新課標(biāo)高中文科數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

1高中數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1】集合的含義與表示(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集,N*或N+表示正整數(shù)集,Z表示整數(shù)集,Q表示有理數(shù)集,R表示實(shí)數(shù)集.(3)集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是aM∈,或者aM?,兩者必居其一.(4)集合的表示法①自然語言法:用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?②列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法:{x|x具有的性質(zhì)},其中x為集合的代表元素.④圖示法:用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).【1.1.2】集合間的基本關(guān)系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A有(1)nn≥個元素,則它有2n個子集,它有21n-個真子集,它有21n-個非空子集,它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本運(yùn)算(8)交集、并集、補(bǔ)集【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕對值的不等式的解法(2)一元二次不等式的解法0)〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念(1)函數(shù)的概念①設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中任何一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)()fx和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到B的一個函數(shù),記作:fAB→.②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.③只有定義域相同,且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).(2)區(qū)間的概念及表示法①設(shè),ab是兩個實(shí)數(shù),且ab<,滿足axb≤≤的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間,記做[,]ab;滿足axb<<的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間,記做(,)ab;滿足axb≤<,或axb<≤的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分別記做[,)ab,(,]ab;滿足,,,xaxaxbxb≥>≤<的實(shí)數(shù)x的集合分別記做[,),(,),(,],(,)aabb+∞+∞-∞-∞.注意:對于集合{|}xaxb<<與區(qū)間(,)ab,前者a可以大于或等于b,而后者必須ab<.(3)求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:①()fx是整式時,定義域是全體實(shí)數(shù).②()fx是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).③()fx是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實(shí)數(shù)的集合.④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1.⑤tanyx=中,()2xkkZππ≠+∈.⑥零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零.⑦若()fx是由有限個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時,則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題,一般步驟是:若已知()fx的定義域?yàn)閇,]ab,其復(fù)合函數(shù)[()]fgx的定義域應(yīng)由不等式()agxb≤≤解出.⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù),求其定義域,根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù),其定義域除使函數(shù)有意義外,還要符合問題的實(shí)際意義.(4)求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法:①觀察法:對于比較簡單的函數(shù),我們可以通過觀察直接得到值域或最值.②配方法:將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和,然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.③判別式法:若函數(shù)()yfx=可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程2()()()0ayxbyxcy++=,則在()0ay≠時,由于,xy為實(shí)數(shù),故必須有2()4()()0byaycy?=-?≥,從而確定函數(shù)的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.⑤換元法:通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的,三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.⑥反函數(shù)法:利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.⑦數(shù)形結(jié)合法:利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.⑧函數(shù)的單調(diào)性法.【1.2.2】函數(shù)的表示法(5)函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法:就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法:就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法:就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6)映射的概念①設(shè)A、B是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到B的映射,記作:fAB→.②給定一個集合A到集合B的映射,且,aAbB∈∈.如果元素a和元素b對應(yīng),那么我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值(1)函數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法②在公共定義域內(nèi),兩個增函數(shù)的和是增函數(shù),兩個減函數(shù)的和是減函數(shù),增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù),減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).③對于復(fù)合函數(shù)[()]yfgx=,令()ugx=,若()yfu=為增,()ugx=為增,則[()]yfgx=為增;若()yfu=為減,()ugx=為減,則[()]yfgx=為增;若()yfu=為增,()ugx=為減,則[()]yfgx=為yxo減;若()yfu=為減,()ugx=為增,則[()]yfgx=為減.(2)打“√”函數(shù)()(0)afxxax=+>的圖象與性質(zhì)()fx分別在(,-∞、)+∞上為增函數(shù),分別在[、上為減函數(shù).(3)最大(小)值定義①一般地,設(shè)函數(shù)()yfx=的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:(1)對于任意的xI∈,都有()fxM≤;(2)存在0xI∈,使得0()fxM=.