2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專(zhuān)題11.1 期中期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之相交線(xiàn)與平行線(xiàn)十八大必考點(diǎn)（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專(zhuān)題11.1相交線(xiàn)與平行線(xiàn)十八大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的判斷】 1【考點(diǎn)2三線(xiàn)八角中的截線(xiàn)問(wèn)題】 2【考點(diǎn)3根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】 4【考點(diǎn)4直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的平行線(xiàn)的判定】 6【考點(diǎn)5與垂線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算或證明】 7【考點(diǎn)6利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】 8【考點(diǎn)7平行線(xiàn)的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 10【考點(diǎn)8利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 12【考點(diǎn)9平行線(xiàn)的運(yùn)用（單一輔助線(xiàn)）】 13【考點(diǎn)10平行線(xiàn)的運(yùn)用（多條輔助線(xiàn)）】 15【考點(diǎn)11平行線(xiàn)在折疊問(wèn)題的運(yùn)用】 17【考點(diǎn)12平行線(xiàn)在三角尺中的運(yùn)用】 18【考點(diǎn)13平行線(xiàn)中的規(guī)律問(wèn)題】 20【考點(diǎn)14平行線(xiàn)中的轉(zhuǎn)角問(wèn)題】 22【題型15生活中的平移現(xiàn)象】 24【題型16圖形的平移】 25【題型17利用平移的性質(zhì)求解】 26【題型18利用平移解決實(shí)際問(wèn)題】 27【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的判斷】【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期末）如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．∠1和∠2是同旁?xún)?nèi)角 B．∠1和∠3是對(duì)頂角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角【變式1-1】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線(xiàn)八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線(xiàn)，食指代表截線(xiàn)）.從左至右依次表示（

）A．同旁?xún)?nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁?xún)?nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角【變式1-2】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．∠C與∠1是內(nèi)錯(cuò)角B．∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角C．∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角D．∠A與∠3是同位角【變式1-3】（2022·河南·商水縣希望初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有c對(duì)，則a+b?c的值是____________【考點(diǎn)2三線(xiàn)八角中的截線(xiàn)問(wèn)題】【例2】（2022·四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，則下列表述正確的是（

）A．∠1和∠2是由直線(xiàn)AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直線(xiàn)AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直線(xiàn)DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直線(xiàn)DA、DB被AC所截形成的【變式2-1】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）如圖，∠ABD與∠BDC是（

