互為垂角．【答案】(1)∠COD，∠AOE(2)18°或126°(3)2s或14s【分析】（1）根據(jù)互為垂角的定義即可求解；（2）利用題中的“一個角的垂角等于這個角的補(bǔ)角的23(3)根據(jù)所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三種情況討論，并建立相應(yīng)的方程求解后可得符合題意的t的值．(1)∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；故答案為：∠COD，∠AOE；(2)設(shè)這個角的度數(shù)為x度，則①當(dāng)0＜x＜90時，它的垂角是(90+x)度，根據(jù)題意得：90+x＝23(180﹣x解得：x＝18；②當(dāng)90＜x＜180時，它的垂角是(x﹣90)度，根據(jù)題意得：x﹣90＝23(180﹣x解得：x＝126，∴這個角的度數(shù)為18°或126°；(3)分三種情況：①當(dāng)0＜t＜5時，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(150+6t)°，∴(150+6t)﹣(90﹣9t)＝90，解得t＝2；②當(dāng)5＜t＜10時，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，∴(210﹣6t)﹣(90﹣9t)＝90，解得t＝﹣10(舍去)；③當(dāng)10＜t＜20時，∠AOC＝(9t﹣90)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，∴(210﹣6t)﹣(9t﹣90)＝90，解得：t＝14．綜上所述：t的值為2s或14s時，∠AOC和∠AOD互為垂角．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用和新定義以及角的有關(guān)計算等知識，解此題的關(guān)鍵是理解題意，能準(zhǔn)確從圖中找出角之間的關(guān)系，并利用方程模型計算出結(jié)果．2．（2022·四川成都·七年級期末）如圖1，點D、O、A共線且∠COD＝20°，∠BOC＝80°，射線OM，ON分別平分∠AOB和∠BOD．如圖2，將射線OD以每秒6°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一周，同時將∠BOC以每秒4°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，∠BOC停止運動．設(shè)射線OD的運動時間為t．(1)運動開始前，如圖1，∠AOM＝°，∠DON＝°；(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)t為何值時，射線OB平分∠AON？(3)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使得∠MON＝35°？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)40°，50°(2)當(dāng)t為10時，射線OB平分∠AON；(3)存在，符合條件的t的值為553【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義直接計算即可；（2）根據(jù)∠AOB=∠NOB列方程求解即可；（3）分情況根據(jù)∠MON=35°列方程求解即可．(1)解：∵∠COD=20°，∠BOC=80°，∴∠BOD=20°+80°=100°，∠AOB=180°-∠BOD=180°-100°=80°，∵射線OM，ON分別平分∠AOB和∠BOD，∴∠AOM=12∠AOB=40°，∠DON=12∠故答案為：40，50；(2)解：∵射線OD以每秒6°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，∠BOC以每秒4°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠BOD=100°+4°t-6°t=100°-2°t，∵∠AOB=180°-80°-20°-4°t=80°-4°t，∴12×（100°-2°t）=80°-4°t解得：t=10，∴當(dāng)t為10時，射線OB平分∠AON；(3)解：存在某一時刻使得∠MON=35°，分以下兩種情況：①OM在OA上方，此時∠NOB+∠BOM=35°，即12×（100°-2°t）+12×（80°-4°解得t=553②OM在OA下方，即12×（100°-2°t）+12（4°解得t=25，綜上，符合條件的t的值為553【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，熟練根據(jù)角的關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．3．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級期中）如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，∠AOB=45°，射線OC為∠AOB的“幸福線”，求∠AOC的度數(shù)；(3)如圖②，已知∠AOB=60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動的時間為t秒（0<t<9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的t值．【答案】(1)是；(2)15°，33.75°，11.25°，30°；(3)t=3613或t=4【分析】（1）若OC為∠AOB的三等分線，則有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福線”的定義；（2）根據(jù)“幸福線”的定義可得當(dāng)∠AOB=3∠AOC時，當(dāng)∠AOC=3∠BOC時，當(dāng)∠BOC=3∠AOC時，當(dāng)∠AOB=3∠BOC時，然后根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；（3）由題意可分①當(dāng)0<t<4時ON在與OA重合之前，則有∠MOA=20t，∠AON=60?15t，由OA是∠MON的“幸福線”可進(jìn)行分類求解；②當(dāng)4<t<9時，ON在與OA重合之后，則有∠AON=15t?60，∠MON=5t+60，由ON是∠AOM的“幸福線”可分類進(jìn)行求解．