重難點5 與幾何意義有關(guān)的函數(shù)問題（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考）

重難點專題05與幾何意義有關(guān)的函數(shù)問題

題型1類比斜率......................................................................1

題型2類比兩點間距離...............................................................5

題型3類比點到直線距離............................................................11

題型4類比直線與曲線的位置關(guān)系...................................................15

題型5類比和差距離問題............................................................18

題型6絕對值中的距離問題..........................................................18

題型7兩曲線間點的距離............................................................19

題型1類比斜率

，劃重點

形如2的形式,用幾何意義來理解,可以類比斜率。

【例題1】(2020秋?上海長寧?高三上海市延安中學(xué)校考階段練習(xí))已知人乃是定義在R上

的增函數(shù)，函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，若實數(shù)m,n滿足等式f(n-3)+

/(V4m-m2-3)=0,則'的取值范圍是()

A?[2一苧,2+竽]B[l,2+穹

C.[2-^,3]D.[1,3]

【答案】C

【分析】由函數(shù)f(x)是遞增函數(shù)，且y=/(%-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，可得函數(shù)f(x)是

奇函數(shù)，

再結(jié)合/(幾一3)+f(yj4m-m2-3)=0可得(九-3)+V4m-m2-3=0,進(jìn)而利用數(shù)形

結(jié)合求出結(jié)果.

【詳解】f(X)是定義在R上的增函數(shù)，且函數(shù)y=/(%-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

所以函數(shù)八X)是奇函數(shù);

又/'(n—3)+/(V4m—m2-3)—0,

所以(n—3)+V4m—m2—3=0,且4nl—m2—3>0；

((m-2)2+(n-3)2=1

即'1<m<3,

、2<n<3

畫出不等式組表示的圖形，如圖所示，

所以巴表示圓弧上的點(犯n)與點(0,0)連線的斜率，

m

所以結(jié)合圖象可得：巴的最大值是直線。4的斜率，為衿=3,

7711—U

最小值是直線OB的斜率，不妨設(shè)為k,

mnfn=km

則l(7n-2尸+5-3/=1，

消去n,得(m-2)2+(km-3)2=1,

整理得(必+l)m2一(6k+4)m+12=0,

令4=(6k+4下一4x12x(爐+1)=o,

化簡得3k2-12fc+8=0,

解得k=2士竽，

應(yīng)取k=2-不為最小值；

所以二的取值范圍是：[2-野,3].

THL3J

故選：c.

【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想.解

題分兩部分，一部分是由函數(shù)單調(diào)性與奇偶性化(5-3)+/(V47n-m2-3)=0為

(n-3)+V4m-m2-3=0,第二部分收(犯n)構(gòu)成點，用幾何意義來解釋此條件，用幾

何意義來理解巴,從而達(dá)到求解的目的.

m

【變式1-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)f(x)=萬熹/(xe[0,2兀])的最小

Vo-zcosx-zsmx

值是()

A.-yB.-1C.-V2D.-V3

【答案】B

【分析】對f(x)變形，得到r(x)=-=L==,當(dāng)sinx中1時，利用g(x)=三黑的幾何

5/1+^l-sinx^

意義求解其取值范圍，進(jìn)而得到-1</(X)<0,當(dāng)sinx=1時,/(%)=0,從而求出了(x)的

最小值.

【詳解】當(dāng)sinx=1,/(x)=0

sinx-11-sinx1

當(dāng)sinx豐1時，因為/0)=——----==

V3-2cosx-2sinx7(l-sinx)2+(l-cosx)2k,1-cos#))

y]'l-sinx,

令=鏟，9。)的含義是點(Ll)與單位圓上的點(sinx,cosx)的連線的斜率，所以

g(x)>0,所以+g(x)2>1

所以T(一潟/<°，即T(f(”0,

綜合得，/(%)￡[—1/0],

故最小值為：-1.

故選：B.

【變式1-1]2.(2022秋?上城區(qū)校級期中)函數(shù)f(x)=耳的最小值為

X-L-----------

【答案】-y

【分析】令x=cosa(0Wa4n),根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可將函數(shù)解析式化為y=

*三(0<a<n),再分析其幾何意義，利用直線的斜率公式和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.

cosa-2、

【詳解】令％=cosa(0<a<n),

i、Vl-x2sina/八《,、

則miy=fM=—-=——T(0<a<n),

它表示半圓/+y2=i(y>0)上的8(cosa,sina)與4(2,0)連線的斜率(如圖所示)，

由圖象得當(dāng)4B與半圓相切時，函數(shù)y=二*取最小值，

cosa—2

此時OB=1,OA=2/OAB=30°,

kAB=tanl50°=-y,

即y=/(%)=￡3=/匕(°三awn)的最小值為一

故答案為:-當(dāng)

【變式1-1]3.(2020?泰州一模)已知實數(shù)a,b,c滿足a2+b2=C2,e0,則含的取

值范圍為.

