中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

關(guān)于中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理拉格朗日中值定理及中值公式§4.1中值定理第2頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

一、羅爾定理xOyCx

設(shè)連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)相等。ABaby=f(x)提問：f

(x)

？觀察與思考：第3頁,共94頁，2024年2月25日，星期天羅爾定理：如果函數(shù)y

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有f(a)

f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少在一點(diǎn)x

，使得f

(x)

0。

簡要證明：(1)如果f(x)=f(a)，則f

(x)

0，定理的結(jié)論顯然成立的。

(2)如果有x

(a,b)，使f(x)

f(a)，不妨設(shè)f(x)

f(a)，則函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)x必在(a,b)內(nèi)。于是因此必有f

(x)=0。第4頁,共94頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)注意的問題：

如果定理的三個條件有一個不滿足，則定理的結(jié)論就可能不成立。xOyABf(x)不滿足條件(1)abxOyABf(x)不滿足條件(3)abxOyABf(x)不滿足條件(2)abc羅爾定理：如果函數(shù)y

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有f(a)

f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少在一點(diǎn)x

，使得f

(x)

0。第5頁,共94頁，2024年2月25日，星期天二、拉格朗日中值定理觀察與思考：

設(shè)連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)不相等。

f

(x)

？，f

(h)

？提問：直線AB的斜率k=？答案：

f

(x)

f

(h)

k，C2hxOyABaby=f(x)C1xf(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。f(b)

f(a)

？

第6頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x，使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。拉格朗日中值定理的幾何意義：拉格朗日中值定理：C2hxOyABaby=f(x)C1x第7頁,共94頁，2024年2月25日，星期天則函數(shù)j(x)在區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理的條件，于是至少存在一點(diǎn)x

(a,b)，使j

(x)

0，即

簡要證明：令由此得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x，使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。第8頁,共94頁，2024年2月25日，星期天f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)，

f(x

Dx)

f(x)

f

(x

qDx)Dx(0<q<1)，

Dy

f

(x

qDx)Dx(0<q<1)。拉格朗日中值公式：拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x，使得

f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)。第9頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)。

證明：在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，應(yīng)用拉格朗日中值定理，就得

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)。由假定，f

(x)

0，所以f(x2)

f(x1)

0，即

f(x2)

f(x1)。因此f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)。第10頁,共94頁，2024年2月25日，星期天三、柯西中值定理

函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F

(x)在(a,b)內(nèi)恒不為零，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x，使等式第11頁,共94頁，2024年2月25日，星期天二、洛必達(dá)法則一、未定式§4．2洛必達(dá)法則“零比零”型未定式的定值法：“無窮比無窮”型未定式的定值法：其它類型未定式的定值法：第12頁,共94頁，2024年2月25日，星期天一、未定式

在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無窮小量或同是無窮大量，那么極限可能存在，也可能不存在，

其它類型的未定式：0·

、

、00、1

、

0。

例如，下列極限都是未定式：00－或

－。這種極限稱為未定式。這種類型的未定式記為第13頁,共94頁，2024年2月25日，星期天二、洛必達(dá)法則

定理如果函數(shù)f(x)與g(x)滿足如下條件：

(1)當(dāng)x

a時，函數(shù)極限都為零(或都為無窮大)；

(2)函數(shù)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)都可導(dǎo)且g

(x)

0；(2)當(dāng)|x|>N時f

(x)及F

(x)都存在且F

(x)

0；說明：在上述定理中，把x

a換成x

，把條件(2)換成結(jié)論仍成立。第14頁,共94頁，2024年2月25日，星期天“零比零”型未定式的定值法：第15頁,共94頁，2024年2月25日，星期天“零比零”型未定式的定值法：第16頁,共94頁，2024年2月25日，星期天“無窮比無窮”型未定式的定值法：第17頁,共94頁，2024年2月25日，星期天其它類型未定式的定值法：

