黃金卷（試卷含解析）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（新高考Ⅰ卷專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。A．-B. 1 24．已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bxf(x)的極小值是()A．-B．0C．-D．-42795．已知橢圓方程為+=1(a>b>0)，長軸為A1A2，過橢圓上一點M向x軸作垂線，垂足為P，若APAP.AP36．已知圓M：x2+y2-2x-2y=2，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別為A，B，當四邊形PAMB面積最小時，PM的值為()7．在1和2之間插入2n個數(shù)，組成首項為1，末項為2的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前n+1項的和，后n+1項的和之比為9:13，則插入數(shù)的個數(shù)是()8．已知-tan1+tan(a-β)tan=6，tanatan-β=3，則cos(4a+4β)=()797949二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則()A．可能取到數(shù)字4B．中位數(shù)可能是2C．極差可能是4D．眾數(shù)可能是210．已知函數(shù)f(x)=(x>0)，點P(m,n)在函數(shù)圖象上，則下列說法正確的是()A．m+n有最小值2B．m2+n2有最小值211．下列判斷正確的是()A．若y=f(x)是一次函數(shù)，滿足f(f(x))=4x+9，則f(x)=2x+3x”的否定是“vxe(0,+偽),x2<2x”C．函數(shù)f(x)=x2+2的定義域為D，值域B={4}，則滿足條件的f(x)有3個D．關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,3)，則不等式cx2-bx+a<0的解集為(|（-,12．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P滿足=+μ，其中λe[0,1],μe[0,1]，則()A．存在點P，使得A1Pl平面BCC1B1B．存在點P，使得A1Pl平面BDC1=時，λ+μ的最大值為1D．當A1P=時，λ+μ的最小值為0第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某景區(qū)共有A,B,C,D,E五個景點，相鄰景點之間僅設置一個檢票口供出入，共有7個檢票口，工作人員為了檢測檢票設備是否正常，需要對每個檢票口的檢票設備進行檢測.若不重復經(jīng)過同一個檢票口，依次對所有檢票口進行檢測，則共有種不同的檢測順序.14．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1=2DA=2DC=2,E,F分別是棱AB,CC1上的動點（不含端點且AE=CF，則三棱錐A1-DEF體積的取值范圍是.15．已知函數(shù)f(x)=sinΦx(ΦeR)在,上是增函數(shù)，且f-f=2，則f(|（-的取值的集合為.16．斜率為1的直線與雙曲線E:-=1（a>0,b>0）交于兩點A,B，點C是曲線E上的一點，滿足ACLBC，OAC和ΔOBC的重心分別為P,Q，ABC的外心為R，記直線OP，OQ，OR的斜率為k1，k2，k3，若k1k2k3=-8，則雙曲線E的離心率為.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。1710分）如圖某公園有一塊直角三角形ABC的空地，其中ZACB=,ZABC=,AC長a千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域DEF建文化景觀區(qū)，其中D、E、F分別在BC、AC、AB上．設ZDEC=θ.(1)若θ=，求DEF的邊長；(2)求DEF的邊長最小值.1812分）邊長為4的正方形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形EFCD是半圓弧的內(nèi)接梯形，且(1)證明：平面ADE」平面BCE；動時，求直線PB和平面ACE所成角的正弦值的取值范圍.1912分）已知函數(shù)f(x)=aeR).(1)若a=0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對vxeR，f(x)>0，且f(x)在x=0處取得極小值，求a的取值范圍.2012分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn=an+3.(1)求Sn； 7nn(2)若(1+S2n)cn+S2n=1，記數(shù)列{cn}的前n項和為 7nn2112分）某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運動員訓練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運動員，則這次有的概率再傳給該運動員，有的概率傳給另一位運動員.已知教練第一次傳給了甲運動員，且教練第n次傳球傳給甲運動員的概率為pn.(1)求p2，p3；(2)求pn的表達式；=2212分）已知拋物線C：y2=2px（0<p<5）上一點M的縱坐標為3，點M到焦點距離為5.