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基本不等式專題知識講座基本不等式專題知識講座第1頁1.課題導(dǎo)入基礎(chǔ)不等式幾何背景:
如圖是在北京召開第24界國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo),會標(biāo)是依據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽弦圖設(shè)計,顏色明暗使它看上去象一個風(fēng)車。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?基本不等式專題知識講座第2頁2.講授新課1.探究圖形中不等關(guān)系
在正方形ABCD中有四個全等直角三角形。設(shè)直角三角形兩條直角邊長為a,b那么正方形邊長為
這么,4個直角三角形面積和是2ab,正方形面積為
基本不等式專題知識講座第3頁因為4個直角三角形面積小于正方形面積,咱們就得到了一個不等式:探究圖形改變過程當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時,正方形EFGH縮為一個點(diǎn),這時有
基本不等式專題知識講座第4頁2.得到結(jié)論:3.思索:你能給出它證實嗎?證實:因為基本不等式專題知識講座第5頁
尤其,假如a>0,b>0,咱們用分別代替a、b,可得
通常咱們把上式寫作
4.1)認(rèn)識基礎(chǔ)不等式基本不等式專題知識講座第6頁只要證a+b
(2)要證(2),只要證a+b-0(3)要證(3),只要證(
-
)
0(4)顯然,(4)是成立。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,(4)中等號成立。用分析法證實:要證
(1)2)從不等式性質(zhì)推導(dǎo)基礎(chǔ)不等式基本不等式專題知識講座第7頁3、例題講解例1已知x、y都是正數(shù),求證:(1)≥2;分析:在利用定理:時,注意條件a、b均為正數(shù),結(jié)合不等式性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立條件),進(jìn)行變形.解:∵x,y都是正數(shù)
∴>0,>0
=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,式中取等號。)基本不等式專題知識講座第8頁(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.解:∵x,y都是正數(shù)∴x+y≥2>0∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0x2+y2≥2>0
x3+y3≥2>0∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥=8x3y3即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.2·2·2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,式中取等號)(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,式中取等號)基本不等式專題知識講座第9頁4.隨堂練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù),求證(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc分析:對于這類題目,選擇定理:
(a>0,b>0)靈活變形,可求得結(jié)果.解:∵a,b,c都是正數(shù)b+c≥2>0c+a≥2>0∴(a+b)(b+c)(c+a)≥即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.=8abc∴a+b≥2>02·2·2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,上式取等號)基本不等式專題知識講座第10頁
本節(jié)課,咱們學(xué)習(xí)了主要不等式a2+b2≥2ab;兩正數(shù)a、b算術(shù)平均數(shù)(),幾何平均數(shù)()及它們關(guān)系(≥).它們成立條件:
(1)、前者只要求a、b都是實數(shù),而后者要求a、b都是正數(shù).(2)、當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,以上兩式取等號。它們既是不等式變形基礎(chǔ)
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