未定式0

、

、00、1

、

0都可以轉(zhuǎn)化為“零比零”型或“無窮比無窮”型未定式。第18頁,共94頁，2024年2月25日，星期天其它類型未定式的定值法：

未定式0

、

、00、1

、

0都可以轉(zhuǎn)化為“零比零”型或“無窮比無窮”型未定式。第19頁,共94頁，2024年2月25日，星期天1．洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但最好能與其它求極限的方法結(jié)合使用。例如能化簡時應(yīng)盡可能先化簡，可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣可以使運(yùn)算簡捷。應(yīng)注意的問題：第20頁,共94頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)注意的問題：2．本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法。當(dāng)定理?xiàng)l件滿足時，所求的極限當(dāng)然存在(或?yàn)?/p>

)，但定理?xiàng)l件不滿足時，所求極限卻不一定不存在。所以不能用洛必達(dá)法則。但其極限是存在的：第21頁,共94頁，2024年2月25日，星期天一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟§4.3函數(shù)單調(diào)性的判定法第22頁,共94頁，2024年2月25日，星期天一、函數(shù)單調(diào)性的判定法觀察與思考：函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有什么關(guān)系？f

(x)>0f

(x)<0第23頁,共94頁，2024年2月25日，星期天觀察結(jié)果：

函數(shù)單調(diào)增加時導(dǎo)數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)減少時導(dǎo)數(shù)小于零。函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少f

(x)>0f

(x)<0一、函數(shù)單調(diào)性的判定法第24頁,共94頁，2024年2月25日，星期天函數(shù)單調(diào)性的判定法：

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

(1)如果在(a,b)內(nèi)f

(x)>0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；

(2)如果在(a,b)內(nèi)f

(x)<0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。由拉格朗日中值公式，有

f(x2)=f(x1)+f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)。因?yàn)閒

(x)>0，x2

x1>0，所以

f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)>0，即f(x1)<f(x2)，這就證明了函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加。

證明：只證(1)。在(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，第25頁,共94頁，2024年2月25日，星期天說明：

判定法中的開區(qū)間可換成其他各種區(qū)間。函數(shù)單調(diào)性的判定法：

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

(1)如果在(a,b)內(nèi)f

(x)>0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；

(2)如果在(a,b)內(nèi)f

(x)<0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。第26頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

例1．判定函數(shù)y

x

sinx

在[0,2p]上的單調(diào)性。

解：因?yàn)樵?0,2p)內(nèi)

y

1

cosx>0，所以函數(shù)

y

x

sinx

在[0,2p]上的單調(diào)增加。函數(shù)單調(diào)性的判定法：

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

(1)如果在(a,b)內(nèi)f

(x)>0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)增加；

(2)如果在(a,b)內(nèi)f

(x)<0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少。第27頁,共94頁，2024年2月25日，星期天二、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟討論：

1．設(shè)函數(shù)y

f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，x1，x2是

f

(x)的兩個相鄰的零點(diǎn)，問f(x)在[x1,x2]上是否單調(diào)？

2．如何把區(qū)間[a,b]劃分成一些小區(qū)間，使函數(shù)

f(x)在每個小區(qū)間上都是單調(diào)的？第28頁,共94頁，2024年2月25日，星期天(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)求出導(dǎo)數(shù)f

(x)；

(3)求出f

(x)全部零點(diǎn)；

(4)判斷或列表判斷；

(5)綜合結(jié)論。二、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟第29頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

因?yàn)樵?

,0)內(nèi)y

<0，所以函數(shù)y

ex

x

1在(

,0]上單調(diào)減少；

因?yàn)樵?0,

)內(nèi)

y

>0，所以函數(shù)y

ex

x

1在[0,

)上單調(diào)增加。50551015xyy

ex

x

1

解：函數(shù)y

e

x

x

1的定義域?yàn)?

