離散型隨機變量市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

2.1離散型隨機變量第二章隨機變量及其概率分布一、古典概型：定義在樣本空間Ω上實值函數(shù)X=X(ω)稱為隨機1、定義2.1:變量.慣用大寫字母

X,Y,Z等表示隨機變量,其取值用小寫字母

x,y,z等表示.在擲骰子試驗中,用X表示出現(xiàn)點數(shù),則有X(ω)

=ω,ω∈Ω,其中Ω={1,2,3,4,5,6}在檢查產(chǎn)品質(zhì)量試驗中,用X表示合格品件數(shù),若Ω={合格品,次品},則有第1頁第1頁二、離散型隨機變量概率分布：設(shè)X是定義在樣本空間Ω上一個隨機變量,若X1、定義2.2:其取值

{xi,i=1,2,…},記所有也許取值只有有限個或可列無窮多個,稱X是一個離散型隨機變量.2、定義2.3:設(shè)X是離散型隨機變量,其所有也許取值為i=1,2,…,稱{p(xi)

,i=1,2,…}為X概率分布.X

x1

x2…xi

…P

p1p2…pi…X概率分布表或分布律第2頁第2頁3、離散型隨機變量概率分布{p(xi)}性質(zhì):(1)p(xi)

≥0,(i=1,2,…);第3頁第3頁第4頁第4頁例:設(shè)一汽車在開往目的地道路上需通過四個信號燈,每個信號燈以1/2概率允許或嚴(yán)禁汽車通過.以X表示汽車初次停下時,它已通過信號燈數(shù)(設(shè)各信號燈工作是互相獨立),求X分布律.解以p表示每個信號燈嚴(yán)禁汽車通過概率,易知X分布律為或?qū)懗蒔{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4.以p=1/2代入得第5頁第5頁(2)從而第6頁第6頁例2.1從一批有10個合格品與3個次品產(chǎn)品中,一件一件地抽取產(chǎn)品,每次取出一件產(chǎn)品后總將一件合格品放回該批產(chǎn)品中,直到取出合格品為止,求抽取次數(shù)分布律.解設(shè)X表示“抽取次數(shù)”，它也許取值是1,2,3,4,而取每個值概率為第7頁第7頁因此X概率分布為X12

34P10/1333/16972/21976/2197第8頁第8頁§2.10-1分布(兩點分布)X01Pk1-pp第9頁第9頁X01Pk0.550.45第10頁第10頁X01Pk0.10.6+0.3第11頁第11頁例:在100件產(chǎn)品中,有95件正品,5件次品.現(xiàn)從中隨機地取一件,假如取到每件產(chǎn)品機會都相等.若定義隨機變量X為則有P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95若定義隨機變量Y為則有{Y=0}=0.95,P{Y=1}=0.05從中看到X,Y都服從(0-1)分布第12頁第12頁三、常見離散型隨機變量：把一個隨機試驗重復(fù)進(jìn)行n次,每次試驗結(jié)果間互1、二項分布:不影響,每次試驗只有兩個也許結(jié)果:事件發(fā)生,稱這樣試驗為n重伯努利試驗,該數(shù)學(xué)模型稱為伯努利模型.定理2.1:在伯努利試驗中,若事件A發(fā)生概率P(A)=p(0<p<1)則在n次試驗中事件A正好發(fā)生k次概率為第13頁第13頁第14頁第14頁定理2.1:設(shè)隨機變量X也許取值為0,1,…,

n,且取這些值概率為則稱X服從參數(shù)為n,p二項分布,它是最簡樸離散型隨機變量,此時X也許取值只有0或1,即X10P

p1-p第15頁第15頁第16頁第16頁例2.2某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊命中率為0.02,

解設(shè)X表示“擊中次數(shù)”，則X～B(400,0.02),有獨立射擊400次,試求至少擊中兩次概率?第17頁第17頁例2.3連續(xù)不斷地擲一枚均勻硬幣,問至少擲多少次才能使正面至少出現(xiàn)一次概率不小于0.99?

解設(shè)需投擲n次,X表示“正面朝上”，則P(A)=1/2,在n次投擲中A出現(xiàn)次數(shù)為X,則X~B(n,0.5),第18頁第18頁0-1分布和二項分布關(guān)系X01Pi1-pp第19頁第19頁第20頁第20頁2、泊松分布:若一個隨機變量X概率分布為定義2.5:第21頁第21頁第22頁第22頁解

(1)(2)(3)第23頁第23頁例2.4某商店依據(jù)過去銷售統(tǒng)計知道某種商品分布來描述,為了以95%以上概率確保(設(shè)只在月底進(jìn)貨)?

解設(shè)該商店每月銷售該商品件數(shù)為X，據(jù)題意,要求a使得不脫銷,問商店在月底應(yīng)存多少件該種商品月底存貨為a件,則當(dāng)X≤a時就不會脫銷.第24頁第24頁由附錄泊松分布表知于是,這家商店只要在月底存不低于15件,就能以0.95以上概率確保下個月該種商品不會脫銷.第25頁第25頁定理2.2(泊松定理):固定非負(fù)整數(shù)k,有注由泊松定理,能夠?qū)⒍椃植加貌此煞植紒斫?理來近似計算.第26頁第26頁第27頁第27頁第28頁第28頁例2.5紡織廠女工照料800個紡錠,每一紡錠在某一段時間內(nèi)發(fā)生斷頭概率為0.005(設(shè)短時間內(nèi)最多只發(fā)

解設(shè)X為800個紡錠在該段時間內(nèi)發(fā)生斷頭次數(shù),泊松分布,從而有生一次斷頭),求在這段時間內(nèi)共發(fā)生斷頭次數(shù)超出2概率.則X～B(800,0.005),它近似于參數(shù)為λ=800×0.005第29頁第29頁3、超幾何分布:設(shè)N,n,m為正整數(shù),n≤N,m≤N;又設(shè)隨機變量定義2.6:注從一個有限總體中進(jìn)行不放回抽樣均會碰到超幾何分布.如,從包括M個不合格品N個產(chǎn)品中不放回地