）形成的內(nèi)錯(cuò)角A．直線(xiàn)AD、BC被直線(xiàn)BD所截 B．直線(xiàn)AB、CD被直線(xiàn)BD所截C．直線(xiàn)AB、CD被直線(xiàn)AC所截 D．直線(xiàn)AD、BC被直線(xiàn)AC所截【變式2-2】（2022·甘肅·隴西縣鞏昌中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，∠2與∠3是直線(xiàn)______、____被第三條直線(xiàn)_____所截形成的_______．【變式2-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出：(1)直線(xiàn)CD和AB被直線(xiàn)AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角.(2)直線(xiàn)CD和AC被直線(xiàn)AD所截構(gòu)成的同位角.(3)直線(xiàn)AC和AB被直線(xiàn)BC所截構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角.【考點(diǎn)3根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】【例3】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求證：∠B=∠C．證明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【變式3-1】（2022·黑龍江·遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB，CD于點(diǎn)G，H，HN是∠(1)如果GM是∠BGE的平分線(xiàn)，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系；證明：∵AB∥∴∠BGE＝______（兩直線(xiàn)平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線(xiàn)，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分線(xiàn)∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和HN的位置關(guān)系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分線(xiàn)，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）(3)如果GM是∠BGH的平分線(xiàn)，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想不必證明．【變式3-2】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+12【變式3-3】（2022·廣東·廣州市第四中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求證：∠B＝∠D；(2)如圖2，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，點(diǎn)G在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線(xiàn)；(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠EDC的平分線(xiàn)DH交BG于點(diǎn)H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù)．【考點(diǎn)4直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的平行線(xiàn)的判定】【例4】（2022·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與地面垂直，當(dāng)橫板AB的A端著地時(shí)，測(cè)得∠OAC=28°，則在玩蹺蹺板時(shí)，小明坐在A點(diǎn)處，他上下最大可以轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【變式4-1】（2022·山東臨沂·七年級(jí)期末）如圖將木條a，b與c釘在一起，∠1=75°，要使木條a與b平行，木條a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【變式4-2】（2022·云南昆明·七年級(jí)期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線(xiàn)上，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF第一次與AB平行時(shí)，∠CDF的度數(shù)是（A．15° B．30° C．45° D．75°【變式4-3】（2022·湖南永州·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)l1∥l2，現(xiàn)將一個(gè)含30°角的直角三角板的銳角頂點(diǎn)B放在直線(xiàn)l2上，將三角板繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點(diǎn)C落在l1與l2之間的區(qū)域，邊AC與直角l1相交于點(diǎn)A．65° B．75° C．85° D．80°【考點(diǎn)5與垂線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算或證明】【例5】（2022·湖南·測(cè)試·編輯教研五七年級(jí)期末）如圖，已知∠1=∠C，∠2=∠3，F(xiàn)G⊥AC于G，你能說(shuō)明BD與AC互相垂直嗎？【變式5-1】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）請(qǐng)補(bǔ)充完整下列推理過(guò)程及證明過(guò)程中的依據(jù)．如圖，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．試證明：解：因?yàn)镈G//所以∠2=∠BAD（____________）．因?yàn)椤?=∠2（已知），所以______（等量代換），所以EF//所以∠EFB=______（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）因?yàn)镋F⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代換），所以______（垂直的定義）．【變式5-2】（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）如圖，AB⊥AC，垂足為A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD與BC平行嗎？為什么？（2）根據(jù)題中的條件，能判斷AB與CD平行嗎？如果能，請(qǐng)說(shuō)明理由：如果不能，添加一個(gè)條件，使它們平行（不必說(shuō)明理由）．【變式5-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）已知：直線(xiàn)MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是射線(xiàn)AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD．(1)在圖1中過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD，與射線(xiàn)BQ交于E點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如圖2所示，點(diǎn)F是射線(xiàn)BQ上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，∠DCF＝α，分別作∠NDC與∠CFQ的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，請(qǐng)用含有α的代數(shù)式來(lái)表示∠DGF，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)6利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】【例6】（2022·福建福州·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，點(diǎn)F，G在BC上，EF與DG交于點(diǎn)O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判斷DE與BC的位置關(guān)系，并證明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度數(shù)．【變式6-1】（2022·河南漯河·七年級(jí)期末）已知：如圖，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度數(shù)；(2)判斷BE與CD的位置關(guān)系，并證明你的猜想．【變式6-2】（2022·廣東湛江·七年級(jí)期末）如圖所示，已知射線(xiàn)CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且滿(mǎn)足∠FOB=∠AOB，OE平分(1)證明：OC∥(2)求∠EOB的度數(shù)；(3)若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-3】（2022·北京密云·七年級(jí)期末）已知：點(diǎn)C是∠AOB的OA邊上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)D是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，射線(xiàn)CD不與OB相交．(1)如圖1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OE，使得OE//CD．（其中點(diǎn)E在∠AOB內(nèi)部）．①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖1；②直接寫(xiě)出∠BOE的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)F是射線(xiàn)OB上一點(diǎn)，且點(diǎn)F不與點(diǎn)O重合，當(dāng)∠AOB=α0°<α≤180°時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作射線(xiàn)FH，使得FH//CD（其中點(diǎn)H在∠AOB的外部），用含α的代數(shù)式表示∠OCD與∠BFH【考點(diǎn)7平行線(xiàn)的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】【例7】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖線(xiàn)段AB和CD表示兩面鏡子，且直線(xiàn)AB∥直線(xiàn)CD，光線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)鏡子AB反射到鏡子CD，最后反射到光線(xiàn)GH.光線(xiàn)反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4，下列結(jié)論：①直線(xiàn)EF平行于直線(xiàn)GH；②∠FGH的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)AB；③∠BFE的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)垂直于∠4的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)；④當(dāng)CD繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90時(shí)，直線(xiàn)EF與直線(xiàn)GH不一定平行，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【變式7-1】（2022·江蘇宿遷·七年級(jí)期末）實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線(xiàn)的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線(xiàn)和被反射出的光線(xiàn)與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP，一束光線(xiàn)AB射在其中一塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線(xiàn)會(huì)平行嗎？若不平行，請(qǐng)說(shuō)明理由，若平行，請(qǐng)給予證明【變式7-2】（2022·浙江杭州·七年級(jí)期末）（1）若組成∠1和∠2的兩條邊互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場(chǎng)上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,EF與上拉桿CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通過(guò)調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來(lái)調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)∠CDB=25°時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線(xiàn)上，求∠H的度數(shù)．【變式7-3】（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學(xué)七年級(jí)期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線(xiàn)（AB∥CD）如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線(xiàn)自PA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線(xiàn)自QD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時(shí)開(kāi)啟不停交叉照射巡視．設(shè)燈P轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈Q轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，湖面上點(diǎn)M是音樂(lè)噴泉的中心．（1）若把燈P自PA轉(zhuǎn)至PB，或者燈Q自QD轉(zhuǎn)至QC稱(chēng)為照射一次，請(qǐng)求出P、Q兩燈照射一次各需要的時(shí)間；（2）12秒時(shí)，兩光束恰好在M點(diǎn)匯聚，求∠PMQ；（3）在兩燈同時(shí)開(kāi)啟后的35秒內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)開(kāi)啟多長(zhǎng)時(shí)間后，兩燈的光束互相垂直？【考點(diǎn)8利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例8】（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，DF∥AB交直線(xiàn)(1)如圖1，若點(diǎn)F在邊BC上，直接寫(xiě)出∠BAC與∠EFD的數(shù)量關(guān)系；(2)若點(diǎn)F在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由．【變式8-1】（2022·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖，已知AM∥BN，P是射線(xiàn)AM上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），BC，BD分別平分∠ABP與∠PBN，分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C，(1)若∠A=50°，求∠CBD的度數(shù)；(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠BPA與∠BDA的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出∠BPA與∠BDA的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，探究∠ABC與∠DBN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式8-2】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）已知：直線(xiàn)AB∥CD，經(jīng)過(guò)直線(xiàn)AB上的定點(diǎn)P的直線(xiàn)EF交CD于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N為直線(xiàn)CD上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在點(diǎn)O右側(cè)，點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，連接PM，PN，滿(mǎn)足(1)如圖1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接寫(xiě)出∠COP的度數(shù)為：______．(2)如圖2，射線(xiàn)PQ為∠MPE的角平分線(xiàn)，用等式表示∠NPQ與∠POM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式8-3】（2022·湖北孝感·七年級(jí)期末）在三角形ABC中，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線(xiàn)段AB上（點(diǎn)F不與點(diǎn)A，E，B重合），連接DF，過(guò)點(diǎn)D作FG⊥FD交射線(xiàn)CB于點(diǎn)(1)如圖1，點(diǎn)F在線(xiàn)段BE上，①用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖，求證：∠ABC+∠BFG?∠EDF=90°；(2)當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段AE上時(shí)，依題意，在圖2中補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系，不需證明．【考點(diǎn)9平行線(xiàn)的運(yùn)用（單一輔助線(xiàn)）】【例9】（2022·四川德陽(yáng)·七年級(jí)期末）已知：AB∥CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，在兩直線(xiàn)間取一點(diǎn)E．(1)如圖1，求證：∠E=∠APE+∠CQE；(2)將線(xiàn)段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分線(xiàn)和∠APE的平分線(xiàn)交于直線(xiàn)AB、CD內(nèi)部一點(diǎn)H．①如圖2，若∠E=90°，求∠H的度數(shù)；②如圖3，若點(diǎn)I在直線(xiàn)AB、CD內(nèi)部，且PI平分∠BPE，連接HI，若∠I?∠H=m°，∠E=n°，請(qǐng)直接寫(xiě)出m與n的數(shù)量關(guān)系，不必證明．【變式9-1】（2022·廣東梅州·八年級(jí)期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一塊三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點(diǎn)C落在OB邊上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)MN∥OB交OA邊于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在點(diǎn)D的左側(cè)．(1)如圖1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度數(shù)；(2)若∠MDC的平分線(xiàn)DF交OB邊于點(diǎn)F，如圖2，當(dāng)DF∥OA，且α＝60°時(shí)，證明：CE∥OA．【變式9-2】（2022·陜西西安·八年級(jí)期末）在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線(xiàn)”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖1，已知兩直線(xiàn)a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，(1)在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線(xiàn)a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，說(shuō)明理由；(3)競(jìng)賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，當(dāng)AC平分∠BAM時(shí)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系并證明．【變式9-3】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)A在直線(xiàn)MN上，點(diǎn)B在直線(xiàn)ST上，點(diǎn)C在MN，ST之間，且滿(mǎn)足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．(1)證明：MN∥(2)如圖2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，連接AE，且∠DAE＝2∠CBT，試判斷∠CAE與∠(3)如圖3，若∠ACB＝45°，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，連接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接寫(xiě)出∠CAE：∠CAN的值．【考點(diǎn)10平行線(xiàn)的運(yùn)用（多條輔助線(xiàn)）】【例10】（2022·云南普洱·七年級(jí)期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長(zhǎng)方形DEFG中，DE//GF．如圖（1），若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長(zhǎng)方形的邊GF上，BC與DE相交于點(diǎn)M，AB⊥DE于點(diǎn)N．(1)請(qǐng)你直接寫(xiě)出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．(2)若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請(qǐng)你猜想∠EMC與∠CAF的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．(3)請(qǐng)你總結(jié)（1），（2）解決問(wèn)題的思路，在圖（2）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【變式10-1】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）直線(xiàn)AB∥CE，BE—EC是一條折線(xiàn)段，BP平分(1)如圖1，若BP∥CE，求證：(2)CQ平分∠DCE，直線(xiàn)BP，CQ交于點(diǎn)F．①如圖2，寫(xiě)出∠BEC和∠BFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AB，CD之間時(shí)，若∠BEC=40°，直接寫(xiě)出∠BFC的大小．【變式10-2】（2022·廣東·新豐縣教育局教研室七年級(jí)期末）細(xì)觀(guān)察，找規(guī)律．（1）下列各圖中的MA1與①圖①中的∠A②圖②中的∠A③圖③中的∠A④圖④中的∠A⑤第⑩個(gè)圖中的∠A⑥第n個(gè)圖中的∠A（2）下列各圖中AB//①圖甲中∠B、∠C、∠BEC的數(shù)量關(guān)系是______．②圖乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的數(shù)量關(guān)系是______．③圖丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的數(shù)量關(guān)系是______．【變式10-3】（2022·北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)分校七年級(jí)期末）已知，如圖1，射線(xiàn)PE分別與直線(xiàn)AB，CD相交于E、F兩點(diǎn)，∠PFD的平分線(xiàn)與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)M，射線(xiàn)PM交CD于點(diǎn)N，設(shè)∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80?2α＋|β﹣40|＝0(1)α＝，β＝；直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點(diǎn)G、H分別在射線(xiàn)MA和線(xiàn)段MF上，且∠MGH＝∠PNF，試找出∠FMN與∠GHF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若將圖中的射線(xiàn)PM繞著端點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3），分別與AB、CD相交于點(diǎn)M1和點(diǎn)N1時(shí)，作∠PM1B的角平分線(xiàn)M1Q與射線(xiàn)FM相交于點(diǎn)Q，問(wèn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中∠FPN【考點(diǎn)11平行線(xiàn)在折疊問(wèn)題的運(yùn)用】【例11】（2022·山東濰坊·七年級(jí)期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊AD//BC，則翻折角∠1與∠2一定滿(mǎn)足的關(guān)系是（

