3.4 平方差公式 浙教版數(shù)學(xué)七年級下冊基礎(chǔ)知識講與練

專題3.16平方差公式（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平方差公式結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2.學(xué)會運用平方差公式進(jìn)行計算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運算；3.能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.【要點梳理】要點一、平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如要點二、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.【典型例題】類型一、平方差公式??運算??化簡求值1．（2022春·八年級課時練習(xí)）計算：（1）；

（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）、（2）直接根據(jù)平方差公式計算求解即可；（3）變形后運用平方差公式求解即可．解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．【點撥】本題考查平方公式的運用，理解并熟練運用平方差公式是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2022春·江蘇·九年級統(tǒng)考期中）已知，求的值．【答案】；【分析】先去括號，再合并同類項，然后把代入化簡后的式子進(jìn)行計算即可解答．解：，，∴，∴，當(dāng)時，原式．【點撥】本題考查了整式的混合運算——化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·上海嘉定·七年級統(tǒng)考期中）計算：【答案】【分析】根據(jù)平方差公式和單項式乘多項式法則去括號，再合并同類項即可求解．解：原式==【點撥】本題主要考查整式的混合運算，掌握平方差公式單項式乘多項式法則，合并同類項法則是關(guān)鍵．類型二、平方差公式??簡便運算??化簡求值2．（2022春·八年級課時練習(xí)）用乘法公式計算：40×39；（2）．【答案】(1)1599(2)2012【分析】（1）根據(jù)平方差公式即可化簡運算．（2）把2013×2011利用平方差公式計算，再進(jìn)一步計算化簡即可．解：（1）40×39＝（40+）×（40﹣）＝1600﹣＝1599；（2）＝＝＝2012【點撥】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能把原式化成符合平方差公式的形式．舉一反三：【變式1】（2022春·全國·八年級專題練習(xí)）簡便計算：；（2）．【答案】(1)150(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計算即可．（1）解：；（2）解：．【點撥】本題主要考查了利用平方差公式進(jìn)行計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．【變式2】（2022春·全國·八年級期末）用簡便方法計算：；；；【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）將式子運用平方差公式進(jìn)行變形即可得；（2）先將前兩項運用平方差公式進(jìn)行變形，計算得出結(jié)果后再運用平方差公式進(jìn)行變形計算即可得；（3）先將后兩項運用平方差公式進(jìn)行變形，再計算乘法，進(jìn)行．（1）解：原式===；（2）解：原式======；（3）解：原式====1．【點撥】本題考查了簡便運算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式．類型三、平方差公式??幾何圖形??化簡求值3．（2022春·全國·八年級專題練習(xí)）探究活動：如圖①，可以求出陰影部分的面積是．（寫成兩數(shù)平方差的形式）如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是．（寫成多項式乘法的形式）比較圖①、圖②陰影部分的面積，可以得到公式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）圖①的面積為兩個正方形的面積差，即；（2）拼成的長方形的長為，寬為，可表示面積；（3）由（1）（2）所表示的面積相等可得等式．（1）解：根題意可得，．故答案為：；（2）解：根據(jù)題意可得，長方形的長為，寬為，故答案為：；（3）解：，即．故答案為：【點撥】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．舉一反三：【變式1】（2022春·山西大同·八年級大同市第三中學(xué)校校考階段練習(xí)）綜合與實踐如圖1所示，邊長為的正方形中有一個邊長為的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．請直接用含和的代數(shù)式表示__________，__________；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：__________（用式子表達(dá)）．依據(jù)這個公式，康康展示了“計算：”的解題過程．解：原式．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會觀察，嘗試從不同角度分析問題，請仿照康康的解題過程計算：．對數(shù)學(xué)知識要會舉一反三，請用（1）中的公式證明任意兩個相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【答案】(1)；；(2)(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)圖形可知，，根據(jù)兩個面積相等即可求解；（2）根據(jù)康康的演示，可知將代入，即可求解；（3）根據(jù)（1）中結(jié)論，即可求解．（1）解：根據(jù)題意，，，∵，∴，故答案為：；；．（2）解：，故答案為：．（3）解：設(shè)一個奇數(shù)為，則另一個相鄰的奇數(shù)為，∴，∴任意兩個相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【點撥】本題主要考查平方差公式的運算，掌握有理數(shù)的加減乘除混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·四川眉山·七年級校考期中）如圖（1）所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為的小正方形，如圖（2）所示是由圖（1）中的陰影部分拼成的一個長方形．設(shè)圖（1）中陰影部分的面積為，圖（2）中陰影部分的面積為，請直接用含a，b的式子表示______；______；寫出上述過程所揭示的等式：______（用a，b表示）直接應(yīng)用：利用這個等式計算：①；②；拓展應(yīng)用：試?yán)眠@個公式求下面代數(shù)式的結(jié)果：．【答案】(1)，，(2)①；②；(3)【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行計算即可；（3）配上因式后，連續(xù)利用平方差公式進(jìn)行計算，得出答案．（1）解：圖（1）中陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，圖（2）中陰影部分是長為，寬為的長方形，因此其面積為，由于圖1、圖2陰影部分的面積相等可得，，故答案為：，，；（2）解：①；②；（3）解：．【點撥】本題考查平方差公式、完全平方公式的幾何背景，用代數(shù)式表示圖1、圖2中陰影部分的面積是正確解答的前提．類型三、平方差公式??應(yīng)用??化簡求值4．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）如圖，學(xué)校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為，的正方形秧田，，其中不能使用的面積為．用含，的代數(shù)式表示中能使用的面積___________；若，，求比多出的使用面積．【答案】(1)(2)50【分析】（1）利用正方形秧田的面積減去不能使用的面積即可得；（2）先求出中能使用的面積為，再求出比多出的使用面積為，利用平方差公式求解即可得．（1）解：中能使用的面積為，故答案為：．（2）解：中能使用的面積為，則比多出的使用面積為，，，，答：比多出的使用面積為50．【點撥】本題考查了列代數(shù)式、平方差公式與圖形面積，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長為米（）的正方形土地租給租戶張老漢．第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（

）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【答案】C【分析】分別求出2次的面積，比較大小即可．解：原來的土地面積為平方米，第二年的面積為所以面積變小了，故選C．【點撥】本題考查了列代數(shù)式，整式的運算，平方差公式，代數(shù)式大小的比較，正確理解題意列出代數(shù)式并計算是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2020·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為的大正方形剪去一個邊長為的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖所示長