數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類(lèi)匯編立體幾何空間幾何體及其表面積和體積（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第八章立體幾何第1節(jié)空間幾何體及其表面積和體積1.（2014陜西理14）觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)()頂點(diǎn)數(shù)（）棱數(shù)（)三棱錐五棱錐立方體猜想一般凸多面體中，所滿(mǎn)足的等式是_________。1.解析觀察表中數(shù)據(jù)，并計(jì)算分別為，,，又其對(duì)應(yīng)分別為，，，容易觀察并猜想。題型85空間幾何體的表面積與體積1．（2013湖北理8）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為，，,，上面兩個(gè)幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有:（).A．B．C．D．2.（2013重慶理5)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）。A.B。C。D.3。（2013江蘇8）如圖，在三棱柱中,分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為,三棱柱的體積為,則.4．（2013廣東理5）某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是（）。A． B．C． D．5.(2014山東理13）三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，記三棱錐的體積為，的體積為，則。5.解析如圖，設(shè)，，到平面的距離為,到平面的距離為，則，,，，所以.評(píng)注本題考查三棱錐的體積求法以及等體積轉(zhuǎn)化法在求空間幾何體體積中的應(yīng)用.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是不能利用轉(zhuǎn)化與化歸思想把三棱錐的體積進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,找不到兩個(gè)三棱錐的底面積及相應(yīng)高的關(guān)系,從而造成題目無(wú)法求解或求解錯(cuò)誤。6.（2014福建理13）要制作一個(gè)容積為，高為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器。已知該容器的底面造價(jià)是每平方米元，側(cè)面造價(jià)是每平方米元，則該容器的最低總造價(jià)是.(單位：元）6。解析設(shè)底面的邊長(zhǎng)分別為,,總造價(jià)為元,則。（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))故該容器的最低總造價(jià)是元。7.（2014新課標(biāo)2理18）（本小題滿(mǎn)分12分)如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1)證明：平面；（2）設(shè)二面角為，，，求三棱錐的體積。8.（2016上海理19）將邊長(zhǎng)為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖所示，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)．(1）求三棱錐的體積;（2)求異面直線(xiàn)與所成角的大?。?.解析(1）連結(jié)，則，所以為正三角形，故，所以．（2）設(shè)點(diǎn)在下底面圓周的射影為，連結(jié)，則，所以為直線(xiàn)與所成角（或補(bǔ)角），,連結(jié),,，所以，故，因此為正三角形，所以，故，所以，故直線(xiàn)與所成角大小為．9。（2016江蘇17）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐,下部分的形狀是正四棱柱(如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的倍．（1）若，，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少；(2)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則當(dāng)為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大?9。解析（1)，則，，，故倉(cāng)庫(kù)的容積為．（2）設(shè)（m）,倉(cāng)庫(kù)的容積為,則（m)，(m)，（m),，，當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，取到最大值，即(m)時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大．10。（2016浙江理14）如圖所示，在中，，若平面外的點(diǎn)和線(xiàn)段上的點(diǎn),滿(mǎn)足，,則四面體的體積的最大值是.10。解析在中，因?yàn)椋?。由余弦定理可得，所以。設(shè),則，。在中，由余弦定理可得。故。在中，，。由余弦定理可得，所以。過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為.設(shè)，則,即，解得.而的面積。設(shè)與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離。故四面體的體積，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以我們?nèi)?設(shè)，因?yàn)?，所以。則.當(dāng)時(shí),有故.此時(shí),.因?yàn)樗院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故。當(dāng)時(shí)，有，故.此時(shí),。由上述可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，故.綜上所述,四面體的體積的最大值為。11.(2017江蘇6)如圖所示，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下面及母線(xiàn)均相切．記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是．OOO1O211.解析設(shè)球的半徑為，由題意,，所以．故填．12．（2017天津理10)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為，則這個(gè)球的體積為。12.解析設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則。外接球直徑為正方體的體對(duì)角線(xiàn)，所以，。13。（2017全國(guó)1卷理科16）如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為.，，為圓上的點(diǎn),，,分別是以,，為底邊的等腰三角形。沿虛線(xiàn)剪開(kāi)后，分別以，，為折痕折起,，，使得，，重合，得到三棱錐.當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_(kāi)______。13。解析由題意，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，如圖所示，則，，即的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度成正比。設(shè)，則，，三棱錐的高，，則.令，，，令，即，,當(dāng),得,所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，則，所以體積的最大值為。題型86旋轉(zhuǎn)體的表面積、體積及球面距離1.（2013浙江理12）若某幾何體的三視圖(單位：)如圖所示，則此幾何體的體積等于________. 2。（2013遼寧理13）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是。3.（2013遼寧理10）已知直三棱柱的個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，，，，則球的半徑為（）.A.B.C。D. 4。（2014江蘇理8）設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面分別為，，體積分別為，，若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是．4。解析設(shè)圓柱甲的底面半徑為，高為,圓柱乙的底面半徑為，高為.由題意得，所以。又因?yàn)椋?，所?故.評(píng)注考查立體幾何中側(cè)面積、體積公式，考查運(yùn)算和恒等變形的能力。5。（2014陜西理5）已知底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為(）。A.B。C.D。5。解析如圖為四棱柱.根據(jù)題意得，所以對(duì)角面為正方形，所以外接球直徑,所以，所以,故選D.6。(2014湖北理8）《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“蓋"的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為。那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為(）。A。B。C。D.6.解析圓錐的體積，由題意得，近似取為，故選B。7.(2014大綱理8)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，則該球的表面積為（）.A．B．C．D．7。解析設(shè)球的半徑為,由題意可得，解得,所以該球的表面積為。故選A.8。（2015全國(guó)1理6)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺，高五尺。問(wèn)：積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1。62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(）.A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛8.解析設(shè)圓錐底面半徑為，則，所以,所以米堆的體積為立方尺，故堆放的米約為斛。故選B．9。（2015山東理7）在梯形中,，，.將梯形繞所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）。A． B． C． D．9。解析由題意,梯形繞所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為1,高為1的圓錐所得的組合體，所以．故選C．10.（2015江蘇9）現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為,高為的圓錐和底面半徑為，高為的圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為．10。解析原來(lái)的總體積為，設(shè)新的半徑為,故變化后體積，計(jì)算得,從而．11.（2017全國(guó)3卷理科8)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(）.A． B． C． D．11．解析如圖所示，由題可知球心在圓柱體的中心處，圓柱體上、下底面圓的半徑，則圓柱體的體積。故選B.題型87幾何體的外接球與內(nèi)切球1。（2015全國(guó)2理9)已知是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為,則球的表面積為（）．A.B。C。D。1.解析根據(jù)題意，可得圖如圖所示,當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三