2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專(zhuān)題提分精練（人教版）專(zhuān)題12 手拉手模型證相似含解析

2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專(zhuān)題提分精練專(zhuān)題12手拉手模型證相似1．如圖，且，，、交于點(diǎn)．則下列四個(gè)結(jié)論中，①；②；③；④、、、四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，一定成立的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，已知．求證：．3．如圖，在和中，，．（1）和相似嗎？為什么？（2）如果，則成立，據(jù)此你能說(shuō)明和相似嗎？4．如圖，在公共頂點(diǎn)為的與中，直角邊，若．求證：．5．如圖，與有公共的頂點(diǎn)，，，且．點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．6．為等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，為射線(xiàn)上一點(diǎn)，，，，，．（1）求證：；（2），且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．7．在和中，，，．、分別為、的中點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交所成的較小角的度數(shù)為；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值及直線(xiàn)與直線(xiàn)相交所成的較小角的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上時(shí)的值．8．（1）如圖①，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，連接、，證明：．（2）如圖②，四邊形和四邊形均為正方形，連接，，求的值．9．在中，，，，為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．（1）如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；（2）如圖2，若，求的值．10．已知：點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，，線(xiàn)段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，①問(wèn)線(xiàn)段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆?；（2）如圖2，若，，則線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則（用表示）．11．若繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，則我們稱(chēng)與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識(shí)理解：如圖1，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．①若，，，則；②若，，，則（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于點(diǎn)，，求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（3）拓展提高：如圖3，為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若，，求的值．12．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，和均為等邊三角形，直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn)．填空：①的度數(shù)是；②線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）類(lèi)比探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn)．請(qǐng)判斷的度數(shù)及線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題如圖3，在中，，，，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．13．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，我們稱(chēng)與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識(shí)理解：兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形（填“是”或“不是”“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；如圖1，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，①若，，，則；②若，，，則；（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于，，求證：和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）拓展提高：如圖3，為等腰直角三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，若，，求出和的值．14．已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：；（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明．15．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上，連接．①線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系為；②的度數(shù)為．（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上，連接，求的值及的度數(shù)；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿(mǎn)足，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．16．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一．小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．如圖（1），已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且．（1）觀(guān)察猜想小華將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖（2），當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，①的值為；②的度數(shù)為度；（2）類(lèi)比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，請(qǐng)求出的值及的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（3）拓展延伸若，，當(dāng)所在的直線(xiàn)垂直于時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．專(zhuān)題12手拉手模型證相似1．如圖，且，，、交于點(diǎn)．則下列四個(gè)結(jié)論中，①；②；③；④、、、四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，一定成立的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：且，，，，故②正確；，即，故①正確；，，，，，，故③正確；，，，，，即，，，，，、、、四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，故④正確．故選：．二．解答題（共15小題）2．如圖，已知．求證：．【解答】證明：，，，，又，．3．如圖，在和中，，．（1）和相似嗎？為什么？（2）如果，則成立，據(jù)此你能說(shuō)明和相似嗎？【解答】解：（1）；（2），．4．如圖，在公共頂點(diǎn)為的與中，直角邊，若．求證：．【解答】證明：如圖，設(shè)交于，延長(zhǎng)交于，連接．，，又，，、、、四點(diǎn)共圓，，，于，，，，，，，，，，，，，，，．5．如圖，與有公共的頂點(diǎn)，，，且．點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）．連接、，，，，，，；點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理可得，，．（2）．連接、，，，，，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理可得，，即得．6．為等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，為射線(xiàn)上一點(diǎn)，，，，，．（1）求證：；（2），且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)到，使得，連接．，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，．（2）解：如圖2中，取的中點(diǎn)，連接，作于，于．