）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90° C．∠1?∠2=30° D．2∠1?3∠2=30°【變式11-1】（2022·山東·滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B=(

)A．60° B．70° C．80° D．90°【變式11-2】（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，將三角形ABC向下翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為DE.試說(shuō)明：DE∥BC．【變式11-3】（2022·江蘇·常州市第二十四中學(xué)七年級(jí)期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點(diǎn)F．(1)如圖①，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，寫(xiě)出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù)；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)12平行線(xiàn)在三角尺中的運(yùn)用】【例12】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接著如圖2保持三角板ABC不動(dòng)，將三角板ACD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)90°后停止．在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t=______________秒時(shí)，三角板A′CD【變式12-1】（2022·河北·青縣教育局教研室七年級(jí)期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，BC邊與EF邊都在直線(xiàn)l上，若直線(xiàn)MN∥AC，且MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則∠CDN=_________；【變式12-2】（2022·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）一副三角板ADE和ABC按如圖1所示放置，點(diǎn)B在斜邊AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．現(xiàn)將三角板ADE固定不動(dòng)，三角板ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<180°，使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2，當(dāng)∠BAD＝15°時(shí)，BC∥DE，則∠BAD【變式12-3】（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)期末）在一次課外活動(dòng)中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明將△ADE從圖中位置開(kāi)始，繞點(diǎn)A按每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第____秒時(shí)，邊AB與邊DE平行．【考點(diǎn)13平行線(xiàn)中的規(guī)律問(wèn)題】【例13】（2022·山東泰安·期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)(1)如圖1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，則∠AEC=____________；(2)如圖2，試說(shuō)明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)①如圖3，若∠BAE的平分線(xiàn)與∠DCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖4，若設(shè)∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，請(qǐng)直接用含【變式13-1】（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．問(wèn)題解決：（1）如圖2，AB∥CD，直線(xiàn)l分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在直線(xiàn)I上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判斷∠APC、α、β之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線(xiàn)段MN或NM的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)．請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC、α、B之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P是AB、CD之間的一點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)A、C右側(cè)），連接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q．若∠APC＝116°，請(qǐng)結(jié)合（2）中的規(guī)律，求∠AQC的度數(shù)．【變式13-2】（2022·四川·樹(shù)德中學(xué)七年級(jí)期末）（1）如圖①，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，（2）如圖②，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，∠3，（3）如圖③，已知AB∥CD，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，（4）通過(guò)以上3個(gè)問(wèn)題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【變式13-3】（2022·北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)七年級(jí)期末）喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計(jì)了一種折疊紙條的游戲．如圖1，紙條的一組對(duì)邊PN∥QM（紙條的長(zhǎng)度視為可延伸），在PN，QM上分別找一點(diǎn)A，B，使得∠ABM＝α．如圖2，將紙條作第一次折疊，使BM′與BA在同一條直線(xiàn)上，折痕記為解決下面的問(wèn)題：（1）聰明的小白想計(jì)算當(dāng)α＝90°時(shí)，∠BR1N′的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問(wèn)題，請(qǐng)幫他補(bǔ)全問(wèn)題并求解：如圖3，PN∥QM，A，B分別在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折疊：BR1平分_________，（2）聰穎的小桐提出了一個(gè)問(wèn)題：按圖2折疊后，不展開(kāi)紙條，再沿AR1折疊紙條（如圖4），是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)（3）笑笑看完此題后提出了一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)0°<α≤90°時(shí)，將圖2記為第一次折疊；將紙條展開(kāi)，作第二次折疊，使BM′與BR1在同一條直線(xiàn)上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開(kāi)，作第三次折疊，使BM′與BR①第二次折疊時(shí)，∠BR2N②第n次折疊時(shí)，∠BRnN【考點(diǎn)14平行線(xiàn)中的轉(zhuǎn)角問(wèn)題】【例14】（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校七年級(jí)期末）將兩個(gè)等邊三角形（每個(gè)內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（旋轉(zhuǎn)角0°(1)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足0°<α≤60°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出∠(2)如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足60°<α≤120°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出∠(3)當(dāng)DE//BC時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【變式14-1】（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，其直角頂點(diǎn)O在直線(xiàn)l上，將三角板AOB繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠2的度數(shù)（0°<∠2<360°）．請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)∠2的度數(shù)為多少時(shí)，AB∥(2)如右圖，作AC⊥l于點(diǎn)C，BD⊥l于點(diǎn)D，試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角（不包含該圖中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫(xiě)出所有相等的角，并說(shuō)明理由；若不存在，請(qǐng)舉例說(shuō)明．【變式14-2】（2022·河南·漯河市郾城區(qū)郾城初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1，已知PQ∥MN，點(diǎn)A，B分別在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射線(xiàn)AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)（速度是a°/秒），射線(xiàn)BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)（速度是b°/秒）、且a、b滿(mǎn)足a?3+(1)a=_____________，b=____________；(2)如圖2，兩條射線(xiàn)同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（t<60），兩條旋轉(zhuǎn)射線(xiàn)交于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，求∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系；(3)若射線(xiàn)BP先旋轉(zhuǎn)20秒，射線(xiàn)AM才開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線(xiàn)AM旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（t<160），若旋轉(zhuǎn)中AM∥BP，求t的值．【變式14-3】（2022·浙江湖州·七年級(jí)期末）如圖1，已知直線(xiàn)AB∥CD，∠CMN=60°，射線(xiàn)ME從MD出發(fā)，繞點(diǎn)M以每秒a度的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，到達(dá)MC后立即以相同的速度返回，到達(dá)MD后繼續(xù)改變方向，繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線(xiàn)NF從NA出發(fā)，繞點(diǎn)N以每秒b度的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，到達(dá)NB后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)ME也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．其中a，(1)求a，b的值；(2)若NF先運(yùn)動(dòng)30秒，然后ME一起運(yùn)動(dòng)，設(shè)ME運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中ME∥NF時(shí)，求(3)如圖2，若ME與NF同時(shí)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在ME第一次到達(dá)MC之前，ME與NF交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥ME于點(diǎn)P，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)Q，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若設(shè)∠NME的度數(shù)為m，請(qǐng)求出∠NPQ的度數(shù)（結(jié)果用含m的代數(shù)式表示）．【題型15生活中的平移現(xiàn)象】【例15】（2022春·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（

