直線、平面垂直的判斷與性質(zhì)五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點分類匯編

17一直線、平面垂直的判斷與性質(zhì)（含解析）

一、單選題

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在正方體AB8-AACQ中，E,F分

別為A8,BC的中點，則（）

A.平面與砰，平面BDRB.平面用E尸，平面ABO

C.平面4所〃平面AACD.平面耳EF//平面ACQ

2.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在長方體ABCD-ABCQ中，已知BQ

與平面ABCD和平面AABlB所成的角均為30。，則（）

A.AB=2ADB.AB與平面"CQ所成的角為

C.AC=CB1D.與平面BBCC所成的角為

45°

3.（2022.浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱

ABC-AiBtCt,AC=AAt,E,尸分別是棱BCAG上的點.記叮與AA所成

的角為*EF與平面ABC所成的角為夕，二面角尸-8C-A的平面角

為乙則（）

4.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖已知正方體A38-ABCa,

M,N分別是A。，RB的中點，貝!J()

A.直線AQ與直線RB垂直，直線肱V〃平面ABCQ

B.直線A。與直線RB平行，直線MN，平面血油與

C.直線A。與直線RB相交，直線MN//平面

D.直線A。與直線RB異面，直線W平面80。百

5.（2020.山東.統(tǒng)考高考真題）已知正方體ABCQ-A4Ca（如圖所

示），則下列結(jié)論正確的是（）

A.BDl∕∕AlAB.BD1/∕AtDC.叫“CD.BDt1AtCl

6.（2019?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，點N為正方形ABS的中心,

阻力為正三角形，平面ECO，平面A88,M是線段Ez）的中點，則

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線8M,EN是異面直線

D.BM≠EN,且直線8M,EN是異面直線

7.（2018?全國?高考真題）在長方體ABCD-ABCQ中，AB=BC=2,

AG與平面84CC所成的角為30,則該長方體的體積為

A.8B.6√2C.8√2D.8上

8.（2018?全國?高考真題）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直

線與平面α所成的角都相等，則ɑ截此正方體所得截面面積的最大

值為

A.孚B.竿C.乎DT

二、多選題

9.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知正方體ABeD-A耳C以，則

（）

A.直線Ba與所成的角為90。B.直線g與CA所成的角為90。

C.直線8C∣與平面網(wǎng)2。所成的角為45。D.直線BCl與平面

ABCO所成的角為45。

10.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，

ED1^^^ABCD,FB∕∕ED,AB=ED=2FB,t己三棱錐E-ACD,F-ABC,

R-ACE的體積分別為KMM,則（）

B

A.?=2V2B.K=K

C.=V1+v2D.2匕=3匕

11.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的

中心，P為所在棱的中點，M,N為正方體的頂點.則滿足MNLOP

的是（）

三、填空題

12.（2019?全國?高考真題）已知NACB=90。，P為平面ABC外一

點，PC=2,點尸到NAC5兩邊AC,BC的距離均為g,那么P到

平面ABC的距離為.

13.（2018.全國?高考真題）已知圓錐的頂點為s,母線SA,S3所

成角的余弦值為:，SA與圓錐底面所成角為45。，若aSAB的面積為

O

5而，則該圓錐的側(cè)面積為.

四、解答題

14.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱ABC-AAC的體積

為4,ABC的面積為20.

⑴求A到平面A8C的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點，AAt=AB,平面4/C，平面A網(wǎng)A,求二面角

A-30-C的正弦值.

15.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，四面體中，

ADLCD,ADCD,ZADB=ΔBDC,E為AC的中點.

(1)證明：平面3EQ，平面ACD;

(2)設(shè)AB=8。=2,ZACB=60。，點廠在如上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時,

求Cr與平面A8/)所成的角的正弦值.

16.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)在四棱錐p-ABCD中，PZU底面

ABCD,CD∕/AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y∣3.

(1)證明：BDYPA-

(2)求尸。與平面砂所成的角的正弦值.

17.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)如圖，四面體ABCO中,

ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,石為AC的中點.

（1）證明：平面BEZU平面AC。；

⑵設(shè)AB=Br>=2,ZAc6=60。，點尸在上，當(dāng)AAFC的面積最小時，

求三棱錐尸-ASC的體積.

18.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知A88和8）都是直角

梯形，AB//DC,DCHEF,AB=5,DC=3,EF=I,

NBAD=NCDE=3,二面角E-DC-B的平面角為60。.設(shè)M,N分別

為AE,BC的中點.

⑴證明：FNYAD-

（2）求直線BM與平面AoE所成角的正弦值.

19.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知直三棱柱48C-ABe中，側(cè)面

AABlB為正方形，AB=BC=2,E,尸分另∣J為AC和CG的中點，。為棱

A冉上的點.BFLAiBt

（1）證明：BFYDE-

（2）當(dāng)A。為何值時，面叫CC與面力FE所成的二面角的正弦值最

??？

20.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）在四棱錐。-ABCZ）中，底面ABCD

是正方形，若A。=2,QD=QA=6QC=3.

