考向6 因式分解-2023年中考數學一輪復習考點

考向06因式分解

【考點梳理】

i.分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫分解因式

分解因式的一般方法：1.提公共因式法2.運用公式法3.十字相乘法

分解因式的步驟：(D先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)十字相乘法可對二次三項式試一試；

(4)因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解；

(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止.

方法一：分組分解法

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法.但有更多的多項式只用上述方法就無

法分解，如X2-4y2-2x+4y,我們細心觀察這個式子就會發(fā)現，前兩項符合平方差公式后兩項可提

取公因式.前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因

式了.這種分解因式的方法叫分組分解法.

例如：X2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).

方法二：十字相乘法

一般地，在分解形如關于x的二次三項式ar+bx+c時，二次項系數a分解成。與。的積，分別寫在

12

十字交叉線的左上角和左下角；常數項C分解成C與C的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，

I2

把a,a,c,c按如圖4所示方式排列，當且僅當ac+ac=b(一次項系數)時，g+W+c可分解

12121221

因式.艮卩Q/2+厶+。=(〃R+C)(〃R+C).

1122

我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法.

1vzp

1入q

1x2+1x3=5

圖1圖2

1人-2a?八71

2X(-2)+1X3=-1

圖3圖4

【題型探究】

題型一：因式分解的定義

1.下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.X2-x-l=x(x-l)-1B.X2-]=(x-l)2

C.X2—x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-l)=x2-x

2.下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為()

A.尤2+3x+2=x(x+3)+2B.x2-4=G+2)G-2)

C.a(x-y)=ax-ayD.6x2y=2x-3xy

3.下列變形中，屬于因式分解且正確的是()

A.2x4-6=2(x4-3)B.〃(〃+1)=〃2+。

QX2-x=X（X+l）（x-1）DX2-3X+\=X{X-3)+1

題型二：提取公因式和公式法因式分解

4.下列因式分解正確的是（）

A.一12+4冗=-x（x+4）B.12+jy+x=x(x+y)

C.X2-4x+4=（x4-2）（x-2）D.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2

5.下列因式分解正確的是（）

A.43一〃=〃2（。-1）B.曲2-。=(ab+c)(ab-c)

C.cnb-ab2=a（u+b）（a-b）D.々3+6a2b+9ab2=a(a+3?！?/p>

6.下列因式分解正確的是（）

A.aiob-。5=白5（a2b-1）B.a2-4b2=(a-2b)2

C.。6+4〃3b+4Z?2=（。3+2/?）2D.a2-a(/?+1)—aCa-Z?+1)

題型三：十字相乘法

7.把多項式X2+(p-q)x-pq分解因式，結果正確的是()

A.(x+p)(x+q)B.(x-p)(x-q)C.(x+p)(x-q)D.(x-p)(x+q)

8.下列式子變形是因式分解的是()

A.x2-5x+6=x(九-5)+6B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)

C.(%—2)(x—3)=x2—5x+6D.x2—5x+6=(x+2)(x+3)

9.將多項式+l因式分解，結果正確的是()

A.a—1B.(a-l)(a-2)

c.(-)D.G+OG-i)

題型四：分組分解法

10.下列多項式中，在實數范圍不能分解因式的是()

A.心+尸+2%+2yB.%2+y2+2xy-2c.Q一尸+4x+4yD.工2—丫2+4)7一4

11.把X2—y2—2y—1分解因式結果正確的是().

A.(x+y+1)(x—y—1)B.(x+y—1)(x—y—1)

C.(x+y—1)(x+y+1)D.(x—y+1)(x+y+1)

12.下列運算不正確的是()

A.xy+x-y-l=(x-l)(y+l)

B.X2+y2+[2+冋+yz+zx=；(x+y+z)2

C.(R+y)(X2一肛+y2)=X3+y3

D.(x-y)3=13—，+3孫2一戶

題型五：因式分解在化簡求值的應用

13.若a+b=l,貝!JQ2—6+26的值為()

A.4B.3C.2D.1

14.如果a+b=2,那么代數式[上之+2a1?當的值為_____.

Ib丿a^b

15.已知x=2,x+y=3,貝！JX2y+xy2=.

題型六：因式分解的綜合問題

16.已知，實數如〃滿足機+〃=3,imn+mm=-30.

(1)若相>〃，則m一〃=；

(2)若"+〃=一5,則代數式“2〃-幾2。+加3-〃7〃2的值是,

17.已知了=。2—3〃人，y=-a2-ab+2b2.