【答案】卜今身

bccosxcosx

【詳解】Sa2+b2=c2可設(shè)a=csinx,b=ccosx,Z~"v=~~7,可以理解

.b

為點(2,0)與單位圓上的點連線的斜率的范圍，而兩條切線的斜率為土1,則』的取值

范圍為?(3I.

題型2類比兩點間距離

電劃重點

形如(x-a)2+(y-b)2的形式，用幾何意義來理解，可以類比兩點間距離問題。

【例題2](2023?浙江溫州?樂清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測)設(shè)a>0,b6R，已知函數(shù)f(久)=

xex+a(x-3)+b,XG[1,3]有且只有一個零點，則a?+匕2的最小值為()

【答案】B

【分析】設(shè)函數(shù)f(x)的零點為t,可得(t-3)a+b+tU=0,由此可得點(a,b)在直線

(t-3)x+y+tet=0±,由此可得a?+〃2,再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.

cz-6t+10

【詳解】函數(shù)/(%)=xex+a(x-3)+b的零點為t,

則1WtW3,且te，+a(t—3)+Z?=0,即(t—3)Q+b+te，=0t

所以點(a,b)在直線(t-3)久+y+tef=0上,

又M+人2表示點(a,b)到原點的距離的平方，

故+爐>

“”3)2+12

所以。2+八玨,

設(shè)。⑴

t2-6t+10

2垣2’(1+墳/一64+10)-2(1-3)4222,

則g'(t)=

(t2-6t+10)2

2te2'Ki+t)(12-6t+io)-(t-3)H2te2f(t3-6t2+7t+10)

故g'(t)=

(t2-6t+10)2(t2-6t+10)2

設(shè)h(t)=t3-6t2+7t+10(1<t<3),

則〃(t)=3t2-12t+7=3(t一2尸一5,

因為1<t<3,所以〃(t)<0,

所以函數(shù)九⑴=產(chǎn)-6t2+7t+10在［1,3］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)1WtW3時，/i(t)>h(3)=27-54+21+10>0,

故當(dāng)14t43時,g'(t)>0,函數(shù)g(t)在［1,3］上單調(diào)遞增,

所以g(t)>g(D=p

所以當(dāng)-2a+b+e=0,a=-2b時，a2+/取最小值，最小值為三

所以當(dāng)a==3時，a?+乂的最小值為?

故選：B.

【點睛】知識點點睛：本題考查函數(shù)零點的定義，直線方程的定義，點到直線的距離，兩點

之間的距離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考直數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

【變式2-1］1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知實數(shù)a”滿足(a+2>+(b-3>=2,則

對任意的正實數(shù)x,(%-a)2+(Inx-b)2的最小值為.

【答案】8

【分析】求出圓心C(-2,3)到曲線y=Inx上的點的距離最值后可求(x-a)2+(Inx-以的最

小值.

【詳解】因為實數(shù)a,b滿足(a+2)2+(b-3產(chǎn)=2，故P(a,b)在圓C：(x+2)2+(y-3)2=2

±.

而C(-2,3),設(shè)g(x)=(x+2)2+(Inx-3)2,

則g(x)表示C到曲線y=Inx上的點的距離的平方.

x2+2x+lnx-3

又g'(x)=2x

x

因為h(x)=x2+2x+Inx-3在(0,+8)為增函數(shù)，且/i(l)=0,

故當(dāng)x￡(0,1)時,h(x)<0即g，(x)<0；當(dāng)xe(1,+8)時,h(x)>。即g，(x)>0；

故g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)為增函數(shù)，故gO)的最小值為g(l)=18.

故C(-2,3)到曲線y=Inx上的點的距離最小值為3a,

而圓C的半徑為式,故圓C上的點到曲線y=In%上的點的距離最小值為2a,

2

故(x-a)2+(Inx-b)2的最小值為(2&)=8.

故答案為：8.

【點睛】思路點睛：與圓有關(guān)的最值問題，往往需要轉(zhuǎn)化到圓心到幾何對象的最值問題來處

理，另外注意代數(shù)式對應(yīng)的幾何意義.