Q

(1)證明：平面Q"＞，平面ABC。；

(2)求二面角B-Qn-A的平面角的余弦值.

21.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱錐A-BC。中，平面

ABr＞_L平面6C。，AB=AD,。為比＞的中點.

(1)證明：OA1CD；

(2)若一08是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，

DE=IEA,且二面角E-BC”的大小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.

22.(2021?全國?高考真題)已知直三棱柱ABC-MG中，側(cè)面

AA4B為正方形，AB=BC=2,E,尸分另Ij為AC和CC,的中點，

BFJLAiBl9

(1)求三棱錐尸-EBC的體積；

(2)已知。為棱A4上的點，證明：BFYDE.

23.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，四棱錐P-438的底面是矩

形，PZ〃底面ABC。，M為BC的中點，且P3LΛM.

(1)證明：平面PW平面「比)；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

24.(2020.全國.統(tǒng)考高考真題)如圖，已知三棱柱ABcA/囪。的

底面是正三角形，側(cè)面33/GC是矩形，M,N分別為BC,8/G的

中點，尸為AM上一點，過囪。和P的平面交A3于石，交AC于尸.

B

(1)證明：AAι∕∕MN,且平面A∕AMΛLLEBQ尸；

(2)設(shè)。為△A/8/G的中心，若Ao〃平面E3<∕R且AO=AB,

求直線5店與平面A/AMN所成角的正弦值.

25.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，在長方體ABS-ABCQ中,

點EF分別在棱。R,Bg上，且2?E=EQ,BF=2FB?.

(1)證明：點G在平面AEZ7內(nèi)；

(2)若AB=2,AD=I,AA=3,求二面角A-EF-A的正弦值.

26.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在正方體ABa)-ABCa中,

(II)求直線AA與平面AAE所成角的正弦值.

27.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐

底面的圓心，48C是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點，

NAPC=90°.

(1)證明：平面如8_1_平面∕?G

(2)設(shè)DO=日圓錐的側(cè)面積為百兀，求三棱錐P-ABC的體積.

28.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，已知三棱柱A3C-A∕3∕G的

底面是正三角形，側(cè)面36/GC是矩形，M,N分別為BC,4G的

中點，P為AM上一點.過囪G和尸的平面交AB于E,交AC于

F.

(1)證明：AA]//MN,且平面A/AMN，平面EB/C//；

(2)設(shè)。為向。的中心，若AOA3=6,AO//平面EB/GF

且NMpN=壬求四棱錐3-砥/。尸的體積.

29.(2020?浙江?統(tǒng)考高考真題)如圖，三棱臺ABC-OE尸中，平

面ACFO，平面ABC,NAeB=NAeO=45。，DC=IBC.

(I)證明：EFLDB-,

(II)求與面。BC所成角的正弦值.

30.(2020?海南?高考真題)如圖，四棱錐P-ABCO的底面為正方

形，POL底面ABCD設(shè)平面％。與平面PBC的交線為/.

(1)證明：/J"平面PDC；

(2)已知PO=AQ=I,。為/上的點，QB=^2,求尸3與平面QCo

所成角的正弦值.

31.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知點E,尸分別是正方形A88

的邊AZ）,8C的中點.現(xiàn)將四邊形EZPD沿方折起，使二面角

C-EF-B為直二面角，如圖所示.

(1)若點G,H分別是AC,8F的中點，求證：G"http://平面EFCZ)；

(2)求直線AC與平面43在所成角的正弦值.

32.(2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題)在三棱柱ABCA/3/G中，

ABlAC,3/C_L平面ABC,E,f分別是AC,B/C的中點.

B

(1)求證：EF〃平面AB/C/；

(2)求證：平面AB/C，平面ABB/.

33.(2018?全國?高考真題)如圖，在三棱錐P-ABC中,

AB=BC=2血,PA=PB=PC=AC^4,。為AC的中點.

(1)證明：POJ?平面ABC；

(2)若點M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面

PAM所成角的正弦值.

34.(2018?全國?高考真題)如圖，四邊形ABS為正方形，E,F分

別為AaBC的中點，以。F為折痕把一分C折起，使點C到達(dá)點P的位

置，且PFLBF.

(1)證明：平面PE/F平面ABF0;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

35.(2019?全國?高考真題)如圖，直四棱柱AJBCo-A/氏。。/的底

面是菱形，44/=4,AB=2,NBAo=60。，E,M,N分別是3C,

BBl,Alo的中點.

(1)證明：MN〃平面C/DE；

(2)求點C到平面CmE的距離.

