專題02 X（8）字型（解析版）（北師大版）

專題02X（8）字型【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【例題精講】例1．（基本模型）如圖，正方形的對角線、相交于點，是的中點，交于點，若，則等于A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】因為四邊形ABCD是正方形，E是BC中點，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得出．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，E是BC中點，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴∴解得DF=8，故選：D．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，先根據(jù)題意判斷出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例進行解答是解答此題的關鍵．例2．（作輔助線構造）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若，則．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．例3．（最值問題）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為．【答案】【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明△CAB∽△CP′O利用對應線段的比得到OP的長度，繼而得到PQ的長度．【詳解】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴則PQ的最小值為2OP′＝，故答案為：．【點睛】考查線段的最小值問題，結合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關鍵是利用垂線段最短求解，學生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．例4．（培優(yōu)綜合）如圖，在中，，，，點為上一點，連接，為上一點，于點，當時，求的長．【答案】【分析】將補成矩形，延長交于點，可得，結合已知可求、，再由即可求出CE．【詳解】解：如解圖，補成矩形，延長交于點，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴設，則，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，直角三角形的性質(zhì)，證明是本題的關鍵．例5．（與函數(shù)綜合）如圖，在等腰中，，點、分別在軸、軸上．（1）如圖①，若點的橫坐標為5，求點的坐標；（2）如圖②，若軸恰好平分，交軸于點，過點作軸于點，求的值；（3）如圖③，若點的坐標為，點在軸的正半軸上運動時，分別以、為邊在第一、第二象限中作等腰，等腰，連接交軸于點，當點在軸上移動時，的長度是否發(fā)生改變？若不變求的值；若變化，求的取值范圍．【答案】（1）（0，5）（2）（3）不變，等于2．【分析】（1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質(zhì)即可解題；（2）設AB＝BC＝a，根據(jù)勾股定理求出AC＝a，根據(jù)MA（即x軸）平分∠BAC，得到，求得BM＝（?1）a，MC＝（2?）a，AM＝a，再證明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到，即CD＝，即可解答，（3）作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解題．【詳解】解：（1）如圖1，作CD⊥BO于D，∵∠CBD＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD＝BO＝5，∴B點坐標（0，5）；（2）設AB＝BC＝a，則AC＝a，∵MA（即x軸）平分∠BAC，∴，即MC＝BM，∵BC＝BM＋MC＝a，∴BM＋BM＝a，解得BM＝（?1）a，MC＝（2?）a則AM＝a，∵∠ABM＝∠CDM＝90°且∠AMB＝∠CMD∴Rt△ABM∽Rt△CDM，∴，即CD＝，∴；（3）的長度不變，理由如下：如圖3，作EG⊥y軸于G，∵∠BAO＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBG＝90°，∴∠BAO＝∠EBG，在△BAO和△EBG中，，∴△BAO≌△EBG（AAS），∴BG＝AO，EG＝OB，∵OB＝BF，∴BF＝EG，在△EGP和△FBP中，，∴△EGP≌△FBP（AAS），∴PB＝PG，∴PB＝BG＝AO＝2．【點睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明是解本題的關鍵．【變式訓練】1．如圖，G為ABC的重心，AG=12，則AD=．【答案】18【分析】連接CG并延長交AB于點E，連接DE，根據(jù)題意，可以得到DE時△ABC的中位線，從而可以得到DE∥AC且DE=AC，然后即可得到△DEG∽△ACG，由相似三角形的性質(zhì)得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到結果．【詳解】解：如圖，連接CG并延長交AB于點E，連接DE，∵點G是△ABC的重心，∴點E和點D分別是AB和BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC且DE=AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∵AG=12，∴DG=6，∴AD=AG+GD=18．故答案為：18．【點睛】本題考查三角形的重心、三角形的中位線、三角形相似，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．2．如圖，在△ABC中，BC＝6，，動點P在射線EF上，BP交CE于點D，∠CBP的平分線交CE于點Q，當CQ＝CE時，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】如圖，延長EF交BQ的延長線于G．首先證明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解決問題．【詳解】解：如圖，延長EF交BQ的延長線于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．3．如圖，在中，、分別是、的中點，動點在射線上，交于點，的平分線交于點，當時，．【答案】12【分析】如圖（見解析），延長BQ交射線EF于點M，先根據(jù)中位線定理得出，再根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的定義得出，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可求出EM的長．【詳解】如圖，延長BQ交射線EF于點M、分別是、的中點平分由得，即故答案為：12．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，通過作輔助線，構造相似三角形是解題關鍵．4．如圖，在中，點D在BC上，，連接AD，，則線段AD的長為．