（1）解：若OC為∠AOB的三等分線，則有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福線”的定義，所以角的三等分線是這個角的“幸福線”；故答案為：是．（2）解：由題意得：∵∠AOB=45°，射線OC為∠AOB的“幸福線”，∴①當(dāng)∠AOB=3∠AOC時，則有：∠AOC=15°；②當(dāng)∠AOC=3∠BOC時，則有∠AOC=3③當(dāng)∠BOC=3∠AOC時，則有∠AOC=1④當(dāng)∠AOB=3∠BOC時，則有：∠BOC=15°；∠AOC=30°；綜上所述：當(dāng)射線OC為∠AOB的“幸福線”時，∠AOC的度數(shù)為15°，33.75°，11.25°，30°；（3）解：∵∠AOB=60°，∴射線ON與OA重合的時間為60°÷15°=4（秒），∴當(dāng)0<t≤4時ON在與OA重合之前，如圖所示：∴∠MOA=20t°，∠AON=（60?15t）°，OA是∠MON的“幸福線”，則有以下三類情況：①∠MOA=3∠MON，即20t=320t+60?15t，t=36②∠MOA=3∠AON，即20t=360?15t，t=③∠AON=3∠MOA，即60?15t=3×20t，t=4④∠AON=3∠MON，即60?15t=3×60+5t，t=?4當(dāng)4<t<9時，ON在與OA重合之后，如圖所示：∴∠MON=（5t+60）°，∠AON=（15t?60）°，ON是∠AOM的“幸福線”，則有以下三類情況：①∠MON=3∠MOA，即5t+60=3×20t，t=12②∠NOA=3∠MOA，即15t?60=3×20t，t=?4③∠MON=3∠NOA，即5t+60=315t?60，t=6④∠NOA=3∠MON，即15t?60=35t+60，t綜上：t=3613或t=4【點睛】本題主要考查角的三等分點的計算及角的動點問題，熟練掌握角的三等分點的計算及角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數(shù)．【答案】(1)不是；是(2)①52或35【分析】（1）利用“雙倍和諧線”的意義結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可；（2）①由題意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分類討論的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論；②由題意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分類討論的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論．（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射線PS不是射線PR，PT的“雙倍和諧線”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射線PT是射線PS，PR的“雙倍和諧線”．故答案為：不是；是；（2）①由題意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．當(dāng)∠AOC=2∠AOB時，如圖，則：90-4t=2×40．解得：t=52，當(dāng)∠AOB=2∠AOC時，如圖，則：40=2（90-4t）．解得：t=352，綜上，當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，t的值為52或352；②由題意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．∵當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止，∴此時∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．∴當(dāng)t=45秒時，運動停止，此時∠AON=180°．∵射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．當(dāng)∠COM=2∠COD時，如圖，即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），則：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．當(dāng)∠COD=2∠COM時，如圖，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．則：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=172°．綜上，當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，∠CON的度數(shù)為160°或172°．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，本題是新定義型，理解并熟練應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江金華·七年級期末）閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個大格，每個大格分成5個小格，所以每個大格對應(yīng)的是30°角，每個小格對應(yīng)的是6°角，時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是0.5度，分針每分針轉(zhuǎn)過的角度是6度．(1)解決問題：當(dāng)時鐘的時刻是8：30時，求此時分針與時針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)．(2)8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時針．(3)設(shè)在8：00時，分針的位置為OA，時針的位置為OB，運動后的分針為OP，時針為OQ．