簡(jiǎn)單的三角恒等變換（重點(diǎn)）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)（解析版）

考向13簡(jiǎn)單的三角恒等變換

1.【2022年新高考2卷第6題】角以夕滿足sin(a+/?)+cos(a+￡)=20cos(a+X)sin￡,則

4

A.lan(a+〃)=lB.tan(a+〃)=-l

C.tan(a—4)=1D.tan(cr-/?)=-1

【答案】D

7

【解析】解法一：設(shè)/?=0則sina+cosa=0,取。排除A,C；

再取&=0則sin夕+cos/7=2sin/7,取夕=(,排除B；選D.

解法二：由sin(a+/7)+cos(a+/7)=及sin(a+￡+馬=V2sin[(a+馬+〃]

44

=\/2sin(?+工)cos月+&cos(a+工)sinp,

44

故V2sin(a+—)cosp=V5cos(cr+—)sin0,

44

jrjrjr

故sin(a+—)cosB-cos(a+—)sin4=0,即sin(a+----/)=0，

444

故sin(a-/7+()=,sin(a一6)+孝cos(a-/7)=0,

故sin(a-/?)=-cos(a-p),故tan(a-/?)=-1.故選D.

2.【2022年北京卷第5題】已知函數(shù)/（x）=cos2Asii?3,則

（A）f{x）在（g-a上單調(diào)遞減（B）/（x）在（~,臺(tái)上單調(diào)遞增

（C）/3）在（0,§上單調(diào)遞減（D）“X）在（（，卷）上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】因?yàn)?（x）=cos2x-sin2%=cos2x.

jrjrjrIJTJT|

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)一々<x<—上時(shí)，一萬<2x<—=,則/（x）在一彳,一丁上單調(diào)遞增，A錯(cuò);

263\26J

4TC-^-<2x<^,則/（X）在（一％",內(nèi)J上不單調(diào)，B錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)——<x<一時(shí),

412

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<g時(shí)，0<2x<^,則/（X）在;o,g）上單調(diào)遞減，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)4<%<石■時(shí)，—<2x<>則/（x）在上不單調(diào)，D錯(cuò).

故選：C.

3.【2022年浙江卷第13題】若3sina-cos￡=Jid,a+￡=],則sinc=,cos2尸二

【答案】粕

【解析】由題3sina—cos/?=Ji6,a+/?=],所以3sina-cosa=JT5，解得sina=B^^

,4

所以（：052〃=（：05（兀一加）=一（：052。=l-2cosa=—

1.三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略

（1）使用兩角和、差及倍角公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律.例如兩角

差的余弦公式可簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反.”

（2）使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.

2.三角函數(shù)公式活用技巧

①逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；

②tanatan夕，tan<x+tan伙或tana—tan夕），tan（a+夕）（或tan（a一夕））三者中可以知二求一，

注意公式的正用、逆用和變形使用.

3.三角函數(shù)公式逆用和變形使用應(yīng)注意的問題

①公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系；

②注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)上1，坐，小等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊

角，把“值變角”以便構(gòu)造適合公式的形式.

4.三角公式求值中變角的解題思路

①當(dāng)“己知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角''一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；

②當(dāng)“已知角''有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角''與“已知角''的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)

公式把“所求角''變成"已知角

5.三角函數(shù)名的變換技巧

明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切,

或者把正切化為正弦、余弦.

常用結(jié)論

1.降幕公式：cos2?=1+c^S2（Z.1-cos2a

sin0a=-----2-----

2.升幕公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a

3.tana±tantan(cc±y?)(1+tanatanB)，

1+sin2a=(sina+cosa)2,

1-sin2a=(sina-cosa)2,

sina±cosa=/sin(a土野.

4.輔助角公式

asinx+/?cosx=yja1+b2sin(x+。)，其中tan9=g.

------------------------

1.明確二倍角是相對(duì)的，如：提京的2倍，3a是手的2倍.

2.解題時(shí)注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.

3.運(yùn)用公式時(shí)要注意公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升暴、降暴

的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變形.

4.在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值.特別是在（0,兀）內(nèi)，正弦值對(duì)應(yīng)的角不

唯一.