⑴化簡』-3y；

（2）當a和匕滿足口1=-4-2%-1時，求x-3y的值.

18.材料1：若一個數各個數位上數字之和能被9整除，則這個數本身也能被9整除；

材料2：如果一個各個數位上的數字均不為0的四位正整數，”可以被9整除，且，”的百位上的數字比十位上的數字

大2,則稱，〃為“夠二數”；將，〃的千位數字與個位數字交換，百位數字與十位數字交換，得到的數為加，

"（,"）”一気⑻8,例如：w=8424；v8+4+2+4=18=9x2,4-2=2,二8424是“夠二數”，

尸（8424）=8424-4248+⑻8=6.

999

（1）判斷1314,6536是否是“夠二數”，請說明理由，如果是“夠二數”，請計算產?！ǎ┑闹担?/p>

（2）若一個四位正整數〃=外〃是“夠二數”，且尸北）為5的倍數，請求出所有的“夠二數的值.

【必刷基礎】

一、單選題

19.在因式分解練習時，小穎做了4道題如下，小穎分解不夠到位的一題是（）

A.X2-y2=Q_y)Q+y)B.X2-4xy+4y2=(x-2y)2

(D.X2-x=x(x2-1)

C.x2y-2型=xyjc-2y)

己知肛=-1,x+y=2,貝Ij；x3y+x2y2+：町3=()

20.

A.B.2C.-4D.4

21.解決次數較高的代數式問題時，通?？梢杂媒荡蔚乃枷敕椒?已知：X2-X-1=O,且x>0,則2x3+3x的

值是（）

A.l+y/5B.1-^/5C.3+后D.3—芯

22.對于任意實數〃，b,。3+加=(a+b)(。2-"+/?2)恒成立，則下列關系式正確的是（）

A.。3-加=(a-Z?)(。2+。/7+。2)B.。3-b3=（。+。）（。2+。/7+。2）

C.加-加=(a-b)(現-ab+b2)D.。3-加=（。+。）（。2+〃。-。2）

23.下列因式分解正確的是(

A.ax+ay=a{.x+y)+\B.3。+3/?=3（。+。）

C.〃2+4a+4=(〃+4)2D.+/?=〃（〃+/?）

24.如圖2所示的是圖I中長方體的三視圖，若用S表示面積，SjG+2x,S「2+x,則長方體的表面積為（）

B.3x2+6x+2

C.6x2+12x4-4D.6x4-6

25.如果把二次三項式X2+2X+C?分解因式得X2+2X+C=G—1）G+3）,那么常數。的值是（）

A.3B.-3C.2D.-2

26.若+1+公一4Z?+4=0,則〃一b的值為（）

A.3B.-3C.1D.-1

27.分解因式：X4-2X2丫2+），4=

28.若關于x的多項式x2-pR—6含有因式x-3,則實數，的值為.

29.已知：整式4="2+1,8=2〃，。=〃2-1,整式C>0.

（1）當〃=1999時，寫出整式A+3的值（用科學記數法表示結果）；

⑵求整式厶2-&；

⑶嘉淇發(fā)現：當〃取正整數時，整式A、8、C滿足一組勾股數，你認為嘉淇的發(fā)現正確嗎？請說明理由.

【必刷培優(yōu)】

一、單選題

30.設八》是實數，且丁+丫2-2》+4》+5=0.求，（広.+圣，）2的值.

31.計算：|axl0012-|ax9992-（）

A.5000GB.1999aC.10001。D.10000a

32.已知X2-X-3=0,貝I代數式（3x+2）（3x-2）+x（x-10）的值為（）

A.34B.\4yfl3C.26D.7亞

33.對于二次三項式群+機沖-2x（m為常數），下列結論正確的個數有（）

①當團=一1時，X2+inxy-2x=0,則無-y=2

②無論尤取任何實數，等式心+團孫—2尢=3x都恒成立，則(x+my)=25

③若工2+個-2%=6,”+盯-2y=8,則x+y=l+JT

④滿足(T2+孫-2x)+(>_孫_2y)<0的整數解(x,y)共有8個

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

34.已知整數x,y滿足g+M-J2022x-J2022y+J2022寸=2022,則Jx-y-7的最小值為.

35.已知多項式2x2+fer+c分解因式為2(X-3)G+D,則從的值為.

36.已知。=-2+36,則代數式-6出?+9拉的值為.

37.因式分解：2x3y-12x2y2+18xy3=.