36.(2018?全國?高考真題)如圖，在三棱錐P-ABC中，

AB=BC=2a,PA=PB=PC=AC^4,。為AC的中點.

(1)證明：PO_L平面A8C；

(2)若點M在棱BC上，且MC=2M8,求點C到平面POM的距

離.

37.（2019?浙江?高考真題）如圖，已知三棱柱A"-ABC,平面

AA1C1C，平面ABC,ZASC=90。，NBAC=30。,AA=AC=AC,E,尸分別是

AC,AB∣的中點.

B

(1)證明：EF-LBC-

(2)求直線瓦?與平面ABC所成角的余弦值.

38.(2019?天津?高考真題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

AB8為平行四邊形，/8為等邊三角形，平面PAC，平面PCD,

PAlCD,CD=2,A￡)=3,

(I)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點，求證：GH平面；

(H)求證：PA_L平面PCz)；

(IlI)求直線也與平面PAC所成角的正弦值.

39.(2019?全國?高考真題)如圖，長方體A8CZ‰A∕∕C√λ的底面

ABCQ是正方形，點石在棱AA/上，BELECi.

(1)證明：3石，平面砧/G;

(2)若AE=AjE,求二面角3-石C-C/的正弦值.

40.(2018?全國?高考真題)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的

平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CO上異于C,。的點.

(1)證明：平面4如，平面

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時，求面M4B與面Me。所成二面角

的正弦值.

41.(2019?全國?高考真題)如圖，長方體A3CZ‰AΛB∕C√)/的底面

ABcD是正方形，點石在棱AA/上，BELEC1.

(1)證明：3E，平面砧/G；

(2)若AE=A∕E,Aβ=3,求四棱錐E-BBCC的體積.

42.(2019?北京?高考真題)如圖，在四棱錐P-A3C。中，雨，平

?ABCD,AD±CD,AD//BC,PA=AD=CD=I,BC=3.E為PO的

中點，點廠在PC上，且黃=g?

(I)求證：CD，平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(III)設(shè)點G在PB上，且薪=∣?判斷直線AG是否在平面A族

內(nèi)，說明理由.

43.(2019?全國?高考真題)圖1是由矩形AOEB,RfΔ/WC和菱形MGC

組成的一個平面圖形，其中A8=1,BE="=2,NFBC=60,將其沿

反,3C折起使得8E與班?重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明圖2中的ACG,。四點共面，且平面ASC1平面BCGE；

(2)求圖2中的四邊形ACGO的面積.

Sl圖2

44.(2018?全國?高考真題)如圖，在平行四邊形ASCN中,

AB=AC=3,ZACM=90。，以AC為折痕將^AcM折起，使點M到達(dá)點

。的位置，且AB,β4?

(1)證明：平面AC。，平面A8C；

(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=QQ=g∕M,

求三棱錐Q-ABP的體積.

45.(2018.北京.高考真題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

ABcO為矩形，平面皿>_L平面ABCf>,PA工PD,PA=PD,E、F分別

為AD、PB的中點.

(I)求證：PELBC;

(II)求證：平面PA3，平面PC。；

(111)求證：EF//平面PCa

46.(2018?全國?高考真題)如圖，矩形A88所在平面與半圓弧CD

所在平面垂直，M是CD上異于C,。的點.

(1)證明：平面TvWD，平面BMC；

(2)在線段ΛM上是否存在點尸，使得MC〃平面尸如？說明理由.

47.(2019?北京?高考真題)如圖，在四棱錐P-ABS中，PA_L平面

ABCD,底部ASCO為菱形，石為CO的中點.

(I)求證：50,平面以C；

(II)若NABC=60。，求證：平面∕?B，平面3石；

(III)棱PB上是否存在點R使得C尸〃平面∕?E?說明理由.

48.(2019?江蘇?高考真題)如圖，在直三棱柱ABC—A/aG中,

D,E分別為8C,AC的中點，AB=BC.

求證：(I)A//〃平面JDE。；

(2)BELCiE.

49.(2018?浙江?高考真題)如圖，已知多面體

ABC-ABC∣,A∣A,B∣B,C∣C均垂直于平面

ABC,ZABC=120o,AA=4,GC=I,A3=BC=瓦8=2.

(I)求證：ABlL平面ABc］；

(II)求直線AG與平面4B4所成角的正弦值.

