高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章函數(shù)概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/?對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合8中

都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)-那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A?B以及A到8的對(duì)應(yīng)法則/)叫做集合

A到8的一個(gè)函數(shù)，記作/:A78?

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則?

③只有定義域相同?且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)?

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)出〃是兩個(gè)實(shí)數(shù)?且。，滿足aWxWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做出,切；滿足。<X<人

的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間,記做(。力)；滿足aWx<6，或a<xWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，

分別記做[a,b)?(a,切；滿足x>a,x>a,x<h,x<b的實(shí)數(shù)尤的集合分別記做

[a,+oo),(a,+co),(^>o,b],(^?,b)?

注意：對(duì)于集合｛x[a<x<b｝與區(qū)間(。力)?前者?？梢源笥诨虻扔凇?而后者必須

a<b-(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立)?

(3)求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)?

②/(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)?

③/(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合?

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)?底數(shù)須大于零且不等于1?

冗

⑤y=tanx中,xk^+—(keZ)?

⑥零(負(fù))指數(shù)鬲的底數(shù)不能為零?

⑦若/(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí),則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的

定義域的交集■

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題?一般步驟是：若已知/(X)的定義域?yàn)榛兀鋸?fù)合函數(shù)/[g(X)]的定

義域應(yīng)由不等式解出?

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)?求其定義域,根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論?

⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外?還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義?

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的?事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最

小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值?因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角

度不同?求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù),我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值?

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值

域或最值?

③判別式法若函數(shù)y=f(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2+伙y)x+c(y)=0

則在。(y)/0時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有A=/(y)-4a(y)-c(y)20，從而確定函數(shù)的值域或最

值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值?

⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的?三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三

角函數(shù)的最值問(wèn)題?

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值?

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值?

⑧函數(shù)的單調(diào)性法?

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法'圖象法三種?

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系?圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?

(6)映射的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/，對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合8中都有唯

一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A，6以及A到8的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到8的映射,

記作了:Af8?

②給定一個(gè)集合A到集合8的映射，且aeA/eB?如果元素”和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素匕叫

做元素。的象，元素。叫做元素b的原象?

(6)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)

的

定義圖象判定方法

性

質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義(1)利用定義

域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意(2)利用已知

函數(shù)的單調(diào)性

兩個(gè)自變量的值X1'x2,

當(dāng)時(shí)，都有

函數(shù)X1<x2(3)利用函數(shù)

的f(Xi)<f(x2)?那么就說(shuō)f(xj圖象(在某個(gè)區(qū)間

單調(diào)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是曙理圖

0

X,x,X

性零?象上升為

增)

(4)利用復(fù)合

函數(shù)

(1)利用定義

如果對(duì)于屬于定義(2)利用已知

域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意函數(shù)的單調(diào)性

兩個(gè)自變量的值Xi'X2?yy=f(x)(3)利用函數(shù)

當(dāng)Xi<X時(shí)，都有

2r,圖象(在某個(gè)區(qū)間

嶇1)?用2).’那么就說(shuō)0

Xx,x圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函象下降為減)

數(shù).(4)利用復(fù)合

函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增

函數(shù),減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)?

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)丁=/[g(x)]，令〃=g(x)，若y=/(〃)為增?〃=g(x)為增?則丁=/[g(x)]為增；

若y=/(?)為減,u-g(x)為減，則y=/[g(x)]為增；若y=/(?)為增?u-g(x)為減1則y=/[g(x)]

為減；若y=/(〃)為減,〃=g(x)為增?則y=/[g(X)]為減?

(7)打"V"函數(shù)/(x)=x+3(a>0)的圖象與性質(zhì)v|

X

/(X)分別在(-00,—'[6,+00)上為增函數(shù),分別加)-+

在[―JZ,o)、(o,JZ]上為減函數(shù)?

(8)最大(小)值定義

①一般地,設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)

數(shù)M滿足：(1)對(duì)于任意的XG/，都有;

(2)存在/e/,使得/(%)=M?那么，我們稱M

是函數(shù)/(盼的最大值，記作01ax(x)=M-

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?如果存在實(shí)數(shù)相滿足(1)對(duì)于任意的尤e/,都有/(x)之初；

(2)存在，使得f(x0)=m.那么，我們稱相是函數(shù)/(x)的最小值.記作人2**)=加-

(9)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)

的

定義圖象判定方法

性

質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)定(1)利用定義

義域內(nèi)任意一個(gè)X?都有(要先判斷定義域

V

(a.f(a))

f([x)=二f(x),那么函數(shù)是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

-a

oax

f(x)叫做學(xué)理數(shù)?稱)

(-a.f(-a))

(2)利用圖象

函數(shù)(圖象欠于原點(diǎn)對(duì)

的稱)

奇偶如果對(duì)于函數(shù)f(x)定(1)利用定義

性義域內(nèi)任意一個(gè)X?都有(要先判斷定義域

y

f(二x)=f(x),那么函數(shù)

(~a.f(-a)).(a.f(a))是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

f(x)叫做假函1數(shù)-

—aoa:稱)

(2)利用圖象

(圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱)

②若函數(shù)/(x)為奇函數(shù)?且在x=()處有定義,則/(0)=0?