38.若函數y=：[(x2-100x+I96)+lx"100x+196l],當自變量x分別取1,2,……，100時，對應的函數值的和是

三、解答題

39.兩個不同的多位正整數，若它們各數位上的數字和相等，則成這兩個多位數互為“友好數”.例如：37和82,

它們各數位上的數字之和分別是3+7,8+2,?.?3+7=8+2=10,;.37和3互為“友好數”.又如：123和51,它們

各數位上的數字之和分別是1+2+3,5+1,;1+2+3=5+1=6,.723和51互為“友好數”.

(1)直接寫出103的所有兩位數的“友好數”；

(2)若兩個不同的三位數m=100°+40+八"=200+10?長區(qū)5,貝區(qū)5,%c￡9,且。、b、c為整數)互為友好數，

且m-n是11的倍數，記尸=導，求尸的所有值.

40.如圖：將一張矩形紙板按圖中所畫虛線裁剪成九張小紙板，其中有兩張正方形的甲種紙板，邊長為a,有兩張

正方形的乙種紙板，邊長為匕，有五張矩形的丙種紙板，邊長分別為a,b(a>b).

(1)觀察圖形，矩形紙板的面積可以用裁剪成的九張小紙板面積的和表示為,還可以用兩邊的乘積表示為

,則利用矩形紙板面積的不同表達方式可以得到等式;

(2)若矩形紙板中所有甲、乙兩種正方形紙板的面積和為90cm2,每個丙種矩形紙板的面積為18cm2,求圖中矩形紙

板內所有裁剪線(虛線)的長度之和.

41.觀察下列等式：

12x231=132x21；23x352=253x32；36x693=396x63；...

以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數和三位數的數字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類

等式為“數字對稱式

(1)根據上述規(guī)律填空，使式子成為“數字對稱式”：

52x=x25；xl87=78lx.

(2)設“數字對稱式”左邊兩位數的十位上數字為。，個位上數字為6,且244+b49,請用〃、人表示“數字對稱式”

(只寫出等式，不需證明).

42.

(1)下面是小明同學進行因式分解的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

因式分解：(3〃+。>-(a+3。)2

解：原式=042+6而+加)一(a2+6ab+9抗)第——步

=8<12-882第二步

=8(32-4)第三步

任務一：填空：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是公式；

②第三步進行因式分解用到的方法是法.

任務二：同桌互查時，小明的同桌指出小明因式分解的結果是錯誤的，具體錯誤是.

任務三：小組交流的過程中，大家發(fā)現這個題可以先用公式法進行因式分解，再繼續(xù)完成，請你寫出正確的解答過

程.

參考答案:

1.c

【分析】根據因式分解的定義對選項逐一分析即可.

【詳解】把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做因式分解.

A、右邊不是整式積的形式，故不是因式分解，不符合題意；

B、形式上符合因式分解，但等號左右不是恒等變形，等號不成立，不符合題意；

C、符合因式分解的形式，符合題意；

D、從左到右是整式的乘法，從右到左是因式分解，不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查因式分解，解決本題的關鍵是充分理解并應用因式分解的定義.

2.B

【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也

叫做分解因式.根據定義即可進行判斷.

【詳解】解：A、不是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，原變形不是因式分解，故此

選項不符合題意；

B、把一個多項式化為幾個整式的積的形式，原變形是因式分解，故此選項符合題意；

C、不是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，原變形不是因式分解，故此選項不符合題

思；

D、不是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，原變形不是因式分解，故此選項不符合題

思；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了因式分解的定義.解題的關鍵是掌握因式分解的定義，要注意因式

分解是整式的變形，并且因式分解與整式的乘法互為逆運算.

3.A

【分析】利用因式分解的定義逐一判斷即可.

【詳解】A、2x+6=2(x+3),符合因式分解的定義，且分解正確；

B、a(a+1)=t/2+a,是整式的乘法，不是分解因式；

C、x2-x=xG-l)^xG+l)(r-l),分解因式不正確；

D、X2-3X+1=X(X-3)+1,分解因式不正確，

故選：A

【點睛】本題考查了因式分解的定義，理解掌握把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這

種變形叫做因式分解，分解因式要分解到不能再分解為止.

4.D

【分析】利用提取公因式法、完全平方公式逐項進行因式分解即可.