參考答案：

1.A

【分析】證明律上平面BOR,即可判斷A;如圖，以點。為原點,

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,分別求出平面BgF,AtBD,AIGD

的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體ABCD-ABC。中，

AC上8。且DD11平面ABCD,

又所U平面AB8,所以稗，力A,

因為E,F分別為AB,BC的中點，

所以E∕"AC,所以EFLBD,

又BDDDs=D,

所以平面8。。，

又EFU平面BiEJ

所以平面BiEh平面BDR,故A正確；

選項BCD解法一：

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,

則4(2,2,2),E(2,1,0),F(l,2,0),3(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C1(0,2,2),

則EF=(-1,1,0),EBt=(0,1,2),DB=(2,2,0),DA1=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),AG=(-2,2,0),

設(shè)平面B、EF的法向量為m=(x∣,y∣,zj,

則有E二f√可取加=2,2,-1,

tn?EBl=jl+2z1=0

同理可得平面4即的法向量為4=(1,T,T),

平面AAC的法向量為%=(1,1,0),

平面ACQ的法向量為〃3=（U，T）,

貝∣J/z?/=2-2+l=lx0,

所以平面BEF與平面ABO不垂直，故B錯誤;

UU

因為加與〃2不平行，

所以平面BlEF與平面AAe不平行，故C錯誤;

因為加與應(yīng)不平行，

所以平面與EF與平面ACQ不平行，故D錯誤,

故選：A.

選項BCD解法二:

解：對于選項B,如圖所示，設(shè)A8BlE=M,EFBD=N,則MN為

平面B1EF與平面AtBD的交線，

在BMN內(nèi)，作MV于點P,在,BWN內(nèi)，作GPJ_MN,交EN于點

G,連結(jié)8G,

則4PG或其補角為平面尸與平面AB。所成二面角的平面角,

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG-+PN2=GN2,

底面正方形ABC。中，Ej為中點，則

由勾股定理可得NBjNG=BG?,

從而有：NB?+NG。=(PB、PNXPG2+P%=BG。,

據(jù)此可得PB2+PG2≠BG2,即NBPG≠90,

據(jù)此可得平面B∣EF,平面ABD不成立，選項B錯誤；

對于選項C,取AA的中點”，則AHBtE,

由于AH與平面AAC相交，故平面AEF〃平面AAC不成立，選項C錯

誤；

對于選項D,取AD的中點M,很明顯四邊形AB/M為平行四邊形,

則AMB/,

由于AM與平面ACQ相交，故平面B盧/"平面ACQ不成立，選項D

錯誤;

Ci

C

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示:

不妨設(shè)A8=α,AD=AAA1=c,依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，BQ與

平面ABa）所成角為N8Q8,與平面例他所成角為NSA,所以

cb/

sn3==,222

'0~BD~BD即匕=?BlD=2c=?∣a+b+c,解得α=√∑c.

對于A,AB=a,AD=b,AB=?[2AD?>A錯誤；

對于B,過8作BELA用于E,易知BE，平面ABCQ,所以A8與平面

ABC。所成角為因為tanNB4E=￡=玄，所以NBAEH30,B錯

a2

誤；

2222

對于C,AC=?∣a+b=>∕3c,CB1=?jb+c=6:,AC≠CB、,C錯誤；

對于D,BQ與平面BBcC所成角為“BC,sin∕〃C=黑=*

B1D2c2

而

O<ZOB1C<90,所以NgC=45.D正確.

故選：D.

3.A

【分析】先用幾何法表示出匿￡，九再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大

小.

【詳解】如圖所示，過點F作尸尸，AC于P,過戶作PMlBC于M,連

接PE,

則α=NEEP,β=ZFEP,y=NFMP,

PEPE八OFPAB、,FP、FPC

tana=----=------≤I,tanB=----=------≥1,tan/=-------≥------=tanp,

FPABPEPEPMPE

所以α≤P≤y,

故選：A.

4.A

【分析】由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證MN∕∕AB,A。，平面

ABD1,即可得出結(jié)論.

【詳解】

連ADt,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,

M是A。的中點，所以M為AA中點,

又N是。IB的中點，所以MN//AB,

用Nu平面ABCD,ABU平面ABCD,

所以MN//平面MCD

因為AB不垂直5￡>,所以MN不垂直5。

則MN不垂直平面BDDlBt,所以選項B,D不正確；

在正方體ABCD-ABCa中，AQ,

AB上平面AΛQQ,所以AB_LAQ,

ADtnAB=A,所以A"平面ABR,

O∣8u平面AB",所以A。，，*

且直線AQQB是異面直線，

所以選項C錯誤，選項A正確.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題

的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體

的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.

5.D

【分析】根據(jù)異面直線的定義，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，判斷選項.

【詳解】AdA〃網(wǎng)，網(wǎng)與町相交,所以叫與AA異面，故A錯

誤；

B.8R與平面A叫A相交，且AeAQ,所以BA與A。異面，故B錯

誤；

C四邊形ABcR是矩形，不是菱形，所以對角線BR與AC不垂直，故

C錯誤；

D.連結(jié)BQ,BtDiLAtCl,BB1IA1C1,BRCBBl=Be所以Aea平面

BBR,所以AelB故D正確.

故選：D

6.B

【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題.

