冪的乘方與積的乘方

關(guān)于冪的乘方與積的乘方冪的意義:a·a·…·an個(gè)aan=

同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則：am

·an=am+n（m,n都是正整數(shù)）回顧與思考第2頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天冪的乘方的意義冪的乘方：就是指幾個(gè)相同的冪相乘。例如：（am）n

是指N個(gè)am相乘。讀作：a的m次冪的n次方。例如：(22

)3是指3個(gè)22相乘，讀作：2的2次冪的3次方。第3頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天做一做(22

)3=___________；(a2

)3=___________；(

a2

)m=___________（m是正整數(shù)）.26a6a2m第4頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天(22)3=22·22·22=22+2+2=22×3=26.(22

)3(a2)m=a2·a2·…·a2=a2+2+…+2

=a2×m

=a2m.m個(gè)a2m個(gè)2(a2

)m（m是正整數(shù)）(a2

)3(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a2×3=a6.第5頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天

通過(guò)觀(guān)察，你發(fā)現(xiàn)上述式子的指數(shù)和底數(shù)是怎樣變化的？(22

)3

,

(

a2

)3,(a2

)m（m是正整數(shù)）底數(shù)不變，指數(shù)相乘.第6頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天(am)n=am

·am

·…·am=am+m+…+m=amn(m，n都是正整數(shù)).

n個(gè)am

n個(gè)m

同樣，我們把上述運(yùn)算過(guò)程推廣到一般情況，即(am)n=amn(m，n都是正整數(shù)).結(jié)論（冪的意義）（同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)）第7頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))底數(shù)

，指數(shù)

.冪的乘方，冪的乘方

法則不變相乘第8頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天舉例例4計(jì)算：（1）(105)2；（2）-(a3)4

.第9頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）(105)2

解(105)2=105×2=1010.（2）-(a3)4

解-(a3)4

=-a3×4=-a12.第10頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天舉例例5計(jì)算：（1）(xm)4

（m是正整數(shù)）；（2）(a4

)3

·

a3.第11頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）(xm)4

（m是正整數(shù)）解(xm)4=xm×4=x4m.（2）(a4)3·

a3解(a4)3

·

a3

=a4×3

·

a3

=a15.=a12+3.第12頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例2】計(jì)算：⑴x2·x4＋(x3)2；⑵(a3)3·(a4)3解：⑴原式＝x2+4

＋x3×2＝x6＋x6＝2x6⑵原式＝a9·a12＝a9+12＝a21---①冪的乘方---②同底數(shù)冪相乘---③合并同類(lèi)項(xiàng)第13頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天鞏固練習(xí)：1.計(jì)算（y2)3.y2.2(a2)6.a3-（a3)4.a3解：原式=y6.y2=y8解：原式=2a12.a3–a12.a3=a12.a3=a15.

第14頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)1.填空：（1）(104)3=

；（2）(a3)3=

；（3）-(x3)5=

；（4）(x2)3·x2=

.

1012a9-x15x8第15頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.下面的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)怎樣改正？（1）(a4)3=a7；（2）(a3)2=a9.不對(duì)，應(yīng)是a4×3=a12.不對(duì)，應(yīng)是a3×2=a6.第16頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)1、計(jì)算(5)(am)4

(6)(x4)3·(x2)8

(7)(a2)3·(a3)4

(8)(am+3)2

(9)[(x-3y)m]3

(10)9m·27n

注1：冪的底數(shù)和指數(shù)不僅僅是單獨(dú)字母或數(shù)字，也可以是某個(gè)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.第17頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)2、判斷下列各式的對(duì)錯(cuò)，并改正(1)(a5)2=a7

(2)a5·a2=a10

(3)(x3)3=x6

(4)x3m+1=(x3)m+1(5)a6·a4=a24

(6)4m·4n=22(m+n)

注2：冪的乘方法則與同底數(shù)冪的乘法法則的異同第18頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天注3：多重乘方可以重復(fù)運(yùn)用上述冪的乘方法則.[(am)n]p=(amn)p=amnp注4：冪的乘方公式還可逆用.amn=(am)n=(an)m例如計(jì)算[(a3)2]5的值第19頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：∵am=3,an=5∴a3m+2n=a3m·a2n=(am)3·(an)2=33×52=675.第20頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3計(jì)算(x-y)m(y-x)2m+(y-x)3m.解：原式=(x-y)m(x-y)2m+(y-x)3m=(x-y)3m+(y-x)3m

0m為奇數(shù)=2(x-y)3mm為偶數(shù)第21頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天第22頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天提高訓(xùn)練第23頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、在括號(hào)內(nèi)填上指數(shù)或底數(shù)第24頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天第25頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天第26頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天第27頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天第28頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天第29頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天冪的意義:a·a·…·an個(gè)aan=