)

D坐

【答案】C

1-cos(2。一11-cos(2a+W

?1it

【解析】原式=sin2za=1-2'[cos^2a—^j+cos(2a+^j]—sin\2a1

2223.

兀cos2a1-cos2a1

=1—cos2acossin2a=1

222-

3

2.已知sina=g,a4，兀,tan（7t則tan（a一夕）的值為（）

2An

A.ITBR11D.I

【答案】A

3唱“.I-----------4

【解析】因?yàn)閟ina=5.a所以cosa=1—sin2a=一亍

rrtusina3

所以tana=------

cosa4,

因?yàn)閠an（L』）=g=-tanQ，所以ta”=一今

tana—tan夕2

則tan(a—Q)=

1+tanatan[iIT,

-

3.已矢口小sina+cosa=半，貝(Icos^-y2(xj=()

77

-88

---c--a-

A.18B.899

【答案】c

【解析】由小sina+cosa=當(dāng)

3，

一]=一號(hào).故選C.

y

4.若也安2,=/sin20,則sin2，=()

c4M

1c2c2rl

A.§B.§C.—QD.—q

【答案】C

_.?,._2(cos20—sin2^)

【解析r】由題意知-----7~r-7—=V3rsin26,

cos61—sinf)v

所以2(cos8+sin。)=小sin20,

則4(1+sin26)=3sin226,

解得sin20=—,或sin2。=2(舍去).

5.(多選)下列各式的值等于竽的是()

A.2sin67.5°cos67.5°B.2cos2y1-1

2tan22.5°

C.l-2sin215°D.

1—tan222.5°

【答案】BC

、歷7T7T、八

【解析】選項(xiàng)A,2sin67.5飛0$67.5o=sin135。=/-.選項(xiàng)B,2cos令-l=cos工=與.選項(xiàng)

212oZ

C,1—2sin215°=cos30°=坐.選項(xiàng)D,1R；L50=3n450=1.故選BC.

6.(多選)下列四個(gè)命題中是真命題的是()

A.3x^R,sin2^+cos2^=^

B.3x,yWR,sin(x—y)=sinx-siny

/1—ccq

C.Vxe[0,兀]，—彳—=sinx

D.sinx=cosy=>x+y=^

【答案】BC

【解析】?因?yàn)閟in^+cos^ng,所以A為假命題；當(dāng)x=y=0時(shí)，sin(x—y)=sin%—sin

y,所以B為真命題；因?yàn)閥jl-c）2.x=寸一（l,2sm2x）;卜由x|二sinx,xW［O,兀］,

所以C為真命題；當(dāng)兀=方，y=2?i時(shí)，sinx=cosy,但x+）吟所以D為假命題.故選BC.

7.求4$吊20。+121120。的值為.

【答案】小

【解析】原式=4sin2（r+興黑

2sin400+sin20。2sin（60。-20。）+sin20。

cos20°-cos20°

小cos20。-Sin200+sin20°廠

=cos20°3.

8.若cosa=-a是第三象限的角，則sin（a+^）=.

【答案】一嗜

【解析】因?yàn)閍是第三象限角，所以sina=-cos2a=—|,所以sin（a+：）=-孚+（一之

V2_7^/2

x2~10,

53

9.已知a,夕都是銳角，cos（a+夕）=R,sin（a一夕）=亍則cos2a=.

【答案】一黑

OJ

【解析】因?yàn)閍,4都是銳角，所以0<a+夕<無，一梟/一夕專

53124

又因?yàn)閏os（a+S）=w，sin（a一份=亍所以sin（a+夕）=石，cos（a—尸）=亍則

cos2a=cos［（a+￡）+（a-￡）］=cos（a+4）cos（a一丑）一sin（a+￡）sin（a—￡）=卷*］—一居.

「乙4「3兀一~|_sin（a+￡）,

已知，,兀，右-----n則（夕）=_______.

10.sina=—，wL乙V2_|cusp7----=2,tana+

【答案】4

4

【解析】因?yàn)閟ina=—g,?！炅?，2兀，所以cos

sin(a+￡)?八

又因?yàn)閏os。=2，所以sin(a+A)=2cos[(a+￡)—a].

