2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題03 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題03旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一、方法突破旋轉(zhuǎn)，是三大幾何變換中考察最多、難度最大的那個(gè)，平移、對稱從圖像觀察角度來說直接顯然，對應(yīng)的結(jié)論也很容易用到．而旋轉(zhuǎn)，變換得到的圖形相對復(fù)雜些，有時(shí)候解題的突破口隱藏得更深，導(dǎo)致無從下手．本篇將從基本的性質(zhì)開始，到一些常見的模型，最后說說關(guān)于構(gòu)造旋轉(zhuǎn)能給我們帶來什么，全方位了解旋轉(zhuǎn)在中考題中的考察．一、旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)如下圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE．性質(zhì)一：對應(yīng)邊相等結(jié)論：AB=AD，AC=AE．補(bǔ)充：當(dāng)然還可以得到BC=DE，但這并沒有什么用，因?yàn)锽C與DE并沒有特殊位置關(guān)系．性質(zhì)二：對應(yīng)角相等結(jié)論：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE．補(bǔ)充：如果不是特殊角，此性質(zhì)并沒有什么用，但由性質(zhì)二可以推性質(zhì)三．性質(zhì)三：旋轉(zhuǎn)角都相等結(jié)論：∠BAD=∠CAE=∠BFD．補(bǔ)充：∠BAD=∠CAE易證，∠BAD=∠BFD可用“8字”模型證明：∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D，且∠B=∠D，∴∠BAD=∠BFD．且第三組對應(yīng)邊往往用得最多．二、典例精析【中考真題-關(guān)于三角形的旋轉(zhuǎn)】（2019·眉山）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使得點(diǎn)落在上，則的值為．（2019·內(nèi)江）如圖，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長為A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6

（2019·阜新）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．若，，則線段的長度為．（2019·包頭）如圖，在中，，，在同一平面內(nèi)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的值是．（2018·鎮(zhèn)江）如圖，中，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)落在的延長線上．若，則．（2019·山西）如圖，在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則的長為．【中考真題-關(guān)于四邊形的旋轉(zhuǎn)】（2017·吉林）如圖，在矩形中，，．矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形．若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，則的長為．（2019·梧州）如圖，在菱形中，，，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)得到菱形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，則的長是．（2018·隴南）如圖，點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，若四邊形的面積為25，，則的長為A．5 B． C．7 D．（2019·賀州）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則的長為．（2019·營口）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作正方形，且，連接，．若將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)取最小值時(shí)，的長為．三、中考真題演練1．如圖，在中，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△，連接．則線段的長為A．1 B． C． D．2．如圖，在邊長為2的正方形中，若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則的長為A． B． C． D．3．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若且于點(diǎn)，則的度數(shù)為A． B． C． D．4．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，使點(diǎn)落在邊上，連結(jié)，則的值為A． B． C． D．5．如圖，中，，，，將繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是A．或 B．，或， C．，或， D．或，6．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），則的度數(shù)為A． B． C． D．7．如圖，的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在軸的正半軸上，延長交軸于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上時(shí)，的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．， B．， C．， D．，8．如圖，在四邊形中，，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△，當(dāng)恰好經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，△為等腰三角形，則A． B． C． D．9．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是A． B．1 C． D．10．如圖，為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再將沿直線折疊得到．下列結(jié)論：①連接，則；②連接，當(dāng)、、共線時(shí)，；③連接、、，若是等腰三角形，則；④連接，設(shè)、交于點(diǎn)，若平分，則是的中點(diǎn)，且，其中正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1專題03旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一、方法突破旋轉(zhuǎn)，是三大幾何變換中考察最多、難度最大的那個(gè)，平移、對稱從圖像觀察角度來說直接顯然，對應(yīng)的結(jié)論也很容易用到．而旋轉(zhuǎn)，變換得到的圖形相對復(fù)雜些，有時(shí)候解題的突破口隱藏得更深，導(dǎo)致無從下手．本篇將從基本的性質(zhì)開始，到一些常見的模型，最后說說關(guān)于構(gòu)造旋轉(zhuǎn)能給我們帶來什么，全方位了解旋轉(zhuǎn)在中考題中的考察．一、旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)如下圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度得到△ADE．性質(zhì)一：對應(yīng)邊相等結(jié)論：AB=AD，AC=AE．補(bǔ)充：當(dāng)然還可以得到BC=DE，但這并沒有什么用，因?yàn)锽C與DE并沒有特殊位置關(guān)系．性質(zhì)二：對應(yīng)角相等結(jié)論：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE．補(bǔ)充：如果不是特殊角，此性質(zhì)并沒有什么用，但由性質(zhì)二可以推性質(zhì)三．性質(zhì)三：旋轉(zhuǎn)角都相等結(jié)論：∠BAD=∠CAE=∠BFD．補(bǔ)充：∠BAD=∠CAE易證，∠BAD=∠BFD可用“8字”模型證明：∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D，且∠B=∠D，∴∠BAD=∠BFD．且第三組對應(yīng)邊往往用得最多．二、典例精析【中考真題-關(guān)于三角形的旋轉(zhuǎn)】（2019·眉山）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使得點(diǎn)落在上，則的值為．【分析】對應(yīng)邊相等求線段長，即可得所求角的正切值．由題意得：AD=AB=5，EN=CB=12，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴．（2019·內(nèi)江）如圖，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，則CD的長為A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6【分析】利用對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等可得特殊圖形．由題意得：△ABC≌△ADE，∴AB=AD，又∠B=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=2，又BC=3.6，∴CD=1.6．故選A．