【詳解】如圖所示，作及〃CO于0,連接。N,過M作用F_L0￡＞于

F.

連M,平面CDE，平面ABCD.

EO，CaEOU平面CDE,.-.EOl5FffiABCD,MF±5FffiABCD,

.?.ΔMEB與ΔE0N均為直角三角形.設(shè)正方形邊長為2,易知

EO=瓜ON=IEN=2,

MF=昱,BF=),;.BM=布.：.BM≠EN,故選B.

22

【點睛】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)

造直角三角形.

7.C

【分析】首先畫出長方體ABCQ-ABCQ,利用題中條件，得到

ZAC1B=30,根據(jù)4?=2,求得3￡=26,可以確定Ce=2上,之后利

用長方體的體積公式求出長方體的體積.

【詳解】在長方體ABQJ-ABCQ中，連接BC∣,

根據(jù)線面角的定義可知NAC由=3。，

因為AB=2,所以3C∣=2√5,從而求得CG=2√Σ,

所以該長方體的體積為V=2x2x2√∑=8夜，故選C.

【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程

中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只

有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重

要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而

求得結(jié)果.

8.A

【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所

以與12條棱所成角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成

角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正

六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體438-ABCA中，

平面ABa與線AAMAAA所成的角是相等的，

所以平面ABa與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，

同理平面CBD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相

等，

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面ABlDi與C1BD中間

的，

且過棱的中點的正六邊形，且邊長為孝，

所以其面積為S=6xW?（務(wù)=半，故選A.

424

點睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積

問題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中

找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用

六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.

9.ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接B。、BC1,因為。A//BC,所以直線8G與BC所

成的角即為直線BG與I）A所成的角，

因為四邊形網(wǎng)CC為正方形，則BQg,故直線BG與￡）4所成的角

為90。，A正確;

連接AC,因為ABj平面BBCC,BGU平面BBCC,則AMJ.BC∣,

因為用八陽，AlBtBlC=Bt,所以BCa平面9C,

又ACU平面ABC,所以BCJCA1,故B正確；

連接AG,設(shè)AGBR=O,連接80,

因為B瓦，平面ABCQ,GoU平面AACQ,則CQLAB,

因為C0,BQ,BRCBlB=B_所以C0_L平面BBQD,

所以∕C∣8O為直線BG與平面BBQQ所成的角，

設(shè)正方體棱長為1，則CO=%B；sinZClBO=^=i

2乙

所以，直線BG與平面BBQD所成的角為30,故C錯誤；

因為GC，平面ABa),所以NC/C為直線BG與平面A88所成的角,

易得

ZC1BC=45,故D正確.

故選：ABD

10.CD

【分析】直接由體積公式計算連接加交AC于點"，連接

EM,FM,由匕=L皿+%皿計算出匕，依次判斷選項即可.

設(shè)AB=EZ)=2FB=24,因為ED,平面ABez),FBED,則

K=g?a?S4=g?2ɑ?∕?(2α)2=g",

匕=g?F8?S.cH?(2a)2=∣/,連接BD交AC于點M,連接

EM,FM,易得BQ_LAC,

又￡D_L平面ABC。，ACU平面ABef>,則EOLAC,又EDBD=D,

ED,BDU平面BDEF,則AC_L平面BDEF,

又BM=DM=；BD=近a,過F作FGJ_￡>￡于G,易得四邊形Bf)G尸為矩

形，則FG=BO=2"z,EG=α,

則EM=J(2a)2+(√2αj2=√6a,FM=Jα2+(√2Ο)2=也a,

EM2+FM-=EF2,則SEFM=；EM?FM=當(dāng)a1，AC=2。,

貝∣J%=匕一皿+Z-EFM=gAC?5"w=243,則2匕=3乂，匕=3匕，?=?+V2,

故A、B錯誤；C、D正確.

故選：CD.

11.BC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構(gòu)

造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接AC,則Λ≡AC,

故/POC（或其補角）為異面直線OP，MN所成的角,

1_5/2

在直角三角形OPC,C>C=√2,CP=I故tanZPOC=

故MNLoP不成立，故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取W的中點為。，連接尸2,OQ,則

OQLNT,PQlMN,

由正方體SBCM-NADT可得SN，平面ANDT,而OQU平面ANDT,

故SNJ.OQ,而SNMN=N,故0。J■平面隊7%，

又MNU平面SNTM,OQlMN,^?OQ??PQ=Q,

所以W平面。PQ,而PoU平面。PQ,故MN_LO尸，故B正確.

對于C,如圖（3），連接8。，則BD//MN,由B的判斷可得

OP-LBD9

故OP工MN,故C正確.