③奇函數(shù)在〉軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在)，軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反?

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或

奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)?

第二章基本初等函數(shù)(I)

K2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)哥的運(yùn)算

(1)根式的概念

n

①如果x=a,aeR,xeR,n>\?B.n&N+?那么x叫做a的〃次方根?當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),。的n次方根

用符號(hào)標(biāo)表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)。的正的“次方根用符號(hào)后表示,負(fù)的〃次方根用符號(hào)-標(biāo)表示；0

的n次方根是0;負(fù)數(shù)。沒(méi)有n次方根?

②式子板叫做根式?這里〃叫做根指數(shù)?。叫做被開(kāi)方數(shù)?當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，。為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)〃為偶數(shù)

時(shí)，a>0?

③根式的性質(zhì)：(板)；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)?折=。；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，"=3|=1"°'°)?

-a(a<0)

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)熹的意義是：a';7=〃"(a〉0,〃?,〃eN+，且〃>l)?0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲等于0?

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的意義是：/^=(-)"=>0,m,〃eM，且〃>1)0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲

aYa

沒(méi)有意義?注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)?指數(shù)取相反數(shù)?

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)帚的運(yùn)算性質(zhì)

①ar-a'-ar+s(a>0,r,se7?)②(a')‘=ars(a>0,r,seR)

③(ab)r=arbr{a>0,b>0,re7?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=優(yōu)①>0且。/1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>l0<。<1

J7\j=?x|y

y=l\l(o,i)

(o,ij]J

X

圖象

定義域R

值域(0,+00)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x=0時(shí)*y=1?

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

a'>1(x>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的

x

優(yōu)=1(%=0)a=\(x=0)

變化情況a'<1(x<0)ax>1(x<0)

。變化對(duì)圖象的

在第一象限內(nèi),。越大圖象越高;在第二象限內(nèi),a越大圖象越低?

影響

K2.2J對(duì)數(shù)函數(shù)

[2.2.1]對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若優(yōu)=N(a>0,且a*1)?則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)?記作x=log?N,其中。叫做底數(shù)，N叫做

真數(shù)?

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)?

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log?Noa*=N(“>0,a工1,N〉0)?

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

log“1=0，log“a-\"log?ab=b-

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù):IgN?即logioN;自然對(duì)數(shù)：InN,即logeN(其中e=2.71828...)?

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果>0,N>0?那么

M

①加法：log“M+loguN=log"(MN)②減法：log“M-log。N=loga—

③數(shù)乘："logaM=log"""(〃eR)⑥/小=N

⑤log“M”=21og“MSN0,〃eR)⑥換底公式：log“N=哆”(b>0,且。工1)

"blog"a

[2.2.2]對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=logflx(a>0且aH1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a>\0<Q<1

X=1IX=1

y=logaXyy=iog?*

二(1,0)

11L7(1,0)x07

定義域(0,+8)

值域R

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，)，=()?

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

lognx>0(x>l)logax<0(x>l)

函數(shù)值的

log(,x=0(x=l)log((x=0(x=l)

變化情況

logflx<0(0<x<l)log?x>0(0<x<l)

。變化對(duì)圖象的

在第一象限內(nèi)，。越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高?

影響

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，從式子y=/(x)中解出x，得式子x=e(y)?如果對(duì)于y在

C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=e(y)，犬在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),那么式子x=°(y)表示x是y

的函數(shù)，函數(shù)x=e(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù),記作x=r'(y)?習(xí)慣上改寫(xiě)成y=f-\x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出》=r'(y);

③將尤=--(y)改寫(xiě)成y=f-\x).并注明反函數(shù)的定義域?

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù),=與反函數(shù)^=/T(X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱?

②函數(shù)y=/(x)的定義域'值域分別是其反函數(shù)？=/T(X)的值域、定義域?

③若P(a,b)在原函數(shù)＞=/(x)的圖象上，則P'S,a)在反函數(shù)＞=/T(X)的圖象上?