(1)求拋物線C的方程；(2)過點(1,0)作直線交C于A，B兩點，過點A，B分別作C的切線l1與l2，l1與l2相交于點D，過點A作直線l3垂直于l1，過點B作直線l4垂直于l2，l3與l4相交于點E，l1、l2、l3、l4分別與x軸交于點P、Q、R、S.記VDPQ、‘DAB、‘ABE、△ERS的面積分別為S1、S2、S3、S4.若S1S2=4S3S4，求直線AB的方程.7（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678ADCCBCBA二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9BDACDBCBC第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。1710分）【詳解】（1）設‘DEF的邊長為x千米，由θ=1-x21-x2,ΔAEF中，經(jīng)FEA=π-θ-=,經(jīng)A=,:‘AEF為等邊三角形，,故x=，即‘DEF的邊長為.......................................5分（2）設‘DEF的邊長為x千米，所以CE=xcosθ,AE=a-xcosθ,ΔAEF中，經(jīng)FEA=-θ,經(jīng)A=,:經(jīng)EFA=θ, 由正弦定理得，sinsinθ,故x=2sinθ+3cosθ=7sin(θ+Q)， 即‘DEF的邊長最小值為a.......................................10分 11 51812分）【詳解】（1）在正方形ABCD中BC」CD，∵面ABCD」面CDE,BC一面ABCD，面ABCD（面CDE＝CD，∵E在以CD為直徑的半圓上，∴DE」EC，又∵BC（CE=C,BC,CE一面BCEDE」面BCE，又DE一面ADE，∴面ADE」面BCE，......................................5分（2）∵AD//BC,DE」BC，∴DE」AD又∵AD」DC,：經(jīng)EDC為二面角E-AD-C的平面角，在梯形EFCD中，DE=CF=2.取CD的中點O，以為y軸正半軸，以平行于的方向為x軸正半軸，以平面CDE內(nèi)垂直于OC的方向為z軸正半軸，建立如圖空間直角坐標系：則A(4,-2,0),B(4,2,0),C(0,2,0),E(0,-1,，設P(λ,-2,0)，λe[0,4]，設平面ACE的法向量為=(x,y,z),設直線PB和平面ACE所成角為c，|.||4-λ|.||4-λ+4|8-λ則sinc=---設t=4-λe[0,4]，則sinc==t2t2,令g(t)=,te[0,4]，88,2222t2)，所以h(t)在te(0,4]上為減函數(shù)，所以直線PB和平面ACE所成角的正弦值的取值范圍[,].......................................12分1912分）x4xex2，令f,(x)=0，可得x=0，當x變化時，f(x)和f,(x)的變化情況如下：x0f,(x)--0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-偽,-1)，(-1,0)；單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+偽).......................................5分（2）因為f(x)=>0對vxeR恒成立，所以ax2+4x+4>0對vxeR恒成立，令f,(x)=0，可得x=0或2-，2>0當且僅當x=0時，f,(x)=0）所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；f(x)和f,(x)的變化情況如下：x-a0f,(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，滿足題意；當a>2時，2->0，f(x)和f,(x)的變化情況如下：x0-af,(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值，不滿足題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍為(1,2) 2012分）31(3)31(3)因為S1-=n-〉是以為首項，-為公比的等比數(shù)列，n-1，即Sn=.n-1+；......................................5分依題意cn=1-S2n 32n-1132n17-32n12n 32n-1377- 32n-77--=132n-118 7 2n-1132n-132n-1412n-1，1-n-1， n)1-1-9 n nn7......................................12分關(guān)鍵是證明cn_<.，后面的問題迎刃而解.2112分）1，p2=，p3=p2+1_p2)=；......................................3分（2）由已知pn=pn_1+1_pn_1)，∴pn=_pn_1+，即pn_=_pn_1_，n_〉是以_為公比的等比數(shù)列，1_+_n_1.......................................7分∴(qi+1_qi)(sinqi+1_sinqi)<.