問：在8：00~9：00之間，從8：00開始運動幾分鐘，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？【答案】(1)75°(2)48011(3)48013分鐘或960【分析】（1）根據(jù)8：30時，時針與分針的夾角是2.5個大格，可得所夾的銳角的度數(shù)；（2）計算出8：00時時針與分針?biāo)鶌A鈍角的度數(shù)，設(shè)x分鐘后分針第一次追上時針，利用追擊問題列方程，即可求解；（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三種情況，利用角的和、差、倍數(shù)關(guān)系列方程，即可求解．（1）解：8：30時，時針與分針的夾角是2.5個大格，2.5×30°=75°，即分針與時針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)是75°．（2）解：設(shè)x分鐘后分針第一次追上時針．8：00時，時針與分針?biāo)鶌A鈍角是8個大格，8×30°=240°，由題意，6x?0.5x=240，解得x=48011，即8：00開始（3）解：設(shè)運動m分鐘后，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線．分三種情況：如圖①，當(dāng)OB平分∠QOP時，∠QOB=∠POB，∴0.5m=240?6m，解得m=48013；如圖②，當(dāng)OP平分∠QOB時，∠QOB=2∠POB，∴0.5m=26m?240，解得m=96023；如圖③，當(dāng)OQ平分∠POB時，∠POB=2∠QOB，∴6m?240=2×0.5m，解得m=48；綜上，運動48013分鐘或96023分鐘或48分鐘后，【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，以及角平分線的定義，能夠計算出任一時刻時針與分針之間的角度是解題的關(guān)鍵．6．（2022·貴州銅仁·七年級期末）沿河縣某初中七年級的數(shù)學(xué)老師在課外活動中組織學(xué)生進(jìn)行實踐探究，用一副三角尺（分別含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器180°刻度線重合，邊AP與量角器0°刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點P以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與180°刻度線重合時停止運動，設(shè)三角尺ABP的運動時間為t秒．(1)當(dāng)t=5時，∠BPD=__________°；(2)若在三角尺ABP開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺PCD也繞點P以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺ABP停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺PCD也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)t為何值時，邊PB平分∠CPD；②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使∠BPD=2∠APC，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)85(2)①當(dāng)t=354時，邊PB平分∠CPD；②當(dāng)t=12512或t=354時，∠BPD【分析】（1）當(dāng)t=5秒時，計算出邊BP旋轉(zhuǎn)的角度的大小即可得出結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)PB平分∠CPD，利用角平分線的定義可得∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，利用含t的代數(shù)式分別表示出∠MPB和∠BPD的度數(shù)，列出關(guān)于t②設(shè)時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分兩種情況說明：Ⅰ）當(dāng)PA在PC左側(cè)時，如圖2所示：Ⅱ）當(dāng)PA在PC右側(cè)時，如圖3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程得出的角度的大小列出方程即可求得結(jié)論．（1）解：當(dāng)t=5秒時，由旋轉(zhuǎn)知，邊BP旋轉(zhuǎn)的角度為：10°×5=50°，∴∠BPD=180°-（45°+50°）=85°，故答案為：85；（2）解：①如圖1所示：由題意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=12∠CPD由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：10°t+45°+30°+2°t=180°，解得，t=354∴當(dāng)t=354時，邊PB平分∠CPD②在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時刻使∠BPD=2∠APC．