展開并整理，得，cos(a+0=*in(a+.),所以tan(a+￡)=+.

一、單選題

1.（2022?廣西桂林.模擬預(yù)測(cè)（文））若sin（＞a）=；則sin信-2a)=(

)

D.-

3

【答案】C

【解析】令。=＞?？傻胊=。-5故smog則

sin(^^-2a)=sin(K-2(〃-1))=sin-20^=cos2^=1-2sin2

故選：C

2.（2022?廣東汕頭?二模）若；lsinl60+tan20=瓜則實(shí)數(shù)幾的值為（）

A.4B.473C.2石D.竽

【答案】A

_-—tan20_括cos20-sin20_2?n60cos20-cos60sin20)

【解析】由已知可得一sin(180-20sin20cos20一一4.。

2

4sin40.

=----------=4.

sin40

故選：A.

3.(2022?湖北武漢?二模)設(shè)sin32=k,則tanl6+—!—=()

tan16

21

A.-B.-C.2kD.k

kk

【答案】A

…七匚1sin16°cos16°sin216°+cos216°=-；--——2

【解析】tanl6o+--------=----------+---------=------------------------1.”。=一.

tan16°cos16°sin16°sin16°cos16°]Sin32k

故選：A.

4.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知不等式sinxcosx—852%+3+，*20（加￡11）對(duì)

TT7T

Vxe恒成立，則機(jī)的最小值為（）

43

A.6+也B.1C.-紅D.

4222

【答案】D

-cos2X+；+機(jī)20（〃2€R）對(duì)Vxw兀7t

【解析】因?yàn)椴坏仁絪inxcosx-一了5_恒成立,

所以不等式一加（—sin（2x-工］對(duì)Wxw恒成立,

2I4）1_43」

./、兀

令〃力J=2半出（儼-/因?yàn)閤e卜7了17t所以-L勿-彳十3彳45右4,

則sin（2x-9）=-1,所以y（x）*=-變，所以一拼4一受，解得〃此也,

V4/minm，n222

所以機(jī)的最小值為正，

2

故選：D

1a

3，a、1_‘a(chǎn)n-

5.（2022.福建省福州第一中學(xué)三模）若sina=-；,且ae卜,斗，則------2=（）

5\2J1a

J1+tan—

2

A.=B.—C.2D.—2

22

【答案】D

A.aa

2sin—cos—2tan-

aa33

【解析】sina=2sin—cos—=--,故222

.）a292a[

225sin--+costan—+15

2''22

可解得tan￡=-；或ta吟=-3,又ae,引，故tan§=-3,故-----^-=-2,

+tan，

故選：D

6.（2022?河南?長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)sin20°（6+tan50°）=/w,8cos200cos400cos800=n,

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)尸（一八〃）為角a終邊上任意一點(diǎn)，則g（x）=sin（2x-a）的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

A，B.苧C.(一肛o)D.(0,0)

【答案】A

【解析】根據(jù)己知得到,

sin20°(sin500+73cos500)

sin20°(x/3+tan50°)=

cos50°

2sin20°sin(50°+60°)2sin20°cos20°sin40°

cos50°sin40°sin40°

所以帆=1,又因?yàn)?/p>

cos20cos40cos80=----------x2sin20cos20cos40cos80

2sin20

=—!——xsin40°cos40°cos80°=——1——x-sin80°cos80°

2sin2002sin2002

1、工」疝16。。=加空sin20°

2sin200228sin20°-8sin20o-8,

所以〃=1,所以點(diǎn)尸(-1,1).不妨取a=-竽，所以g(x)=sin(2x+?1令2》+午=豌，kcZ,

5TTk九(54k九?

x----------1--,-----keZ,所以對(duì)稱中心為［——I,(ZeZ),

82

函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是卜軍，。

當(dāng)女=0時(shí),

故選：A

7.（2021?上海虹口?二模）在平面上，已知定點(diǎn)A（0,O）,動(dòng)點(diǎn)P（sina,cos（z）.當(dāng)a在區(qū)間K上變化