=1_<.......................................2212分）解得p=1或p=9（舍去所以拋物線C的方程為y2=2x.......................................5分（2）如圖，設經(jīng)過A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點的直線方程為lAB：x=my+1（meR與拋物線方程y2=2x聯(lián)立可得y2=∵y2 y y同理，過點B作C的切線l2方程為y=x+，(|y=1y1 x+y121y2 x+y22|y12|y12則D到直線lAB的距離dD一AB=mm2+1m2+2.m.m2+1又∵過點A作直線l3垂直于l1，1，同理，直線l4的方程為y=一y2x++y2，... y2y1yy1x1+y22+2，即E(y1222+y1y2，......................................10分則E到直線lAB的距離dE一AB2m2+2m.2m1 m2+11mm2+1S3 ∴S2m2 1AB.1yy2m2m2+22得a6=-8.（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的?！敬鸢浮緼【分析】分別計算出M、N，運用并集的定義即可解決問題.故選：A.【答案】D【分析】先利用復數(shù)的乘法化簡復數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.故選：D【答案】C【分析】用坐標表示向量的垂直和平行，列式即可求解.【詳解】由」得a1a10+8a5=0對于非零向量,,」的充要條件為.=0）又{an}為等比數(shù)列，所以a5a6+8a5=0，又a5豐0，由//得a10a28λ=0，即a8λ=0，所以λ=8.故選：C.4．已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,ceR)，若不等式f(x)<0的解集為{xx<m+1且x子m}，則函數(shù)fx的極小值是(4279【答案】C【分析】依題意可得f(x)=(x一m)2x一(m+1)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極小值.【詳解】因為不等式f(x)<0的解集為{xx<m+1且x子m}，所以f(m)=f(m+1)=0，且x=m為f(x)=0的二重根，則當x>或x<m時f￠(x)>0，當m<x<時f,(x)<0，所以f(x)在x=處取得極小值，故選：C5．已知橢圓方程為+=1(a>b>0)，長軸為A1A2，過橢圓上一點M向x軸作垂線，垂足為P，若APAP.AP3ABCABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意，設M(x0,y0)，表示出A1P,A2P，結(jié)合橢圓方程，代入計算，再由離心率公式，即可得到結(jié)果.AP.AP12AP.AP12xa0【詳解】0則A1P+a，A2P=x0a，MP=y0所以且xy0y0000xa02 y022a2 y022ax22，所以x00代入橢圓方程可得a2y+=1，化簡可得a2=3b2， 2a故選：B6．已知圓M：x2+y2一2x2y=2，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點分別為A，B，當四邊形PAMB面積最小時，PM的值為()【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，然后得到四邊形PAMB面積為2PA，利用切線長公式可知，當PM最短時，四邊形PAMB面積最小，求解即可得到答案.【詳解】所以圓M的圓心為M(1,1)，半徑為2，由題意，四邊形PAMB面積為S=2SPAM=2根,又因為PA=PM2-AM2=PM2-4，所以當|PM|最短時，四邊形PAMB面積最小，此時|PM|==.故選：C7．在1和2之間插入2n個數(shù)，組成首項為1，末項為2的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前n+1項的和，后n+1項的和之比為9:13，則插入數(shù)的個數(shù)是()【答案】B【分析】設插入的這2n(ne**)個數(shù)分別記為a1、a2、L、a2n，計算出這個數(shù)列的公差d，計算出這個數(shù)列前n+1項的和與所有項的和，根據(jù)這個數(shù)列的前n+1項的和占所有項之和的可得出關(guān)于n的等式，解出n的值，即可得解.【詳解】設插入的這2n(ne**)個數(shù)分別記為a1、a2、L、a2n，這個數(shù)列的公差為d==，這個數(shù)列所有項的和為3(n+1)，因為這個數(shù)列的前n+1項的和與后n+1項的和之比為9:13，所有，插入數(shù)的個數(shù)是10個.故選：B.8．已知-tan1+tan(a-β)tan=6，tanatan-β=3，則cos(4a+4β)=()797949A-BC-D【答案】A【分析】結(jié)合二倍角公式和兩角和差公式化簡即可求得.(2a-β2a-β)2cos(a-β)|1(2a-β2a-β) sin(a-β)|1-tan2a-β|=6，(-β)=6，sin(a-β)=，sinacosβ-cosasinβ=，又因為tanatan-β=3，所以sinacosβ=3cosasinβ,則cosasinβ=,sinacosβ=，所以sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ=故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則()A．