那么,我們稱M是函數(shù)()fx的最大值,記作max()fxM=.②一般地,設(shè)函數(shù)()yfx=的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)m滿足:(1)對于任意的xI∈,都有()fxm≥;(2)存在0xI∈,使得0()fxm=.那么,我們稱m是函數(shù)()fx的最小值,記作max()fxm=.【1.3.2】奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法②若函數(shù)()fx為奇函數(shù),且在0x=處有定義,則(0)0f=.③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同,偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.④在公共定義域內(nèi),兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù)),兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù),一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).〖補(bǔ)充知識〗函數(shù)的圖象(1)作圖利用描點(diǎn)法作圖:①確定函數(shù)的定義域;②化解函數(shù)解析式;③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性);④畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖:要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.①平移變換0,0,|()()hhhhyfxyfxh><=???????→=+左移個單位右移|個單位0,0,|()()kkkkyfxyfxk><=???????→=+上移個單位下移|個單位②伸縮變換01,1,()()yfxyfxωωω<<>=????→=伸縮01,1,()()AAyfxyAfx<<>=????→=縮伸③對稱變換()()xyfxyfx=???→=-軸()()yyfxyfx=???→=-軸()()yfxyfx=???→=--原點(diǎn)1()()yxyfxyfx-==????→=直線()(||)yyyyfxyfx=???????????????→=去掉軸左邊圖象保留軸右邊圖象,并作其關(guān)于軸對稱圖象()|()|xxyfxyfx=?????????→=保留軸上方圖象將軸下方圖象翻折上去(2)識圖對于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.(3)用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性,它是探求解題途徑,獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)〖2.1〗指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(1)根式的概念①如果,,,1nxaaRxRn=∈∈>,且nN+∈,那么x叫做a的n次方根.當(dāng)n是奇數(shù)時,a的n次方根用n是偶數(shù)時,正數(shù)a的正的nn次方根用符號0的n次方根是0;負(fù)數(shù)a沒有n次方根.這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)時,a為任意實(shí)數(shù);當(dāng)n為偶數(shù)時,0a≥.③根式的性質(zhì):na=;當(dāng)na=;當(dāng)n為偶數(shù)時,(0)||(0)aaaaa≥?==?-<?.(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:0,,,mnaamnN+>∈且1)n>.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0.②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:1()0,,,mmnnaamnNa-+==>∈且1)n>.0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.注意口訣:底數(shù)取倒數(shù),指數(shù)取相反數(shù).(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①(0,,)rsrsaaaarsR+?=>∈②()(0,,)rsrsaaarsR=>∈③()(0,0,)rrrabababrR=>>∈【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(4)指數(shù)函數(shù)〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算(1)對數(shù)的定義①若(0,1)xaNaa=>≠且,則x叫做以a為底N的對數(shù),記作logaxN=,其中a叫做底數(shù),N叫做真數(shù).②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).③對數(shù)式與指數(shù)式的互化:log(0,1,0)xaxNaNaaN=?=>≠>.(2)幾個重要的對數(shù)恒等式log10a=,log1aa=,logbaab=.(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù):lgN,即10logN;自然對數(shù):lnN,即logeN(其中2.71828e=…).(4)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果0,1,0,0aaMN>≠>>,那么①加法:logloglog()aaaMNMN+=②減法:logloglogaaaMMNN-=③數(shù)乘:loglog()naanMMnR=∈④logaNaN=⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb=≠∈⑥換底公式:loglog(0,1)logbabNNbba=>≠且【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(5)對數(shù)函數(shù)〖2.3〗冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)yxα=叫做冪函數(shù),其中x為自變量,α是常數(shù).(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布:冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限,第四象限無圖象.冪函數(shù)是偶函數(shù)時,圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對稱);是奇函數(shù)時,圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱);是非奇非偶函數(shù)時,圖象只分布在第一象限.②過定點(diǎn):所有的冪函數(shù)在(0,)+∞都有定義,并且圖象都通過點(diǎn)(1,1).③單調(diào)性:如果0α>,則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn),并且在[0,)+∞上為增函數(shù).如果0α<,則冪函數(shù)的圖象在(0,)+∞上為減函數(shù),在第一象限內(nèi),圖象無限接近x軸與y軸.④奇偶性:當(dāng)α為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)α為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)qpα=(其中,pq互質(zhì),p和qZ∈),若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時,則qpyx=是奇函數(shù),若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時,則qpyx=是偶函數(shù),若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時,則qpyx=是非奇非偶函數(shù).