【變式2-1]2(2022秋?河南南陽?高三統(tǒng)考期中不等式?-b)2+(a-b-l)2>m2-m

對任意實數(shù)a,6恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是

【答案】

【分析】設(shè)P(a,ea),Q(b+l,b),則可得|PQ|2>m2-m,而P,Q分別在曲線/(x)=1和直

線y=x-1上，將直線y=x-1平移恰好與曲線f(x)=e，相切時，可求出|PQ|的最小值，

從而可解關(guān)于小的不等式可得答案.

【詳解】由題意設(shè)P(a,ea),Q(b+l,b),則|PQ『=(ea-b)2+(a-b-l)2,所以|PQ『>

m2—m,

因為P,Q分別在曲線/(x)=M和直線y=x-1±,

所以將直線y=x-1平移恰好與曲線f(乃=e，相切時,切點到直線y=x-1的距離最小，

此時|PQ|最小，

設(shè)切線為y=%+m,切點為(x(),yo),則/(x)=ex,得/(%)=ex,

所以M。=1,得X。=0,則%=1,

所以|PQI的最小值為點(0,1)到直線y=%-1的距離d,d=/尹=V2,

即IPQI的最小值為北,

2

所以2>m-m,即--7n一2W0,解得-1<m<2,

所以實數(shù)m的取值范圍是

故答案為：[-1,2]

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是將

問題轉(zhuǎn)化為P(a,ea),Q(b+l,b),\PQ\2>m2-m,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為曲線/(x)=e*上的點和

直線y=X-1的點的距離最小問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

【變式2-1]3.(2021?南京一模)若實數(shù)x、y滿足x-4后=2尸與,則x的取值范圍

是?

【答案】{0}u[4,20]

【詳解】令6=a,y/x-y=b(a、bN0),此時，x=y+(x-y)=a?+/,

且題設(shè)等式化為a?+爐-4a=2b.

于是，a、b滿足方程(a-2/+(b-1)2=5(a、b>0).

如圖，在aOb平面內(nèi)，點(a,b)的軌跡是以。(1,2)為圓心、再為半徑的圓在a、b>0的部分，

即點。與弧辭fi并集.

故Va2+爐G{0}u[2,2碼.

從而,x=a2+b26{0}U[4,20].

【變式2-1]4.記Z=(x—y)2+G+鄉(xiāng)2。o,x,ye/?),貝!|Z的最小值是.

【答案】y

【分析】根據(jù)題意，可知Z=(x-y)2+(：+鄉(xiāng)2表示點4?$,B(y,-9兩點之間距離的平

方，得出點4的軌跡方程是y=1，點B的軌跡方程是y=-9設(shè)平行于y=-汨與V=捆

切的直線方程為y=-|+b，聯(lián)立方程組并結(jié)合△=。求出b的值，得出切線方程為y=-1+

2或y=2，從而可知4(*),8(7，*)兩點之間距離的最小值即為兩平行直線y=-;與

y=-;+2間的距離，最后利用兩平行線間的距離即可得出結(jié)果.

【詳解】解：Z=(%-丫＞+?+方2表示點,B(y,-與兩點之間距離的平方，

點4的軌跡方程是y=1，點B的軌跡方程是y=-f,

設(shè)平行于y=-;且與y=:相切的直線方程為y=-;+b,

V=-2

x

聯(lián)立)x,得——2bx+4=0,

由△=(-26)2-4x1x4=0,解得：b=±2,

所以與y=:相切的直線方程為y=-；+2或、=-|一2,

,B(y,-鄉(xiāng)兩點之間距離的最小值,

即為兩平行直線y=-|與、=-；+2間的距離，

z的最小值是償丫=孩.

故答案為：Y.

【變式2-1]5.(2020?上海閔行?上海市中學(xué)校考三模)已知y=f(x)是定義在R上的增

函數(shù)，且y=/(x)的圖像關(guān)于點(6,0)對稱.若實數(shù)滿足不等式/(/一6x)+f(y2-8y+

36)W0,則/+y2的取值范圍是

【答案】[16,36]

【分析】根據(jù)函數(shù)y=f(%)的圖像關(guān)于點(6,0)對稱,得到/■(%+6)=-/(6-x),從而將

/(x2-6x)+f(y2-8y+36)<0轉(zhuǎn)化為f(/-6x)</(6-y2+8y-30),利用函數(shù)y=

f(久)的單調(diào)性得到(x-3>+(y-4)2<1,再利用圓的性質(zhì)即可得到/+y2的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(6,0)對稱，

所以f(x+6)=-/(6-x).

因為f(/-6%)+f(y2-8y+36)<0,

所以f@2-6x)<-f(y2-8y+36).

-f(y2-8y+36)=—f(y2-8y+30+6)=/(6-y2+8y-30).

所以f(/-6x)<f(6-y2+8y-30).