對于D,如圖(4),取AD的中點Q,AB的中點K,連接

AC,PQ,OQ,PK,OK,

則ACHMN,

因為Z)P=JPC,故PQ//AC,敬PQllMN,

所以NQPo或其補角為異面直線PQMN所成的角,

圖(4)

因為正方體的棱長為2,故PQ=*C=√Σ,

22

OQ=y]AO+AQ=√Γ?2=√3,

PO=y∣PK2+OK2=√4+T=√5,QO2<PQ2+OP2,故NQPO不是直角，

故POMN不垂直，故D錯誤.

故選：BC.

12.√2.

【分析】本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找

到「在底面上的射影，使用線面垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定

理解決?

【詳解】作PRPE分別垂直于AC,8C,POABC,連CO,

矢口CZ)J.尸￡>,8_LpO,PDOD=P,

?CD^平面PDO,。。U平面PDO,

：.CDLOD

,：PD=PE=6,PC=2.:.sinZPCE=sinZPCD=

:.NPCB=NPCA=60,

:.POLCO,Co為∕AC8平分線，

.?.ZOCD=45".?.OD=CD=I,0C=√2,又PC=2,

.?.PO=√4-2=√2.

【點睛】畫圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)

現(xiàn)垂直關(guān)系，問題即很難解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體

幾何問題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍.

13.40√2π

【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成

角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出結(jié)果.

【詳解】因為母線%，SB所成角的余弦值為?，所以母線以，SB

所成角的正弦值為母，因為的面積為5而，設(shè)母線長為/,所

O

以LxFx姮=5屈；」=4下,

28

因為SA與圓錐底面所成角為45。，所以底面半徑為/嶗=爭，

因此圓錐的側(cè)面積為?！?*兀尸=4O0π.

【整體點評】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長，再根據(jù)線面角求

出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出側(cè)面積，思路直接自

然，是該題的最優(yōu)解.

14.(1)√2

【分析】（1）由等體積法運算即可得解；

（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得BCl平面ABgA,建立空間直角

坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.

【詳解】（1）在直三棱柱A8C-Λ18C中，設(shè)點A到平面A四的距離

為h,

則%-ABC=；SAtBC-h=??h=Vλι_ABC=?5MAA=；%IMG=g'

解得力=夜，

所以點A到平面48C的距離為夜；

（2）取AB的中點區(qū)連接AE,如圖，因為M=A8,所以AE"B,

又平面ABCL平面ABBlAl,平面ABCC平面ABBlA=AB,

且AfU平面A84A,所以AEJ_平面ABC,

在直三棱柱"C-中，叫，平面ABC,

由BCu平面A/C,BCu平面ABC可得AE"LBC,BBJBC,

又AE,叫U平面ABBlAt且相交，所以BCl平面ABBA,

所以8C,BA,明兩兩垂直，以3為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖,

由(1)得AE=e,所以AA=AB=2,AiB=2短,所以8C=2,

則4(0,2,0)，4(0,2,2),8(0,0,0),(7(2,0,0),所以71夕的中點。(1』,1),

則BD=(1,1,1),BA=(0,2,0),BC=(2,0,0)5

m?BD=x+y+z=0

設(shè)平面ABD的一個法向量"7=(x,y,z),則■

"7?4A=2y=0

可取Zn=(1,0,-1),

nBD=a+b+c=0

設(shè)平面BQC的一個法向量〃=(α∕,c),則

nBC=Ia=Q.

可取”=(0,LT)，

/?m`n11

則°t÷>麗=Er/

所以二面角A-Q-C的正弦值為舊品等.

15.(1)證明過程見解析

⑵C尸與平面曲所成的角的正弦值為竽

【分析】(1)根據(jù)已知關(guān)系證明aABZ涇ACBD,得到AB=C8,結(jié)合

等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可

證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到BEmE,從而建立空間直角坐標(biāo)系，

結(jié)合線面角的運算法則進(jìn)行計算即可.

(1)

因為4)=α),七為AC的中點，所以A—DE；

在AABD和ZXCBD中，因為A。=CaZADB=NCDB,DB=DB,

所以“BZ涇MBD,所以AB=C8,又因為E為AC的中點，所以

AC1.BE；

又因為OE,BEu平面跳7),DEcBE=E,所以ACL平面

因為ACU平面ACD,所以平面BEZ〃平面Aa).

(2)

連接EF,由(1)知，ACL平面3匹，因為所U平面3E￡),

所以AC_LM,所以SMC=JACM,

當(dāng)時，EF最小，即AAFC的面積最小.

因為ZXAfigACBO,所以CS=AB=2,

又因為ZACB=60。，所以"C是等邊三角形，

因為石為AC的中點，所以AE=EC=1,BE=^,

因為AO_LC。，所以。E=；AC=1,

在一E>E5中，DE2+BE2=BD2,所以BESOE.