∵運動時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，Ⅰ）當(dāng)PA在PC左側(cè)時，如圖2所示：此時，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（120°-12°t），解得：t=354因為當(dāng)t=354此時∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；Ⅱ）當(dāng)PA在PC右側(cè)時，如圖3所示：此時，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（12°t-120°），解得：t=12512當(dāng)PB在PD的右側(cè)時，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，則12°t-135°=2（12°t-120°），解得：t=354此時PB在PD的左側(cè)，所以和假設(shè)情況矛盾，不符合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)t=12512或t=354時，∠BPD=2∠【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的變化，量角器的識別，角平分線的定義，角的計算，一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)運動的時間為t，用含t的代數(shù)式表示出∠APC與∠BPD的值是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江寧波·七年級期末）如圖1,已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度按順時針方向向射線OB旋轉(zhuǎn)；與此同時，射線OQ以每秒4°的速度，從OB位置出發(fā)按逆時針方向向射線OA旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線OA后又以同樣的速度按順時針方向返回，當(dāng)射線OP與射線OB重合時，兩條射線同時停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t（s）．(1)當(dāng)t=5時，求∠POQ的度數(shù)；(2)當(dāng)OP與OQ重合時，求t的值；(3)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線OC始終平分∠AOQ，問：是否存在t的值，使得∠POQ=∠COQ?

若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)∠POQ的度數(shù)為90°(2)t的值為20或60(3)存在，t的值為15或22.5或45【分析】（1）根據(jù)題意可得：當(dāng)t=5時，∠AOP=10°，∠BOQ=20°，即可求解；（2）分兩種情況：當(dāng)射線OQ沒有到達(dá)射線OA，OP與OQ重合時，當(dāng)射線OQ到達(dá)射線OA后返回，OP與OQ重合時，即可求解；（3）分三種情況：當(dāng)0<t≤20時，當(dāng)20<t≤30時，當(dāng)30<t≤60時，即可求解．(1)解：當(dāng)t=5時，∠AOP=2°×5=10°，∠BOQ=4°×5=20°，∵∠AOB=120°，∴∠POQ=∠AOB?∠AOP?∠BOQ=90°；(2)解：當(dāng)射線OQ沒有到達(dá)射線OA，OP與OQ重合時，∠AOP+∠BOQ=∠AOB=120°，根據(jù)題意得：∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴2°×t+4°×t=120°，解得：t=20；當(dāng)射線OQ到達(dá)射線OA后返回，OP與OQ重合時，∠AOQ=∠AOP，根據(jù)題意得：∠AOQ=4°×t?120°，∠AOP=2°×t，∴2°×t=4°×t?120°，解得：t=60；綜上所述，當(dāng)OP與OQ重合時，t的值為20或60；(3)解：存在，t的值為15或22.5或45，使得∠POQ=∠COQ，理由如下：由（2）得：當(dāng)t=20時，OP與OQ第一次重合，當(dāng)t=120°4°=30時，OQ到達(dá)射線OA，當(dāng)t=120°2°當(dāng)0<t≤20時，∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴∠POQ=120°?2°×t?4°×t=120°?6°×t，∠AOQ=120°?4°×t，∵射線OC平分∠AOQ，∴∠COQ=1∵∠POQ=∠COQ，∴120°?6°×t=60°?2°×t，解得：t=15；如圖，當(dāng)20<t≤30時，∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴∠BOP=120°?2°×t,∠AOQ=120°?4°×t，∴∠POQ=6°×t?120°，∠COQ=1∵∠POQ=∠COQ，∴6°×t?120°=60°?2°×t，解得：t=22.5；如圖，當(dāng)30<t≤60時，∠AOP=2°×t，∠AOQ=4°×t?120°，∴∠BOP=120°?2°×t，∠COQ=1∴∠POQ=120°?4°×t?120°∴120°?2°×t=2°×t?60°，解得：t=45；綜上所述，當(dāng)t的值為15或22.5或45時，使得∠POQ=∠COQ．【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平線的計算，角的和與差，利用方程思想解答和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．8．（2022·福建·廈門市逸夫中學(xué)七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s．兩條射線OM，ON同時運動，運動時間為t秒．（本題出現(xiàn)的角均小于平角）(1)當(dāng)t=2時，∠MON=_______，∠AON=_______；(2)當(dāng)0＜t＜12時，若∠AOM=3∠AON=60°．試求出t的值；(3)當(dāng)0＜t＜6時，探究∠BON?∠COM+∠AOC∠MON的值，問：t【答案】(1)144°，66°(2)107(3)當(dāng)0＜t＜103時，∠BON?∠COM+∠AOC∠MON的值是1；當(dāng)103【分析】（1）根據(jù)時間和速度分別計算∠BOM和∠DON的度數(shù)，再根據(jù)角的和與差可得結(jié)論；（2）分兩種情況：①如圖所示，當(dāng)0＜t≤7.5時，②如圖所示，當(dāng)7.5＜t＜12時，分別根據(jù)已知條件列等式可得t的值；（3）分兩種情況，分別計算∠BON、∠COM和∠MON的度數(shù)，代入可得結(jié)論．