可能取到數(shù)字4B．中位數(shù)可能是2C．極差可能是4D．眾數(shù)可能是2【答案】BD【分析】對于AC：根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差和極差的定義分析判斷；對于BD：舉例說明即可.【詳解】設這5個數(shù)字為x1,x2,x3,x4,x5，對于A：若取到數(shù)字4，不妨設為x1=4，可知這4個數(shù)中至少有2個1，不妨設為x2=x3=1，則這5個數(shù)字的方差s2=2不合題意，故A錯誤；對于C：因為這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個數(shù)字至少有1個1，不妨設為x1=1，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設為x2=5，44-mm4-mmn++m-mn44-mm4-mmn++m-mn則x3+x4+x5=4，可知這3個數(shù)有2個1，1個2，不合題意，故C錯誤；對于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故BD正確；故選：BD.10．已知函數(shù)f(x)=(x>0)，點P(m,n)在函數(shù)圖象上，則下列說法正確的是()A．m+n有最小值2B．m2+n2有最小值2【答案】ACD【分析】A.利用基本不等式判斷；B.利用重要不等式判斷；C.由(+)2=m+n+2，利用基本不等式等號成立，則m+n有最小值2，選項A正確；m22>2mn=4，當且僅當m=n=時，等號成立，則m2+n2有最小值4，選項B錯誤；224所以選項C正確；n1-n4+24-mm-22，當且僅當4(m-2)+有最小值2+2，選項D正確.故選：ACD.11．下列判斷正確的是()A．若y=f(x)是一次函數(shù)，滿足f(f(x))=4x+9，則f(x)=2x+3B．命題“3xE(0,+偽),x2>2x”的否定是“vxE(0,+偽),x2<2x”C．函數(shù)f(x)=x2+2的定義域為D，值域B={4}，則滿足條件的f(xD．關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2【答案】BC【分析】對于A，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可判斷；對于B，存在量詞命題的否定為全稱量詞命題；對于C，由函數(shù)f(x)的值域B={4}，解f(x)=x2+2=4可推斷定義域；對于D，由不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,3)，由韋達定理得b=-a,c=-6a，求解不等式cx2-bx+a<0即可.【詳解】對于A：因為y=f(x)是一次函數(shù)，設f(x)=kx+b(k豐0)，(k2(k2所以f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9，故選項A錯誤；對于B：存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，選項B正確；所以函數(shù)f(x)的定義域D可以是：{-2}或{2}或{-2,2}，滿足條件的f(x)有3個，故選項C正確；對于D：關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-2,3)，則方程ax2+bx+c=0的解是x=-2或x=3則不等式cx2-bx+a<0轉(zhuǎn)化為-6ax2+ax+a<0，因為a<0，所以6x2-x-1<0，解得-<x<，則不等式cx2-bx+a<0故選：BC.12．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P滿足=+μ，其中λe[0,1],μe[0,1]，則()A．存在點P，使得A1P」平面BCC1B1B．存在點P，使得A1P」平面BDC1=時，√3λ+μ的最大值為1D．當A1P=時，√3λ+μ的最小值為0【答案】BC【分析】利用線面垂直的判定定理判斷選項A;利用線面垂直的判定定理證明選項B；根據(jù)A1P=時，得AP=A1P2-AA=1，進而確定P在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以A為圓心，圓心角為，半徑為1的圓弧，設經(jīng)PAB=C,Ce0,,即可得λ=，μ=，利用三角函數(shù)討論最值即可求解.【詳解】對于A：由題意得P在正方形ABCD的內(nèi)部（包括邊界在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1」平面BCC1B1，若A1P」平面BCC1B1，則P在直線A1B1上，不符合題意，A錯誤.對于B：如圖，當λ=μ=1,P與C重合時，連接AC,B1C.：ABCD是正方形，:BD」AC,QAA1」平面ABCD,BD一平面ABCD,:BD」AA1，:BD」平面ACA1,：A1P一平面ACC1A1,:BD」A1P.QBCC1B1,是正方形，:BC1」B1C,QA1B1」平面BCC1B1,BC1一平面BCC1B1,:BC1」A1B1，ABB,A,B1C:BC1」平面A1B1C,QA1P一平面A1B1C1,:BC1」A1P.:A1P」平面BDC1,B正確.