,

)。

y

e

x

1。

例2．討論函數(shù)y

e

x

x

1的單調(diào)性。第30頁,共94頁，2024年2月25日，星期天3210123412yx

解：函數(shù)的定義域?yàn)?

,

)。所以函數(shù)在[0,

)上單調(diào)增加。

因?yàn)閤>0時，y

>0，所以函數(shù)在(

,0]上單調(diào)減少；

因?yàn)閤<0時，y

<0，第31頁,共94頁，2024年2月25日，星期天xf

(x)f(x)

例4．確定函數(shù)f(x)

2x3

9x2

12x

3的單調(diào)區(qū)間。

解：這個函數(shù)的定義域?yàn)?

,

)。

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x1

1、x2

2。列表分析：

函數(shù)f(x)在區(qū)間(

,1]和[2,

)內(nèi)單調(diào)增加，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)減少。(

,1][1,2][2,

)↗↘↗＋－＋2101231086421234yxy

2x3

9x2

12x

3第32頁,共94頁，2024年2月25日，星期天xyO11y=x3說明:

一般地，如果f

(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)處均為正(或負(fù))時，那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的。

例5．討論函數(shù)y

x3的單調(diào)性。解：函數(shù)的定義域?yàn)閤

0(

,

)。

y

3x2，當(dāng)x

0時，y

0。因?yàn)楫?dāng)x

0時，y

>0。所以函數(shù)y

x3在區(qū)間(

,0]及[0,

)內(nèi)都是單調(diào)增加的。因此函數(shù)在整個定義域(

,

)內(nèi)是單調(diào)增加的。第33頁,共94頁，2024年2月25日，星期天0123x1yy=2x-(3-x1)

因?yàn)楫?dāng)x>1時，f

(x)>0，所以f(x)在[1,

)上f(x)單調(diào)增加。因此當(dāng)x>1時，f(x)>f(1)=0，即第34頁,共94頁，2024年2月25日，星期天§4．4函數(shù)的極值與最值一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義取得極值的必要條件、駐點(diǎn)取得極值的第一種充分條件確定極值點(diǎn)和極值的步驟取得極值的第二種充分條件第35頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0

(a,b)．x1x2x3x4x5x6x7xyOaby=f(x)f(a)和f(b)是否為極值？

x

U(x0)，有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值；。如果

U(x0)，

x

U(x0)，有f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一。。。如果

U(x0)，個極小值；一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義：第36頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0

(a,b)．

x

U(x0)，有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值；。如果

U(x0)，

x

U(x0)，有f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一。。。如果

U(x0)，個極小值；函數(shù)的極值及其求法極值的定義：第37頁,共94頁，2024年2月25日，星期天取得極值的必要條件：觀察極值與切線的關(guān)系：在極值點(diǎn)處，如果函數(shù)曲線有切線，則切線是水平的．xyOabx1x2x3x4x5x6x7y=f(x)第38頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么f

(x0)

0．證明駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f

(x)

0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)．應(yīng)注意的問題：可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn)．但反過來，函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)．取得極值的必要條件：第39頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

假定f(x0)是極大值，根據(jù)極大值的定義，在x0的某個去心鄰域內(nèi)，對于任何點(diǎn)x

，f(x)<f(x0)均成立．于是當(dāng)x<x0時因此因此從而得到f

(x0)

0．<0,當(dāng)x>x0時

極小值的情形可類似地證明．必要條件的證明：第40頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

觀察函數(shù)f(x)

x３在x

0處的導(dǎo)數(shù)與極值情況．xyOy=x3在x=0處，f

(0)

0.但函數(shù)在x=0無極值．第41頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

定理2（第一種充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個鄰域內(nèi)連續(xù)，在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo)．

