2018年海南省【高考】數(shù)學(xué)試題及答案（理科）

2018年海南省【高考】數(shù)學(xué)試題及答案（理科）2018年海南省【高考】數(shù)學(xué)試題及答案（理科）2018年海南省【高考】數(shù)學(xué)試題及答案（理科）絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A． B． C． D．2．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A．9 B．8 C．5 D．43．函數(shù)的圖像大致為4．已知向量，滿足，，則A．4 B．3 C．2 D．05．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．6．在中，，，，則A． B． C． D．7．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A．B．C．D．8．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．9．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．10．若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．11．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．若，則A． B．0 C．2 D．5012．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．14．若滿足約束條件則的最大值為__________．15．已知，，則__________．16．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值．18．（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：．（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由．學(xué)科*網(wǎng)19．（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．20．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率．23．[選修4－5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍．參考答案:一、選擇題1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D二、填空題13. 14.9 15. 16.三、解答題17.(12分)解：（1）設(shè)的公差為d，由題意得.由得d=2.所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得.所以當(dāng)n=4時(shí),取得最小值,最小值為?16.18.(12分)解：（1）利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元).利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元).（2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.理由如下：（?。恼劬€圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下.這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.學(xué).科網(wǎng)（ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.19.(12分)解：（1）由題意得，l的方程為.設(shè)，由得.，故.所以.由題設(shè)知，解得（舍去），.因此l的方程為.（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線方程為，即.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則解得或因此所求圓的方程為或.20.(12分)解：（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且.連結(jié).因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，且?由知.由知平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得取平面的法向量.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為.21．（12分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．學(xué)&科網(wǎng)①若，即，在沒有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為．當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為．（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程．①因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，，則．又由①得，故，于是直線的斜率．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得的解集為．（2）等價(jià)于．而，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故等價(jià)于．由可得或，所以的取值范圍是．選擇填空解析：一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即得結(jié)果.詳解：選D.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)除法法則，考查學(xué)生基本運(yùn)算能力.2.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】分析：根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點(diǎn)個(gè)數(shù).詳解：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以共有9個(gè)，選A.點(diǎn)睛：本題考查集合與元素關(guān)系，點(diǎn)與圓位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)概念理解與識(shí)別.3.函數(shù)的圖像大致為A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．4.已知向量，滿足，，則A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因?yàn)樗赃xB.點(diǎn)睛：向量加減乘：5.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點(diǎn)睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.6.在中，，，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因?yàn)樗?，選A.點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.7.為計(jì)算，設(shè)計(jì)了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根據(jù)程序框圖可知先對(duì)奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此累加量為隔項(xiàng).詳解：由得程序框圖先對(duì)奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此在空白框中應(yīng)填入，選B.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).8.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先確定不超過30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)椋噪S機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.9.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.10.若在是減函數(shù)，則的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值詳解：因?yàn)椋杂傻靡虼?，從而的最大值為，選A.點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱軸，(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.11.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．若，則A.B.0C.2D.50【答案】C【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．12.已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因?yàn)闉榈妊切?，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】分析：先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.詳解：點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).14.若滿足約束條件則的最大值為__________．【答案】9【解析】