）①方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)；②打氣筒打氣時(shí)，活塞的運(yùn)動(dòng)；③鐘擺的擺動(dòng)；④汽車(chē)雨刷的運(yùn)動(dòng)A．①② B．②③ C．①②④ D．②【變式15-1】（2022春·重慶璧山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）今年4月，被稱(chēng)為“豬兒蟲(chóng)”的璧山云巴正式運(yùn)行．云巴在軌道上運(yùn)行可以看作是（

）A．對(duì)稱(chēng) B．旋轉(zhuǎn) C．平移 D．跳躍【變式15-2】（2022春·湖北宜昌·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)爬到點(diǎn)B，只考慮路徑、時(shí)間、路程等因素，下列結(jié)論正確的為（

）A．乙比甲先到 B．甲比乙先到C．甲和乙同時(shí)到 D．無(wú)法確定哪只螞蟻先到【變式15-3】（2022春·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，人民公園內(nèi)一塊長(zhǎng)方形草地上原有一條1m寬的筆直小路，現(xiàn)要將這條小路改造成彎曲小路，小路的上邊線(xiàn)向下平移1m就是它的下邊線(xiàn)，那么改造后小路的面積（A．變大了 B．變小了 C．沒(méi)變 D．無(wú)法確定【題型16圖形的平移】【例16】（2022春·內(nèi)蒙古興安盟·七年級(jí)統(tǒng)考期末）2022年，中國(guó)舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，如圖，通過(guò)平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的圖形是（

）A． B．C． D．【變式16-1】（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）下列汽車(chē)標(biāo)志中可以看作是由某圖案平移得到的是（

）A． B． C． D．【變式16-2】（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）觀(guān)察下列五幅圖案，在②③④⑤中可以通過(guò)①平移得到的圖案是（

）A．② B．③ C．④ D．⑤【變式16-3】（2022春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┫铝袌D案可以看作某一部分平移后得到的是（）A． B． C． D．【題型17利用平移的性質(zhì)求解】【例17】（2022春·廣東江門(mén)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)AB為8，寬AD為6，將這個(gè)長(zhǎng)方形向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到長(zhǎng)方形EFGH，則陰影部分的面積為（

）A．30 B．32 C．36 D．40【變式17-1】（2022春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直角三角形ABC的周長(zhǎng)為2021，在其內(nèi)部有5個(gè)小直角三角形，且這5個(gè)小直角三角形都有一條邊與BC平行，則這5個(gè)小直角三角形周長(zhǎng)的和為_(kāi)________．【變式17-2】（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿直線(xiàn)AB向右平移到達(dá)△BDE的位置，若∠CAB=55°，∠ABC=100°，則∠CBE的度數(shù)為_(kāi)_____．【變式17-3】（2022春·廣東韶關(guān)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把邊長(zhǎng)為2的正方形的局部進(jìn)行圖①~圖④的變換，拼成圖⑤，則圖⑤的面積是（

）A．18 B．16 C．12 D．8【題型18利用平移解決實(shí)際問(wèn)題】【例18】（2022春·北京西城·七年級(jí)北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，公園里長(zhǎng)為20米寬為10米的長(zhǎng)方形草地內(nèi)修建了寬為1米的道路，則草地面積是________平方米．【變式18-1】（2022春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市光明中學(xué)校考期中）如圖，某酒店重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，其側(cè)面如圖所示，則需地毯__米．【變式18-2】（2022春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖（單位，m），一塊長(zhǎng)方形草坪中間有兩條寬度相等的石子路（每條石子路間距均勻），請(qǐng)你求出草坪（陰影部分）的面積．【變式18-3】（2022春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）圖形操作：（本題圖1、圖2、圖3中的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)均為10個(gè)單位長(zhǎng)度，寬均為5個(gè)單位長(zhǎng)度）在圖1中，將線(xiàn)段AB向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到A′B′在圖2中，將折線(xiàn)ABC（其中點(diǎn)B叫做折線(xiàn)ABC的一個(gè)“折點(diǎn)”）向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到折線(xiàn)A′B′問(wèn)題解決：(1)在圖3中，請(qǐng)你類(lèi)似地畫(huà)一條有兩個(gè)“折點(diǎn)”的折線(xiàn)，同樣向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，從而得到一個(gè)封閉圖形，并用斜線(xiàn)畫(huà)出陰影部分：(2)設(shè)圖1，圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為S1、S2，則S1=平方單位；并比較大?。篠(3)聯(lián)想與探索：如圖4．在一塊長(zhǎng)方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1個(gè)單位長(zhǎng)度），長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，請(qǐng)你直接寫(xiě)出空白部分表示的草地的面積是平方單位．（用含a，b的式子表示）專(zhuān)題11.1相交線(xiàn)與平行線(xiàn)十八大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的判斷】 1【考點(diǎn)2三線(xiàn)八角中的截線(xiàn)問(wèn)題】 4【考點(diǎn)3根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】 6【考點(diǎn)4直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的平行線(xiàn)的判定】 12【考點(diǎn)5與垂線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算或證明】 15【考點(diǎn)6利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】 20【考點(diǎn)7平行線(xiàn)的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 25【考點(diǎn)8利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 31【考點(diǎn)9平行線(xiàn)的運(yùn)用（單一輔助線(xiàn)）】 38【考點(diǎn)10平行線(xiàn)的運(yùn)用（多條輔助線(xiàn)）】 46【考點(diǎn)11平行線(xiàn)在折疊問(wèn)題的運(yùn)用】 56【考點(diǎn)12平行線(xiàn)在三角尺中的運(yùn)用】 60【考點(diǎn)13平行線(xiàn)中的規(guī)律問(wèn)題】 65【考點(diǎn)14平行線(xiàn)中的轉(zhuǎn)角問(wèn)題】 74【題型15生活中的平移現(xiàn)象】 81【題型16圖形的平移】 83【題型17利用平移的性質(zhì)求解】 85【題型18利用平移解決實(shí)際問(wèn)題】 88【考點(diǎn)1同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的判斷】【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期末）如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．∠1和∠2是同旁?xún)?nèi)角 B．∠1和∠3是對(duì)頂角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角定義判斷即可．【詳解】A.∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.∠1和∠3是對(duì)頂角，此選項(xiàng)正確；C.∠3和∠4是同位角，此選項(xiàng)正確；D.∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角，此選項(xiàng)正確；故選A.【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，同位角，內(nèi)錯(cuò)角，