又因為函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),

所以/-6x<6-y2+8y-30.

整理得：(x-3)2+(y-4)2<1.

因為/+、2表示以(3,4)為圓心，r=1的圓上或圓內(nèi)的點到(0,0)距離的平方.

2222

所以(/+y)min=(7(3-0)+(4-0)-I)=16,

222

(x+y)max=(J(3-0)2+(4-0)2+l)=36.

所以/+y2的取值范圍是口6,34

故答案為：口6,36]

【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，同時考查了圓的性質(zhì)，利用一的幾何

意義為解題的關(guān)鍵，屬于難題.

題型3類比點到直線距離

由兩點間距離公式，可以考慮轉(zhuǎn)化成點到直線的距離公式。

【例題3]（2021秋?西湖區(qū)校級期末）函數(shù)y=（：■：七?”eR,0<?<與的最大

值是（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】B

【分析】分析可知函數(shù)y=普絲等"皂的幾何意義為點(o,o)到直線(t-

J(t-V2cosa)2+(\/2sina)2

V2cosa)x+V2sina-y+(cosa+V2sina)t—V2=0的距離，求出直線(t—V2cosa)x+

V2sina-y+(cosa+V2sina)t-V2=0所過定點P的坐標(biāo)，可得出所求函數(shù)的最大值為

\0P\,即可得解.

【詳解】解：函數(shù)y=|(cosa+V2sina)t-V2|_|(cosa+\/2sina)t-\/2|

z2Z

Vt-2V2tcosa+2J(t-V2cosa)+(V2sina)

的幾何意義為點(0,0)到直線(t-V2cosa)x+V2sina-y+(cosa+V2sina)t-V2=0的距

離i

由直線(t—V2cosa)x+V2sina-y+(cosa+V2sina)t—V2=0,

即為￡(%+cosa+V2sina)+(V2ysina—V2xcosa—V2)=0,

由［x4-cosa+V2sina=0可得卜=-cosa—d^sina

(V2ysina—V2xcosa—V2=0/(y=sina—企cosa’

則直線恒過定點P(-cosa-Vasina,sina-V2cosa),

由題意可得原點到定點P的距離即為所求最大值，

可得|0P|=J(-cosa—V2sina)2+(sina—\/2cosa)2=V3,

故選：B.

【變式3-1]1.(2022?新疆模擬)若立嶼=衛(wèi)二=1,則(匕一犯下+-、2)2的最小

yiy?

值是()

A.-B.-C.V2D.2

22

【答案】D

【分析】問題轉(zhuǎn)化為曲線y=/一Inx上的點P到x-y-2=。的距離平方的最小值，需滿

足函數(shù)f(x)="一Inx在點P處的切線與直線x-y-2=0平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求

得點P的坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】解:由已知可得力=好一In%,為=*2-2,

2

貝(101-X2)+(71-%)2的最小值即為曲線y=/一Inx的點到直線x-y-2=0的距離最

小值的平方，

設(shè)/GO=x2-lnx(x>0),則尸(x)=2x-,令2x-^=1,解得x=1,

/(D=1,

曲線y=/-Inx與x-y-2=。平行的切線相切于P(l,l),

則所求距離的最小值為點P(L1)到直線x-y-2=0的距離的平方，即(島)=2.

故選：D.

【變式3-1]2.(2023?河南河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)點P在曲線y=

上,點Q在曲線y=ln(2x-2)±,則|PQ|的最小值為()

A.1-ln2B.V2(l-ln2)

C.1+ln2D.V2(l+ln2)

【答案】B

【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的對稱性，把所求的點點距離轉(zhuǎn)化為點線距離，構(gòu)造函數(shù)求最小值

即可.

【詳解】令t=x-1,則y=[et,y=In2t這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱.

所以y=1e(xT)與y=ln(2x-2)的圖象可以看成是由y=^et,y=In2t這兩個函數(shù)圖象向

右平移一個單位得到的.

所以IPQI的最小值即為曲線y=9與y=In2t上兩點的最小值.

曲線y=上的點M?修點)到直線y=x的距離為d=等

設(shè)/(t)=ief-t(t>0),則/(t)=料-1.

由r(t)=le￡-l>0可得t>ln2,由/''?)=iec-l<0可得0<t<ln2

所以/(t)=|ef-t(t>0)在(0,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)t=ln2時，函數(shù)/"(t)min=1-ln2,所以dmin=與新

由圖象關(guān)于y=X對稱得：|PQ|的最小值為2dmin=2x與券=V2(l-ln2).