由（1）可知，，，，，四邊形是平行四邊形，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，設(shè)，則，，，在中，，，，，，，即，，在中，，，，，在中，，，．7．在和中，，，．、分別為、的中點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交所成的較小角的度數(shù)為；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值及直線(xiàn)與直線(xiàn)相交所成的較小角的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)、、在同一直線(xiàn)上時(shí)的值．【解答】解：（1）如圖1，連接，并延長(zhǎng)交于，設(shè)直線(xiàn)與的交點(diǎn)為，，，，，，，，是等邊三角形，，，又，是等邊三角形，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）如圖2，連接，并延長(zhǎng)交于，設(shè)直線(xiàn)與的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交所成的較小角的度數(shù)為；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，連接，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，又點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，同理可求，綜上所述：的值為或．8．（1）如圖①，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，連接、，證明：．（2）如圖②，四邊形和四邊形均為正方形，連接，，求的值．【解答】證明：（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，，，，，，；（2）連接和，四邊形和四邊形均為正方形，，，，則，，，．．．9．在中，，，，為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．（1）如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；（2）如圖2，若，求的值．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，，，，為中點(diǎn)，，，，，，，故答案為：；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的值為．10．已知：點(diǎn)、、在同一條直線(xiàn)上，，線(xiàn)段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，①問(wèn)線(xiàn)段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆?；（2）如圖2，若，，則線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則（用表示）．【解答】解：（1）如圖1．①，理由如下：，，，，同理可得：，，，即：．在與中，，，；②，，，；（2）如圖2．，，，同理可得：，，，即：．，，．在與中，，，，，，；，．故答案為：，；（3）如右圖．，，，同理可得：，，即．，，．在與中，，，，，，，．故答案為：．11．若繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，則我們稱(chēng)與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識(shí)理解：如圖1，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．①若，，，則；②若，，，則（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于點(diǎn)，，求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（3）拓展提高：如圖3，為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若，，求的值．【解答】解：（1）①和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案為：；；（2），，，，即，又，，，又，，，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)后與構(gòu)成位似圖形，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3），由題意得：，，，，，，由勾股定理可得，，．12．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，和均為等邊三角形，直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn)．填空：①的度數(shù)是；②線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）類(lèi)比探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn)．請(qǐng)判斷的度數(shù)及線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題如圖3，在中，，，，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．【解答】解：（1）如圖1中，和均為等邊三角形，，，，，，，，設(shè)交于點(diǎn)．，，，故答案為，．（2）結(jié)論：，．理由：如圖2中，，，，，，，，，，．（3）如圖3中，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，，，，在中，，，，，，，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于．如圖4中，當(dāng)，在同一直線(xiàn)上時(shí)，同法可知，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于．綜上所述，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于．13．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，我們稱(chēng)與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識(shí)理解：兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形是（填“是”或“不是”“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；如圖1，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，①若，，，則；②若，，，則；（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于，，求證：和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）拓展提高：如圖3，為等腰直角三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，若，，求出和的值．【解答】解：（1）兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形，把其中一個(gè)三角形繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后構(gòu)成位似圖形，故它們互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；①和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案為：是；；；（2）證明：，，，，即，又，，，又，，，，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3），，，，，，，代入求得：．如圖3，過(guò)作于，，，，，，，，，，根據(jù)勾股定理，得；綜上，，．14．已知正方形，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：；（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明．【解答】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：；證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)作交于，，四邊形是矩形，，，同（1）的方法得，，，，四邊形是矩形，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，．15．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上，連接．①線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系為；②的度數(shù)為．（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上，連接，求的值及的度數(shù)；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿(mǎn)足，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．