⑤圖象特征:冪函數(shù),(0,)yxxα=∈+∞,當(dāng)1α>時,若01x<<,其圖象在直線yx=下方,若1x>,其圖象在直線yx=上方,當(dāng)1α<時,若01x<<,其圖象在直線yx=上方,若1x>,其圖象在直線yx=下方.〖補(bǔ)充知識〗二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式:2()(0)fxaxbxca=++≠②頂點(diǎn)式:2()()(0)fxaxhka=-+≠③兩根式:12()()()(0)fxaxxxxa=--≠(2)求二次函數(shù)解析式的方法①已知三個點(diǎn)坐標(biāo)時,宜用一般式.②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時,常使用頂點(diǎn)式.③若已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),且橫線坐標(biāo)已知時,選用兩根式求()fx更方便.(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca=++≠的圖象是一條拋物線,對稱軸方程為,2bxa=-頂點(diǎn)坐標(biāo)是24(,)24bacbaa--.②當(dāng)0a>時,拋物線開口向上,函數(shù)在(,]2ba-∞-上遞減,在[,)2ba-+∞上遞增,當(dāng)2bxa=-時,2min4()4acbfxa-=;當(dāng)0a<時,拋物線開口向下,函數(shù)在(,]2ba-∞-上遞增,在[,)2ba-+∞上遞減,當(dāng)2bxa=-時,2max4()4acbfxa-=.③二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca=++≠當(dāng)240bac?=->時,圖象與x軸有兩個交點(diǎn)11221212(,0),(,0),||||MxMxMMxx=-.(4)一元二次方程20(0)axbxca++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容,這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及,但尚不夠系統(tǒng)和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用,下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì),系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布.設(shè)一元二次方程20(0)axbxca++=≠的兩實(shí)根為12,xx,且12xx≤.令2()fxaxbxc=++,從以下四個方面來分析此類問題:①開口方向:a②對稱軸位置:2bxa=-③判別式:?④端點(diǎn)函數(shù)值符號.①k<x1≤x2?②x1≤x2<k?③x1<k<x2?af(k)<0④k1<x1≤x2<k2?⑤有且僅有一個根x1(或x2)滿足k1<x1(或x2)<k2?f(k1)f(k2)<0,并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2?此結(jié)論可直接由⑤推出.(5)二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca=++≠在閉區(qū)間[,]pq上的最值設(shè)()fx在區(qū)間[,]pq上的最大值為M,最小值為m,令01()2xpq=+.(Ⅰ)當(dāng)0a>時(開口向上)①若2bpa-<,則()mfp=②若2bpqa≤-≤,則()2bmfa=-③若2bqa->,則()mfq=①若02bxa-≤,則()Mfq=②02bxa->,則()Mfp=xxxxx(Ⅱ)當(dāng)0a<時(開口向下)①若2bpa-<,則()Mfp=②若2bpqa≤-≤,則()2bMfa=-③若2bqa->,則()Mfq=①若02bxa-≤,則()mfq=②02bxa->,則()mfp=.第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對于函數(shù)))((Dxxfy∈=,把使0)(=xf成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)))((Dxxfy∈=的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù))(xfy=的零點(diǎn)就是方程0)(=xf實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù))(xfy=的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即:方程0)(=xf有實(shí)數(shù)根?函數(shù))(xfy=的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù))(xfy=有零點(diǎn).3、函數(shù)零點(diǎn)的求法:求函數(shù))(xfy=的零點(diǎn):○1(代數(shù)法)求方程0)(=xf的實(shí)數(shù)根;○2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù))(xfy=的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).4、二次函數(shù)的零點(diǎn):二次函數(shù))0(2≠++=acbxaxy.1)△>0,方程02=++cbxax有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個零點(diǎn).2)△=0,方程02=++cbxax有兩相等實(shí)根(二重根),二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點(diǎn),二次函數(shù)有一個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).3)△<0,方程02=++cbxax無實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn),二次函數(shù)無零點(diǎn).x<O-=f(p)f(q)()2bfa-x<O-=f(p)f(q)()2bfa-x<O-=f(p)f(q)()2bfa-0xx<O-=f(p)f(q)()2bfa-x<O-=f(p)f(q)()2bfa-0x高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)第一章空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖:正視圖:從前往后側(cè)視圖:從左往右俯視圖:從上往下2畫三視圖的原則:長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖:斜二測畫法4斜二測畫法的步驟:(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸;(2).平行于y軸的線長度變半,平行于x,z軸的線長度不變;(3).畫法要寫好。5用斜二測畫法畫出長方體的步驟:(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖1.3空間幾何體的表面積與體積(一)空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積:各個面面積之和2圓柱的表面積3圓錐的表面積2rrlSππ+=4圓臺的表面積22RRlrrlSππππ+++=5球的表面積24RSπ=(二)空間幾何體的體積1柱體的體積hSV?=底2錐體的體積hSV?=底313臺體的體積hSSSSV?++=)31下下上上(4球體的體積334RVπ=第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.11平面含義:平面是無限延展的2平面的畫法及表示(1)平面的畫法:水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,銳角畫成450,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)(2)平面通常用希臘字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點(diǎn)或者相對的兩個頂點(diǎn)的大寫字母來表示,如平面AC、平面ABCD等。3三個公理:(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為A∈LB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用:判斷直線是否在平面內(nèi)(2)公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面。