3.7 正多邊形（4大題型）（分層練習(xí)）（原卷版）

第3章圓的基本性質(zhì)3.7正多邊形（4大題型）分層練習(xí)考查題型一求正多邊形的中心角1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）正八邊形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．722．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．163．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）一個(gè)正多邊形的中心角為，則從該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有條對角線．4．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接正三角形，是的內(nèi)接正四邊形的一邊，連接，則是的內(nèi)接正邊形的一邊．5．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是正方形，的中心．（1）用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接求證：．考查題型二已知正多邊形的中心角求邊數(shù)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如果一個(gè)正多邊形的中心角是，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個(gè)正多邊形的中心角是，則過它的一個(gè)頂點(diǎn)有條對角線．4．（2023春·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)正多邊形的中心角為，邊長為5，那么這個(gè)正多邊形的周長等于．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點(diǎn)．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點(diǎn)．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點(diǎn)．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．考查題型三正多邊形與圓1．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，螺母的一個(gè)面的外沿可以看作是正六邊形，這個(gè)正六邊形的半徑是，則這個(gè)正六邊形的周長是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正八邊形內(nèi)接于，為弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，一個(gè)正方形剪去四個(gè)角后形成一個(gè)邊長為的正八邊形，則這個(gè)正方形的邊長為．

4．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正三角形與正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)、、、都在上，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；考查題型四尺規(guī)作圖—正多邊形1．（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，為直徑，作的內(nèi)接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：甲：1．作的中垂線，交圓于兩點(diǎn)；2．作的中垂線，交圓于兩點(diǎn)；3．順次連接六個(gè)點(diǎn)，六邊形即為所求；乙：1．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點(diǎn)；2．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點(diǎn)；3．順次連接六個(gè)點(diǎn)，六邊形即為所求；對于甲、乙兩人的作法，可判斷（

）A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對C．兩人都不對 D．兩人都對2．（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點(diǎn)、；③作的垂直平分線交于點(diǎn)、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)；③同上述作圖方法逆時(shí)針作出點(diǎn)、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點(diǎn)H．②以點(diǎn)H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點(diǎn)G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點(diǎn)B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝．（結(jié)果保留根號）4．（2022·天津南開·二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，O為格點(diǎn)，⊙經(jīng)過格點(diǎn)A．（1）⊙的周長等于；（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡要說明點(diǎn)B，C的位置是如何找到的（不要求證明）．5．（2022秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）作圖題：(1)尺規(guī)作圖：如圖，已知線段．求作線段的垂直平分線l，交于點(diǎn)C；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）(2)已知六邊形是以O(shè)為中心的中心對稱圖形（如圖），畫出六邊形的全部圖形，并寫出作法．1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形）放在平面直角坐標(biāo)系中，若與軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．3．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)O為正六邊形對角線上一點(diǎn)，假設(shè)可以隨機(jī)在正六邊形中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是（

）．

A． B． C． D．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P，Q分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長度，則第次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．5．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（）A． B． C．3 D．6．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在正五邊形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，連接，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)為．

7．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形的半徑為，點(diǎn)在邊上運(yùn)動，連接，則的長度可以是（只寫出一個(gè)滿足條件的值即可）．

8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖①，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面均為正六邊形．如圖②是一部分巢房的截面圖，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

9．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，P是上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，F(xiàn)重合），則的度數(shù)為°．10．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為．

11．（2023秋·湖北咸寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形的兩條對角線相交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：四邊形為菱形．12．（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為4，將該圓等分成8份，連接，并延長交于點(diǎn)．(1)連接，直接寫出和的位置關(guān)系___________；(2)求證：；(3)求的長；13．（2022秋·湖北武漢·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）．(1)如圖，正六邊形中，G為上一點(diǎn)，連接．①連接，在圖1中過點(diǎn)G畫一條直線平分的面積；②將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到，在圖2中畫出旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)O和；(2)如圖3，弦是的內(nèi)接正五邊形的三條邊，在圖中畫出另兩邊以及圓心O．14．（2023·河北邯鄲·校考二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個(gè)大圓和六個(gè)全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．

(1)________°(2)若，的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心M與l的最大距離為________；②當(dāng)圓心H到l的距離等于時(shí)，求的長；③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，的長為定值，并求出這個(gè)定值．15．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與三角形的邊，分別交于點(diǎn)，．設(shè)等邊的面積為，通過證明可得，則．(1)【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，