安徽省池州市普通高中2024屆高三教學質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省池州市普通高中2024屆高三教學質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學試題一?選擇題1.若復數(shù)，則的實部為（）A.1 B.-1 C.2 D.-2〖答案〗C〖解析〗由，可得的實部為2.故選：C.2.已知向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為.故選：D3.已知，則（）A.7 B.-7 C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，故，故，而，故，故，而，故，所以，故，故，故選：D.4.對于數(shù)列，若點都在函數(shù)的圖象上，其中且，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗【詳析】因為在函數(shù)的圖象上，所以，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列.若，且，，則可能的情況由兩種：（1）則，所以等比數(shù)列首項為負，公比，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增；（2）則，所以等比數(shù)列首項為正，公比，所以等比數(shù)列單調(diào)遞增.所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分條件.若為遞增數(shù)列，，又且，所以：或由；由；所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要條件.故選：A5.已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗球表面積為，則該球半徑為，設圓錐的高為h，則圓錐的母線長為，則此圓錐的軸截面面積為，解之得，則該圓錐的側(cè)面積為故選：B6.甲乙兩人分別從五項不同科目中隨機選三項學習，則兩人恰好有兩項科目相同的選法有（）A.30種 B.60種 C.45種 D.90種〖答案〗B〖解析〗兩人恰好有兩項科目相同的選法為.故選：B.7.已知實數(shù)滿足，若的最大值為4，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，則時，由，整理得，則，整理得，則，解之得故選：D8.已知圓和兩點為圓所在平面內(nèi)的動點，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（）A.若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切B.若圓與圓外切，則圓與圓外切C.若，且圓與圓內(nèi)切，則點的軌跡為橢圓D.若，且圓與圓外切，則點的軌跡為雙曲線〖答案〗C〖解析〗我們分別記的中點為，顯然是的中點，故，.當時，在圓內(nèi)，此時，圓和圓不可能與圓外切，而圓與圓內(nèi)切等價于，即，即，同理，圓與圓內(nèi)切也等價于；當時，在圓外，故“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和，即和，即和.所以，此時“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和，同理，“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和.下面考慮四個選項（我們沒有考慮情況，因為不需要分析此種情況也可判斷所有選項的正確性）：由于當時，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切.這分別構成A選項和B選項的反例，故A和B錯誤；若，則，此時“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓內(nèi)切”都等價于，而根據(jù)橢圓定義，對應的軌跡即為，C正確；若，則，此時“圓與圓外切”等價于，而根據(jù)雙曲線定義，對應的軌跡為，僅僅是雙曲線的半支，D錯誤.故選：C.二?多選題9.在去年某校高二年級“校長杯”足球比賽中，甲乙兩班每場比賽平均進球數(shù)?失球數(shù)及所有場次比賽進球個數(shù)?失球個數(shù)的標準差如下表：進球個數(shù)平均數(shù)失球個數(shù)平均數(shù)進球個數(shù)標準差失球個數(shù)標準差甲班2.31.50.51.1乙班1.42.11.20.4下列說法正確的是（）A.甲班在防守中比乙班穩(wěn)定B.乙班總體實力優(yōu)于甲班C.乙班很少不失球D.乙班在進攻中有時表現(xiàn)很好有時表現(xiàn)較差〖答案〗CD〖解析〗由失球個數(shù)的標準差可得A錯誤；由進球個數(shù)和失球個數(shù)的平均數(shù)可得B錯誤；由失球個數(shù)的標準差可知C正確；由進球個數(shù)的標準差可知D正確.故選：CD10.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于點對稱B.在區(qū)間內(nèi)有2個極大值點C.D.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象關于直線對稱〖答案〗BCD〖解析〗因為.因為，所以是的一條對稱軸，故A錯誤；由，，，所以可能為：，，，，等等，在內(nèi)只有兩個極大值點和，故B正確；因為，.又在上單調(diào)遞減，所以，所以，故C正確；把的圖象向左平移個單位，可得，當時，為函數(shù)最小值，是所得函數(shù)一條對稱軸，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)的定義域為是奇函數(shù)，且，恒有，當時（其中），.若，則下列說法正確的是（）A.圖象關于點對稱B.圖象關于點對稱C.D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A項，由是奇函數(shù)得，所以函數(shù)關于點對稱，故A項正確；對于B項，由函數(shù)的定義域為且關于點對稱，則，所以，因，故解得.