加強(qiáng)練08 相似三角形綜合專(zhuān)練（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（上海專(zhuān)用）

加強(qiáng)練08相似三角形綜合專(zhuān)練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．（2023·上海青浦·校考一模）如圖，已知在中，，點(diǎn)G是的重心，，垂足為E，如果，則線段GE的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)以及重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，，根據(jù)，可得，進(jìn)而證得∽，從而得到，代入數(shù)值即可求解．【詳解】解：如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．點(diǎn)是的重心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，（公共角），∽，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心的定義及其性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖，正方形與在方格紙中，正方形和三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么與相似的是（

）A．以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形 B．以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形C．以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形 D．以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定判斷即可．【詳解】由圖可知，，由勾股定理得：，A．最大的角為，∴兩三角形不相似，故A選項(xiàng)不符合題意．B．最大的角為，∴兩三角形不相似，故B選項(xiàng)不符合題意．C．由圖可知的邊，由勾股定理得兩條邊分別為，，∴，∴與三邊成比例，∴兩三角形相似，故C選項(xiàng)符合題意．D．由圖可知的邊，由勾股定理得兩條邊分別為，，∴與三邊不成比例，∴兩三角形不相似，故D選項(xiàng)不符合題意．故選C【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和相似三角形的判定定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用相似三角形的判定定理．3．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，在中，平分，點(diǎn)D在邊上，線段與交于點(diǎn)E，且，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，，可直接證明，即可判斷A；由角平分線的定義得出，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得出，從而可證，即可判斷B；由，，可直接證明，即可判斷C；沒(méi)有條件證明，即可判斷D．【詳解】∵，，∴，故A正確，不符合題意；∵平分，∴．∵，，∴，∴，故B正確，不符合題意；∵，，∴，故C正確，不符合題意；在和中只有，不能證明，故D錯(cuò)誤，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)．掌握三角形相似的判定定理是解題關(guān)鍵．4．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)分別在Δ邊上，，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與，即可得到ΔΔ，即可得到，結(jié)合即可得到的值；【詳解】解：∵，，∴ΔΔ，∴，∵，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式的性質(zhì)得到與的關(guān)系．二、填空題5．（2023·上海寶山·?？家荒＃┮阎€段，點(diǎn)在線段上，且，那么線段的長(zhǎng)___________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金比值計(jì)算得到答案．【詳解】∵，∴點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC＞BC，∴AC＝AB=×8=故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為是解題的關(guān)鍵．6．（2023·上海浦東新·?？家荒＃┤鐖D，已知，且經(jīng)過(guò)的重心．若，則等于________．【答案】4【分析】連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，證明即可得解；【詳解】連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，∵是的重心，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海寶山·校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是______．【答案】．【分析】由已知可得，從而可知，，設(shè)AB=3x，則BE=2x，再利用勾股定理和等腰三角形性質(zhì)用x表示DE和BC，從而解答【詳解】解：∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∠ADE=∠B+∠BAD，又∵∠DAE=∠B=30°，∴∠BAE=∠ADE，∴，∴，，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，設(shè)AB=3x，則BE=2x，∵∠B=30°，∴，，∴，在中，，又∵，∴，∴，∵AB=AC，AH⊥BC，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，利用三角形相似得到AB與BE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題8．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知在四邊形中，，為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)如果，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，得，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可；由，則，得，可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可．【詳解】（1）∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）∵，∴且是公共邊，∴，∴，∵，∴，∴，∵是公共角，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、．(1)如果，，，求的長(zhǎng)；(2)如果，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可；（2）連接，交于，先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】（1），，，，，，解得：；（2）連接，交于，，，，，，即，解得：，，，，，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·上海靜安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，AD與BE相交于點(diǎn)F，，．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先證明，可得，結(jié)合可證，從而可證成立；（2）先證明，然后通過(guò)證明可證結(jié)論成立．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴．∵，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）知，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．11．（2023·上海寶山·?？家荒＃┮阎?，如圖，點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的邊CD上，且＝，設(shè)．（1）用表示（直接寫(xiě)出答案）．（2）設(shè)，在答題卷中所給的圖上畫(huà)出的結(jié)果．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平面向量的平行定理即可表示；（2）由（1）中結(jié)論得到，延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)得到，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得到，從而有，即可求解．