（2019·阜新）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．若，，則線段的長度為．【分析】連接EC，由題意可得△ACE是等邊三角形，∴EC=AC=BC=ED，易證△ECD≌△EAD，∴CD=AD=AB=2，故CD的長為2．（2019·包頭）如圖，在中，，，在同一平面內(nèi)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的值是．【分析】已知角度，必可求出∠DEC的度數(shù)，且應(yīng)該是個(gè)特殊角．由題意得：∠EAC=70°，∴∠AEC=∠ACE=55°，又∠EAD=∠CAB=55°，∴∠CAD=15°，∵∠ACE+∠CAD=∠ADE+∠DEC，∴∠DEC=45°，∴tan∠DEC=1．

（2018·鎮(zhèn)江）如圖，中，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)落在的延長線上．若，則．【分析】題目給出的正切值，故構(gòu)造包含的直角三角形．過點(diǎn)C作CH⊥交于點(diǎn)H，則，根據(jù)，即，可得：．（2019·山西）如圖，在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則的長為．【分析】特殊特殊度數(shù)必然有特殊圖形．∵，∴，∴過點(diǎn)A作AH⊥DE交DE于H點(diǎn)，∵AD=6cm，∴cm，cm，∴cm，cm，故CF的長為cm．【中考真題-關(guān)于四邊形的旋轉(zhuǎn)】（2017·吉林）如圖，在矩形中，，．矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形．若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，則的長為．【分析】無論圖形是什么，抓住旋轉(zhuǎn)的重點(diǎn)來分析．過點(diǎn)作⊥AB交AB于H點(diǎn)，則AH=4，BH=1，∴．（2019·梧州）如圖，在菱形中，，，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)得到菱形，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，則的長是．【分析】特殊的菱形旋轉(zhuǎn)特殊的角度必然得到其他特殊的圖形．連接DE，易證△PDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴，∵，∴，∴，∴．（2018·隴南）如圖，點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，若四邊形的面積為25，，則的長為A．5 B． C．7 D．【分析】旋轉(zhuǎn)可以改變圖形位置，或許會(huì)形成新的特殊圖形．易證△ADE≌△ABF，∴正方形ABCD面積為25，所以邊長AD=5，又DE=2，∴．故選D．（2019·賀州）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則的長為．【分析】方法較多，舉一種與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的做法．設(shè)，，則，∴GF=GA=EA=，∴，∴CF的長為．