(1)由題意得：當(dāng)t=2時，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，∠AON=∠AOD-∠DON=90°-24°=66°，故答案為：144°，66°；(2)當(dāng)ON與OA重合時，t=90÷12=7.5（s）當(dāng)OM與OA重合時，t=180°÷15=12（s）如圖所示，①當(dāng)0＜t≤7.5時，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=107②當(dāng)7.5＜t＜12時，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，綜上，t的值為107(3)當(dāng)∠MON=180°時，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=103如圖所示，①當(dāng)0＜t＜103時，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴∠BON?∠COM+∠AOC∠MON②當(dāng)103＜t＜6時，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，∠BON?∠COM+∠AOC==90∴（不是定值）．綜上所述，當(dāng)0＜t＜103時，∠BON?∠COM+∠AOC∠MON的值是1；當(dāng)103＜t【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的和差關(guān)系的計算，解決問題的關(guān)鍵是將相關(guān)的角用含t的代數(shù)式表示出來，并根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解，以及進(jìn)行分類討論，解題時注意方程思想和分類思想的靈活運用．9．（2022·福建·泉州七中七年級期末）如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角尺（∠M＝30°）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．（1）若將圖1中的三角尺繞點O以每秒5°的速度，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)t秒，當(dāng)OM恰好平分∠BOC時，如圖2．①求t值；②試說明此時ON平分∠AOC；（2）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON＝α，∠COM＝β，當(dāng)ON在∠AOC內(nèi)部時，試求α與β的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3若∠AOC＝60°，將三角尺從圖1的位置開始繞點O以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)ON與OC重合時，射線OC開始繞點O以每秒20°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，三角尺按原來的速度和方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角板運動到OM邊與OA第一次重合時停止運動．當(dāng)射線OC運動到與OA第一次重合時停止運動．設(shè)三角形運動的時間為t．那么在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得ON，OM兩條邊所在的射線及射線OC，三條射線中的某一條射線是另兩條射線的角平分線？若存在，直接寫出所有滿足條件的t的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）①t=3；②見解析；（2）β=α+60°；（3）t=15或t=24或t=54【分析】（1）①求出∠BOC，利用角平分線的定義求出∠BOM，進(jìn)而求出∠AON，然后列方程求解；②求出∠CON=15°即可求解；（2）用含t的代數(shù)式表示出α和β，消去t即可得出結(jié)論；（3）分三種情況列方程求解即可．【詳解】解：（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠COM=60°，∠BOC=150°，∵OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM=12∠BOC∴∠AON=180°-90°-75°=15°，∴5t=15，∴t=3；②∵∠AOC=30°，∠AON=15°，∴∠CON=15°，∴此時ON平分∠AOC；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠AON＝α=5t①，∠COM＝β=60°+5t②，把①代入②，得β=α+60°；（3）當(dāng)ON與OC重合時，60÷5=12秒，當(dāng)OC與OA重合時，(360-60)÷20+12=27秒，當(dāng)OC平分∠MON，且OC未與OA重合時，則∠CON=45°，由題意得，60+20(t-12)-5t=45，解得t=15；當(dāng)OM平分∠CON，且OC未轉(zhuǎn)到OA時，則∠CON=180°，由題意得，60+20(t-12)-5t=180，解得t=24；當(dāng)OM平分∠CON，且OC轉(zhuǎn)到OA時，則∠AOM=90°，由題意得，∴360-90=5t，∴t=54，綜上可知，當(dāng)t=15或t=24或t=54時，ON，OM兩條邊所在的射線及射線OC，三條射線中的某一條射線是另兩條射線的角平分線．【點睛】本題考查了角的和差，角平分線的定義，以及一元一次方程的定義，正確識圖是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝12∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，則∠AOC＝12∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠【解決問題】（1）在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖3，射線OB從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；同時，射線OC從與射線OA的反向延長線重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止．