【答案】【分析】過作，交的延長線于，過作，交的延長線于，可求，，設，可證，由即可求解．【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于，過作，交的延長線于，

，，，，，，，，，設，則，，，，，，，，，整理得：，解得：，(舍去)，，故答案：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關的判定方法及性質(zhì)，并會根據(jù)題意作出輔助線是解題的關鍵．5．如圖，在正方形中，點為邊上一點，且，點為對角線上一點，且，連接交于點，過點作于點，若，則正方形的邊長為cm．【答案】【分析】如圖，過F作于I點，連接FE和FA，得到設求出FE，AH，AG，證明得到最后求值即可．【詳解】如圖，過F作于I點，連接FE和FA，，四邊形為正方形，為BC的三等分點，為BC的三等分點，設為等腰直角三角形，為AE的中點，四邊形ABCD為正方形，故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關鍵是CE=2BE，BF=2DF的利用以及這些性質(zhì)的熟記．【課后訓練】1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形面積公式得，則．【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點∴BC=2AE∵，∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC，∴△AEF∽△CBF如圖，過點F作FH⊥AD于點H，F(xiàn)G⊥BC于點G，則，∴，∵△AEF的面積為2，∴，故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎題．2．如圖△ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，則GH的長為．

【答案】【分析】首先證明，求得，再證明即可得到結論．【詳解】連接并延長交于E，連接并延長交AC于F，連接EF，如圖，

點是重心，是的中線，，F(xiàn)分別是，邊的中點，是的中位線，，，，，E為BC的中點又在中，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形重心，三角形重心的性質(zhì)為重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．3．如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長為；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到AE的長，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到EF的長，從而可以得到線段CF的長；（2）證明△ADG≌△FGC，得出點G為CD邊的中點，根據(jù)三角形相似，可以得到CE和EB的比值，從而可以得到λ的值．【詳解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，點E為BC的中點，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；故答案為：﹣1；（2）證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，設CD＝2a，則CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，∵GC＝a，F(xiàn)C＝2a，∴，∴，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝；故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，熟練運用相關性質(zhì)進行推理解答．4．如圖，已知和是等邊三角形，連接，連接并延長交于點，交于點，，，那么的長為．【答案】【分析】如圖，過點F作FM⊥EG于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACB=∠ECD=60°，AB=AC，CE=CD，利用線段的和差關系可得CF=4，根據(jù)角的和差關系可得∠BCE=∠ACD，利用SAS可證明△BCE≌△ACD，可得∠BEC=∠ADC，根據(jù)∠GFE=∠CFD即可證明△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，可得，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得MG=GF，設GF=2a，則EG=3a，MG=a，即可得出ME=2a，在Rt△EMF中，利用勾股定理列方程可求出a的值，進而可求出EG的長．【詳解】如圖，過點F作FM⊥EG于M，∵△ABC和△DCE是等邊三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，CE=CD，∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∵CD=6，EF=2，CE=EF+CF，∴CF=CE-EF=CD-EF=4，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD，∴∠BEC=∠ADC，∵∠GFE=∠CFD，∴△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，∴，∴，設GF=2a，則EG=3a，∵FM⊥EG，∠EGF=60°，∴∠GFM=30°，∴MG=GF=a，∴MF=a，ME=EG-MG=2a，∴EF2=ME2+MF2，即4a2+3a2=4，解得：a=，（負值舍去）∴EG=3a=．