對于CD：如圖，當A1P=時，得AP==1，則P在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以A為圓心，圓心角為，半徑為1的圓弧，「π]π「π]π則有cosa=λ，得λ=，sina=μ得μ=，「π]π「π5π]「π]π「π5π]故選:BC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某景區(qū)共有A,B,C,D,E五個景點，相鄰景點之間僅設置一個檢票口供出入，共有7個檢票口，工作人員為了檢測檢票設備是否正常，需要對每個檢票口的檢票設備進行檢測.若不重復經(jīng)過同一個檢票口，依次對所有檢票口進行檢測，則共有種不同的檢測順序.【答案】32【分析】將5個景區(qū)抽象為5個點，見7個檢票口抽象為7條路線，將問題化歸為不重復走完7條路線，即一筆畫問題，分析可得只能從B或E處出發(fā)才能不重復走完7條路線，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，即可得解.【詳解】如圖將5個景區(qū)抽象為5個點，見7個檢票口抽象為7條路線，將問題化歸為不重復走完7條路線，即一筆畫問題，從B或E處出發(fā)的線路是奇數(shù)條，其余是偶數(shù)條，可以判斷只能從B或E處出發(fā)才能不重復走完7條路線，由于對稱性，只列出從B處出發(fā)的路線情形即可.①走BA路線：3126547，3126745，3147526，3147625，3156247，3157426，共6種；②走BC路線：4137526，4137625，4265137，4267315，4562137，4573126，共6種；③走BE路線：7513426，7543126，7621345，7624315，共4種；故答案為：3214．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1=2DA=2DC=2,E,F分別是棱AB,CC1上的動點（不含端點且AE=CF，則三棱錐A1-DEF體積的取值范圍是.(11)(11)【分析】直接建立空間直角坐標系或者應用等體積法做即可.【詳解】法一：以D為原點，分別以直線DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系D-xyz.如圖所示，122m2設ΔDEF22m2設ΔDEF中的EF邊上的高為h，則h=------------------設平面DEF的一個法向量為=(x,y,z)，點A1到平面DEF的距離d==)22(DE|(EF2)2)SS12(11)(11)(11)(11) x法二：設AE=CF=x(0<x<1)，延長BC到G，使得CG= x22 而長方體ABCD_A1B1C1D1的對角面A1B1CD是矩形，則有A1D//B1C//FG，又A1D一平面A1DE，F(xiàn)G丈平面A1DE，于是FG//平面A1DE，所以F到平面A1DE的距離等于G到平面A1DE的距離，ADEFFADEGADEADEG31DEG由等體積法可知V_=V_=V_=VADEFFADEGADEADEG31DEG又SΔDEG=S梯形ABGD_SΔADE_SΔBCD=+2，=+(11)(11)15．已知函數(shù)f(x)=sinΦx(ΦeR)在,上是增函數(shù)，且f_f=2，則f(|（_的取值的集合為.【分析】由f_f=2可得Φ==4n+2，由函數(shù)在,上是增函數(shù)可得Φ<12，然后對Φ的取值逐一驗證，然后可得f(|（_取值.【詳解】由f_f=2可知，nT+=_=，得T=,neZ，又函數(shù)f(x)=sinΦx(ΦeR)在,上是增函數(shù)，經(jīng)檢驗，負=2,6時滿足題意. π 【點睛】本題綜合考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、最值、周期之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于能從已知中發(fā)現(xiàn)周期的所滿足的條件，然后根據(jù)周期確定負的可能取值，再通過驗證即可求解.AC」BC，‘OAC和ΔOBC的重心分別為P,Q，‘ABC的外心為R，記直線OP，OQ，OR的斜率為k1，k2，k3，若k1k2k3=一8，則雙曲線E的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級結(jié)論斜率之積為定值，取AC,BC的中點M,N，得到k1即可求解.【詳解】若直線y=kx+m與雙曲線一=1有兩個交點G,H，設G,H的中點為K，=k1，整理得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b2=0，GHb2a2k2K2b2a2k2又由K(xK,yK)在直線y=kx+m上，可得yK=+m=，即直線l與雙曲線相交線的中點與原點的連線的斜率與直線l的斜率之積為定值，如圖所示，取AC,BC的中點M,N，因為‘OAC的重心P在中線OM上，ΔOBC的重心Q在中線ON上，即k1.kAC=k2.kBC=k2=kOQ=kON，可得kOM.kAC=kON.kBCb2,2ab22，b22b22可得kOR.kAB=a‘ABC的外心為點R，因為kAB=1，所以kOR則R為線段AB的中點，b22ac c a故答案為：2a .【點睛】知識方法：求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得a,c得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。