以E為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則A(1,0,0),B(0,瘋0),。(0,0,1),所以AO=(TO,1),AB=卜1,百,0),

設(shè)平面ABn的一個法向量為"=(x,y,z),

/??AD=-x+z=0LLlr/r-\

則小8=-+石廣。,取尸石，則〃=(3，收3),

［力，所以CF=1，近31

又因為C(TO,0),FT,4,

/E〃CF64√3

所以CoSWS?=麗廠

可IF

設(shè)CF與平面謝所成的角的正弦值為'o≤o≤a

所以Sine=卜os(〃,CF)I=??,

所以C尸與平面.所成的角的正弦值為理.

16.(1)證明見解析;

【分析】(1)作DE/AB于E,CF1ΛB于F,利用勾股定理證明

AD±BD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得PZ八比＞,從而可得雙〃平面

PAD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答

案.

(1)

證明：在四邊形ABcD中，作DE」AB于E,CF上AB于F,

^^jCD∕∕AB,AD=CD=CB=I,AB=2,

所以四邊形ABO為等腰梯形，

所以AE=B尸=g,

故力E=乎，BD=yjDE2+BE2=√3,

所以Ao2+=AB2,

所以ADlBZ),

因為Pf>J?平面A88,BDU平面ABQ),

所以「力_1_比),

又PDCM)^D,

所以班?上平面PAD,

又因為PAU平面PAZ),

所以BZUH;

(2)

解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=也，

則A(l,θ,θ),β(θ,√3,θ),p(θ,θ,√3),

則AP=(-l,O,√3),BP=(θ,-√3,√3),r>P=(θ,O,√3),

設(shè)平面PAB的法向量〃=(X,y,z),

n-AP=-x+?/?z=0

則有｛可取”=(√5,1,1),

n?BP=S+yβz=0

n-DP√5

則COS(",DP)=HM=T，

所以如與平面加所成角的正弦值為手.

17.(1)證明詳見解析

⑵手

【分析】（I）通過證明AC，平面Ba來證得平面BEDJ■平面ACD.

（2）首先判斷出三角形AFC的面積最小時F點的位置，然后求得尸

到平面A8C的距離，從而求得三棱錐尸-ABC的體積.

【詳解】（1）由于仞=C0,E是AC的中點，所以AC_LL>E.

AD=CD

由于BD=BZ）,所以AADB=ACDB,

ZADB=ZCDB

所以AB=C3,故AC2BD,

由于E>Ec8Z）=D,DE,BDI平面O,

所以ACL平面8口）,

由于ACU平面ACZ）,所以平面BEZU平面ACf>.

（2）［方法一］:判別幾何關(guān)系

依題意A6=8O=8C=2,ZACB=60。，三角形A6C是等邊三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=√5,

由于所以三角形A。是等腰直角三角形，所以

DE=I.

DE2+BE2=BD2,所以DELBE,

由于ACCBE=E,AC,BEu平面ABC,所以￡>E2平面ABC.

?≠?ADB^?Cf）B,所以NFBA=NFBC,

BF=BF

由于NFa4=NFBC,所以」a4MfBC,

AB=CB

所以AF=CF,所以防4C,

由于S-C=TAea，所以當(dāng)E尸最短時，三角形AEC的面積最小

過E作EFLBD,垂足為F,

在Rt?BED中，-BE-DE=--BD-EF,解得EF=苧

所以DF=F⑸,13

—=—,Br=2—Dr=—,

2J22

匚匚八］BF3

所以而F

過尸作切J>8E,垂足為H,則四〃/小，所以叨，平面A8C,且

FHBF3

DE-BD^4，

所以尸”=：,

所以「YBC=:?SABC?尸，=gx；x2x百x1=乎.

33244

［方法二］:等體積轉(zhuǎn)換

AB=BC,ZAeB=60。，Aβ=2

“C是邊長為2的等邊三角形,

.?.BE=√3

連接政

ΔADB≡XCDB:.AF=CF

EF?AC

二.在ΔBEO中，當(dāng)EFJ.8。時，ΔAFC面積最小

AD?CD,AD=CD,AC=2,E為AC中點

.?.DE=IDE-+BE-=BD2

:.BElED

若EFJ.BD,在ABED中,EF=絲L"=B

BD2

BF=?∣BE2-EF1=-

2

?3√33√3

-BFEF=

222T-^8^^

MC=L甌2=

^F-ABC=^A-HEF+^C-HEF

384

18.(1)證明見解析;

⑵咎?

【分析】(1)過點E、。分別做直線DC、AB的垂線EG、并分

別交于點G、H,由平面知識易得FC=BC,再根據(jù)二面角的定義可

知，NBCE=60,由此可知，F(xiàn)NLBC,FNlCD,從而可證得/W_L平

面ABCL>,即得∕WJ_AD;

(2)由(1)可知FN_L平面過點N做AB平行線NK,所以可

以以點N為原點，NK,NB、NF所在直線分別為X軸、V軸、Z軸建

立空間直角坐標(biāo)系N-沖z,求出平面Ar)E的一個法向量，以及BM,

即可利用線面角的向量公式解出.