故答案為：【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，正確添加輔助線構造直角三角形是解題關鍵．5．如圖，在矩形中，分別為邊，的中點，與，分別交于點M，N．已知，，則的長為．【答案】【分析】過點E作EH∥AD，交點BF于點G，交CD于點H，證明△BEG∽△BAF，求出EG的長，再證明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出，，再求出BG=GF=BF=，從而求出NG和MG，可得MN的長.【詳解】解：過點E作EH∥AD，交點BF于點G，交CD于點H，由題意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴，∵AB=4，BC=6，點E為AB中點，F(xiàn)為AD中點，∴BE=2，AF=3，∴，∴EG=，∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，∴，,∴，，即，，∴，，∵E為AB中點，EH∥BC，∴G為BF中點，∴BG=GF=BF=，∴NG==，MG=BG=，∴MN=NG+MG=，故答案為：.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關鍵是添加輔助線EH，得到相似三角形.6．已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）由BC2=BF?BA，∠ABC=∠CBF可判斷△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判斷，所以，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結論；（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，易得AH∥DE，由點E為AC的中點得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后利用等線段代換即可．【詳解】證明：（1）∵BC2=BF?BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴，∵DE∥BC，∴，∴，∴DF：BC=DG：BA，∴DF?AB=BC?DG；（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵點E為AC的中點，為的中位線，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴，∴，∴，即2DF?EG=AF?DG．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質(zhì)時，主要通過相似比得到線段之間的關系．7．（1）如圖，若為的內(nèi)角平分線，請問：成立嗎？并說明你的理由．（2）如圖，中，，，，為上一點且，交其內(nèi)角角平分線與．試求的值．【答案】(1)見解析;(2).【分析】（1）過點作交的延長線于點．由，平分證得∽，再由相似的性質(zhì)證出結論；（2）連結．由（1）得，然后證得．再證明∽．最后利用相似的性質(zhì)可求得結果．【詳解】（1）結論成立．理由如下：如圖，過點作交的延長線于點．∵，平分，∴，∴，∽，∴，∴．（2）如圖，連結．∵為的內(nèi)角角平分線，，，∴由（1）得，．又∵，∴，∴∴．∴．∴∽．∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握添加輔助線的方法和能靈活應用判定定理、性質(zhì)定理是解題關鍵．8．如圖，正方形中，為邊上任意點，平分交于點．如圖1，若點恰好為中點，求證：；

在的條件下，求的值；如圖2，延長交的延長線于點，延長交的延長線于點連接當時，求證：．

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【分析】（1）延長交的延長線于點，求出，證明，得到，通過等量代換可得結論；（2）設，則，在中，利用勾股定理求出，進而可求的值；（3）連接，首先證明，進而可求，然后可證，得出，結合可證，即可得到，問題得證．【詳解】（1）證明：如圖，延長交的延長線于點，

，，又平分，，，，點為中點，，又，，，，；（2）解：設，則，在中，，即，解得：或(舍去)，∴；（3）證明：如圖，連接，

，，，，又，，，又，，，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應用，相似三角形的判定和性質(zhì)等，作出合適的輔助線是解題的關鍵．9．如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F．（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M，求證：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結論；（2）①過G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根據(jù)已知條件設DC=k，BD=4k，得到BH=DH=2k，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，求得GM=2MC；②過C作CN⊥AD交AD的延長線于N，則CN∥AG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，于是得到結論．【詳解】（1）BF⊥AD，在和中，∵，∴；（2）①過G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，設DC=k，BD=4k，∴BH=DH=2k，∵GH∥AD，∴，∴GM=2MC；②過C作CN⊥AC交AD的延長線于N，則CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴，∴△ACN∽△BAF，∴，∵AB=