(1)如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f

(x)>0，在x0的某一右鄰域內(nèi)

f

(x)<0，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；

(2)如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f

(x)<0，在x0的某一右鄰域內(nèi)

f

(x)>0，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；

(3)如果在x0的左右鄰域內(nèi)f

(x)不改變符號，那么函數(shù)f(x)在

x0處沒有極值．取得極值的第一種充分條件：第42頁,共94頁，2024年2月25日，星期天取得極值的第一種充分條件的幾何意義：x1x2x3x4x5x6x7xyOaby=f(x)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0f

(x)<0在極小值點(diǎn)附近在極大值點(diǎn)附近第43頁,共94頁，2024年2月25日，星期天確定極值點(diǎn)和極值的步驟：(1)求出導(dǎo)數(shù)f

(x)；

(2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；

(3)列表判斷（考察f

(x)的符號在每個駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況，以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，還要按定理2確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值）；

(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值．第44頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

函數(shù)f(x)的極大值為f(

1)

10，極小值為f(3)

22．

例1

求函數(shù)f(x)

x3

3x2

9x

5的極值．

解(1)f

(x)

3x2

6x

9

3(x

1)(x

3)．(2)令3(x

1)(x

3)

0，得駐點(diǎn)x

1

1，x

2

3．(3)列表判斷：(3,

)

22(

,

1)

1(

1,3)3f

(x)

00

f(x)10極大極小10123x2010yy=x3-3x2-9x+5第45頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

例2

求函數(shù)f(x)

1

(x

2)2/3的極值．解(1)當(dāng)x

2時，(2)函數(shù)無駐點(diǎn)，

x

2是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(3)列表判斷：

f

(x)f(x)(-

，2)2(2，+)+-不存在1極大值函數(shù)f(x)在x

2取得極大值，極大值為f(2)

1．101234x1yf(x)

1

(x

2)2/3第46頁,共94頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)注意的問題：

如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二導(dǎo)數(shù)f

(x

0)

0，那么點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn)，并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f

(x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值．但如果f

(x0)

0，定理3就不能應(yīng)用．

定理2(第二種充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f

(x0)

0，f

(x0)

0，那么

(1)當(dāng)f

(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；

(2)當(dāng)f

(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值．證明取得極值的第二種充分條件：第47頁,共94頁，2024年2月25日，星期天從而知道，對于這去心鄰域內(nèi)的x來說，f

(x)與x

x0符號相反．因此，當(dāng)x

x0<0即x<x0時，f

(x)>0；當(dāng)x

x0>0即x>x0時，f

(x)<0．于根據(jù)定理2，f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值．

在情形(1)，由于f

(x0)<0，按二階導(dǎo)數(shù)的定義有根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性，當(dāng)x

在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時，但f

(x0)

0，所以上式即

類似地可以證明情形(2)．第二種充分條件的證明：第48頁,共94頁，2024年2月25日，星期天討論：函數(shù)f1(x)

x4，f2(x)

x3在點(diǎn)x

0是否有極值？f

1(x)4x3，f

1(0)

0，f

1(x)12x2，f

1(0)

0．當(dāng)x<0時，f

1(x)<0；當(dāng)x>0時，f

1(x)>0．f1(0)為極小值．f

2(x)3x2，f

2(0)

0，f

2(x)6x

，f

2(0)

0．f

2(x)

0，f2(0)不是極值．1012112xy101x1234y第49頁,共94頁，2024年2月25日，星期天(2)令f

(x)

0，求得駐點(diǎn)x1

1，x2

0，x3

1．

(3)f

(x)

6(x

2

1)(5x2

1)．

(4)因f

(0)

6>0，所以x

0為極小值點(diǎn)，極小值為f(0)

0．

(5)因f

(

1)

f

(1)

0，用定理3無法判別．

例3

求函數(shù)f(x)

(x2

1)3

1的極值．

解法一(1)f

(x)

6x(x2

1)2．同理，f(x)在1處也沒有極值．

因?yàn)樵?/p>

1的左右鄰域內(nèi)f

(x)<0，所以f(x)在

1處沒有極值；2101x12yf(x)