同旁?xún)?nèi)角，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.【變式1-1】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線(xiàn)八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線(xiàn)，食指代表截線(xiàn)）.從左至右依次表示（

）A．同旁?xún)?nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁?xún)?nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角【答案】D【分析】?jī)蓷l線(xiàn)a、b被第三條直線(xiàn)c所截，在截線(xiàn)的同旁，被截兩直線(xiàn)的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱(chēng)為同位角；兩個(gè)角分別在截線(xiàn)的異側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截線(xiàn)之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線(xiàn)的同一側(cè)，且在兩條被截線(xiàn)之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁?xún)?nèi)角．據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁?xún)?nèi)角．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，并能區(qū)別它們．【變式1-2】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．∠C與∠1是內(nèi)錯(cuò)角B．∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角C．∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角D．∠A與∠3是同位角【答案】B【分析】根據(jù)同位角，同旁?xún)?nèi)角，內(nèi)錯(cuò)角的定義可以得到A、C、D是正確的，∠2與∠3是鄰補(bǔ)角，不是內(nèi)錯(cuò)角．【詳解】A、∠C與∠1是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)正確；B、∠2與∠3是鄰補(bǔ)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角，故本選項(xiàng)正確；D、∠A與∠3是同位角，故本選項(xiàng)正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角的概念，比較簡(jiǎn)單．【變式1-3】（2022·河南·商水縣希望初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有c對(duì)，則a+b?c的值是____________【答案】6【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角的定義分別得到a，b，c的值，即可求解．【詳解】∵同位角有：∠8與∠4，∠5與∠1，∠7與∠3，∠6與∠2，∠4與∠9，∠7與∠9，共6對(duì)；內(nèi)錯(cuò)角有：∠7與∠1，∠6與∠4，∠5與∠9，∠2與∠9，共4對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有：∠7與∠4，∠6與∠1，∠1與∠9，∠6與∠9共4對(duì)，∴a=6，b=4,c=4，∴a+b?c=6，故答案是：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角的定義，掌握它們的定義，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2三線(xiàn)八角中的截線(xiàn)問(wèn)題】【例2】（2022·四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，則下列表述正確的是（

）A．∠1和∠2是由直線(xiàn)AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直線(xiàn)AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直線(xiàn)DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直線(xiàn)DA、DB被AC所截形成的【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：如圖，∠1和∠2是由直線(xiàn)AD、AC被BD所截形成的內(nèi)錯(cuò)角．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的判斷，熟知內(nèi)錯(cuò)角的定義是解題關(guān)鍵，弄清哪兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截才能形成內(nèi)錯(cuò)角是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期末）如圖，∠ABD與∠BDC是（

）形成的內(nèi)錯(cuò)角A．直線(xiàn)AD、BC被直線(xiàn)BD所截 B．直線(xiàn)AB、CD被直線(xiàn)BD所截C．直線(xiàn)AB、CD被直線(xiàn)AC所截 D．直線(xiàn)AD、BC被直線(xiàn)AC所截【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義即可完成．【詳解】由圖知，∠ABD與∠BDC是直線(xiàn)AB、CD被直線(xiàn)BD所截形成的內(nèi)錯(cuò)角故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的識(shí)別，兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，若兩個(gè)角在兩條截線(xiàn)之間，且在被截線(xiàn)的兩旁，則稱(chēng)這對(duì)角為內(nèi)錯(cuò)角，掌握內(nèi)錯(cuò)角的含義是正確識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·甘肅·隴西縣鞏昌中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，∠2與∠3是直線(xiàn)______、____被第三條直線(xiàn)_____所截形成的_______．【答案】