故選：B

【變式3-1]3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知實數(shù)a,b,c,d滿足|ln(a-l)-b\+\c-

d+2|=0,貝！](a-c)2+(b-d)2的最小值為()

A.2V2B.8C.4D.16

【答案】B

【分析】利用絕對值的性質(zhì)及兩點間的距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公

式即可求解.

【詳解】由|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0得，ln(a-l)-/j=0,c-d+2=0,即匕=

ln(a—1)rd=c+2,

(Q-c)2+(b-d)2的幾何意義為曲線b=ln(a-1)上的點口b)到直線d=c+2上的點

(c,d)連線的距離的平方，

不妨設(shè)曲線y=ln(x-1)，直線y=x+2，設(shè)與直線y=x+2平行且與曲線y=ln(x-1)相

切的直線方程為y=x+m,

顯然直線y=x+2與直線y=x+m的距離的平方即為所求，

由y=ln(x-1),得y，=占，設(shè)切點為(尤o，Yo)，

f六=irx0=2

叫yo—xo+m,解得m=-2,

(%=ln(x0-1)5=0

二直線y=x+2與直線y=x+m的距離為生短=2V2,

V2

.?.(a-c)2+(b-d)2的最小值為8.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為求曲線b=ln(a-1)上的點(a,b)到直

線d=c+2上的點(c,d)連線的距離的平方，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為求曲線y=ln(x-1)上的點到直

線丫=x+2上點的距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可.

【變式3-114.(2021春?北海期末)實數(shù)a,3c,d滿足?=詈=1-c)2+(d-d)2

的最小值為()

A.2B.2A/2C.4D.8

【答案】D

【分析】由題知b=ea+1,d=c-2,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為曲線y=3、+1上一點9/)與直線丁=

x-2上一點(c,d)間的距離的平方，故只需求解y=1+i上與直線y=x-2平行的切線的切

點,進(jìn)而得答案.

【詳解】由-=7=1,可得b=ea+1,d=c-2,

ba

故(a-c)2+(b-d)2幾何意義為曲線y=ez+1±—點(a,b)與直線y=x—2上一點(c,d)間

的距離的平方.

對于函數(shù)y=/+1,令/=""=1,解得x=-1,

所以函數(shù)y=e*+i在(-1,1)處的切線方程為x-y2=0,切線方程與直線y=x-2平行，

則函數(shù)y=蜻+1在(-1,1)處的切線方程與直線y=x-2之間的距離d=左鏟1=2夜，故

(a-c)2+(b-d)2的最小值為d2=8.

故選:D

【變式3-1]5.(2021?山東模擬)若%,yeR,x>0,求Q-y)2+(41nx-x2-2y-l)2

的最小值為()

A.V5B,-C.-D.—

555

【答案】C

【分析】根據(jù)a-y)2+(41nx-x2-2y-的幾何意義構(gòu)造函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為點到直線的

距離問題即可.

【詳解】問題可以轉(zhuǎn)化為：A(x,41nx-/)是函數(shù)y=41nx-/圖象上的點，

B(y,2y+1)是函數(shù)y=2x+1上的點，|4B『=(x-y)2+(41nx-x2-2y-l)2.

當(dāng)與直線y=2x+1平行且與f(x)的圖象相切時，切點到直線y=2x+1的距離為|AB|的最

小值.

f'(x)=^-2x=2,X2+X-2=0,X=1,舍去負(fù)值，

又f(l)=-1,所以到直線y=2x+1的距離即為|AB|的最小值.

|4B|min=gMB扁n=?

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是理解(x-獷+(41nx-/一2丁一i)2的幾何意義

題型4類比直線與曲線的位置關(guān)系

利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，可以將方程解的問題，轉(zhuǎn)化成直線與曲線的位置關(guān)系問題，應(yīng)用數(shù)形

結(jié)合思想，進(jìn)行求解.

【例題4](2021秋?運(yùn)城期中)直線y=依-1與曲線y=-51-(x-2＞有兩個不同的公

共點，貝!Jk的取值范圍是

【答案】/ce(o.i]

結(jié)合圖象可以知道,k的取值范圍是(0,J故答案是:(0,1].

點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形

結(jié)合求解.

【變式4-1]1.若關(guān)于x的方程x+b=3-中有解，則實數(shù)b的取值范圍

是.

【答案】34b45+2V2

【分析】將方程變形，可得，4%-》2=_%+3一b,等價于y=V4x-x2^y=-%+3-fe

的圖象有公共點，轉(zhuǎn)化為半圓與直線的交點問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求出b的范圍.