1710分）如圖某公園有一塊直角三角形ABC的空地，其中經(jīng)ACB=,經(jīng)ABC=,AC長a千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域DEF建文化景觀區(qū)，其中D、E、F分別在BC、AC、AB上．設經(jīng)DEC=θ.(1)若θ=，求‘DEF的邊長；(2)求‘DEF的邊長最小值.【答案】(1)；(2)a【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系列方程求解即可；（2）利用正弦定理和輔助角公式求解最小值即可. 3π【詳解】（1）設DEF的邊長為x千米，由θ= 3π1x21x2,:AEF為等邊三角形，,故x=，即DEF的邊長為.（2）設DEF的邊長為x千米，所以CE=xcosθ,AE=a一xcosθ, 由正弦定理得，sinsinθ,故x=2sinθ+3cosθ=7sin(θ+Q)，即DEF的邊長最小值為a.1812分）邊長為4的正方形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，四邊形EFCD是半圓弧的內(nèi)接梯形，且CD∥EF.(1)證明：平面ADE」平面BCE；動時，求直線PB和平面ACE所成角的正弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）通過證明DE」面BCE得平面ADE」平面BCE；8λ向量，直線PB和平面ACE所成角的正弦值為5(4一λ)2+16，利用函數(shù)求范圍即可.【詳解】（1）在正方形ABCD中BC」CD，∵面ABCD」面CDE,BC一面ABCD，面ABCD（面CDE＝CD，1 51 5∵E在以CD為直徑的半圓上，∴DE」EC，又∵BC（CE=C,BC,CE一面BCE，常DE」面BCE，又DE一面ADE，∴面ADE」面BCE，（2）∵AD//BC,DE」BC，∴DE」AD在梯形EFCD中，DE=CF=2.取CD的中點O，以為y軸正半軸，以平行于的方向為x軸正半軸，以平面CDE內(nèi)垂直于OC的方向為z軸正半軸，建立如圖空間直角坐標系：則A(4,2,0),B(4,2,0),C(0,2,0),E(0,1,，設P(λ,2,0)，λe[0,4]，設平面ACE的法向量為=(x,y,z),設直線PB和平面ACE所成角為c，|.||4λ+|.||4λ+4|8λ則sinc=---+16(4λ)2+16，設t=4λe[0,4]，則sinc==t2t2,令g(t)=,te[0,4]，88,2222)，所以h(t)在tE(0,4]上為減函數(shù)，所以直線PB和平面ACE所成角的正弦值的取值范圍[,]..1912分）已知函數(shù)f(x)=aER).(1)若a=0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對vxER，f(x)>0，且f(x)在x=0處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】(1)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-偽,-1)，(-1,0)；單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+偽).(2)(1,2)【分析】（1）求出導函數(shù)f,(x)，由f,(x)>0得增區(qū)間，由f,(x)<0得減區(qū)間；（2）首先由f(x)>0恒成立得出a>1，然后求出f,(x)，求出f,(x)=0的根，根據(jù)根的大小分類討論得出單調(diào)性及極值，從而得參數(shù)范圍.f,(x)==4xex2，令f,(x)=0，可得x=0，當x變化時，f(x)和f,(x)的變化情況如下：x0f,(x)--0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增（2）因為f(x)=>0對vxeR恒成立，所以ax2+4x+4>0對vxeR恒成立，令f,(x)=0，可得x=0或2之0當且僅當x=0時，f,(x)=0）所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；f(x)和f,(x)的變化情況如下：xa0f,(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值，滿足題意；當a>2時，2>0，f(x)和f,(x)的變化情況如下：x0af,(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值，不滿足題意.綜上，實數(shù)a的取值范圍為(1,2).2012分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn=an+3.(1)求Sn； 7nn(2)若(1+S2n)cn+S2n=1，記數(shù)列{cn}的前n項和為 7nnn1(2)證明見解析n，轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列{Sn}的遞推關(guān)系式，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求解；，再根據(jù)放縮法求得cn的范圍，即可證明不等式.31(3)nnSn1nn131(3)nn1，即Sn=.n12n1依題意cn依題意cn=2n2n2n 32n1132n1,7 732n13132n1132n18 2n1) 2n1) 2n1132n1