符號表示為:A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個平面α,222rrlSππ+=DCBAαLA2αC2B2A2α使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用:確定一個平面的依據(jù)。(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L公理3作用:判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線:不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)。2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為:設(shè)a、b、c是三條直線a∥bc∥b強(qiáng)調(diào):公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性,在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn):①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定,與O的選擇無關(guān),為簡便,點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上;②兩條異面直線所成的角θ∈(0,);③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時,我們就說這兩條異面直線互相垂直,記作a⊥b;④兩條直線互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形;⑤計(jì)算中,通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系:(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點(diǎn)(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點(diǎn)(3)直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)指出:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外,可用aα來表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。簡記為:線線平行,則線面平行。符號表示:aαbβ=>a∥αa∥b2.2.2平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理:一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行。P2αLβ共面直線=>a∥c2符號表示:aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種:(1)用定義;(2)判定定理;(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理:一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為:線面平行則線線平行。符號表示:a∥αaβa∥bα∩β=b作用:利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理:如果兩個平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行。符號表示:α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用:可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線L與平面α互相垂直,記作L⊥α,直線L叫做平面α的垂線,平面α叫做直線L的垂面。如圖,直線與平面垂直時,它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。Lpα2、判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念:表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法:二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個平面互相垂直的判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結(jié)構(gòu)框圖第三章直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念:當(dāng)直線l與x軸相交時,取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α=0°.2、傾斜角α的取值范圍:0°≤α<180°.當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°.3、直線的斜率:一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα?當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;?當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式:給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率:斜率公式:k=y2-y1/x2-x13.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合,如果它們平行,那么它們的斜率相等;反之,如果它們的斜率相等,那么它們平行,即注意:上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少這個前提,結(jié)論并不成立.即如果k1=k2,那么12PP=一定有L1∥L22、兩條直線都有斜率,如果它們互相垂直,那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù);反之,如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù),那么它們互相垂直,即3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程1、直線的點(diǎn)斜式方程:直線l經(jīng)過點(diǎn)),(000yxP,且斜率為k)(00xxkyy-=-2、、直線的斜截式方程:已知直線l的斜率為k,且與y軸的交點(diǎn)為),0(bbkxy+=3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程1、直線的兩點(diǎn)式方程:已知兩點(diǎn)),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxx≠≠y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線的截距式方程:已知直線l與x軸的交點(diǎn)為A)0,(a,與y軸的交點(diǎn)為B),0(b,其中0,0≠≠ba3.2.3直線的一般式方程1、直線的一般式方程:關(guān)于yx,的二元一次方程0=++CByAx(A,B不同時為0)2、各種直線方程之間的互化。3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1、給出例題:兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)L1:3x+4y-2=0L1:2x+y+2=0解:解方程組34202220xyxy+-=??++=?得x=-2,y=2所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(-2,2)3.3.2兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間的距離公式3.3.3點(diǎn)到直線的距離公式1.