【詳解】解：關(guān)于X的方程x+b=3-74X-%2有解等價于，4x-=-X+3-b有解,

等價于y=V4x-/與y=-x+3-6的圖象有公共點，

...y=慶中等價于/肯/，等價于產(chǎn)-2]=4,

其圖象為(2,0)為圓心2為半徑的圓的上半部分，

作圖可得當(dāng)平行直線y=-X+3-b介于兩直線之間時滿足題意，

易得直線小的截距為0,設(shè)直線n的截距為t,

由直線與圓相切可得直線x+y-t=。到點(2,0)的距離為2,

可得*=2,解得t=2+2近，或t=2-2在(舍去)，

0<b-3<2+2V2,解得3<b<5+2A/2,

故答案為：34b45+2企.

I1-X2

【變式4-1]2.(2022秋?吉州區(qū)校級期中)若方程』-1=0僅有一解，則實數(shù)a的取

值范圍是.

【答案】-1<a<1或1=V2

/1-X2________ll-x2

【詳解】試題分析：=一-1=0即后，=x+a,所以，方程二一一1=。僅有一解，

x+ax+a

即，半圓y=71=返與直綺=x+a只有一個交點，如圖所示，可知實數(shù)a的取值范圍是

{V2}U(-1,1].

考點：本題主要考杳方程解的概念，直線與圓的位置關(guān)系.

點評：典型題，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程解的問題，轉(zhuǎn)化成直線與圓的位置關(guān)系問題，

應(yīng)用教形結(jié)合思想，使問題得解.難度不大，貴在轉(zhuǎn)化.

題型5類比和差距離問題

寸!：我重點

雙根號問題，可以通過配方，轉(zhuǎn)化成距離之和問題。

【例題5］(2021?安徽開學(xué))求函數(shù)y=Vx2-8x+17+石E的最小值為.

【答案】5

【分析】將函數(shù)式表示為點點距的形式，可轉(zhuǎn)化為求距離之和的最小值，從而求出答案.

【詳解】解：函數(shù)

y=Vx2—8x+17+Vx2+4=^/(x—4)2+1+Vx2+4=5/(x—4)2+(0—l)2+

J(x-0)2+(0+2尸表示x軸上動點P(x,0)到*4,1)和B(0,-2)的距離和,當(dāng)

P為48與x軸的交點時，函數(shù)取最小值|4B|=J(4—0)2+(1+2產(chǎn)=5,

故答案為：5

題型6絕對值中的距離問題

【例題6】(2021?杭州模擬)已知函數(shù)/'(X)=|%2+”+可在區(qū)間［0,4］上的最大值為M,

當(dāng)實數(shù)a,b變化時，M最小值為，當(dāng)M取到最小值時，a+b=

【答案】2-2

【解析】/(x)=|x2-4x-[-(a+4)x-如，則M即為函數(shù)g(x)=/一4x與函數(shù)h(x)=

-(a+4)%-b圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值，作出圖象,由圖象觀察即可得出

答案.

【詳解】解：f(x)=\x2-4x+(a+4)x+b\=\x2-4x-[-(a+4)x-￡>]|,

上述函數(shù)可理解為當(dāng)橫坐標(biāo)相同時，函數(shù)g(x)="一4x,x€[0,4]與函數(shù)h(x)=-(a+

4)x—Z?,xG[0,4]圖象上點的縱向距離,

則M即為函數(shù)g(x)="一4%與函數(shù)h(x)=-(a+4)x-b圖象上點的縱向距離的最大值中

的最小值，

由圖象可知，當(dāng)函數(shù)旗乃的圖象剛好為y=-2時，M取得最小值為2,此時-(a+4)=0,

且—b=—2,即a=—4,b=2,

故a+b=-2.

故答案為：2,-2.

【點睛】本題考查絕對值函數(shù)中的最值問題，考查"平口單峰"函數(shù)的構(gòu)造，考查數(shù)形結(jié)合

思想，屬于中檔題.

題型7兩曲線間點的距離

【例題7](2023?全國?高三專題練習(xí))若X、a、b為任意實數(shù)，若(a+I)2+(6-2)2=1,

則(x-a)2+(Inx-b)2最小值為()

A.2V2B.9C.9-4V2D.2V2-1

【答案】C

【分析】由題可知，問題可轉(zhuǎn)化為圓(x+1)2+(y-2產(chǎn)=1上動點到函數(shù)y=Inx圖像上動

點距離的最小值，即求函數(shù)y=lnx上動點到圓心(-1,2)距離的最小值，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)y

=Inx在處的切線與(mjnm)和(-1,2)連線垂直時為最小值，據(jù)此求出m的值，即

可得到答案.