(x2

1)3

1第50頁,共94頁，2024年2月25日，星期天f

(x)

f(x)(1)f

(x)

6x(x2

1)2．(2)令f

(x)

0，求得駐點(diǎn)x1

1，x2

0，x3

1．(3)列表判斷：(-

，-1)-1(-1，0)0(0，1)1(1，+)-0-0++00無極值無極值極小值f(x)在x

0處取得極小值，極小值為f(0)

0．

例3

求函數(shù)f(x)

(x2

1)3

1的極值．

解法二第51頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

二、最大值、最小值問題極值與最值的關(guān)系最大值和最小值的求法最大值和最小值的應(yīng)用最大值、最小值問題特殊情況下的最大值與最小值第52頁,共94頁，2024年2月25日，星期天最大值、最小值問題極值與最值的關(guān)系：x1x2x3x4x5xyOaby=f(x)最大值：f(b)，最小值：f(x3)．

觀察：第53頁,共94頁，2024年2月25日，星期天x1x2x3x4x5xyOaby=f(x)最大值：f(x4)，最小值：f(x3)．最大值、最小值問題極值與最值的關(guān)系：

觀察：第54頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)的最大值和最小值一定存在．函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得，如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得，則必在開區(qū)間(a，b)內(nèi)取得，在這種情況下，最大值一定是函數(shù)的極大值．因此，函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者．同理，函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者．最大值、最小值問題極值與最值的關(guān)系：第55頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值)為x1，x2，

···

，xn，則比較f(a)，f(x1)，f(x2)，

···

，f(x

n)，f(b)的大小，其中最大的便是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值，最小的便是函數(shù)f(x)在[a，b]上的最小值．

求最大值和最小值的步驟：

(1)求出f(x)在(a，b)內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；

(2)求出函數(shù)在上述點(diǎn)處和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

(3)比較上述函數(shù)值，找出最大的和最小的．最大值和最小值的求法：第56頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

例1

求函數(shù)y

2x3

3x2

12x

14在[

3,4]上的最大值與最小值．

解f(x)

2x3

3x

2

12x

14，

f

(x)

6x2

6x

12

6(x

2)(x

1)，解方程f

(x)

0，得一x1

2，x2

1，由于

f(

3)

2(

3)3

3(

3)2

12(

3)

14

23；

f(

2)

2(

2)3

3(

2)2

12(

2)

14

34；

f(1)

2

3

12

14

7；

f(4)

2·43

3·42

12·4

14

142，比較可得f(x)在x

4取得它在[

3，4]上的最大值f(4)

142,在x

1取得它在[

3，4]上的最小值f(1)

7．第57頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

例2

鐵路線上AB段的距離為100km．工廠C距A處為20km，AC垂直于AB．為了運(yùn)輸需要，要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路．已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5．為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？100kmDABC20km最大值和最小值的應(yīng)用：第58頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

解設(shè)AD

x(km)，則DB

100

x，100kmDABC20km

設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是某個正數(shù))，即第59頁,共94頁，2024年2月25日，星期天先求y對x的導(dǎo)數(shù)：，解方程y

0，得x

15(km)．其中以y|x

15

380k為最小，因此當(dāng)AD

x

15km時，總運(yùn)費(fèi)為最?。?/p>

解設(shè)AD

x(km)，則DB

100

x，

設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y，那么y

5k·CD

3k·DB(k是某個正數(shù))，即第60頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

如果f(x)在一個區(qū)間(有限或無限，開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn)x0，并且這個駐點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，那么，當(dāng)f(x0)是極大值時，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)f(x0)是極小值時，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值．特殊情況下的最大值與最小值：f(x0)Oa

x0

b

xy

f(x

)yf(x0)Oa

x0

b

xy

f(x

)y第61頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

如果f(x)在一個區(qū)間(有限或無限，開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點(diǎn)x0，并且這個駐點(diǎn)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，那么，當(dāng)f(x0)是極大值時，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)f(x0)是極小值時，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值．特殊情況下的最大值與最小值：