【詳解】解：

A、原式=-X2+4X=-X(X—4),故本選項不符合題意；

B、原式=x(x+y+l),故本選項不符合題意；

C、原式=X2-4x+4=(x-2?,故本選項不符合題意；

D、原式=(x-y)G-y)=(x-y>,故本選項符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，屬于基礎題，關鍵是掌握因式分解的方

法.

5.D

【分析】根據因式分解的定義化簡判斷；

【詳解】解：A,編一〃="(22-l)=aQ-l)Q+l),故此選項不合題意；

B,ab2-ci,無法運用平方差公式分解因式，故此選項不合題意；

C,a2b-ab2=ab(a-b),故此選項不合題意；

D,a3+6a2b+9a〃z=q(a+36)2,故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查因式分解：把一個多項式化成幾個整式積的形式，像這樣的式子變形叫做

這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式；因式分解的結果是整式的乘積的形

式且結果必須分解到不能再分解為止，這是判斷是否是因式分解的根據方法.

6.C

【分析】利用提公因式法判定A和D錯誤，利用平方差公式判定B錯誤，利用完全平方公

式判定C正確.

【詳解】解：A.aiob-a5=as(asb-1),故此選項不合題意；

B.“2-4梗=Q-2b)(a+2b),故此選項不合題意；

C.a6+4“3b+4b2=(公+2匕)2,故此選項符合題意；

D.a2-a(b+\)=a(a-b-W故此選項不合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查因式分解，解決問題的關鍵是掌握方法和步驟：一提二套三檢查.

7.C

【分析】根據X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)容易得出答案.

【詳解】解：X2+(p-q)x-pq=(x+p)(x-q).

故選C.

【點睛】本題考查了因式分解的方法；熟練掌握X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)是解決問

題的關鍵.

8.B

【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也

叫做分解因式，

【詳解】A、X2—5X+6=X(L5)+6,不是因式分解，故本選項不符合題意；

B、x2—5x+6=(x—2)(x—3),是因式分解，故本選項符合題意；

C、(x-2)(x-3)=x2—5x+6,不是因式分解，故本選項不符合題意；

D、x2—5x+6=(x—2)(x—3)#(x+2)(x+3),故本選項不符合題意；

故選B

9.B

【分析】先運用完全平方公式展開，然后再合并，最后運用十字相乘法因式分解即可.

【詳解】解：+1

=42-2a+\-a+\

=G-3a+2

=(a-l)(a-2).

故選B.

【點睛】本題主要考查了運用完全平方公式計算、十字相乘法因式分解等知識點，掌握運用

十字相乘法進行因式分解是解答本題的關鍵.

10.A

【分析】根據因式分解的方法與步驟進行判斷即可

【詳解】解：A.原式不能分解，符合題意；

B.原式=(x+y”-2=(x+y+JI)(x+y-JT),不符合題意；

C.原式=(x+y)(x-y)+4(x+y)=(x+y)(x-y+4),不符合題意；

D.原式=m-(y-2)2=(x+y-2)(x-y+2),不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟練掌握提公因式法和公式法分

解因式是解答的關鍵，注意實數范圍內分解因式時2要寫成(①”.

11.A

【分析】由于后三項符合完全平方公式，應考慮三一分組，然后再用平方差公式進行二次分

解.

【詳解】解:原式=X2-(y2+2y+l),

=X2-(y+1)2,

=(x+y+1)(x-y-1).

故選A.

12.B

【詳解】根據分組分解法因式分解、多項式乘多項式的法則進行計算，判斷即可.

Ay+x-y-l=x(y+l)-(y+I)=(x-l)(y+l),A正確，不符合題意：

X2+y2+z2+xy+yz+^x=g[(x+y)2+(x+z”+(y+Z)2],B錯誤，符合題意；

(x+y)(x2-_vy+y2)=x3+y3,C正確，不符合題意；

(X-)，)3=X3-3x2y+3-2-y3,D正確，不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查的是因式分解、多項式乘多項式，掌握它們的一般步驟、運算法則是解題

的關鍵.

13.D

【分析】把G-從+2〃進行變形，代入a+b=l,計算，再次代入即可求解.

【詳解】解：a2-bi+2b

=(.a+b)(a-b)+2b

=a-b+2b

=a+b

=1

故選：D

【點睛】本題考查了對式子變形求解，熟練掌握平方差公式是解題關鍵，本題也可以把a+b=l

變形為q=l-b,代入求值.

14.4

【分析】先根據分式的混合運算法則化簡原式,，然后把葉岳2整體代入計算即可.