【詳解】由(a+1產(chǎn)+(b-2>=[可得(a,b)在以(-1,2)為圓心,1為半徑的圓上,

(x-a)2+(Inx-b)2表示點(a,b)與點(x,Inx)的距離的平方，

即表示圓(X+1)2+(y-2)2=1上動點到函數(shù)y=Inx圖像上動點距離的平方.

設(shè)(m,lnm)為y=Inx上一點且在(ndn/n)處的y=Inx的切線與(mJnm)和(-1,2)連線垂直,

即有Inm+m2+m=2,

由/'(m)=Inm+m2+m在TH>0時遞增,且/'(1)=2,可得m=l,即切點為(1,0),

圓心與切點的距離為d=+1)2+(0-2為=2>/2,

由此可得(x-a)2+(Inx-b)2的最小值為(2e-I)2=9-4V2.

故選：C.

【變式7-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知實數(shù)a,b,c,d滿足a=efc=ln(d-1),

則(a-c)2+(b-d)2的最小值為()

A.-2B.1C.V2D.2

【答案】D

【分析】理解原代數(shù)式的含義,轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，再分析其幾何意義，構(gòu)造函數(shù)即可求解.

【詳解】a=eb~1,c=ln(d—1),.,.(a—c)2+(6—d~)2=[eft-1—ln(d—l)]2+

[(Z?-1)-(d-1)]2,

22X122

令b—1=xltd—1=x2,則(a—c)+(b—d)—(e—lnx2)+0—x2),

其幾何意義為點A(x1,eZ)與點8(%2，1標(biāo)2)之間距離的平方，

設(shè)f(x)=e\5(x)=Inx,則點A和B分別在f(x)和g(x)的圖像上，如下圖,

顯然f(x)和g(x)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x對稱，

則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點A與點B關(guān)于y=x對稱,

不妨設(shè)B(x,ln無)，則4(Inx,x),

AB2-2(x—Inx)2,設(shè)h(x)=x—Inx,h'(x)=1—：=,

當(dāng),0<x<<0，在x=l處取得最小值h(l)=1,

即h(x)21>0,.?.當(dāng)/i(x)取最小值時，即是4#取得最小值，

AB2的最小值為2xl2=2；

故選：D.

【變式7-1】2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=e2，+i的圖象與函數(shù)y=幽產(chǎn)的

圖象關(guān)于某一條直線I對稱，若P,Q分別為它們圖象上的兩個動點,則這兩點之間距離的

最小值為()

A等B.等C.空普D.V2(4+ln2)

【答案】A

【分析】由于P(a,b)為函數(shù)y=e2'+i圖象上任意一點，關(guān)于直線y=x+1的對稱點為

Q(b-1,a+1)在y=嶼產(chǎn)的圖象上，所以函數(shù)y=e2'+i的圖象與y=則等型的圖象關(guān)

于直線y=x+1對稱，從而將問題轉(zhuǎn)化為這兩點之間距離的最小值等于P到直線y=x+1

距離最小值的2倍然后利用導(dǎo)求出與直線y=x+1平行且與曲線y=e2x+i相切的直線，

從而可求得答案

【詳解】設(shè)P(a,b)為函數(shù)y=e2x+i圖象上任意一點，則匕=e2a+i,P(a,b)關(guān)于直線y=x+l

的對稱點為Q(b-1,Q+1),

2v-1+1

設(shè)"=6—l/v=a+l/則a=v—lr/?=iz+l,所以〃+1=e^^f

所以。=幽產(chǎn)，即函數(shù)y=e2x+i的圖象與y=的產(chǎn)的圖象關(guān)于直線y=x+1對稱,

所以這兩點之間距離的最小值等于P到直線y=%+1距離最小值的2倍.

2x+1

函數(shù)y=e2x+i在點P(xo，yo)處的切線斜率為k=2e?xo+i,令k=2e?=1得=一手，

y。=w，

所以點P到直線y=x+1距離的最小值為d=卜芋川=等，

所以這兩點之間距離的最小值為2d=等.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查函數(shù)圖象的對稱問題，考查數(shù)

學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，解題的關(guān)鍵是得到函數(shù)y=e2x+i的圖象與y=四等11的圖象關(guān)于

直線y=x+1對稱，從而將問題轉(zhuǎn)化為這兩點之間距離的最小值等于P到直線y=x+1距

離最小值的2倍，屬于較難題

2

1.（2022?浙江模擬）已知xG[-V3,V3],ye/?+,貝!-y）+=道-y的最小值

為.

【答案】21—6A/6+21

【分析】分別作y=6二/,y=爭勺圖象，取點（％71=）,（X，）,則原式可看為兩圖

象上各取一點的距離的平方，可轉(zhuǎn)化為圖象上點到圓心的距離減半徑的平方.計算結(jié)果即可.