同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則：am

·an=am+n（m,n都是正整數(shù)）

冪的乘方運(yùn)算法則:(am)n=

(m、n都是正整數(shù))amn回顧與思考第30頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天積的乘方的意義積的乘方概念：是指底數(shù)是乘積形式的乘方。例如：(ab)3)(3x)2

(-2xy)4

第31頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3x

)2=3x·3x=(3·3)

·(x·x)

=9x2.(3x

)2(ab

)3

=(ab)·(ab)·(ab)

=(a·a·a)

·(b·b·b)=a3b3.(ab)3(4y

)3(4y)3=(4y)·(4y)·(4y)=(4·4·4)·(y·y·y)=64y3.（乘方的意義）（使用交換律和結(jié)合律）第32頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天(ab)n=anbn(n為正整數(shù)).猜想(ab)n=anbn第33頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在下面的推導(dǎo)中，說(shuō)明每一步(變形)的依據(jù)：(ab)n

=

ab·ab·……·ab()=(a·a·……·a)(b·b·……·b)()=an·bn．()冪的意義乘法交換律、結(jié)合律冪的意義n個(gè)abn個(gè)an個(gè)b(ab)n=

an·bn的證明第34頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天上式顯示:積的乘方=積的乘方乘方的積(ab)n

=an·bn（m,n都是正整數(shù)）每個(gè)因式分別乘方后的積

積的乘方法則你能說(shuō)出法則中“因式”這兩個(gè)字的意義嗎?(a+b)n，可以用積的乘方法則計(jì)算嗎?

即“(a+b)n=an·bn

”成立嗎？又“(a+b)n=an+bn

”成立嗎？第35頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天

三個(gè)或三個(gè)以上的積的乘方，是否也具有上面的性質(zhì)?怎樣用公式表示?(abc)n=an·bn·cn怎樣證明??(abc)n=[(ab)·c]n=(ab)n·cn=an·bn·cn.第36頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天(abc)n=?(n為正整數(shù)).

(abc)n

=(abc)·…·(abc)=(a·a…·a)·(b·b…·b)·(c·c…·c)=anbncnn個(gè)abcn個(gè)an個(gè)bn個(gè)c議一議第37頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天舉例例6計(jì)算：（1）(-2x)3；（2）(-4xy)2；（3）(xy2)3；（4）第38頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）(-2x)3

（2）(-4xy)2解(-2x)3=(-2)3·x3=-8x3.解(-4xy)2=(-4)2·

x2·

y2=16x2y2.第39頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）(xy2)3

解(xy2)3=x3·(y2)3=x3y6.第40頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天舉例例7計(jì)算：

2(a2b2)3

-3(a3b3)2.解2(a2b2)3

-3(a3b3)2=2a6b6-3a6b6=-a6b6.第41頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)1.計(jì)算：（1）；

（2）(-xy)4；（3）(-2m2n)3；（4）(-3ab2c3)4.第42頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解：

（2）(-xy)4

=x4y4第43頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（3）(-2m2n)3

=(-2)3

·(m2)3·n3=-8m6n3

（4）(-3ab2c3)4=(-3)4·a4·(b2)4·

(c3)4=81a4b8c12第44頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.下面的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)怎樣改正？（1）(ab3)2=ab6（2）(2xy)3=6x3y3．答：不對(duì)，應(yīng)是(ab3)2=a2b6.答：不對(duì)，應(yīng)是(2xy)3=8x3y3.第45頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.計(jì)算：

-(xyz)4

+

(2x2y2z2

)2.解：-(xyz)4+

(2x2y2z2

)2=-x4y4z4+

4x4y4z4

=3x4y4z4.第46頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天中考試題例1

化簡(jiǎn)[-a·(-2a)3·(-a)5]7的結(jié)果是

.解析原式=[-a·(-1)3·23a3

·

(-1)5·a5]7=[-23·(a1+3+5)]7=(-1)7·23×7·

a9×7=-221a63.-221a63第47頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天中考試題例2C計(jì)算的結(jié)果正確的是（）解析原式=(-1)3·

(

)3·(a2)3·b3=故，應(yīng)選擇C.第48頁(yè),共56頁(yè)，2024年2月25日，星期天公式的反向使用

試用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:(ab)n=

an·bn

（m,n都是正整數(shù)）反向使用:an·bn=

(ab)n(1)23×53(2)28×58(3)(-5)16×(-2)15(4)24×44×(-0.125)4=(2×5)3=103=(2×5)8=108=(-5)×[(-5)×(-2)]15=-5×1015=[2×4×(-0.125)]4=14=1.第49頁(yè),共56頁(yè)，2