應(yīng)當(dāng)指出，實(shí)際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值，而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得．這時如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點(diǎn)x0，那么不必討論f(x0)是否是極值，就可以斷定

f(x0)是最大值或最小值．第62頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

把一根直徑為d

的圓木鋸成截面為矩形的梁．問矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W

最大?其中d

hb

解b

與h

有下面的關(guān)系：

h2

d2

b2，

例3第63頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

由于梁的最大抗彎截面模量在(0，d)內(nèi)一定存在，而函數(shù)在(0，d)內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，W的值最大．這時，，于是有

把一根直徑為d

的圓木鋸成截面為矩形的梁．問矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W

最大?其中

解b

與h

有下面的關(guān)系：

h2

d2

b2，

例3第64頁,共94頁，2024年2月25日，星期天§4．5曲線的凹凸、拐點(diǎn)與漸近線曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸性曲線凹凸性的判定定理曲線的拐點(diǎn)確定曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的步驟第65頁,共94頁，2024年2月25日，星期天曲線的凹凸性：那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)；定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點(diǎn)x1，x2，恒有曲線的凹凸與拐點(diǎn)x1

x2

yx

Of(x2)f(x1)y=f(x)x1

x2

yx

Of(x2)f(x1)y=f(x)第66頁,共94頁，2024年2月25日，星期天那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧)．x1，x2，恒有曲線的凹凸性：那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)；定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點(diǎn)x1，x2，恒有曲線的凹凸與拐點(diǎn)

如果對I上任意兩點(diǎn)第67頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

連續(xù)曲線y

f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn)．1012112xyy=x33210123xyy=sinx曲線的拐點(diǎn)：第68頁,共94頁，2024年2月25日，星期天yx

Oy=f(x)yx

Oy=f(x)

觀察切線斜率的變化：曲線凹凸性的判定：第69頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

定理設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

(1)若在(a，b)內(nèi)f

(x)>0，則f(x)在[a，b]上的圖形是凹的；

(2)若在(a，b)內(nèi)f

(x)<0，則f(x)在[a，b]上的圖形是凸的．確定曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的步驟：

(1)確定函數(shù)y

f(x)的定義域；

(2)求出在函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)f`

(x)；

(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

(4)判斷或列表判斷，確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)；注：根據(jù)具體情況（1）（3）步有時省略．曲線凹凸性的判定：第70頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

例1

判斷曲線y

lnx

的凹凸性．解(1)函數(shù)y

lnx

的定義域?yàn)?0，

)；(3)因?yàn)楫?dāng)0<x<

時，y

<0，所以曲線y

lnx是凸的．

例2

判斷曲線y

x3的凹凸性．解(1)函數(shù)y

x3的定義域?yàn)?

，

)；

(2)y

3x2，y

6x

；

(3)由y

0，得x

0；(4)判斷：因?yàn)楫?dāng)x<0時，y

<0，所以曲線在(

，0]內(nèi)為凸的；因?yàn)閤>0時，y

>0，所以曲線在[0，

)內(nèi)為凹的．第71頁,共94頁，2024年2月25日，星期天(

，0)(0，

)0f

(x)f(x)-+0

曲線在(

，0]內(nèi)為凸的，在[0，

)內(nèi)為凹的．(4)列表判斷：

例1

判斷曲線y

lnx

的凹凸性．解(1)函數(shù)y

lnx

的定義域?yàn)?0，

)；(3)因?yàn)楫?dāng)0<x<

時，y

<0，所以曲線y

lnx是凸的．

例2

判斷曲線y

x3的凹凸性．解(1)函數(shù)y

x3的定義域?yàn)?

，

)；

(2)y

3x2，y

6x

；

(3)由y

0，得x

0；第72頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

例3

求曲線y

2x3

3x2

2x

14的拐點(diǎn)．解(1)函數(shù)y

2x3

3x2

2x

14的定義域?yàn)?