【詳解】解：分別作y=禽=淳,y=:的圖象，

分別取點（％百二寵），（％》,原式視為兩圖象上各取一點的距離的平方，

設(shè)P為y=%與y==的交點，

PO2=x2+^>2V81=18,即PO=3VL

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，取等號.

故得的最小值為（OP-V3）2=21-6x/6.

故答案為：21-6>/6.

2（2023浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知兩曲線y=e'與y=In%+a，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若兩曲線只有一個交點，則這個交點的橫坐標(biāo)x6（1,2）

B.若a=3,則兩曲線只有一條公切線

C.若a=2,則兩曲線有兩條公切線，且兩條公切線的斜率之積為e

D.若。=1,P,Q分別是兩曲線上的點，則P,Q兩點距離的最小值為1

【答案】C

【分析】對于選項A,由公切線斜率相等，可得關(guān)系x°ex。=1，借助導(dǎo)數(shù)求出x范圍;

對于選項B,由八(x)=1-Inx-3有兩個零點可判斷為錯誤；

對于選項C,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，解方程組可判斷；

對于選項D,由圖象，或找到兩曲線斜率相等的切線，求出切線間的距離，可判斷.

【詳解】若兩曲線只有一個交點，記交點為人(而工》。),則e'。=lnx0+a,

且在此處的切線為公切線，所以M。=工，即X。滿足x°ex。=1.

x0

設(shè)f(x)=xe"則Xe(-1,+8)時單調(diào)遞增，/⑴=e>l,所以A錯誤.

如上圖，a=3時，設(shè)/i(x)=ex-Inx-3,

則"(x)=ex-i,由于=e-1>0,=Ve-2<0,

所以存在&eG，1),使得〃(x)=0,

那么當(dāng)XG(O,Xo)時，h'(x)<0,h(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，

當(dāng)x€(x(),+8)時，〃(無)>0,h(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

且八(》=Ve+ln2-3<0,所以無(久)=0有兩個零點，

則兩曲線有兩個公共點，故沒有公切線，所以B錯誤.

a=2時，設(shè)Q,e，)是曲線y=e*上的一點，y=靖，

所以在點(t,et)處的曲線y=e，切線方程為y-1=ef(x-1),即y=efx+(1-t)et①,

設(shè)G,lns+2）是曲線y=Inx+a上的一點，/=：,

所以在點（s,Ins+2）處的切線方程為y-（Ins+2）=g（x-s）,即y=gx+Ins+1

所以［=?，解得t=o或t=i

1（1—t）ef=Ins+1

所以所以兩斜率分別是1和e,所以C正確.

a=1時,曲線y=e"的一條切線為y=%4-1,y=Inx+Q的一條切線y=x,

兩切線間的距離為最小值號,所以D錯誤.

故選：C

3.（2022?成都模擬）已知In%-巧-%+2=0,%2+2為-4-21n2=0,則

J一冷）2+（為一丫2）2的最小值為（）

A逗B.至C.亞DX

5555

【答案】B

【分析】J01-亞）2+（乃-丫2）2的最小值可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Inx-X+2圖像上的點01，%）

與直線x+2y-4-21n2=0上的點（X2J2）的距離的最小值.

【詳解】設(shè)401，%）,8（小,丁2），

點A（%i，乃）在函數(shù)y=Inx-x+2±,點在函數(shù)％+2y-4-21n2=0±,

J（X1-?。?+（%-丫2）2表示曲線y=Inx-x+2上點A01，%）到直線x+2y-4-

21n2=0的點8（%2，、2）距離.

由y=Inx-x+2，可得y，=：-1，與直線x+2y-4-21n2=0平行的直線的斜率為一|,

令(一1=一]得X=2，所以切點的坐標(biāo)為(2,ln2),

切點到直線x+2y-4-21n2=0的距離d==咚

-,■J(X1一犯)2+(%-丫2)2的最小值為管.

故選：B

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知點P為函數(shù)f(x)=Inx+e(x>2)圖像上任意一點，點Q

為圓卜-(e+U1)]2+y2=1上任意一點，則線段PQ的長度的最小值為()

AVi+e2(i+e)-egV2e2+i-e

?e,e

QVe2+i-e口e-Ve2-i

'e'e

【答案】A

【分析】先求P點到圓心的最小距離PM,令g(x)=PM2,利用導(dǎo)數(shù)求最小值，線段PQ的

長度的最小值為PM的最小值減去圓的半徑.

【詳解】解：設(shè)P(x,Inx+e),又圓[x—(e+!+1)