④一般地?函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)?

[2.33哥函數(shù)

(1)鬲函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做鬲函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù)?

(3)鬲函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：鬲函數(shù)圖象分布在第一'二、三象限，第四象限無(wú)圖象?鬲函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、

二象限(圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí),圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，

圖象只分布在第一象限?

②過(guò)定點(diǎn)：所有的鬲函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)-

③單調(diào)性：如果a>()，則鬲函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)?并且在［0,+8)上為增函數(shù)?如果。<()，則鬲函數(shù)的圖

象在(0,+8)上為減函數(shù),在第一象限內(nèi),圖象無(wú)限接近x軸與y軸?

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí),鬲函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)?鬲函數(shù)為偶函數(shù)?當(dāng)■(其中p,q互質(zhì)，

P

幺1

p和qeZ)，若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)?則y=x"是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí),則y=是偶函數(shù)，若p

旦

為偶數(shù)4為奇數(shù)時(shí)，則y=x0是非奇非偶函數(shù)?

⑤圖象特征：募函數(shù)？=無(wú)"，尤e(0,+oo)?當(dāng)a>l時(shí)，若0<x<l?其圖象在直線y=x下方,若尤>1?

其圖象在直線y=%上方,當(dāng)a<l時(shí)，若0<x<l，其圖象在直線y=x上方，若x>l，其圖象在直線丁=%下

方.

K補(bǔ)充知識(shí)1二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：f(x)-ax2+hx+c(a^O)②頂點(diǎn)式：/(x)=a(x-A)2+k(a0)③兩根式：

/(x)=a(x-x)(尤一工2)(。/0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)?宜用一般式?

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí),常使用頂點(diǎn)式?

③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/(x)更方便?

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/(x)=o?+法+c(QW0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為工二一二，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

b4ac-b2

，--7----),

2a4。

hhb

②當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(一00,-3］上遞減，在［-二,+00)上遞增，當(dāng)工=-2時(shí)，

2。2。2a

4cic—h~hhh

fminM=--------;當(dāng)。＜0時(shí)拋物線開(kāi)口向下,函數(shù)在(-%上遞增,在［_j_,+oo)上遞減,當(dāng)工二一2

4(72a2a2a

i4ac-b2

時(shí),/max(X)=-------

4a

③二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(a0)當(dāng)△=〃一4ac＞0時(shí)?圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

石

M(再,0),A/2⑸0),|MMHX|-xJ=—?

\a\

(4)一元二次方程or?+bx+c=O(awO)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容?這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)

和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用,下面結(jié)合二次

函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布?

設(shè)一元二次方程G?+bx+C=0(aNO)的兩實(shí)根為玉,%2，且玉4工2?令/(X)=4一+”x+C，從以下

b

四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題：①開(kāi)口方向:a②對(duì)稱軸位置：犬二-二③判別式：△④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)-

2a

?k<xr<x2<=>

②X1?X2<k<=>

③Ai<k<X2oa代a<0

④k\<X\&X2<ka。

⑤有且僅有一個(gè)根依（或歪）滿足心＜再（或熱）＜o(jì)人后）/（商）＜并同時(shí)考慮我!）=

k20,0

或4篇）=0這兩種情況是否也符合

⑥k\<X1<k20pi<X2<Pl<=>

此結(jié)論可直接由⑤推出?

(5)二次函數(shù)fOOnaf+bx+cmHO)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值為M,最小值為機(jī),令Xo=］(P+4)?

(I)當(dāng)a〉()時(shí)(開(kāi)口向上)

①若一"—<p?則m=/(p)②若p<一~—<q,則機(jī)=/(一~—)③若一~—>q，則加=/(<?)

(□)當(dāng)a<0時(shí)(開(kāi)口向下)

hhhh

①若——<p?則M=/(p)②若——<q.則M=/(——)③若——>q,則M=/(q)

2a2a2a2a

第三章函數(shù)的應(yīng)用

-,方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1'函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xw。)，把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

y=f(x)(xeD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(幻=0實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)y=/(x)的圖象

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根O函數(shù))，=/(X)的圖象與A-軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)?

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函

數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)?

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ox?+bx+c(a20)?

1)△>0，方程“V+bx+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有

兩個(gè)零點(diǎn)?

2)△=0，方程辦2+云+。=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與％軸有一個(gè)交點(diǎn)，

二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)?

3)△<0?方程，江2+匕4+。=0無(wú)實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn),二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)?

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)

第一章三角函數(shù)

1、角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a為第幾象限角?