，

)；第73頁,共94頁，2024年2月25日，星期天(4)列表判斷：(

，-1/2)(-1/2，

)-1/2f

(x)f(x)-+0

41/2

例3

求曲線y

2x3

3x2

2x

14的拐點(diǎn)．解(1)函數(shù)y

2x3

3x2

2x

14的定義域?yàn)?

，

)；第74頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

例4

求曲線y

3x4

4x

3

1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間．解(1)函數(shù)y

3x4

4x

3

1的定義域?yàn)?

，

)；(4)列表判斷：

(

，0)0(0，2/3)2/3(2/3，

)f

(x)

f(x)+0-0+

1

11/27在區(qū)間(

，0]和[2/3，

)上曲線是凹的，在區(qū)間[0，2/3]上曲線是凸的．點(diǎn)(0，1)和(2/3，11/27)是曲線的拐點(diǎn)．第75頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

例5

問曲線y

x4是否有拐點(diǎn)？解y

4x3，y

12x2．當(dāng)x

0時，y

>0，在區(qū)間(

，

)內(nèi)曲線是凹的，因此曲線無拐點(diǎn)．(3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x

0；

(4)判斷：當(dāng)x<0當(dāng)，y

>0；當(dāng)x>0時，y

<0．因此，點(diǎn)(0，0)曲線的拐點(diǎn)．

解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?

，

)；．第76頁,共94頁，2024年2月25日，星期天§4．6函數(shù)圖形的討論（描繪）復(fù)習(xí)觀察與思考描繪函數(shù)圖形的一般步驟畫圖舉例函數(shù)圖形的描繪第77頁,共94頁，2024年2月25日，星期天f

(x)<0，曲線是凸的．1、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性xyO函數(shù)單調(diào)增加．曲線是凹的．y=f(x)f

(x)>0，f

(x)>0，abxyOy=f(x)ab函數(shù)單調(diào)增加．f

(x)>0，復(fù)習(xí)：函數(shù)圖形的描繪第78頁,共94頁，2024年2月25日，星期天xyO函數(shù)單調(diào)減少．曲線是凹的．y=f(x)f

(x)<0，f

(x)>0，abxyOy=f(x)ab函數(shù)單調(diào)減少．曲線是凸的．f

(x)<0，f

(x)<0，1、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性復(fù)習(xí)：函數(shù)圖形的描繪第79頁,共94頁，2024年2月25日，星期天xyOx1x2x3f(x3)(x2,f(x2))極大值極小值極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)拐點(diǎn)y=f(x)f(x1)f

(x1)=0f

(x2)=0f

(x3)=02、極值點(diǎn)、極值與拐點(diǎn)第80頁,共94頁，2024年2月25日，星期天

觀察函數(shù)的圖形，在圖形上有哪些關(guān)鍵的點(diǎn)？關(guān)鍵點(diǎn)的兩側(cè)(或兩點(diǎn)間)曲線有什么特點(diǎn)？函數(shù)的圖形有無漸近線？有無對稱性？21012xy觀察與思考：第81頁,共94頁，2024年2月25日，星期天21012xy

觀察函數(shù)的圖形，在圖形上有哪些關(guān)鍵的點(diǎn)？關(guān)鍵點(diǎn)的兩側(cè)(或兩點(diǎn)間)曲線有什么特點(diǎn)？函數(shù)的圖形有無漸近線？有無對稱性？觀察與思考：第82頁,共94頁，2024年2月25日，星期天21012xy

觀察函數(shù)的圖形，在圖形上有哪些關(guān)鍵的點(diǎn)？關(guān)鍵點(diǎn)的兩側(cè)(或兩點(diǎn)間)曲線有什么特點(diǎn)？函數(shù)的圖形有無漸近線？有無對稱性？觀察與思考：第83頁,共94頁，2024年2月25日，星期天2101212