AB

AC

BD

同旁?xún)?nèi)角【分析】根據(jù)同旁?xún)?nèi)角的定義即可判斷．【詳解】由同旁?xún)?nèi)角的概念可知：如圖所示，∠2與∠3是直線(xiàn)AB，AC被直線(xiàn)BD所截而成的同旁?xún)?nèi)角；故答案為：AB；AC；BD；同旁?xún)?nèi)角；【點(diǎn)睛】本題考查了同旁?xún)?nèi)角的定義，熟悉掌握同旁?xún)?nèi)角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出：(1)直線(xiàn)CD和AB被直線(xiàn)AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角.(2)直線(xiàn)CD和AC被直線(xiàn)AD所截構(gòu)成的同位角.(3)直線(xiàn)AC和AB被直線(xiàn)BC所截構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角.【答案】(1)直線(xiàn)CD和AB被直線(xiàn)AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角是∠2和∠5；(2)直線(xiàn)CD和AC被直線(xiàn)AD所截構(gòu)成的同位角是∠1和∠7；(3)直線(xiàn)AC和AB被直線(xiàn)BC所截構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角是∠3和∠4【分析】根據(jù)兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，所形成的角中，兩角在兩條直線(xiàn)的中間，第三條直線(xiàn)的兩旁，可得內(nèi)錯(cuò)角，兩角在兩直線(xiàn)的中間，第三條直線(xiàn)的同側(cè)，可得同旁?xún)?nèi)角，兩角在兩條直線(xiàn)的同側(cè)，第三條直線(xiàn)的同側(cè)，可得同位角.【詳解】解：(1)直線(xiàn)CD和AB被直線(xiàn)AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角是∠2和∠5.(2)直線(xiàn)CD和AC被直線(xiàn)AD所截構(gòu)成的同位角是∠1和∠7.(3)直線(xiàn)AC和AB被直線(xiàn)BC所截構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角是∠3和∠4.【點(diǎn)睛】此題主要考查了三線(xiàn)八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成F形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成Z形，同旁?xún)?nèi)角的邊構(gòu)成U形．【考點(diǎn)3根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】【例3】（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求證：∠B=∠C．證明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【答案】DE；AF；同位角相等，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，同位角相等；AB；CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】先通過(guò)已知條件證明DE∥AF，再由兩直線(xiàn)平行同位角相等和等量代換證出AB∥CD，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠B=∠C．【詳解】證明：∵∠1=∠2（已知），∴DE∥AF（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）．∴∠A=∠BED（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）．∴∠B=∠C（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．故答案為：DE；AF；同位角相等，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，同位角相等；AB；CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·黑龍江·遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，AB∥CD，直線(xiàn)EF分別交AB，CD于點(diǎn)G，H，HN是∠(1)如果GM是∠BGE的平分線(xiàn)，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系；證明：∵AB∥∴∠BGE＝______（兩直線(xiàn)平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線(xiàn)，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分線(xiàn)∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和HN的位置關(guān)系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分線(xiàn)，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）(3)如果GM是∠BGH的平分線(xiàn)，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想不必證明．【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；GM∥HN；同位角相等，兩直線(xiàn)平行；(2)成立(3)不成立，GM⊥HN．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分線(xiàn)的定義和等量代換可得∠MGE=∠NHG，再利用平行線(xiàn)的判定即可；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分線(xiàn)的定義和等量代換可得∠HGM=∠NHG，再利用平行線(xiàn)的判定即可；（3）設(shè)GM與HN交于點(diǎn)P，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分線(xiàn)的定義和等量代換可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠GPH=90°即可解答．（1）證明：∵AB∥CD∴∠BGE＝∠DHG（兩直線(xiàn)平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線(xiàn)，∴∠BGM＝∠MGE＝12∠BGE∵HN是∠DHG的平分線(xiàn)∴∠DHN＝∠NHG＝12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵GM是∠AGH的平分線(xiàn)，∴∠AGM=∠HGM=∠AGH，∵HN是∠DHG的平分線(xiàn)，∴∠GHN=∠DHN=∠DHG，∴∠HGM=∠NHG（等量代換）∴GM∥HN．（3）（3）（1）中的結(jié)論不成立，GM⊥HN，理由：如圖：設(shè)GM與HN交于點(diǎn)P，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠DHG=180°，∵GM是∠BGH的平分線(xiàn)，∴∠BGM=∠HGM=12∠BGH，∵HN是∠DHG的平分線(xiàn)，∴∠GHN=∠DHN=12∠DHG，∴∠HGM+∠NHG=12∠BGH+12∠DHG=90°，∴∠GPH=180°-（∠HGM+∠NHG）=90°∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）如圖已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+12【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正確；∵AB∥EF，∴∠BAE+∠3=180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正確；∵CD∥EF，∴∠CEF+∠4=180°，∴∠3+∠AEC+∠4=180°，∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°-∠1，∴∠3+∠4-∠1=90°，∵2∠1-∠4=90°，∴∠1=45°+12∴∠3+12綜上，正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．平行線(xiàn)的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系．平行線(xiàn)的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．【變式3-3】（2022·廣東·廣州市第四中學(xué)七年級(jí)期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．(1)求證：∠B＝∠D；(2)如圖2，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，點(diǎn)G在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線(xiàn)；(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠EDC的平分線(xiàn)DH交BG于點(diǎn)H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)57°【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠A+∠B=180°，進(jìn)而推出∠C+∠B=180°，即可證明AB∥CD，得到∠A+∠D=180°，據(jù)此即可證明結(jié)論；（2）先由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，進(jìn)而推出∠EBG=∠CBG=∠G，即可證明BG是∠EBC的平分線(xiàn)；（3）設(shè)∠GDH=∠HDC=α，設(shè)∠EBG=∠CBG=β，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)推出66°+2β+2α=180°，則α+β=57°，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB交AG于P，得到∠PHB+∠ABH=180°，推出∠DHP=∠HDC=α，則∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∠BHD=57°；（1）解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠B=∠D；（2）解：∵AD∥BC，∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，∵∠AEB=2∠G，∴∠CBE=2∠G，∴∠EBG+∠CBG=2∠G，∴∠EBG=∠CBG=∠G，∴BG是∠EBC的平分線(xiàn)；（3）解：∵DH是∠GDC的平分線(xiàn)，∴∠GDH=∠HDC，設(shè)∠GDH=∠HDC=α，∵AD∥BC，∴∠BCD=∠GDC=2α，設(shè)∠EBG=∠CBG=β，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°，∴66°+2β+2α=180°，∴α+β=57°，過(guò)點(diǎn)H作HP∥AB交AG于P，∴∠PHB+∠ABH=180°，∵AB∥CD，∴CD∥HP，∴∠DHP=∠HDC=α，∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∴∠BHD=57°；【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，熟知平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)中的平行線(xiàn)的判定】【例4】（2022·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動(dòng)，立柱OC與地面垂直，當(dāng)橫板AB的A端著地時(shí)，測(cè)得∠OAC=28°，則在玩蹺蹺板時(shí)，小明坐在A點(diǎn)處，他上下最大可以轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【答案】B【分析】此題可以構(gòu)造平行線(xiàn)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行分析計(jì)算．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作DE∥AC，則有∠1=∠OAC=28°而∠2=∠1，所以，上下最大可以轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為∠2=∠1=56°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是一道生活問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于平行線(xiàn)的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用“兩直線(xiàn)平行,同位角相等”解答．