【解答】解：（1）①和均為等邊三角形，，，，，，在和中，，，；②，，，，；故答案為：①，②；（2）和均為等腰直角三角形，，，，，即，，，，，，，，故，；（3）點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，如圖3，點(diǎn)是兩圓的交點(diǎn)，若點(diǎn)在上方，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，四邊形是矩形，，在和中，，，，，，，，，在中，，即，解得：或．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為或．16．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一．小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．如圖（1），已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且．（1）觀(guān)察猜想小華將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖（2），當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，①的值為；②的度數(shù)為度；（2）類(lèi)比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，請(qǐng)求出的值及的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（3）拓展延伸若，，當(dāng)所在的直線(xiàn)垂直于時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖（2）中，設(shè)交于點(diǎn)．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，故答案為：，45．（2）如圖（3）中，設(shè)交于點(diǎn)．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，．（3）如圖（4）中，當(dāng)于時(shí)，，，，，，，，，，．如圖（4）中，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于．同法可得，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．專(zhuān)題13一線(xiàn)三等角模型證相似1．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，為上一點(diǎn)，且，在上，，則的長(zhǎng)為．A． B． C．7 D．62．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形中，有一個(gè)小正方形，其中、、分別在、、上，若，則小正方形的面積等于．3．已知等邊，，分別在邊、上，將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的處．（1）求證：；（2）若時(shí)，求．4．如圖有一塊三角尺，，，，，用一張面積最小的正方形紙片將這個(gè)三角尺完全覆蓋．求出這個(gè)正方形的面積．5．已知：如圖，是等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，．（1）求證：；（2）如果，，求的長(zhǎng)．6．如圖，在矩形中，，，是邊上的任意一點(diǎn)與、不重合），作，交于點(diǎn)．（1）判斷與是否相似，并說(shuō)明理由．（2）連接，若，試求出此時(shí)的長(zhǎng)．7．如圖1，在中，，，點(diǎn)在邊上從向運(yùn)動(dòng)．以為頂點(diǎn)作，射線(xiàn)交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線(xiàn)于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）當(dāng)時(shí)（如圖，求和的長(zhǎng)．（3）設(shè)點(diǎn)在邊上從向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．8．在中，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在邊上，連接、，，（1）如圖1，點(diǎn)、重合，時(shí)①若平分，求證：；②若，則；（2）如圖2，點(diǎn)、不重合．若，，，求的值．9．已知：在中，，，且點(diǎn)，分別在矩形的邊，上．（1）如圖1，填空：當(dāng)點(diǎn)在上，且，，則；（2）如圖2，若是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，若，，分別交于點(diǎn)，，求證：．10．在中，，，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，將線(xiàn)段所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)，再將線(xiàn)段所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)時(shí)，如圖1，直接判斷的大??；（2）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)時(shí)，如圖2，試判斷線(xiàn)段的大小，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，當(dāng)，，時(shí)，請(qǐng)利用備用圖探究面積的大?。ㄖ苯訉?xiě)出結(jié)果即可）．11．如圖，在中，已知，，且，將與重合在一起，不動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，并滿(mǎn)足：點(diǎn)在邊上沿到的方向運(yùn)動(dòng)，且始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，①求的長(zhǎng)；②直接寫(xiě)出重疊部分的面積；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)重疊部分構(gòu)成等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．12．如圖，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．（1）求的度數(shù)；（2）求的長(zhǎng)；（3）已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．13．【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．14．如圖1，已知正方形在直線(xiàn)的上方，在直線(xiàn)上，是射線(xiàn)上一點(diǎn)，以為邊在直線(xiàn)的上方作正方形．（1）連接，觀(guān)察并猜測(cè)的值，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，將圖1中正方形改為矩形，，，為常數(shù)），是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，以為邊在直線(xiàn)的上方作矩形，使頂點(diǎn)恰好落在射線(xiàn)上，當(dāng)點(diǎn)沿射線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)用含，的代數(shù)式表示的值．15．如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持，設(shè)，．（1）直接寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（2）先完善表格，然后在平面直角坐標(biāo)系中（如圖利用描點(diǎn)法畫(huà)出此拋物線(xiàn)，直接寫(xiě)出；23456782332（3）結(jié)合圖象，指出、在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，的值是；并寫(xiě)出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程．16．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作，，垂足分別為、．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，是上一點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)．若，，，求的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形中，在上取點(diǎn)，使得，若，，，求平行四邊形的面積．17．感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，，由，，可得；又因?yàn)?，可得，進(jìn)而得到我們把這個(gè)模型稱(chēng)為“一線(xiàn)三等角”模型．應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．①求證：；②當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；拓展：（3）在（2）的條件下，如圖2，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．專(zhuān)題13一線(xiàn)三等角模型證相似1．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，為上一點(diǎn)，且，在上，，則的長(zhǎng)為．A． B． C．7 D．6【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，，，，，，故選：．