由得點在函數(shù)圖象上，又點在函數(shù)圖象上，所以函數(shù)圖象關于直線對稱.又由關于點對稱，可得關于對稱，故B項正確；對于C項，由函數(shù)關于點對稱得，由函數(shù)關于點對稱得，故由可得.①當時，，所以，，因是增函數(shù)，又，故得；②當時，由函數(shù)關于直線對稱可知函數(shù)在內(nèi)單減，所以，又，所以，這與題設矛盾，舍去.所以，又，即，故C項正確；對于D項，由上分析，當時，，顯然，由函數(shù)關于對稱，可知，由關于點對稱得，故D項錯誤.故選：ABC.三?填空題12.已知集合，則__________.〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.13.造紙術是中國四大發(fā)明之一，彰顯了古代人民的智慧.根據(jù)史料記載盛唐時期折紙藝術開始流行，19世紀折紙與數(shù)學研究相結合，發(fā)展成為折紙幾何學.在一次數(shù)學探究課上，學生們研究了圓錐曲線的包絡線折法.如圖，在一張矩形紙片上取一點，記矩形一邊所在直線為，將點折疊到上（即），不斷重復這個操作，就可以得到由這些折痕包圍形成的拋物線，這些折痕就是拋物線的包絡線.在拋物線的所有包絡線中，恰好過點的包絡線所在的直線方程為__________.〖答案〗〖解析〗依題意，拋物線的每條包絡線與該拋物線相切，顯然過點的包絡線所在的直線斜率存在，設方程為，由消去并整理得：，則，解得，所以所求直線方程為.故〖答案〗為：14.如圖，在各棱長均相等的正三棱柱中，給定依次排列的6個相互平行的平面，使得，且每相鄰的兩個平面間的距離都為1.若，則__________，該正三棱柱的體積為__________.〖答案〗1〖解析〗由題設，過點作平面與交于點，且到平面的距離相等，故為中點，故，由正三棱柱的對稱性，不妨設與交于點，而平面，故與棱的交點為棱的中點，因為，則與平面的交線與平行，且與棱有交點，故過的平面分布如圖所示.因為的距離均為1，故為的三等分點，且.設該正三棱柱的底面邊長為，則，，則由正三棱柱可得平面，過點作的垂線，垂足為，因為平面，平面，故，而，，平面，故平面，故為之間的距離，故，所以，所以體積為.故〖答案〗為：1，.四?解答題15.學校組織某項勞動技能測試，每位學生最多有3次測試機會.一旦某次測試通過，便可獲得證書，不再參加以后的測試，否則就繼續(xù)參加測試，直到用完3次機會.如果每位學生在3次測試中通過的概率依次為，且每次測試是否通過相互獨立.現(xiàn)某小組有3位學生參加測試，回答下列問題：（1）求該小組學生甲參加考試次數(shù)的分布列及數(shù)學期望；（2）規(guī)定：在2次以內(nèi)測試通過（包含2次）獲得優(yōu)秀證書，超過2次測試通過獲得合格證書，記該小組3位學生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為，求使得取最大值時的整數(shù).解：（1）由題意知，所有可能取的值為，，的分布列如下：1230.50.30.2；（2）由題意知，每位學生獲得優(yōu)秀證書的概率，方法一：所有可能取的值為，且，，，，，，所以使得取得最大值時，整數(shù)的值為3．方法二：由得，所以，所以，所以使得取得最大值時，整數(shù)的值為3．16.記為數(shù)列的前項的和，已知.（1）求的通項公式；（2）令，求.解：（1）當時，則有：化簡得又是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知：，當時，又是以為首項，為公比的等比數(shù)列17.如圖，在三棱錐中，底面是邊長為6的正三角形，，，點分別在棱上，，且三棱錐的體積為.（1）求的值；（2）若點滿足，求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）如圖所示，取中點，連接，是邊長為6的正三角形，為中點，，且，又，，又，平面，∴平面，過點作，點為垂足，平面，，又，，平面，∴為三棱錐的高，，在中，，，，，又，，①，又在中，，由余弦定理得，②，由①②得；（2）過作，以為坐標原點，分別以直線為軸建立空間直角坐標系，則，且，取的方向向量.由（1）知，，，又平面平面，平面，又，，同理可證平面，又，∴平面平面，所以直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角，且記為，設平面的法向量，則，解得，令，則，故，，，所以直線與平面所成角的余弦值.18.已知雙曲線的右焦點，離心率為，過F的直線交于點兩點，過與垂直的直線交于兩點.（1）當直線的傾斜角為時，求由四點圍成的四邊形的面積；（2）直線分別交于點，若為的中點，證明：為的中點.（1）解：由題意知，所以的方程為直線的傾斜角為，過點直線的方程為設，聯(lián)立，得與互相垂直的傾斜角為由對稱性可知.（2）證明：方法一：由題意可知的斜率存在且不為0，設的方程分別為由互相垂直可得①聯(lián)立得②聯(lián)立，整理得是的中點③由②③得，即④同理聯(lián)立得⑤由①④⑤得⑥聯(lián)立，得取中點，所以⑦由⑥⑦得與重合，即是中點.方法二：由題意可知的斜率存在且不為0，設的方程分別為由互相垂直可得設的坐標分別為聯(lián)立，得，又是的中點整理可得的中點又直線恒過定點，，同理三點共線，所以的中點在上，又上的點在上所以與重合，即是中點方法三：由題意可知斜率存在且不為0，設的方程分別為由互相垂直可得①聯(lián)立得，所以②設的坐標分別為，代入得兩式相減得，變形為，即③由②③得，即④同理聯(lián)立得，所以⑤由①④⑤得，所以⑥，取中點，同理可證⑦由⑥⑦得.結合均在直線上，所以與重合，即是中點.19.已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在實數(shù)，對任意的，有.（1）試問函數(shù)是否屬于集合？并說明理由；（2）若函數(shù)，求正數(shù)的取值集合；（3）若函數(shù)，證明：.（1）解：函數(shù)不屬于集合.理由如下：由題意得，由得，結合的任意性，得，顯然無解，所以不存在實數(shù)，對任意的，有.即函數(shù)不屬于集合.（2）解：由題意得：，又，由得，結合的任意性，得，所以，所以，又，即，所以正數(shù)的取值集合為；（3）證明：函數(shù)得，即，由題意可得：存在非零常數(shù)，使得，即方程有解，令，即函數(shù)有零點，，下