《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計》 課件 CH4 回歸分析

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計第四章回歸分析CH4回歸分析目錄contents2024/4/191一元線性回歸2多元線性回歸3非線性回歸1前言2024/4/19十九世紀，英國生物學家兼統(tǒng)計學家高爾頓研究父親身高與成年兒子的身高發(fā)現(xiàn)：子代的平均高度有向中心回歸的意思，使得一段時間內(nèi)人的身高相對穩(wěn)定。之后回歸分析的思想滲透到了各個領(lǐng)域中。背景英國科學家弗朗西斯·高爾頓爵士（SirFrancisGalton）在研究父代與子代的平均身高的因果關(guān)系時，首次提出了“回歸（Regression）”一詞。然而，隨著時間的推移，回歸分析稱為被人們用來表示變量間關(guān)系的統(tǒng)計模型。2024/4/19線性回歸非線性回歸回歸分析多元回歸一元回歸引例2024/4/19【問題導向】雨課堂課前發(fā)布問題，課前發(fā)布閱讀文章《建筑鋼結(jié)構(gòu)進展》2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心鋼梁-鋼管混凝土柱內(nèi)加強環(huán)式節(jié)點受力性能分析”引例2024/4/19【問題導向】雨課堂課前發(fā)布問題，課前發(fā)布閱讀文章《建筑鋼結(jié)構(gòu)進展》2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心鋼梁-鋼管混凝土柱內(nèi)加強環(huán)式節(jié)點受力性能分析”2確定性關(guān)系與非確定性關(guān)系2024/4/19

3回歸分析簡介2024/4/19研究隨機變量與一個或多個可控變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計方法稱回歸分析.

通過試驗和觀測去尋找隱藏在變量間相關(guān)關(guān)系是回歸分析的主要任務(wù).回歸分析一元回歸分析(一個可控變量)多元回歸分析(多個可控變量)相關(guān)關(guān)系中，自變量稱為可控變量，因變量稱為不可控變量4回歸分析簡介2024/4/19

（2）判別所建立的數(shù)學模型是否有效（假設(shè)檢驗）.（3）利用所見數(shù)學關(guān)系進行預測和控制(應(yīng)用).引例1：一元回歸2024/4/19例1一種用于食品包裝的可降解材料的制備過程中要受到其導熱性（W/mK）的影響，而導熱性與其密度（g/cm2）具有一定的關(guān)系，通過試驗測得數(shù)據(jù)如表1所示。導熱性

0.04800.05250.05400.05350.05700.0610密度

0.17500.22000.22500.22600.25000.2765表1

導熱性與密度數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù)可得到散點圖如圖1所示。

圖4.1.1

導熱性與密度散點圖PART

1一元線性回歸一元線性回歸簡介2024/4/191.定義

稱為一元（正態(tài)）線性回歸模型

一元線性回歸的數(shù)學模型介紹2024/4/19

圖2

直線關(guān)系示意圖

最小二乘法介紹2024/4/19

圖4

散點圖與擬合直線示意圖

最小二乘法介紹2024/4/19

最小二乘法介紹2024/4/19

最小二乘法介紹2024/4/19并根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到預測值及殘差，如表2所示。變量數(shù)值0.17500.04800.04740.00060.22000.05250.0532-0.00070.22500.05400.05390.00010.22600.05350.0540-0.00050.25000.05700.0571-0.00010.27650.06100.06050.0005合計1.370.3260.32602024/4/19

作答主觀題10分擬合優(yōu)度2024/4/19

標準誤差的估計2024/4/19

標準誤差的估計2024/4/19

顯著性檢驗2024/4/19

顯著性檢驗2024/4/19

顯著性檢驗2024/4/19

數(shù)學家許寶騄2024/4/19【視頻推薦】視頻：許寶騄一個把生命托付給數(shù)學王國的數(shù)學家/video/BV1N5411o7ce/PART

2多元線性回歸引例2：多元回歸2024/4/19

78.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.410668122.1模型

多元線性回歸模型2.1模型例2．某省年消費基金、國民收入使用額和平均人口數(shù)資料如下表，試配合適當?shù)幕貧w模型并進行各種檢驗。若該省某年國民收入使用額為670億元，平均人口數(shù)為5800萬人，當顯著性水平為5%時，試估計該年的消費基金為多少。

多元線性回歸2.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸（1）多元線性回歸regress（）【命令】[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,

alpha)【解釋】b為回歸系數(shù)的估計值（第一個為常數(shù)項）bint為回歸系數(shù)的區(qū)間估計r為殘差，rint殘差的置信區(qū)間stats用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有四個值：相關(guān)系數(shù)r2，F(xiàn)值，F(xiàn)對應(yīng)的概率p，殘差的方差前兩個越大越好，后兩個越小越好alpha為顯著性水平(默認值0.05，即執(zhí)行水平為95%)2.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸

yx_1x_2x_3x_478.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.410668122.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸

2.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸

2.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸PART

3非線性回歸3.1可線性化的非線性回歸模型3.2非線性回歸自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系，如：在Matlab中使用函數(shù)：nlinfit(x',y',v,b0)x和y分別為自變量和因變量v為回歸表達式b0為回歸系數(shù)的初值3.2非線性回歸使用次數(shù)增大容積16.4228.239.5849.559.769.771089.9399.991010.491110.591210.061310.81410.61510.91610.76例3.2.1一種容器隨著使用次數(shù)x變化，其容積y會發(fā)生變化，且滿足，數(shù)據(jù)見表。試問使用次數(shù)為17,18,19,20時，增大容積的數(shù)值分別為多少？

PART

3關(guān)鍵問題——誤差分析3誤差分析2024/4/19絕對誤差：相對誤差：最大誤差：平均相對誤差：

平均誤差：均方跟誤差：推薦閱讀2024/4/19【推薦閱讀】科研論文：《航空發(fā)動機》2023第49第1期PART

4利用回歸方程進行預測和控制引例（工程數(shù)據(jù)分析案例）2024/4/19

利用回歸方程進行預測和控制2024/4/19

利用回歸方程進行預測和控制2024/4/19

利用回歸方程進行預測和控制2024/4/19clcclearally=[33.0,31.0,34.9,36.5,36.1,39.0,30.1,31.2,35.7,31.9,37.3,33.8,37.7];x=[3.1,4.5,3.4,2.5,2.2,1.2,5.3,4.8,2.4,3.5,1.3,3.0,1.8];n=length(x);X=[ones(n,1)x'];[B,BINT,R,RINT,STATS]=regress(y',X)figurercoplot(R,RINT)set(gca,'linewidth',0.7