時(shí)，動(dòng)線段AP所形成圖形的面積為（）

A.RB.6JCI乃

D.7

【答案】D

【解析】因?yàn)閟ii?a+cos2a=1,所以點(diǎn)尸（sina,cosa）在單位圓Y+）/=］上,

由于sina=coscosa=sin--a

u

7T九.7T冗37r

ae則m一ae

7'T

記點(diǎn)B-c]￥，孝，所以，點(diǎn)戶的軌跡是劣弧C8，

\/\/

所以，動(dòng)線段AP所形成圖形為陰影部分區(qū)域，

因?yàn)镾&WC=$△(W，因此，陰影部分區(qū)域的面積為S=s扇形08c=；乃'/=；萬.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查動(dòng)線段運(yùn)動(dòng)軌跡圖形的面積，解題的關(guān)鍵在于確定動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡圖形，數(shù)形

結(jié)合求出圖形的面積.

8.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))已知q,beR,設(shè)函數(shù)工(x)=cos2x,f2(x)=a-bcosx,若當(dāng)工(x)4加x)對(duì)

〃](“<”)恒成立時(shí)，的最大值為三,則()

A.a>yfl-\B.a<41-\C.b>2-^2D.h<2-y/2

【答案】A

【解析】設(shè)，=。。5入，xe[m,n],因?yàn)榈淖畲笾禐榕c>兀=《，所以xe[見用時(shí)，f=cosx必取到最值，

當(dāng)“-%=當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦函數(shù)對(duì)稱性得cos”空=

2=2kit,kJZ,

1=右>

22

一

,m+nn-m13兀、3兀2

cosm=cos(-----------)x=COS(2KK---)=cos—=-

尤

2244一

jn+nn-m3兀、37r2

cosn=cos(----+----)x=COS(2ATI+—)=cos—=-

2244

t業(yè)m+nm+n,,,ni+nn-m、3兀、3兀血

或者COS---=-1=>--—=兀+24兀，KGZ,U七時(shí)COS777=cos(----------)=cos(2E+兀)=-cos—=——

2222442

m+nn-m、小，3兀、3兀J2

cosn=cos(7----+----)=cos(2E+兀+——)=-cos——二——

22442

由工(x)4力(x)=>2cos2x—\<a-bcosx=2cos2x+Z?cosx-(l+a)〈O,

設(shè)/nCOSX,xw[〃2,川時(shí)2『+初一(1+4)40對(duì)應(yīng)解為<，2，

由上分析可知

當(dāng)L乎，日或—1,“告時(shí)，滿足〃一機(jī)的最大值為

所以秘4-立，即所以“2夜一L

12222

-1=r,+L21-孝或一g=f|+r2<-1+-^.即正一2或。22-夜，

故選：A.

二、多選題

V-

9.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=2-3cos3，則下列說法正確的有（）

A.函數(shù)的最大值為2

B.函數(shù)〃x）在區(qū)間一手藝上單調(diào)遞增

C.函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為（兀,；）

D.將函數(shù)〃x）的圖像向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g（3sinx+l）的圖像

【答案】AD

八丫aa1

【解析】/（x）=2-3cos2—=2--（COSX4-1）=--COSX+—,

所以函數(shù)/（X）的最大值為2,所以A選項(xiàng)正確.

因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx在區(qū)間-三27r~,-i之r上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/（X）在一工27r~,一TT臺(tái)上單調(diào)遞減，所以B選項(xiàng)不

正確.

當(dāng)X=7t時(shí)，〃兀）=2,所以X=兀為對(duì)稱軸，所以C選項(xiàng)不正確.

函數(shù)/（X）的圖像向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)丫=-|。。5[犬+5]+!=:（3$指、+1）的圖像，所以D選項(xiàng)

正確.

故選：AD.

