2024年湖南省衡陽市珠暉區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2024年湖南省衡陽市珠暉區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1．（3分）以下是我國部分博物館標(biāo)志的圖案，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件為必然事件的是（）A．中秋節(jié)晚上一定能看到月亮 B．明天的氣溫一定會(huì)比今天的高 C．某彩票中獎(jiǎng)率是1%，買100張彩票一定會(huì)中獎(jiǎng) D．地球上，上拋的籃球一定會(huì)下落3．（3分）拋物線y＝2（x+3）2+1的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝3 B．直線x＝﹣3 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝14．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則⊙O的直徑AB為（）A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一個(gè)根是x＝1，則代數(shù)式2027﹣a﹣b的值為（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．20247．（3分）如圖，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°，得到△OCD，則∠α的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．40° D．30°8．（3分）已知二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象上有三點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y19．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果∠BOD的度數(shù)為122°（）A．64° B．61° C．62° D．60°10．（3分）已知三角形的兩條邊分別是3和8，第三邊是方程x2﹣13x+42＝0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．17或18 B．17 C．18 D．不能確定二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣3，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．12．（3分）拋物線y＝﹣3（x﹣2）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．13．（3分）為了估計(jì)池塘里有多少條魚，從池塘中捕撈了100條魚做上標(biāo)記，然后放回池塘里，再捕撈300條．若其中有標(biāo)記的魚有15條，則可估計(jì)池塘里有魚條．14．（3分）已知a是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根，則﹣a2+2a＝．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D′，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在邊CD上．16．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，過點(diǎn)C作CE∥AB，交于點(diǎn)E，則的值為．三、解答題（共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出過程）17．（8分）如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)（1）求證：△BDC∽△ABC；（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的長(zhǎng)．18．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，n）（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在第一象限內(nèi)，當(dāng)一次函數(shù)y＝﹣x+5的值大于反比例函數(shù)y＝（k≠0）的值時(shí)19．（10分）一輛汽車勻速通過某段高速公路，所需時(shí)間t（單位：h）與行駛速度v（單位：km/h），其圖象為如圖所示的一段曲線，且端點(diǎn)為A（80，2），B（m，1）．（1）求k與m的值；（2）受天氣影響，若行駛速度不得超過120km/h，則汽車通過該路段最少需要多長(zhǎng)時(shí)間？20．（12分）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，AD平分∠BAC，過點(diǎn)B作⊙O的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：直線CD是⊙O的切線．（2）求證：CD?BE＝AD?DE．21．（14分）如圖，直線y＝2x+6與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于點(diǎn)A（1，m），平行于x軸的直線y＝n（0＜n＜6）交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，連接BM．（1）求m的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）直線y＝n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時(shí)，△BMN的面積最大？參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1．（3分）以下是我國部分博物館標(biāo)志的圖案，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A、B、D都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，所以不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，故選：C．2．（3分）下列事件為必然事件的是（）A．中秋節(jié)晚上一定能看到月亮 B．明天的氣溫一定會(huì)比今天的高 C．某彩票中獎(jiǎng)率是1%，買100張彩票一定會(huì)中獎(jiǎng) D．地球上，上拋的籃球一定會(huì)下落【解答】解：A、可能發(fā)生，是隨機(jī)事件；B、可能發(fā)生，是隨機(jī)事件；C、可能發(fā)生，是隨機(jī)事件；D、是一定會(huì)發(fā)生的事件，符合題意；故選：D．3．（3分）拋物線y＝2（x+3）2+1的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝3 B．直線x＝﹣3 C．直線x＝﹣1 D．直線x＝1【解答】解：∵y＝2（x+3）7+1，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，2）．故選：B．4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣7×1×3＝5＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則⊙O的直徑AB為（）A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm【解答】解：如圖，連接OD，∵BC＝CD＝DA＝4cm，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的直徑AB為8cm．故選：D．6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一個(gè)根是x＝1，則代數(shù)式2027﹣a﹣b的值為（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024【解答】解：將x＝1代入ax2+bx﹣2＝0，得a+b﹣4＝6，∴a+b＝4，∴2027﹣a﹣b＝2027﹣（a+b）＝2027﹣4＝2023，故選：B．