（2019·營口）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作正方形，且，連接，．若將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)取最小值時(shí)，的長為．【分析】如圖，當(dāng)D、A、E三點(diǎn)共線時(shí)，AE最小，過點(diǎn)A作AM⊥BC交BC于M點(diǎn)，∵DM=1，，∴，此時(shí)，故AG的長為8．三、中考真題演練1．如圖，在中，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△，連接．則線段的長為A．1 B． C． D．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，則為等腰直角三角形，．故選：．2．如圖，在邊長為2的正方形中，若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則的長為A． B． C． D．【解答】解：分別延長和交于點(diǎn)，由題知，，，，，，，，由題知，是等邊三角形，，故選：．3．如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若且于點(diǎn)，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，，，，．故選：．4．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，使點(diǎn)落在邊上，連結(jié)，則的值為A． B． C． D．【解答】解：，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，，，，故選：．5．如圖，中，，，，將繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是A．或 B．，或， C．，或， D．或，【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，設(shè)，則，，，，，，，若將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，，若將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，，故選：．6．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，是等腰直角三角形，，，，．故選：．7．如圖，的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在軸的正半軸上，延長交軸于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上時(shí)，的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A．， B．， C．， D．，【解答】解：延長交軸于點(diǎn)，延長，由題意的延長線經(jīng)過點(diǎn)，如圖，，，，．由題意：△，，，，，．則，平分，△為等腰三角形．，．，，．．．．，．故選：．8．如圖，在四邊形中，，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△，當(dāng)恰好經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，△為等腰三角形，則A． B． C． D．【解答】解：過作于，則，，設(shè)，則，，即，解得：（負(fù)值舍去），，，在上取一點(diǎn)，使得，連接，則△，且相似比為，，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△，，，，，△△，，，故選：．9．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是A． B．1 C． D．【解答】解：解法一：如圖在的下方作等邊，作射線．，，，，在和中，，，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)是定點(diǎn)，是定值），當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值，解法二：如圖，的上方，作等邊，連接，過點(diǎn)作于．，都是等邊三角形，，，，，，的值最小時(shí)，的值最小，當(dāng)時(shí)，的最小值，的最小值為1．故選：．10．如圖，為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再將沿直線折疊得到．下列結(jié)論：①連接，則；②連接，當(dāng)、、共線時(shí)，；③連接、、，若是等腰三角形，則；④連接，設(shè)、交于點(diǎn)，若平分，則是的中點(diǎn)，且，其中正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①如圖1中，連接，延長交于．四邊形是正方形，．，，，，，，，，，由翻折可知：，，垂直平分線段，，故①正確，②如圖2中，當(dāng)、、共線時(shí)，易證，在上取一點(diǎn)，使得，連接，，，，設(shè)，則，則有，，故②正確，③如圖3中，連接，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有：，或（舍棄），，故③正確．④如圖4中，，，平分，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，或（舍棄），，故④正確．故選：．專題04旋轉(zhuǎn)之從全等到相似一、方法突破在手拉手模型中，我們可以看成是兩個(gè)相似的等腰三角形作共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，由等腰條件可得一組全等三角形．若△ABC與△ADE非等腰，則可得到旋轉(zhuǎn)型相似，取直角三角形為例．如圖，Rt△ABC∽R(shí)t△ADE，連接BD、CE，可得：△ADB∽△AEC，（利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）且旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角都相等依然成立，如下右圖，∠BAD=∠EAC=∠EFB．

二、典例精析【旋轉(zhuǎn)全等】1.（2019·棗莊）在中，，，于點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，且，求證：．【從全等到相似】2.（2019·鞍山）在中，，是內(nèi)一點(diǎn)，連接，．在左側(cè)作，使，以和為鄰邊作，連接，．（1）若，．①如圖1，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系為．②如圖2，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（2）若，，，且，，三點(diǎn)共線，求的值．【旋轉(zhuǎn)相似】3.（2019·襄陽）如圖，兩個(gè)大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，與交于點(diǎn)，連接，若，，則．【旋轉(zhuǎn)相似】4.（2019·東營）如圖1，在中，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）問題解決繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段的長．

三、中考真題演練【旋轉(zhuǎn)相似】1.（2019·宿遷）如圖①，在鈍角中，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度．（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，連接、．求證：；（2）如圖③，直線、交于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出這個(gè)角的度數(shù)；（3）將從圖①位置繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程．【旋轉(zhuǎn)相似】2.（2019·河南）在中，，．點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)．連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當(dāng)時(shí)，請寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，請直接寫出點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)的值．3.（2018·濟(jì)南）在中，，，以為邊在的另一側(cè)作，點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)，在射線上截取，連接、、．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長線上時(shí)，直接寫出的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在線段（不含邊界）上時(shí)，與交于點(diǎn)，請問（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；（3）在（2）的條件下，若，求的最大值． 專題04旋轉(zhuǎn)之從全等到相似一、方法突破在手拉手模型中，我們可以看成是兩個(gè)相似的等腰三角形作共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，由等腰條件可得一組全等三角形．若△ABC與△ADE非等腰，則可得到旋轉(zhuǎn)型相似，取直角三角形為例．如圖，Rt△ABC∽R(shí)t△ADE，連接BD、CE，可得：△ADB∽△AEC，（利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）且旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角都相等依然成立，如下右圖，∠BAD=∠EAC=∠EFB．