。3（^.山東肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)響量力⑶…,詢力+而磴+?8箋，G>0,函

數(shù)于（4=a,b,則下述結(jié)論正確的有（

A.若/5）的圖像關(guān)于直線x=：對(duì)稱，則3可能為3

周期T="時(shí)，則/（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（青,0）

B.對(duì)稱

IT3

C.若/⑴的圖像向左平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度后得到一個(gè)偶函數(shù)，則。的最小值為

27r7t（33

D.若/（*）在一二,二上單調(diào)遞增，則0，彳

5OI22

【答案】ACD

COX7112CDX1.1(71t+gCOSGX?(1+coscox)

【解析】/(x)=sintyx-sin2——+—+costyxcos——=—sin^yx-1-coscox+—

24)222

1.(1+sins:)+；cos5(l+COSGX)=；(sins+cos711

=—s\na)x8)+9拳sin|(DX+—|+—,

24

對(duì)于A選項(xiàng)，若Ax）的圖像關(guān)于直線x=5對(duì)稱，則^0+?=+|^eZ）,所以。=2k+g,（后eZ）,當(dāng)&=0

時(shí);。=；，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)丁=%=紅，則。=2,令2%+工=&萬（％eZ）,x=--—^keZ）,當(dāng)％=1時(shí)，x=—,所

694288

以/（X）關(guān)于H，；）對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，若f（x）的圖像向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

71711

CDX+—CD+—+-

342

7T"7TTT33

所以2④+^乂）+］（ZeZ）,0=3A+z（%eZ）,又（y>0,所以勿故C正確;

-_15

n___/2乃萬、開乙芯、5兀?一o

7JTJT-.ft）+—-—?2——QJ

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在-三,二上遞增，所以25,丁4n:nO<04\,故D正確.

L56」京右

「一2

故選：ACD.

三、填空題

11.（2022.黑龍江.雞東縣第二中學(xué)二模）已知網(wǎng)泊卜;，則cos管的值為

【答案】

【解析】因?yàn)閏os（f+a]=:，

故答案為：.

12.（2021?江西九江,二模（文））費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形

三個(gè)內(nèi)角都小于y時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為符.己知點(diǎn)P為,A8C的費(fèi)馬點(diǎn),

角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若cosA=2sin（C-'■卜osB,且。2=（“-C）2+6,則

E4?P8+P8?PC+如?PC的值為.

【答案】6

【分析】化簡(jiǎn)8$4=25吊.￡|期8求得8=（,結(jié)合余弦定理以及從=（…『+6求得吟利用三角形

的面積列方程，化簡(jiǎn)求得R4-PB+PB-PC+P4PC

【詳解】YcosA=2sin（C-*os8,

]、

/.cosA=2-^-sinC——cosCcosB,§|JcosA=-73sinCcosB-cosCcosB>

???A+8+C=4,

/.cosA=—cos(B+C)=—cosBcosC+sinBsinC,

*?--cos8cosc+sinBsinC=>/3sinCcosB-cosCcosB,即sin8sinC=GsinCeosB,

VsinC^O,tanB=^I^=5

cos8

VBe(O,^),:.B=g

由余弦定理知，cosB=

2ac2

Vfo2=(a-c)2+6,

??cic=6,

?'.SABC=—PA,PBsin----1—PB-PCsin-----1—PA-PCsin—=—acsinB——x6xsin—=-,

2323232232

，PAPB+PBPC+PAPC=6.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】三角恒等變換是化簡(jiǎn)已知條件常用的方法，在解決與三角形有關(guān)的問題時(shí)，要注意結(jié)合余弦定理、

正弦定理、三角形的面積公式.

國(guó)哈-撲啥啥

13.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知=<a<二4sina4si+la=5則

【答案】

【解析】由題知6sin(c-g)+cos^|-a)=--------,貝！］石sin(a-?)+cos(a-g限°s導(dǎo)si哈

..7T71

4SII1154sincos

1515

2sinf--—c.2)2TT

2sincos

——垣_@2,即2sin7V

即2sin”會(huì)方a------一即

-.2461

2sin—sin——

1515

.(乃12兀.(兀.1Umil71WTT_._p.7TUTT

sina——=cos——=sin---------=sin——,則a——=——+2ATT或a——+——=4+224keZ.因?yàn)?/p>

I6；15U15J30J630630

2＜。＜尋，所以0va—￡＜g,所以二一/二培，解得0=號(hào).