2．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形中，有一個(gè)小正方形，其中、、分別在、、上，若，則小正方形的面積等于．【解答】解：正方形的邊長(zhǎng)為，，四邊形和均為正方形，小正方形的面積等于：故答案為：．三．解答題（共15小題）3．已知等邊，，分別在邊、上，將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的處．（1）求證：；（2）若時(shí)，求．【解答】解：（1）證明：等邊將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的處．又；（2）設(shè)，則，翻折，設(shè)，，，由得：①由得：②由①②解得：，．4．如圖有一塊三角尺，，，，，用一張面積最小的正方形紙片將這個(gè)三角尺完全覆蓋．求出這個(gè)正方形的面積．【解答】解：，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，答：這個(gè)正方形的面積為：．5．已知：如圖，是等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，．（1）求證：；（2）如果，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：是等邊三角形，，，，，；（2）解：由（1）證得，，設(shè)，則，，或，或．6．如圖，在矩形中，，，是邊上的任意一點(diǎn)與、不重合），作，交于點(diǎn)．（1）判斷與是否相似，并說(shuō)明理由．（2）連接，若，試求出此時(shí)的長(zhǎng)．【解答】解：（1）與相似，理由如下：四邊形是矩形，，，，，，；（2）連接，如圖所示：由（1）知，，，，，，，在矩形中，，，，，．7．如圖1，在中，，，點(diǎn)在邊上從向運(yùn)動(dòng)．以為頂點(diǎn)作，射線(xiàn)交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線(xiàn)于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）當(dāng)時(shí)（如圖，求和的長(zhǎng)．（3）設(shè)點(diǎn)在邊上從向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，，又，，，，，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，由（1）得，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，；（3）解：點(diǎn)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，在線(xiàn)段上，點(diǎn)的軌跡也是一條線(xiàn)段，如圖，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)在的位置，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)在的位置，，為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，，，，，，即，，在中，，，，，即，，，，△是等腰三角形，，△與都是等腰三角形，△，，由（2）得，，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．8．在中，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在邊上，連接、，，（1）如圖1，點(diǎn)、重合，時(shí)①若平分，求證：；②若，則或；（2）如圖2，點(diǎn)、不重合．若，，，求的值．【解答】解：（1）①，，平分，，，且，，且，，，；②如圖1，過(guò)作于，過(guò)作，交于，，，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，即，設(shè)，則，，，，或，或，故答案為：或；（2）如圖2，過(guò)作，交于，過(guò)作于，過(guò)作，交于，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，同理由（1）得：，，即，，中，，，，，，，．9．已知：在中，，，且點(diǎn)，分別在矩形的邊，上．（1）如圖1，填空：當(dāng)點(diǎn)在上，且，，則；（2）如圖2，若是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，若，，分別交于點(diǎn)，，求證：．【解答】（1）解：，，，，又，，，，，，故答案為：；（2）證明：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，；（3）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，，同（1）同理得，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，．10．在中，，，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，將線(xiàn)段所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)，再將線(xiàn)段所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)時(shí)，如圖1，直接判斷的大??；（2）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)時(shí)，如圖2，試判斷線(xiàn)段的大小，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，當(dāng)，，時(shí)，請(qǐng)利用備用圖探究面積的大小（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．【解答】解：（1）如圖1，連接，，，是等邊三角形，，將線(xiàn)段所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)，再將線(xiàn)段所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，是等邊三角形，，，，，，，；（2），理由如下：如圖2，連接，，，，將線(xiàn)段所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)，再將線(xiàn)段所在的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，又，，；（3），點(diǎn)不在線(xiàn)段上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，；綜上所述：面積為或．11．如圖，在中，已知，，且，將與重合在一起，不動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，并滿(mǎn)足：點(diǎn)在邊上沿到的方向運(yùn)動(dòng)，且始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，①求的長(zhǎng)；②直接寫(xiě)出重疊部分的面積；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)重疊部分構(gòu)成等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，，，，，，；（2）①當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，，在中，，，，；②在中，，，重疊部分的面積為；（3）①當(dāng)時(shí)，，，，②當(dāng)時(shí)，則，，即，，，，，；③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，此時(shí)重疊部分圖形不能構(gòu)成三角形；或．12．如圖，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．（1）求的度數(shù)；（2）求的長(zhǎng)；（3）已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，如圖所示：當(dāng)時(shí)，．即點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)．．．．（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，如圖所示．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為：．且．，．．．．即：．或（舍．．．即：．（3）過(guò)作，點(diǎn)在軸上，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．設(shè)，．．．．．，且是一內(nèi)角的外角．．．即：．．．．．13．【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為或2．【解答】【探究】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，又，；（2）解：為的中點(diǎn)，，由（1）知，，即，；【應(yīng)用】解：如果，則，，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，②如果，則，為的外角，，，，，，，，又，，，，，，，，；如果，則，，在中，，，，又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，綜上，的長(zhǎng)為或2，故答案為：或2．14．如圖1，已知正方形在直線(xiàn)的上方，在直線(xiàn)上，是射線(xiàn)上一點(diǎn)，