問：當(dāng)運動時間為多少秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】（1）是；（2）16n；（3）907或36019【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分四種情況進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝12∠BOC∴∠BOD＝12∠AOD∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．（2）∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝13∠AOB＝13∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝12∠AOB＝12∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝12n﹣13n＝1（3）設(shè)運動時間為x（x≤36）秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOB＝12∠COB所以3x＝12（180﹣5x﹣3x解得x＝907即運動時間為907秒時，射線OB是射線OA當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠COB＝12∠AOB所以180﹣5x﹣3x＝12×3x解得x＝36019即運動時間為36019秒時，射線OB是射線OC當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，則∠COB＝12∠AOC所以3x+5x﹣180＝12（180﹣5x解得x＝1807即運動時間為1807秒時，射線OC是射線OB當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOC＝12∠COB所以180﹣5x＝12（5x+3x解得x＝30（符合題意），即運動時間為30秒時，射線OC是射線OA的“友好線”．綜上所述，當(dāng)運動時間為907或36019或【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，角的運算，理解新定義，并用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．11．（2022·湖北武漢·七年級期末）定義：過角的頂點在角的內(nèi)部作一條射線，得到三個角，若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱這條射線為這個角的“二倍角線”．（1）如圖1，∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“二倍角線”，則∠AOC＝．（2）如圖2，射線OB為∠COD的“二倍角線”，且∠DOB＝2∠BOC．射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，問∠AOD+∠BOC∠MON（3）如圖3．已知∠AOB＝120°，射線OC、OD為∠AOB的“二倍角線”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，將∠COD繞點O以10°/秒的速度順時針轉(zhuǎn)動，運動時間為t秒（0≤t≤14），射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線．OB、OM、ON三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出t所有可能的值．【答案】（1）60°或80°或40°．；（2）∠AOD+∠BOC∠MON的值是定值，定值為2；（3）12秒或28【分析】（1）根據(jù)“二倍角線”的概念分三種情況討論，分別求解即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON，然后由∠DOB＝2∠BOC進(jìn)一步得到∠BOC=∠BON=∠DON，設(shè)∠AOM=x,∠BOC=y，根據(jù)題意分別表示出∠AOD+∠BOC和∠MON，即可求出（3）首先根據(jù)∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出∠COD=1【詳解】解：（1）當(dāng)∠AOB=2∠AOC時，∠AOC=1當(dāng)∠AOC=2∠BOC時，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∵∠AOC+12∠AOC=120°當(dāng)∠BOC=2∠AOC時，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∵∠AOC+2∠AOC=120°，解得：∠AOC=40°；故答案為：60°或80°或40°．（2）∵射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON，又∵∠DOB＝2∠BOC，∠BOD=∠BON+∠DON，∴∠BOC=∠BON=∠DON，∴設(shè)∠AOM=∴∠AOD+∠BOC∴∠AOD+∠BOC∠MON（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，又∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=120°，∴∠AOC=1∴∠AOC=∠BOD=∠COD=1∵射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠AOM=12∠AOC=20°∴∠BOM=∠AOB?∠AOM=100°，將∠COD繞點O以10°/秒的速度順時針轉(zhuǎn)動，運動時間為t秒（0≤t≤14），∴當(dāng)0≤t≤4時，∠COD在∠AOB內(nèi)部，∵∠MON=∠AOB?∠AOM+∠BON∠BON=1∠MOB=∠MON+∠BON=80°+20°?5t=100°?5t，∴當(dāng)∠MOB=2∠BON時，100°?5t=2×20°?5t，解得：t=?12當(dāng)∠MON=2∠BON時，80°=