636263015

QJJ.

故答案為：—

14.（2021?廣東深圳?二模）著名的費(fèi)馬問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾德費(fèi)馬（1601-1665）于1643年提出的平面

幾何極值問題：“己知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小費(fèi)馬問題中的

所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí),

則使得NAP3=NBPC=NCR4=120。的點(diǎn)尸即為費(fèi)馬點(diǎn).已知點(diǎn)尸為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且ACL5C,若

\PA\+\PB\=A\PC\,則實(shí)數(shù)4的最小值為

【答案】2G+2

【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)尸為.ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。,

所以ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,

設(shè)NPQ3=a,

所以在8c尸和ZVIC尸中，ZCBP=--a,ZACP=--aZCAP=--ZACP=a--且均為銳角,

32y36f

7171

所以aw

7,T

PC

因?yàn)閨PA|+|P5|=?PC|

所以2=

=------—-l=——-R—1,

.Vr32sm2a-\/3

sinacosa----

4

因?yàn)樗约酉x片)，所以2sin2a-6W(0,2-G],

所以———『―ier2V3+2,+oo)

2sin2a-yJ3L7

故實(shí)數(shù)A的最小值為2^+2.

故答案為：20+2

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化背景下的解三角形，三角恒等變換解決三角函數(shù)取值范圍問題，考查運(yùn)算求解

能力，數(shù)學(xué)建模能力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目背景，通過設(shè)/PCB=a,進(jìn)

而建立解三角形的模型，再根據(jù)正弦定理及三角恒等變換化簡(jiǎn)求最值即可.

號(hào)真題練）

1.（2021?北京高考真題）若點(diǎn)尸（cosdsin。）與點(diǎn)Q（cos（e+f）,sin（，+關(guān)于丁軸對(duì)稱，寫出一個(gè)符合題意

66

的0=__.

【答案】—（滿足。=當(dāng)+5*z即可）

1212

【解析】尸（85，,5山。）與09（6+。,"。+春）關(guān)于y軸對(duì)稱，

nTT、冗

即仇6+々關(guān)于y軸對(duì)稱，0+-+0^7r+2k7r,keZ,則，=攵萬+三,女eZ,

6612

S77、冗577

當(dāng)左=0時(shí)，可取e的一個(gè)值為二.故答案為：—（滿足6=女萬+匕水eZ即可）.

121212

/711COSCC

2.(2021年高考全國(guó)甲卷理科)若ae0,式，tan2a=；；~--，則tana=()

V2)2-sina

V15R75rV5nV15

-----------D.--K_z.---\_).---

15533

【答案】A

［解析］.tan2a=-------

2-sina

「sin2a2sinacosacosa

tan2a=------=--------——=--------

cos2al-2sina2-sina

(八吟八2sina1切/日.1

e0,—,「.cosawO,/.------3—=---------------,解得sina=一,

I2jl-2sin24z2-sina4

fi———V15sina415

...cosa=vl-sin"a=---，/.tana=-----=----?

4cosa15

3.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I［卷理科）若。為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

34

【解析】方法一：由。為第四象限角，可得一+2攵4<。<2〃+2攵〃,ZcZ,

2

所以3%+4左左<2a<4乃+4攵乃,攵eZ

此時(shí)2e的終邊落在第三、四象限及>軸的非正半軸上，所以sin2a<0

故選：D.

方法二：當(dāng)a=q時(shí)，cos26z=cosf—y1>0,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

71,

當(dāng)a=—時(shí),選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

3

由a在第四象限可得：sina<(),cos?>(),則sin2a=2sinacosa<0,選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正

確;

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，意在考查學(xué)生的

轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

4.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科)己知ae(0,兀)，且3cos2a-8cosa=5,貝Usina=()

A逐B(yǎng)21

c.一正

3339

【答案】A

［解析］3cos2a—8cosa=5,得6cos?a-8cosa—8=0，

即3cos*a—4cosa—4=0,解得cosa=—或coso=2(舍去)，

3

又?.aw(0,4),,tsina=Jl-cos2a=9?

故選：A.

5.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科)已知2tanO-tan(8+N)=7,則tan柒()