【變式4-1】（2022·山東臨沂·七年級(jí)期末）如圖將木條a，b與c釘在一起，∠1=75°，要使木條a與b平行，木條a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理求解即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得，∠1=75°，∠AOB=35°，∴∠AOC=∠1-∠AOB=40°，當(dāng)∠2=∠AOB時(shí)，a∥b，∴∠2=40°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的判定，熟記平行線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·云南昆明·七年級(jí)期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF在同一條直線(xiàn)上，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF第一次與AB平行時(shí)，∠CDF的度數(shù)是（A．15° B．30° C．45° D．75°【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM∥AB，則AB∥DM∥EF，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，則可求出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DM∥AB，則AB∥DM∥EF，∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式4-3】（2022·湖南永州·七年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)l1∥l2，現(xiàn)將一個(gè)含30°角的直角三角板的銳角頂點(diǎn)B放在直線(xiàn)l2上，將三角板繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點(diǎn)C落在l1與l2之間的區(qū)域，邊AC與直角l1相交于點(diǎn)A．65° B．75° C．85° D．80°【答案】A【分析】過(guò)A作CE∥l1，得到CE∥l1∥l2，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠3，進(jìn)而求得∠4，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求出答案．【詳解】解：過(guò)C作CE∥l1，∵l1∥l2，∴CE∥l1∥l2，∴∠3=∠1=35°，∴∠4=90°-∠3=55°，∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．故選：A．【點(diǎn)睛】題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5與垂線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算或證明】【例5】（2022·湖南·測(cè)試·編輯教研五七年級(jí)期末）如圖，已知∠1=∠C，∠2=∠3，F(xiàn)G⊥AC于G，你能說(shuō)明BD與AC互相垂直嗎？【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．【詳解】證明：∵∠1=∠C，∴ED∥BC，∴∠2=∠DBC，∵∠2=∠3，∴∠DBC=∠3∴BD∥FG，∵FG⊥AC，∴BD⊥AC．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)及判定，正確識(shí)別“三線(xiàn)八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線(xiàn)平行．【變式5-1】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）請(qǐng)補(bǔ)充完整下列推理過(guò)程及證明過(guò)程中的依據(jù)．如圖，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．試證明：解：因?yàn)镈G//所以∠2=∠BAD（____________）．因?yàn)椤?=∠2（已知），所以______（等量代換），所以EF//所以∠EFB=______（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）因?yàn)镋F⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代換），所以______（垂直的定義）．【答案】?jī)芍本€(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，兩直線(xiàn)平行；∠ADB；垂直的定義；AD⊥BC【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【詳解】解：因?yàn)镈G//所以∠2=∠BAD（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），因?yàn)椤?=∠2（已知），所以∠1=∠BAD（等量代換），所以EF//所以∠EFB=∠ADB（兩直線(xiàn)平行，同位角相等），因?yàn)镋F⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（垂直的定義），所以∠ADF=90°（等量代換），所以AD⊥BC（垂直的定義），故答案為：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，兩直線(xiàn)平行；∠ADB；垂直的定義；AD⊥BC．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟記平行線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.【變式5-2】（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期末）如圖，AB⊥AC，垂足為A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD與BC平行嗎？為什么？（2）根據(jù)題中的條件，能判斷AB與CD平行嗎？如果能，請(qǐng)說(shuō)明理由：如果不能，添加一個(gè)條件，使它們平行（不必說(shuō)明理由）．【答案】（1）平行，理由見(jiàn)解析；（2）不能，可添加CD⊥AC．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）平行．理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵∠1=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°．∵∠B=60°，∴∠B+∠BAD=60°+120°=180°，∴AD∥BC；（2）不能判斷AB與CD平行，添加CD⊥AC即可判斷AB與CD平行．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴AB∥CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的判定定理，掌握“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行”，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行”，是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·全國(guó)·七年級(jí)）已知：直線(xiàn)MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是射線(xiàn)AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD．(1)在圖1中過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD，與射線(xiàn)BQ交于E點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如圖2所示，點(diǎn)F是射線(xiàn)BQ上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，∠DCF＝α，分別作∠NDC與∠CFQ的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)G，請(qǐng)用含有α的代數(shù)式來(lái)表示∠DGF，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠DGF=180°-12α【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可．②過(guò)點(diǎn)C作CT∥MN．利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定以及垂線(xiàn)的性質(zhì)解決問(wèn)題．（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本結(jié)論可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分線(xiàn)的定義及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．(1)解：①圖形如圖所示．②證明：過(guò)點(diǎn)C作CT∥MN．∵CE⊥CD，∴∠ECD=90°，∵CT∥MN，MN∥PQ，∴CT∥MN∥PQ，∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．(2)解：∠DGF=180°-12α如圖，由（1）的結(jié)論可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，∴∠GDN=12∠CDN，∠GFQ=12∠∴∠DGF=12（∠CDN+∠CFQ）=12（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=12（360°-∠DCF）=180°-【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造平行線(xiàn)解決問(wèn)題．【考點(diǎn)6利用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)計(jì)算角度】【例6】（2022·福建福州·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，點(diǎn)F，G在BC上，EF與DG交于點(diǎn)O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判斷DE與BC的位置關(guān)系，并證明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)62【分析】（1）由∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180°，得到∠1=∠DOE，則BD∥EF，∴∠B=∠EFC，由∠B=∠3，∠3=∠EFC，即可證明（2）由（1）的結(jié)論得到∠3=∠EFC，則∠AEF=118°，再由同旁?xún)?nèi)角的性質(zhì)得到（1）∵∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180∴∠1=∠DOE，∴BD∥EF，∴∠B=∠EFC，∵∠B=∠3，∴∠3=∠EFC，∴DE∥BC．（2）由（1）知：∠3=∠EFC∵∠AED+∠EFC=118°∴∠3+∠AED=∠AEF=由（1）知BD∥EF,且∠AEF、∠A互為同旁?xún)?nèi)角，∴∠AEF+∠A=180∴∠A=【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定式關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·河南漯河·七年級(jí)期末）已知：如圖，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度數(shù)；(2)判斷BE與CD的位置關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)45°(2)BE∥【分析】（1）根據(jù)∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，從而得到∠EDC+∠C=180°，結(jié)合∠EDC＝3∠C，代入計(jì)算即可．（2）根據(jù)∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，從而得到∠E=∠ABE，結(jié)合∠C＝∠E，得到∠ABE=∠C，得到BE∥CD．（1）∵∠A＝∠ADE，∴DE∥AC，∴∠EDC+∠C=180°，∵∠EDC＝3∠C，∴4∠C=180°，∴∠C=45°．（2）BE與CD的位置關(guān)系是BE∥CD．理由如下：∵∠A＝∠ADE，∴DE∥AC，∴∠E=∠ABE，∵∠C＝∠E，∴∠ABE=∠C，∴BE∥CD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·廣東湛江·七年級(jí)期末）如圖所示，已知射線(xiàn)CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且滿(mǎn)足∠FOB=∠AOB，OE平分(1)證明：OC∥(2)求∠EOB的度數(shù)；(3)若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個(gè)比值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠EOB=35°(3)不變，∠OBC:∠OFC=1:2．