第一象限角的集合為{司h360<a<H360+90,ZeZ}

第二象限角的集合為{a|h360+90<H360+180?ez}

第三象限角的集合為{a|h360+180<a<H360+270,ZwZ}

第四象限角的集合為{句％?360+270<a<k-360+360,ZeZ}

終邊在x軸上的角的集合為{a|a=h180次wZ}

終邊在y軸上的角的集合為{￡,=公180+90,zwZ}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{a|a=h90MeZ}

2、與角a終邊相同的角的集合為炳尸=匕360+a,ZwZ}

3、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度?

4*半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為/，則角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|a|=」?

r

5、弧度制與角度制的換算公式：2?=360-1=—11=|―]?57.3?

180\71)

6、若扇形的圓心角為a(a為弧度制),半徑為r，弧長(zhǎng)為/,周長(zhǎng)為C,面積為S，則/="閡,C=2r+/,

S=-lr=—\a\r2■

2211

7、設(shè)a是一個(gè)任意大小的角，a的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與原點(diǎn)

的距離是r(r=Jd+y>0),則sina=??cos(z=—?tan(z=—(x^0)-

8'三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正,第二象限正弦為正，第三象限正切為正，

第四象限余弦為正。

9、三角函數(shù)線：sina=MP，cosa=OM，tana=ATo

10.三角函數(shù)的基本關(guān)系：(l)sin26Z4-cos2?=1(sin2a=1-cos2or,cos2a=l-sin2;

/c\Sina(.sina),「、

(2)------=tanasma=tanacosa,cosa=--------.(3)倒數(shù)關(guān)條：tanacota=4l

cosa\tanaJ

11、國(guó)數(shù)的誘導(dǎo)公式：

（1）sin（2kji+）=sin‘cos（2^+a）=cosa,tan（2左"+o）=tana（kcZ）?

（2）sin（^+（2）=-sin<2,cos（;r+a）=-cosa?tan（〃+a）=tana-

（3）sin（-cr）=-sin6z,cos（-a）=cosa,tan（-?）=-tancr?

（4）sin（萬(wàn)一a）=sina‘cos（"一a）=-cosa?tan（"一a）=—tana?

口訣：函數(shù)名稱不變,符號(hào)看象限-

（5）sin[]-a）=cosa?cos（5-a）=sina?（6）sin（]+a）=cosa,cos[^+a）=-sina?

口訣：正弦與余弦互換?符號(hào)看象限?

12、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移時(shí)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)）=5由（x+0）的圖象；再將函數(shù)

y=sin（x+e）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的,倍（縱坐標(biāo)不變）,得到函數(shù)y=sin（a）x+0）

的圖象；再將函數(shù)y=sin（ox+e）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）?得到

函數(shù)y=Asin（〃zx+°）的圖象.

②數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的,倍（縱坐標(biāo)不變）?得到函數(shù)

CO

\（f\

y=sins的圖象；再將函數(shù)丁=3115的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移匕個(gè)單位長(zhǎng)度?得到函數(shù)

co

y=sin（s+9）的圖象；再將函數(shù)y=sin（5+°）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的A倍（橫

坐標(biāo)不變）?得到函數(shù)），=Asin（〃zr+0）的圖象?

13、函數(shù)y=Asin（◎x+0）（A>O,0>O）的性質(zhì):

①振幅：A;②周期：T=至；③頻率：/=—=—;④相位：cox+（p;⑤初相：（p-

CDT271

函數(shù)y=Asin（5+e）+B，當(dāng)尤二不時(shí)，取得最小值為八出；當(dāng)工=%時(shí)，取得最大值為乂叱，則

1]T

A；

=2（^max-Jn1in）B='（）'1rax+ymin）',=々一X（尤1<4），

14、正弦函數(shù)'余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):

?^J=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

函數(shù)；在(keZ)上是減函

冗宴

2k兀H—,2k兀-I

_22_

(ZcZ)上是減

函數(shù)?

對(duì)稱中心對(duì)稱中心

對(duì)稱中心對(duì)稱中心

(—0)(%EZ)f^+pO^eZ)

對(duì)稱

(當(dāng)可(%eZ)°)(*eZ)

對(duì)稱軸

性

對(duì)稱軸

%=+左GZ)無(wú)對(duì)稱軸無(wú)對(duì)稱軸

x=k?i(keZ)

第三章三角恒等變換

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

(1)cos^a-/3^=cosacos+sin6Zsin/?;0cos(a+〃)=cosocos〃-sinasin/?;

(3)sin(a-7?)=sinacos〃-cosasin/?;(4)sin(6r+/?)=sincifcos^+cos6zsin^;

(5)tan(a—/?)=:::0_n(tana_tan/=tan(a_,)(l+tanatan/?));

(6)tan(a+/7)=：a；a+；n夕=(twa+tan/utanla+Q/l-tanatan/?))?