【詳解】解：原式=[亭1+華]々

(bb)a+b

〃2+拉+2?！?、2h

b‘〃+b

2b

ha-\-b

=2(a+/?),

???〃+匕=2,

，原式=2x2=4.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，以及因式分解，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

15.6y

【分析】原式提取公因式，把各自的值代入計算即可求出值.

【詳解】解：,；x=2,x+y=3,

.,.原式=*丫（x+y）=6y,

故答案為：6y

【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握計算法則是解題關鍵.

16.742或252##252或42

【分析】（1）將已知式子因式分解代入得出-10,然后利用兩個完全平方公式之間的

關系求解即可；

[m=5[ni=—2

（2）利用（1）中結論得出G或<,然后分兩種情況，將原式化簡代入求值即可.

[n=-2[n=5

【詳解】解：（1）V/n+n=3>

m2n+mn2=mn（相+〃）=-30,

=-10,

（加一〃>=（m+〃?-4tnn=9-（-40）=49,

tn-n=Yl,

m>n,

m—〃>0,

m-n=l；

（2）根2〃一〃2〃+根3—mn2

=（W2-n2）p+m\m2一〃2）

=（M2-n2）（p+/n）

=（m+〃）金-〃）（〃+相）,

m+n=3m+n=3

由（1）得m-〃=7或

m—n=-7

"2=5m=-2

解得:〃=-2或

n=5

當m=5,〃=-2時,

+p=-5,

m+p=2,

???原式=（5-2）x（5+2）x2

=42；

當727=-2,72=5時，

n+p=-5,

p=-10,

/.tn+p=-12,

原式=(—2+5)x(―2—5)x(—12)

=252；

???代數式的值為42或252；

故答案為：①7；②42或252.

【點睛】題目主要考查因式分解的運用，求代數式的值及完全平方公式與平方差公式，熟練

掌握運算法則進行變換是解題關鍵.

17.⑴4a2-6〃2

⑵10

【分析】(1)用人表示出代數式工-3>,化簡即可；

(2)根據已知式子求出mb,代入(1)的結果即可；

(1)

*.*x=。2-3ab，y=一〃2-ab+2b2,

x-3y=。2-3必-3(-。2一”b+2b2),

=。2-3ab+3〃2+3ab-6b2,

=4。2—64；

(2)

\ja-2=-〃2—2b-1,

.J〃_2=0

,力+1=0，

a=2,b=-1,

x-3y=4a2-662=4x22-6x(-1'=10；

【點睛】本題主要考查了整式化簡求值，準確利用二次根式非負性求解是解題的關鍵.

18.(1)1314是是“夠二數”，F(1314)=-1；6536不是“夠二數”;

(2)n=7758.

【分析】(1)根據“夠二數”的定義進行判斷求解即可；

(2)根據“夠二數”的定義得出a+b+c+d=9x,其中x是正整數，且#0,則b—c=2,表

示出N〃)，代入Qc+2得則而=言7r5.其中y是整數，得

a=d-i

c=5,b=7,=其中y是整數,其中在0,且是整數,

a+d+\2=9x

a+d+n=9x,a,d是正整數，得到#1,從x=2開始進行分析即可得到答案.

(1)

解：：14-3+1+4=9=9x1,3-1=2,

.?.1314是“夠二數”，

,此時M=4131,

_1314-4131+1818_

：.F(1314)1,

999

：6+5+3+6=20,20不能被9整除,

??.6536不是“夠二數”;

(2)

解：..?一個四位正整數〃=詼7是“夠二數”，

.,.a+b-\-c+d=9x,其中x是正整數，且月0,則％—c=2,

：.b=c+2,則l<c<7,

n'=dcha>

：.F(n)=〃一"+1818

999

_abed-deba+1818

999

_1000?+100/?+10c+67-1000J-100c-10Z?-tz+1818

999

_999a+90/?-90c-999d+1818

999

llk+lOft-lOc-lllJ+202

=rn，

將b=c+2代入得，

7rq)_llla+10(c+2)—10c—llld+202

111

_lll^-HM+222

111

=a-d+2,

'?F(n)~a-d+2-"'其中y是整數,

??c=5,b=7,

-------=5y

a-d+2

。+2c+2+d=9x

(a—d+2)y=l,

,,萬是整數，

.,.〃-d+2=l,即。=〃一1,

,其中中0,且是整數,

[a+d+12=9x

?/〃+d+12=9x,a,d是正整數，

???,

5

a=-

a=d-l厶，

當x=2時、a+d+12=18'解得'不合題意，舍去；

d=-

2

[a=d—\[tz=7

當工=3時，，』g，解得LQ，符合題意，此時九=7758；

|a+d+12=27IJ=8

23

a~

a=d-l厶,-2-25

當x=4時,.+"12=36,解得.5,此時d=，＞9,不合題意，舍去;

/.隨著x的增大，”也增大，不符合題意，

綜上所述，”=7758.