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠COA，再根據(jù)∠COA+∠OAB=180°，可得（2）根據(jù)∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=1（3）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得出∠OBC=∠BOA,∠OFC=∠FOA，再根據(jù)∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，即可得出答案．（1）∵CB∥OA，∴∠COA=180°?∠C=180°?110°=70°，∴∠COA+∠OAB=180°，∴OC∥（2）∵∠FOB=∠AOB，∴OB平分∠AOF，又OE平分∠COF，∴∠EOB（3）不變．∵CB∥∴∠OBC=∠BOA∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA，又∵∠FOA∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清各角間的關(guān)系時(shí)解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·北京密云·七年級(jí)期末）已知：點(diǎn)C是∠AOB的OA邊上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)D是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，射線(xiàn)CD不與OB相交．(1)如圖1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OE，使得OE//CD．（其中點(diǎn)E在∠AOB內(nèi)部）．①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖1；②直接寫(xiě)出∠BOE的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)F是射線(xiàn)OB上一點(diǎn)，且點(diǎn)F不與點(diǎn)O重合，當(dāng)∠AOB=α0°<α≤180°時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作射線(xiàn)FH，使得FH//CD（其中點(diǎn)H在∠AOB的外部），用含α的代數(shù)式表示∠OCD與∠BFH【答案】(1)①見(jiàn)解析；②30°(2)∠OCD＋∠BFH＝360°－α，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)圖即可；②根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出即可；（2）過(guò)點(diǎn)O作OM∥CD∥FH，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出兩角的數(shù)量關(guān)系即可．(1)解：①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖1如下：②∵CD∥OE，∴∠OCD+∠COE＝180°，∵∠OCD＝120°，∴∠COE＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；(2)解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，證明：過(guò)點(diǎn)O作OM∥CD∥FH，∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，又∵∠BFH+∠OFH＝180°，∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7平行線(xiàn)的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】【例7】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖線(xiàn)段AB和CD表示兩面鏡子，且直線(xiàn)AB∥直線(xiàn)CD，光線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)鏡子AB反射到鏡子CD，最后反射到光線(xiàn)GH.光線(xiàn)反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4，下列結(jié)論：①直線(xiàn)EF平行于直線(xiàn)GH；②∠FGH的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)AB；③∠BFE的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)垂直于∠4的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)；④當(dāng)CD繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90時(shí)，直線(xiàn)EF與直線(xiàn)GH不一定平行，其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【答案】B【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)定理逐個(gè)證明，看是否正確即可.【詳解】①正確，根據(jù)AB//CD，可得∠2=∠3，再根據(jù)已知可得∠1=∠2=∠3=∠4，進(jìn)而證明∠EFC=∠FGH,因此可得EF//GH；②正確，根據(jù)∠3=∠4，可得∠FGH的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)AB；③正確，因?yàn)棰僮C明了∠1=∠4，所以只要證明∠1的角平分線(xiàn)垂直于∠BFE的角平分線(xiàn)即可；④不正確，因?yàn)椤?+∠3=90°,所以故正確的有①②③，因此選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)和定理，這是基本知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握.【變式7-1】（2022·江蘇宿遷·七年級(jí)期末）實(shí)驗(yàn)證明：平面鏡反射光線(xiàn)的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線(xiàn)和被反射出的光線(xiàn)與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP，一束光線(xiàn)AB射在其中一塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線(xiàn)會(huì)平行嗎？若不平行，請(qǐng)說(shuō)明理由，若平行，請(qǐng)給予證明【答案】會(huì)，理由見(jiàn)解析【分析】作BE⊥NB，CF⊥NC，根據(jù)NB⊥NC可得出∠2+∠3=∠1+∠4=90°，再由平行線(xiàn)的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：AB//CD．理由如下：作BE⊥NB，CF⊥NC，如圖，∵∠1=∠2，∠3=∠4，BE//NC，∴∠2=∠NCB，∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB//CD．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟知入射角等于反射角是解答此題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·浙江杭州·七年級(jí)期末）（1）若組成∠1和∠2的兩條邊互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場(chǎng)上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,EF與上拉桿CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通過(guò)調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來(lái)調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)∠CDB=25°時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線(xiàn)上，求∠H的度數(shù)．【答案】（1）15°或115°；（2）120°【分析】（1）根據(jù)∠1，∠2的兩邊分別平行，所以∠1，∠2相等或互補(bǔ)列出方程求解則得到答案．（2）過(guò)D點(diǎn)作DI∥EF，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)可求∠FDI=35°，根據(jù)平角的定義可求∠ADB=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求∠ABH=60°，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)可求∠H．【詳解】解：（1）①當(dāng)∠1=∠2時(shí)，∵∠1=2∠2-15°，∴∠1=2∠1-15°，解得∠1=15°；②當(dāng)∠1+∠2=180°時(shí)，∵∠1=2∠2-15°，∴∠2+2∠2-15°=180°，解得∠2=65°，∴∠1=180°-∠2=115°；（2）過(guò)D點(diǎn)作DI∥EF，∵∠F=145°，∴∠FDI=35°，∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，∴∠ABH=90°-30°=60°．∵GH∥AB，∴∠H=180°-60°=120°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)性質(zhì)定理：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式7-3】（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學(xué)七年級(jí)期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線(xiàn)（AB∥CD）如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線(xiàn)自PA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線(xiàn)自QD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時(shí)開(kāi)啟不停交叉照射巡視．設(shè)燈P轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈Q轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，湖面上點(diǎn)M是音樂(lè)噴泉的中心．（1）若把燈P自PA轉(zhuǎn)至PB，或者燈Q自QD轉(zhuǎn)至QC稱(chēng)為照射一次，請(qǐng)求出P、Q兩燈照射一次各需要的時(shí)間；（2）12秒時(shí)，兩光束恰好在M點(diǎn)匯聚，求∠PMQ；（3）在兩燈同時(shí)開(kāi)啟后的35秒內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)開(kāi)啟多長(zhǎng)時(shí)間后，兩燈的光束互相垂直？【答案】（1）P、Q兩燈照射一次各需要的時(shí)間分別為18秒、45秒；（2）∠PMQ=108°；（3）當(dāng)開(kāi)啟15s或1357s或2257【分析】（1）直接利用180除以?xún)蔁舻乃俣燃纯汕蟮媒Y(jié)果；（2）過(guò)點(diǎn)M作FM//AB，利用平行線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)求解即可；（3）分三種情況：①當(dāng)兩燈開(kāi)啟時(shí)間小于18秒時(shí)，②當(dāng)兩燈開(kāi)啟時(shí)間大于18秒，小于36秒時(shí)，PM返回時(shí)，第一次與DM相遇，③當(dāng)兩燈開(kāi)啟時(shí)間大于18秒，小于35秒時(shí)，PM返回時(shí)，第二次與DM相遇，分別根據(jù)兩燈的光束互相垂直，利用平行線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵燈P轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是10度/秒，燈Q轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4度/秒，∴P燈照射一次需要的時(shí)間是：18010Q燈照射一次需要的時(shí)間是：1804（2）∵轉(zhuǎn)動(dòng)12秒時(shí)，兩光束恰好在M點(diǎn)匯聚，∴∠APM=10∠DQM=4如下圖示，過(guò)點(diǎn)M作FM//AB，則有FM//AB//CD∴∠APM+∠PMF=180°，∴∠PMF=180∴∠PMQ=∠PMF+∠FMQ=60（3）①當(dāng)兩燈開(kāi)啟時(shí)間小于18秒時(shí)，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)M作FM//AB，則有FM//AB//CD∵∠APM=10t，∠FMQ=∠DQM=4t，∴∠PMF=180∵兩燈的光束互相垂直，∴依題意可得：180解之得：t=15；②當(dāng)兩燈開(kāi)啟時(shí)間大于18秒，小于35秒時(shí)，PM返回時(shí)，第一次與DM相遇，則如圖2所示，過(guò)點(diǎn)M作FM//AB，則有FM//AB