【詳解】(1)過點E、。分別做直線。C、AB的垂線EG、DH并分

別交于點G、H.

Y四邊形和"8都是直角梯形，

ABIlDC,CD11EF,AB=5,DC=3,EF=?,ABAD=ΛCDE=,由平面幾何知

識易知，DG=AH=2,NEFC=NDCF=NDCB=ZABC=90°,貝IJ四邊形EFCG

和四邊形。CB〃是矩形，?RtEGD^WRtDHA,EG=DH=2也,

VDC1CF,DC1CB,且CFcCB=C,

OC，平面3b,4C尸是二面角F-Z)C-B的平面角，貝IjNBC尸=60,

，△員/是正三角形，由。CU平面43CO,得平面ABCDl平面Bb,

YN是8C的中點，：.FNlBC,又OC，平面BCF,FNU平面3CF,可

得FNLCD,而BCCCr)=C,；./W，平面ABCD,而ADU平面

ABCD:.FNYAD.

(2)因為尸NL平面ABea過點N做AB平行線NK,所以以點N為

原點，NK,NB、N/所在直線分別為X軸、N軸、Z軸建立空間直

角坐標(biāo)系N-孫z,

則M［3,.、

設(shè)A(5,√3,0),β(O,√3,O),D(3,-√3,O),E(1,0,3),

.?.BA/=?,-?,?,ΛO=(-2,-2√3,0),DE=(-2,6,3)

設(shè)平面ADE的法向量為〃=（X，%z）

,n-AD=0/日-2x-2?∕3y=0

由［"?OE=θ'得［-2x+石y+3z=O取”=(G,-1,G),

設(shè)直線8M與平面Az）E所成角為6,

I〃?I

?*?sinθ=∣cos(∕?,3M〉卜

InIBMI行而.小+淆"2石14

19.（1）證明見解析；（2）BQ=；

【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直

線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；

（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的

平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；

【詳解】（1）［方法一］：幾何法

因為BFlABI,AlB∣〃AB,所以5FJ.ΛB.

又因為A八明，BFCBBl=B,所以A3工平面BCCf.又因為

AB=BC=2,構(gòu)造正方體ABCG-A/CG,如圖所示，

過七作AB的平行線分別與AG,8C交于其中點KN,連接AKB∣N,

因為￡,尸分別為AC和CG的中點，所以N是JBC的中點，

易證RtBCF=Rt.B∣BN,則NCBF=NBB∣N.

又因為NBB∣N+/BwB=90°,所以∕CBF+∕B∣NB=90°,BFLBlN.

又因為BhAlBLAlBI=BI,所以平面AMNd.

又因為￡DU平面AMN與，所以3F_L￡>E.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因為三棱柱ABe-ABG是直三棱柱，二陰，底面ABC,.?.BB∣1AB

ABJiAB,BFIA1B,,.-.BFYAB,又BBeBF=B,.?.AB工平面

BCC1B1,所以BA,8C,B四兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點，分別以BA8C,四所在直線為X,χz軸建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖.

.?.S(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),∕i1(2,0,2),C1(0,2,2),￡(l,l,0),F(0,2,l).

由題設(shè)D(4,0,2)(0≤α≤2).

因為BF=(0,2,1),OE=(1-α,1,-2),

所以8尸√)E=OX(I-4)+2xl+lx(-2)=0,所以MJ_￡>￡；.

［方法三］：因為冉，A1B1//AB,所以M"LAB,BFAiBl=O,

BFAB=O,所以

BF?ED=BF<EB+BB?+BQ)-BF?B、D+BF{EB+BB)=BF?EB+BF?BB、

11

=Bc?+BF-RB1=--BFBA--BFBC+BFBB.

22

=~BFBC+BFBBi=-^∣BF∣?∣BC∣cosZFBC+∣BF∣?∣Bβ,∣cosNFBBt

-----×5/5X2X-產(chǎn)+y/5X2X-產(chǎn)=0,所以斯_L￡D.

2√5√5

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面DFE的法向量為機=(x,)，,z),

因為M=(TLI),DE=(j,l,-2),

?m-EF=O[-x+y+z=O

所rcr以l｛〃L=(√rπP[(l-tz).r+y-2z=0'

令z=2-α,則〃z=(3,l+4,2-4)

因為平面BCCE的法向量為剛=(2,0,0),

設(shè)平面BCC內(nèi)與平面DEF的二面角的平面角為θ,

IZH-BA∣63

貝IJlCOSθ?=--i~~γ=-----/,==I=.

∣W∣.BA2×√2α2-267+14√2a2-2a+14

197

當(dāng)時，2∕-2α+4取最小值為