【點睛】此題考查了新定義運算、因式分解、解二元一次方程組，理解新定義是解題的關鍵.

19.D

【分析】根據因式分解的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A.X2—y2=G—y)Q+y),正確，不符合題意；

B.工2一4旬+4y2="-2)，)2,正確，不符合題意；

C.X2y-2xyi=xy(x-2y),正確，不符合題意；

D.基-x=x(x-1),原式分解錯誤，符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查了因式分解，在因式分解的過程中，有公因式一定要先提公因式，分解一

定要分到不能再分解為止.

20.A

【分析】先對所求的式子進行因式分解，再整體代入計算即可.

【詳解】解：；孫=7,x+y=2,

11

2%3y+X2y2+?町3

1()

=-Ay\X2+2xy+y2丿

=(x+y)2

=—X(-1)X22

2

=—2?

故選：A.

【點睛】本題考查了整式的因式分解、代數式求值，熟練掌握提公因式法與公式法的綜合運

用是解決本題的關鍵.

21.A

【分析】首先解方程X2-X-l=0,然后利用整體代入的思想把X2換成X+1,多次代入即可

求解.

【詳解】解：；X2-X-l=0,

,1±"

X2=X+LX=--------?

2

Vx>0，

X4-2x3+3x

=X2-X2-2x-X24-3X

=(x+1)2-2.Kx+1)+3x

=-J2+3x+1

=一工一1+3工+1

=1+5/5,.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了分解因式的實際運用，同時也考查了解一元二次方程，有一定的綜

合性.

22.A

【分析】根據立方差公式即可求解.

【詳解】解：?.,。3+加=(?+/?)(現-ab+b2)恒成立，

將上式中的〃用功替換，整理得：

.".aJ-b3—(a-b)(a2+ab+b2),

故選：A.

【點睛】本題考查了運用公式法分解因式，熟練掌握立方差公式是解題的關鍵.

23.B

【分析】根據因式分解的方法，提公因式法及公式法依次進行計算判斷即可.

【詳解】解：A、ax+ay=a(x+y),故選項計算錯誤；

B、3a+3h=3(a+b),選項計算正確；

C、“2+4“+4=(“+2》,選項計算錯誤；

D、02+。不能進行因式分解，選項計算錯誤；

故選：B.

【點睛】題目主要考查因式分解的判斷及應用提公因式法與公式法進行因式分解，熟練掌握

因式分解的方法是解題關鍵.

24.C

【分析】由主視圖和左視圖的寬為x,結合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答案.

【詳解】解：卞=X2+2x=x(x+2),

S左=x2+X=X(x+1),

俯視圖的長為x+2,寬為x+1,

則俯視圖的面積5俯=(x+2)(x+1)=x2+3x+2.

所以長方體的表面積為：2X2+2X+X2+X+X2+3X+2

=6x2+12x+4

故選C.

【點睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是根據主視圖、俯視圖和左視圖想

象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，以及幾何體的長、寬、高.

25.B

【分析】將因式分解的結果用多項式乘法的展開，其結果與二次三項式比較即可求解.

【詳解】解：:x2+2x+c=G-l)(r+3)

二?+2x+c=%2+2x—3

故c=-3

故選B

【點睛】本題考查了因式分解，多項式的乘法運算，掌握多項式乘法與因式分解的關系是解

題的關鍵.

26.B

【分析】利用完全平方公式將步-48+4進行因式分解，再利用算術平方根和完全平方的非

負性解題即可.

【詳解】解：?.?疝1+從-4匕+4=0

/.Ja+1+(b-2”-0

v>/a7T>0,(fe-2)2>0,

;.a-b=-l-2=-3.

故選B.

【點睛】本題考查了用完全平方公式法進行因式分解：或±2必+加=3士b)2,算數平方根

以及完全平方的非負性，熟練掌握用公式法進行因式分解以及非負數的性質是解題的關鍵.

27.(x+y”(x-y)2

【分析】先用完全平方公式分解，再利用平方差公式進行分解即可.