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

(1)sin2a=2sinfzcosa?=>1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)2

⑵cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin%

一升鬲公式1+cosa=2cos2—,l-cos6Z=2sin2—

22

cosla+11-cos2a

二＞降鬲公式cos?asin2a=

22

3、合一變形n把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為〃一個(gè)三角函數(shù),一個(gè)角，一次方〃的y=Asin(6+0)+8

I------B

形式。Asina+Bcosa=JA?+B?sin(a+0)?其中tanQ=1?

數(shù)學(xué)選修2-2

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一.導(dǎo)數(shù)概念的引入

1.導(dǎo)數(shù)的物理意義：

瞬時(shí)速率，一般的函數(shù)y=/(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是［im/(X。+.)-/(%).

Ax

我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=/處的導(dǎo)數(shù)，記作/'(%)或yiv_v?即/'(X。)=iim/(%+&)-/(%)

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

曲線的切線.通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)%趨近于P時(shí),直線PT與曲線相切。容易知道，割線尸《的斜率

是&_/U?)-/(Xp).當(dāng)點(diǎn)匕趨近于P時(shí)?函數(shù)y=/(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k,即

…m羽2*2

AXTO人>-〃——人Y。

3.導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)X變化時(shí),/'(X)便是X的一個(gè)函數(shù),我們稱它為/(x)的導(dǎo)函數(shù).y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)有

時(shí)也記作y',即

八x)=lim〃".寸⑴

A—0Ax

二.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

1若/(x)=c(C為常數(shù))，則/V)=0；2若f(x)=x\則八x)=ax?T；

3若/(x)=sinx,則/'(x)=cosx4若/(x)=cosx,貝U(x)=-sinx

5若/(X)=a',則f\x)=a'Ina6若f(x)=e*,則f，(x)=e*

7若〃x)=log；則r(x)=_!-8若f{x}=Inx,則f\x)=-

x\na

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1.L/'(x)±g(x)]，=r(x)±g，(x)2."(x)?g(x)]'=/'(x)?g(x)+f(x)?g'(x)

3[f(x)],=八x)?g(x)-，(x)?g，(x)

g(x)[g(x)『

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)y=/3)和〃=g(x),稱則y可以表示成為X的函數(shù)，即y=/(g(x))為一個(gè)復(fù)合函數(shù)

y'=/'(g(x))?g'(x)

三.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：

一般的，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間(“出內(nèi)

(1)如果人為>0>那么函數(shù)y=〃x)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果f'M<()■那么函數(shù)y=〃x)在這個(gè)區(qū)間單

調(diào)遞減.

2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.

求函數(shù)),=/*)的極值的方法是：(1)如果在附近的左側(cè)//)>0,右側(cè)ra)<o,那么/(%)是極大值(2)

如果在與附近的左側(cè)廣(x)<o,右根ur(x)>o,那么/島)是極小值；

4.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)y=f(X)在[“向上的最大值與最小值的步驟：

Q)求函數(shù)y=/(X)在(“㈤內(nèi)的極值；

(2)將函數(shù))，=/")的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/(〃)，/伽比較,其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值.

附：高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論.

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x,-x2e[。/]玉Wx2那么

(西一9)"(X)-/(&)]>°o>o=/(x)在上是增函數(shù)；

X\~X2

/)/(?)

(x,-x2)[/(A,)-/(x2)]<0<=>^--<0o/(x)在[a,"上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).如果/'(x)>0?則/(x)為增函數(shù);如果/'(x)<0.則/(X)為減

函數(shù).

2.如果函數(shù)/(X)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)

y=/(〃)和u=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]是增函數(shù).

3?奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái),如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那

么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)?

4.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則f(x+a)^f(-x-a);若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù),則

f(x+a)^f[-x+a).

5.對(duì)于函數(shù)y=/(%)(xe/?),f(x+a)=f(b-x)恒成立，則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)x=;兩個(gè)函

數(shù)y=/(x+⑶與y=/3一幻的圖象關(guān)于直線x=V2對(duì)稱.

6.若/(x)=—/(—x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓,0)對(duì)稱；若/(x)=—/(x+a),則函數(shù)

y=/a)為周期為2a的周期函數(shù).

n

7?多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=anx+a^x'-'++4的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函