高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)立體幾何的綜合問題

9.13立體幾何的綜合問題【教學(xué)目標(biāo)】1、初步駕馭“立幾”中“探究性”“發(fā)散性”等問題的解法2、提高立體幾何綜合運(yùn)用實(shí)力，能正確地分析出幾何體中基本元素與其相互關(guān)系，能對圖形進(jìn)行分解、組合和變形?！军c(diǎn)擊雙基】1.若Rt△ABC的斜邊BC在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)A在α外，則△ABC在α上的射影是A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.一條線段或一鈍角三角形解析：當(dāng)平面ABC⊥α?xí)r，為一條線段，結(jié)合選擇肢，知選D.答案：D2.長方體AC1的長、寬、高分別為3、2、1，從A到C1沿長方體的表面的最短距離為A.1+ B.2+ C.3 D.2解析：求表面上最短距離常把圖形展成平面圖形.答案：C3.設(shè)長方體的對角線長為4，過每個頂點(diǎn)的三條棱中總有兩條棱與對角線的夾角為60°，則長方體的體積是A.27 B.8 C.8 D.16解析：先求出長方體的兩條棱長為2、2，設(shè)第三條棱長為x，由22+22+x2=42x=2，∴V=2×2×2=8.答案：B4.棱長為a的正方體的各個頂點(diǎn)都在一個球面上，則這個球的體積是_____________.解析：易知球的直徑2R=a.所以R=a.所以V=R3=a3.答案：a35.已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），則△ABC的面積是_____________.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos〈，〉==，∴sinA=.∴S=||||sinA=··=.答案：【典例剖析】【例1】在直角坐標(biāo)系O—xyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0），=（0，0，1）.（1）求與的夾角α的大??；（2）設(shè)n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；（3）求OA與平面SBC的夾角；（4）求點(diǎn)O到平面SBC的距離；（5）求異面直線SC與OB間的距離.解：（1）如圖，=－=（2，0，－1），=+=（1，1，0），則||==，||==.cosα=cos〈，〉===，α=arccos.（2）∵n⊥平面SBC，（2）∵n⊥平面SBC，∴n⊥且n⊥，即n·=0.∵=（2，0，－1），=－=（1，－1，0），即n=（1，1，2）.∴∴2－q=0，p=1，即n=（1，1，2）.∴∴1－p=0.q=2，（3）OA與平面SBC所成的角θ和OA與平面SBC的法線所夾角互余，故可先求與n所成的角.=（0，1，0），||=1，|n|==.∴cos〈，n〉===，即〈，n〉=arccos.∴θ=－arccos.（4）點(diǎn)O到平面SBC的距離即為在n上的投影的肯定值，∴d=|·|==.（5）在異面直線SC、OB的公垂線方向上的投影的肯定值即為兩條異面直線間的距離，故先求與SC、OB均垂直的向量m.設(shè)m=（x，y，1），m⊥且m⊥，則m·=0，且m·=0.即∴ 2x－1=0，x=，即∴x+y=0，y=－.∴m=（，－，1），d′=|·|==.特殊提示借助于平面的法向量，可以求斜線與平面所成的角，求點(diǎn)到平面的距離，類似地可以求異面直線間的距離.本題選題的目的是復(fù)習(xí)如何求平面的法向量，以與如何由法向量求角、求距離.【例2】如圖，已知一個等腰三角形ABC的頂角B=120°，過AC的一個平面α與頂點(diǎn)B的距離為1，依據(jù)已知條件，你能求出AB在平面α上的射影AB1的長嗎假如不能，則須要增加什么條件，可以使AB1=2解：在條件“等腰△ABC的頂角B=120°”下，△ABC是不能唯一確定的，這樣線段AB1也是不能確定的，須要增加下列條件之一，可使AB1=2：①CB1=2；②CB=或AB=；③直線AB與平面α所成的角∠BAB1=arcsin；④∠ABB1=arctan2；⑤∠B1AC=arccos；⑥∠AB1C=π－arccos；⑦AC=；⑧B1到AC的距離為；⑨B到AC的距離為；⑩二面角B—AC—B1為arctan2等等.思索探討本題是一個開放型題目，做這類題的思維是逆向的，即若AB1=2，則能夠推出什么結(jié)果，再回過來考慮依據(jù)這一結(jié)果能否推出AB1=2.【例3】（2004年春季北京）如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求證：BC⊥SC；（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大??；（3）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.剖析：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本學(xué)問，考查空間想象實(shí)力、邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力.（1）證法一：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂線定理得BC⊥SC.證法二：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC.又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC.∴BC⊥SC.（2）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，∴可以把四棱錐S—ABCD補(bǔ)形為長方體A1B1C1S—ABCD，如上圖，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA1與面BCSA1所成的二面角，∵SC⊥BC，BC∥A1S，∴SC⊥A1S又SD⊥A1S，∴∠CSD為所求二面角的平面角.在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.∴∠CSD=45°，即面ASD與面BSC所成的二面角為45°.解法二：如下圖，過點(diǎn)S作直線l∥AD，∴l(xiāng)在面ASD上.∵底面ABCD為正方形，∴l(xiāng)∥AD∥BC.∴l(xiāng)在面BSC上.∴l(xiāng)為面ASD與面BSC的交線.∵SD⊥AD，BC⊥SC，∴l(xiāng)⊥SD，l⊥SC.∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法一）.（3）解法一：如上圖，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形.又M是斜邊SA的中點(diǎn)，∴DM⊥SA.∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂線定理得DM⊥SB.∴異面直線DM與SB所成的角為90°