【詳解】解:x4-2x2y2+y4=872)2=(x+y)2(x-y”,

故答案為:(x+y)2(x-y)2.

【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握公式法分解因式是解決本題的關鍵.

28.1

【分析】設另一個多項式為G+6)，再利用整式的乘法進行整理得

x2_px-6=(x-3)G+b)=x2+(8-3)x-3A得到對應各項系數，然后求得P的值.

【詳解】解：設多項式的另一個因式是G+b),則

X2-px-6=(x-3)(x+6)=x2+(6-3)x-3b,

.*?—3b=-6,p=-(b-3)

:.b=2,p=-(2-3)=l.

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了因式分解的綜合應用，設出另一個因式，再利用整式的乘法找到各

項系數，使之對應相等是解答本題的關鍵.

29.(1)4x106

⑵("2-1)2

(3)正確，理由見解析

【分析】(1)根據題意可得，A+B=(n2+1+2n)=(n+\>,把〃=1999代入計算應用科學記

數法表示方法進行計算即可得出答案；

(2)把4=虐+1,8=2〃，代入A2-B2中，可得Ci2+1)-(2〃>,應用完全平方公式及因式

分解的方法進行計算即可得出答案；

⑶先計算出+C2=(2J+(n2-1),計算可得Q2+l),應用勾股定理的逆定理即可得出答

案.

(1)

解：A+8=Q+1+2〃)=(〃+1?,

當〃=1999時，

原式=(1999+11

=20002

=4x106；

故答案為：4x106；

(2)

A2-B2=C?2+1)一(2九)

=Cl2>4-2722+1—4〃2

=冊)—2n2+1

=52-1)2；

(3)

嘉淇的發(fā)現正確，理由如下：

,:82+C2=(2孔>4-V22

=4〃2+Cl2)-2〃2+1

=Cl2+1),

比+。2=42,

???當〃取正整數時，整式A、B、C滿足一組勾股數.

【點睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，科學記數法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科

學記數法的計算方法進行求解是解決本題的關鍵.

30.y/3-y/2

【分析】根據已知式子利用完全平方公式因式分解，根據非負數的性質求得X，)'的值，代入

代數式，根據二次根式的性質化簡即可求解.

【詳解】解：工2+/2-2x+4〉+5=0

即工2-2x+1+y2+4y+4=0

***(x-1)2+(y+21=0

/.x-1=0,y+2=0

解得：x=1,y=-2

’(伝+爭”=2下=出一坪尺衣

【點睛】本題考查了完全平方公式因式分解，非負數的性質，二次根式的性質化簡，求得x,y

的值是解題的關鍵.

31.D

【分析】先提取公因式，再運用平方差公式即可求解.

【詳解】-axlOOh--67x9992

22

=|?X(10012-9992)

=1ax(100l-999)(1001+999)

=-ax2x2000

2

=10000a,

故選：D.

【點睛】本題考查了運用提取公因式和平方差公式對代數式進行化簡的知識，掌握平方差公

式是解答本題的關鍵.

32.C

【分析】先化簡代數式，再整體代入求值即可.

【詳解】解：(3X+2)GX-2)+X(X-10)

=9x2-4+X2-10x

=10x2-10x-4

=loQ-x)-4,

,*,%2-%—3=0

X2-x=3

原式=10x3—4

=26

故選C.

【點睛】本題考查了代數式的化簡求值、平方差公式、提取公因式、整體代入等知識點，掌

握整體代入是解答本題的關鍵.

33.A

【分析】①代入求值后因式分解計算即可；②提取公因式x后根據恒成立找關系即可;

③兩個方程相加后因式分解即可解題；④去括號后因式分解判斷即可.

【詳解】①當相=一1時，+inxy-2x=0,則欠2—孫一2x=—2)=0

???x-y-2=0或者x=0,故①錯誤；

②等式心+mxy—2x=3R化簡后為x(x+niy-5)=0

???無論x取任何實數,等式心+加孫—2x=3x都恒成立，

x+my—5=0,即x+my-5

(x+my)1=25，故②正確；

③若工2+個-2元=6,>2+個-2y=8,則兩個方程相加得：心+孫-2犬+產+孫-2y=14,

(x+y)2-2(x+y)=14

(尤+y—1”=15

*'?x+y=l±y/\5，故③錯誤;

④整理Cx2+孫-2x)+(y2-xy-2y)<0得:

X2+y2-2x-2y<0

：.(x-l)2+(y-l)2<2

??,整數解G,y)

(x-1)2=0(x-1)2=0(1)2=1(1)2=1

(y—i)2=0(y-l)2=1(y-l)2=0(y-l)2=l

X=1x=\\x=2卜=0jx=0]JV=0

9，

y=2y=0，[y=l[y=0[y=2

整數解G,y)共9對，故④錯誤;

綜上所述，結論正確的有②；

故選：A.