7．（3分）如圖，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°，得到△OCD，則∠α的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．40° D．30°【解答】解：∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故選：A．8．（3分）已知二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象上有三點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2，∴a＝1＞0，開口向上，∴當(dāng)x＜﹣4時(shí)，y隨x的增大而減小，y隨x的增大而增大，∵1＜2，∴y4＞y1，∵1﹣（﹣3）＝2，﹣1﹣（﹣4）＝1，∴y1＞y4，∴y2＞y1＞y4，故選：B．9．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果∠BOD的度數(shù)為122°（）A．64° B．61° C．62° D．60°【解答】解：∵∠BOD的度數(shù)為122°，∴∠A＝BOD＝61°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝119°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝61°，故選：B．10．（3分）已知三角形的兩條邊分別是3和8，第三邊是方程x2﹣13x+42＝0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．17或18 B．17 C．18 D．不能確定【解答】解：∵三角形的兩條邊分別是3和8，設(shè)第三邊為a，∴7﹣3＜a＜6+7，即5＜a＜11，解方程x2﹣13x+42＝4，得：x1＝6，x7＝7，∴該方程的兩個(gè)根都在a的取值范圍內(nèi)，∴當(dāng)x＝6時(shí)，該三角形的周長(zhǎng)為：3+8+6＝17，當(dāng)x＝3時(shí)，該三角形的周長(zhǎng)為：3+8+4＝18．故選：A．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣3，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，﹣2）．【解答】解：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴點(diǎn)（﹣3，2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，故答案為（3，﹣2）．12．（3分）拋物線y＝﹣3（x﹣2）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．【解答】解：∵拋物線y＝﹣3（x﹣2）4+2，∴拋物線y＝﹣3（x﹣5）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2）．故答案為：（2，2）．13．（3分）為了估計(jì)池塘里有多少條魚，從池塘中捕撈了100條魚做上標(biāo)記，然后放回池塘里，再捕撈300條．若其中有標(biāo)記的魚有15條，則可估計(jì)池塘里有魚2000條．【解答】解：估計(jì)池塘里有魚100÷＝2000（條），故答案為：2000．14．（3分）已知a是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一個(gè)根，則﹣a2+2a＝﹣1．【解答】解：∵a是關(guān)于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)根，∴a2﹣4a﹣1＝0，∴a3﹣2a＝1，∴﹣a2+2a＝﹣1；故答案為：﹣5．15．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D′，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在邊CD上1．【解答】解：∵矩形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB′C′D′，∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，∵∠D＝90°，∴B'D＝＝＝3，∴B'C＝CD﹣B'D＝1，故答案為：1．16．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，過點(diǎn)C作CE∥AB，交于點(diǎn)E，則的值為．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作CE的垂線交EC延長(zhǎng)線于F，過E作EG⊥AB交AB于G，連AE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵CE∥AB，∴∠FAB＝90°，∴∠FAC＝45°，∴△AFC為等腰直角三角形，設(shè)AF＝x，則CF＝x，∴AC＝＝，∴AB＝，∵AE、AB均為⊙的半徑，∴AE＝2x，∴EF＝＝，∴CE＝，∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，∴四邊形FAGE為矩形，∴AF＝EG＝x，EF＝AG＝，∴BG＝AB﹣AG＝（2）x，∴BE＝＝，∴＝．故答案為：．三、解答題（共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出過程）17．（8分）如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)（1）求證：△BDC∽△ABC；（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，∴△BDC∽△ABC；（2）∵△BDC∽△ABC，∴，∵BC＝4，AC＝8，∴CD＝2．18．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，n）（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在第一象限內(nèi)，當(dāng)一次函數(shù)y＝﹣x+5的值大于反比例函數(shù)y＝（k≠0）的值時(shí)【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象過點(diǎn)A（1，n），∴n＝﹣8+5，∴n＝4，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，4），∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）過點(diǎn)A（4，∴k＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)B的坐標(biāo)（5，1），若一次函數(shù)y＝﹣x+5的值大于反比例函數(shù)y＝（k≠6）的值，則1＜x＜4．19．（10分）一輛汽車勻速通過某段高速公路，所需時(shí)間t（單位：h）與行駛速度v（單位：km/h），其圖象為如圖所示的一段曲線，且端點(diǎn)為A（80，2），B（m，1）．（1）求k與m的值；（2）受天氣影響，若行駛速度不得超過120km/h，則汽車通過該路段最少需要多長(zhǎng)時(shí)間？【解答】解：（1）把A（80，2）代入，即2＝，解得k＝160，則反比例函數(shù)的解析式是，把（m，6）代入得m＝160，∴k的值為160，m的值為160；（2）把v＝120代入解析式，解得t＝，∴汽車通過該路段最少需要h．20．（12分）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，AD平分∠BAC，過點(diǎn)B作⊙O的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：直線CD是⊙O的切線．（2）求證：CD?BE＝AD?DE．【解答】證明：（1）連接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直線CD是⊙O的切線；（2）連接BD，∵BE是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD?BE＝AD?DE．2