【詳解】解：（1）∵＝，即，，∴，（2）由（1）知，∴，延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示，則．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，又∵（對(duì)頂角相等），∴，∴，∵＝，∴，∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算、平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算、平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．12．（2023·上海浦東新·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知在△ABC中，AC＝6，D為BC上一點(diǎn)，CD＝4．△ADC與△ABD的面積比為4：5．(1)求證：△DAC∽△ABC；(2)如果點(diǎn)D在AB的中垂線上，求cosB．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作于點(diǎn)，，得，，證明出，結(jié)合，即可證明出；（2）由得，求出的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)D在AB的中垂線上，為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得，，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義可得．【詳解】（1）解：如圖，作于點(diǎn)，，，，則，，，，；（2）解：，，點(diǎn)D在AB的中垂線上，為等腰三角形，，即，，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，如下圖：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，，且，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．13．（2023·上海嘉定·?？家荒＃┤鐖D，已知點(diǎn)在△的外部，，點(diǎn)在邊上，．(1)求證：；(2)在邊取一點(diǎn)，如果，，求證：．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）欲證明，只要證明即可；（2）由，可得，再根據(jù)，推出，即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）∵，∴∵，∴，∴，∴．（2）由（1）得∴，，∵，∴，∴∴∴∵，∴，【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．14．（2023·上海·?？家荒＃┤鐖D，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)、在邊上，且，．(1)求證：；(2)如果，，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)16【分析】（1）由可得，再結(jié)合已知比例，可得，即可得證；（2）由圖可知與等高，根據(jù)等高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊的比，再由，得出，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．【詳解】（1）證明：，，又，，．（2）解：，，，，又，，又，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例．關(guān)鍵是利用平行線得出相似三角形及比例，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題．15．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）已知：如圖，已知△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果點(diǎn)D在BC邊上，且∠EDC＝∠BAD．點(diǎn)O為AC與DE的交點(diǎn)．(1)求證：△ABC∽△ADE；(2)求證：DA?OC＝OD?CE．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和角的和差得到∠B＝∠ADE，由于，根據(jù)SAS得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠DAE，于是得到∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，證得△COD∽△EOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由∠AOD＝∠COE，推出△AOD∽△COE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠B＝∠ADE，∵，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴，∵∠AOD＝∠COE，∴△AOD∽△EOC，∴DA：CE＝OD：OC，即DA?OC＝OD?CE．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·上海·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，在銳角中，BD和CE分別是邊AC、AB上的高．(1)求證：；(2)聯(lián)結(jié)AF，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）通過(guò)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：BD和CE分別是邊AC、AB上的高，又（2）證明：如圖，連接AF又【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，熟記相似三角形的性質(zhì)和判定定理并能靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·上海靜安·九年級(jí)上海市華東模范中學(xué)校考期中）已知：如圖，梯形中，，，、是對(duì)角線，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由等腰梯形的性質(zhì)得出，由證明，得出，由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出，證出，即可得出結(jié)論；（2）證出，證明，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）梯形中，，，，在和中，，，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形；（2）由（1）得：四邊形是平行四邊形，，，，，，，又，，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似得出比例式是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．18．（2022秋·上海靜安·九年級(jí)上海市華東模范中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，中，平分，．(1)求證：；(2)若，，，求．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用角平分線及等腰三角形性質(zhì)，可得出，同時(shí)兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角，即可得出兩個(gè)三角形相似；（2）由得到，利用，，即可求解．【詳解】（1）平分，，，，又，；（2），，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線及等腰三角形性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定及其性質(zhì)．19．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知：如圖，在梯形中，，點(diǎn)在對(duì)角線上，．(1)求證：；(2)如果點(diǎn)F在邊DC上，且，求證：．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)，可得，，可證明即可求解；（2）由（1）可知，可得，可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)平行線的判定即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）證明：由（1）可知，，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三