【點睛】本題綜合考查因式分解的應用，熟練的配方是解題的關鍵，題目還考查了因式分解

法解一元二次方程.

34.18

【分析】原式可變形為^^^(77+6)-，2022(77+萬)+J2022沖-J20222=。,然后因式

分解為(6+JT+同力(阿-72西=0,從而得到向-75551=0,進而分析得出

x=337,y=6,則答案可得.

【詳解】解：A-77+yVx-^2022X-72022y+yj2022xy=2022,

變形為広電+$)-72022(y/x+y/y)+^20221^-720223=0,

.,.(>fx+Jy+^022)(7^->/2022)=0,

^-V2022=0,

=2022=2x3x337,

Vx,y均為整數,x-y-7>0,

Qx-y-7最小值時x=337,y=6,

ijx—y-l最小值為V337-6-7=J324=18.

故答案為：18.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是的得到歷-755五=0.

35.24

【分析】利用整式的乘法去括號合并同類項后，對比各項系數相等即可.

【詳解】2x2+bx+c分解因式為2(X-3)Q+D

???2(x-3)(x+1)=2x2-4x-6=2x2+bx+c

：.b=-4,c=-6

:.be=24

故答案是24

【點睛】本題考查多項式乘以多項式，以及多項式相等時對應各項系數相等，正確利用公式

計算是關鍵.

36.4

【分析】先根據完全平方公式將G-6必+9步因式分解Q-3b再將3b=-2代入，即

可求出答案.

【詳解】解：-：a=-2+3b,

a-3b=-2,

。2-6ab+9b2

=(a-3。>

=(-2>

=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了用完全平方公式因式分解求代數式的值，解題的關鍵是熟練掌握完全平

方公式.

37.2沖(工一3y>

【分析】先提取公因式2個，再根據完全平方公式化簡.

【詳解】2x3、-12x2^2+18盯3

=2xyX2-6盯+9)2

=2孫(1-3)；),

故答案為2沖G-3)).

【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解.分

解因式三步驟：一提公因式，二套公式，三檢查.分解因式時要先考慮能否用提公因式法，

然后考慮公式法.若多頂式有兩頂，可考慮用平方差公式；若多頂式有三頂，可考慮用完全

平方公式.

38.390

【分析】將x2-100x+196分解為：(x-2)(x-98),然后可得當2W爛98時函數值為0,再分別

求出x=l,99,100時的函數值即可.

【詳解】二次函數y=x2-100x+196與X軸交點為軸0),(98,0),

???當x=2,3...98時，

1/Mx2-100x+1961=-(x2-lOO.r+196),

???當x=2,3...98時，

y=|[(%2-100x+196)+IX2-100A+196I]

=~[(X2-100x+196)一(X2-100x4-196)]

2

=—x0

2

=0,

當x=l,尤=99,x=100時，函數)，，=*-1001+196的函數值為正數，

...y=；[(X2-100A-+196)4-1x2-100x4-196IJ

y=1[(x-2)(x-98)+(x-2)(x—98)]

y=(x-2)(x-98)

.,.x=l時，

y=(x-2)(x-98)

=(-lX-97)

=97,

當x=99時，，

y=(x-2)(x-98)

=97x1

=97,

當x=100時，

y=(x-2)(x-98)

=98x2

=196,

，自變量x分別取1,2,……，100時，對應的函數值的和是：

0+97+97+196=390.

故答案為:390.

【點睛】本題考查函數值的知識及十字相乘法分解因式，有一定難度，關鍵是將X2-100X+196

分解為：(x-2)(x-98)進行解答.

39.(1)13、22、31、40

(2)P=-9

【分析】(1)根據新定義進行解答便可；

(2)根據新定義列出b、C的方程，得a+b=c-2,機一"是11的倍數，得七九是整數,

從而求得c的值，進而求得。、匕的值，便可求得結果.

【詳解】(1)解：*/1+0+3=4,1+3=4,2+2=4,3+1=4,4+0=4,

.703的所有兩位數的“友好數”為