二、典例精析【旋轉(zhuǎn)全等】1.（2019·棗莊）在中，，，于點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長；（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，且，求證：．【分析】（1）∵∠AMN=30°，∴∠BMD=60°，∵AB=2，∴，∴，∴．故AM的值為．（2）易證△BDE≌△ADF，∴BE=AF．（3）如圖，作MQ⊥MA交AB延長線于點(diǎn)Q，易證△MAN≌△MQB，∴AN=BQ，∴，∴．

【從全等到相似】2.（2019·鞍山）在中，，是內(nèi)一點(diǎn)，連接，．在左側(cè)作，使，以和為鄰邊作，連接，．（1）若，．①如圖1，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系為．②如圖2，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（2）若，，，且，，三點(diǎn)共線，求的值．【分析】（1）．由“8字”模型易證：∠CBD=∠CAF，連接CF，易證△CDB≌△CFA，∴CD=CF，且∠DCF=∠BCA=90°，∴．（2）成立，類似還是證明△CDB≌△CFA，而其中關(guān)鍵性條件∠CBD=∠CAF與B、D、F共線與否比并無關(guān)系．BD與DE是垂直關(guān)系，又AF∥DE，∴BD⊥AF．如下圖，延長BD與AF交于點(diǎn)P，則∠P=90°，由“8字”模型可證：∠CBD=∠CAF．易證△CDB≌△CFA，∴．（3）參考（2），延長BD與AF交于點(diǎn)P，則BD⊥AF，由“8字”模型可得：∠CBD=∠CAF，又BC=2AC，BD=2DE=2AF，∴△CDB∽△CFA，∴CD=2CF．∵，不妨設(shè)CD=4k，則AC=5k，∴AD=EF=3k，，∴CE=k，∴，∴．

【旋轉(zhuǎn)相似】3.（2019·襄陽）如圖，兩個(gè)大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，與交于點(diǎn)，連接，若，，則．【分析】易證△CBD∽△CAE，且，∴，∠CAE=∠CBD，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠CBD=90°，∴，∴，，又∠CAF=∠CBD=∠CDE=60°，∴△CFD∽△EFA，∴，故的值為．

【旋轉(zhuǎn)相似】4.（2019·東營）如圖1，在中，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）問題解決繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段的長．

【分析】（1），．（2）不變，易證△CDB∽△CEA，∴．（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如下圖所示：易證△CDB∽△CEA，，∵，BC=2，∴BE=1,，∴AE=3，∴．當(dāng)點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，易證四邊形BCDE是矩形，∴BD=CE=．綜上所述，BD的長為或．

三、中考真題演練【旋轉(zhuǎn)相似】1.（2019·宿遷）如圖①，在鈍角中，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度．（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，連接、．求證：；（2）如圖③，直線、交于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，的大小是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出這個(gè)角的度數(shù)；（3）將從圖①位置繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程．【分析】（1）∵D、E分別是BA、BC中點(diǎn)，∴，，將△BDE旋轉(zhuǎn)可得∠DBA=∠EBC=，∴△BDA∽△BEC．（2）不變．由（1）得△BDA∽△BEC，∴∠BAD=∠BCE，由“8字”模型可得：∠G=∠ABC=30°．（旋轉(zhuǎn)任意均有△BED∽△BCA，且旋轉(zhuǎn)角為30°，故CE與AD夾角始終為30°）（3）∠G所對的邊AC為定邊，定邊對定角，故G點(diǎn)軌跡是個(gè)圓弧．以AC為邊構(gòu)造等邊△AOC，點(diǎn)O即為圓心，又AC=4，故圓O半徑為4．通過起點(diǎn)和終點(diǎn)來確定軌跡，如下圖：G點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)BD⊥BC時(shí)，弧BG最長，當(dāng)旋轉(zhuǎn)180°時(shí)，G點(diǎn)返回B點(diǎn)，故點(diǎn)G的軌跡是弧BG長的2倍．易證弧BG所對圓心角為60°，∴，∴G點(diǎn)軌跡長為．【旋轉(zhuǎn)相似】2.（2019·河南）在中，，．點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)．連接，將線