點(diǎn)到直線距離公式:點(diǎn)),(00yxP到直線0:=++CByAxl的距離為:2200BACByAxd+++=2、兩平行線間的距離公式:1l和2l的一般式方程為1l:已知兩條平行線直線01=++CByAx,2l:02=++CByAx,則1l與2l的距離為2221BACCd+-=第四章圓與方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:222()()xaybr-+-=圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程2、點(diǎn)00(,)Mxy與圓222()()xaybr-+-=的關(guān)系的判斷方法:(1)2200()()xayb-+->2r,點(diǎn)在圓外(2)2200()()xayb-+-=2r,點(diǎn)在圓上(3)2200()()xayb-+-<2r,點(diǎn)在圓內(nèi)4.1.2圓的一般方程1、圓的一般方程:022=++++FEyDxyx2、圓的一般方程的特點(diǎn):(1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.②沒有xy這樣的二次項(xiàng).(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了.(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯。4.2.1圓與圓的位置關(guān)系1、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.設(shè)直線l:0=++cbyax,圓C:022=++++FEyDxyx,圓的半徑為r,圓心)2,2(ED--到直線的距離為d,則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn):(1)當(dāng)rd>時,直線l與圓C相離;(2)當(dāng)rd=時,直線l與圓C相切;(3)當(dāng)rd<時,直線l與圓C相交;4.2.2圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為l,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn):(1)當(dāng)21rrl+>時,圓1C與圓2C相離;(2)當(dāng)21rrl+=時,圓1C與圓2C外切;(3)當(dāng)<-||21rr21rrl+<時,圓1C與圓2C相交;(4)當(dāng)||21rrl-=時,圓1C與圓2C內(nèi)切;(5)當(dāng)||21rrl-<時,圓1C與圓2C內(nèi)含;4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系;2、過程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟:第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步:通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題;第三步:將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.4.3.1空間直角坐標(biāo)系1、點(diǎn)M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組),,(zyx,x、y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組),,(zyx,對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組),,(zyx來表示,該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記M),,(zyx,x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式1、空間中任意一點(diǎn)),,(1111zyxP到點(diǎn)),,(2222zyxP之間的距離公式22122122121)()()(zzyyxxPP-+-+-=y高中數(shù)學(xué)必修3知識點(diǎn)第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念:在數(shù)學(xué)上,現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2.算法的特點(diǎn):(1)有限性:一個算法的步驟序列是有限的,必須在有限操作之后停止,不能是無限的.(2)確定性:算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果,而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.(3)順序性與正確性:算法從初始步驟開始,分為若干明確的步驟,每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步,并且每一步都準(zhǔn)確無誤,才能完成問題.(4)不唯一性:求解某一個問題的解法不一定是唯一的,對于一個問題可以有不同的算法.(5)普遍性:很多具體的問題,都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決,如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.1.1.2程序框圖1、程序框圖基本概念:(一)程序構(gòu)圖的概念:程序框圖又稱流程圖,是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分:表示相應(yīng)操作的程序框;帶箭頭的流程線;程序框外必要文字說明。(二)構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外,大多數(shù)流程圖符號只有一個進(jìn)入點(diǎn)和一個退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個退出點(diǎn)的唯一符號。4、判斷框分兩大類,一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷,而且有且僅有兩個結(jié)果;另一類是多分支判斷,有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。(三)、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。1、順序結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu),語句與語句之間,框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的,它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的,它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來,按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中,A框和B框是依次執(zhí)行的,只有在執(zhí)行完A框指定的操作后,才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。2、條件結(jié)構(gòu):條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立,只能執(zhí)行A框或B框之一,不可能同時執(zhí)行A框和B框,也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。3、循環(huán)結(jié)構(gòu):在一些算法中,經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始,按照一定條件,反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況,這就是循環(huán)結(jié)構(gòu),反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體,顯然,循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu),循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類:(1)、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),如下左圖所示,它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時,執(zhí)行A框,A框執(zhí)行完畢后,再判斷條件P是否成立,如果仍然成立,再執(zhí)行A框,如此反復(fù)執(zhí)行A框,直到某一次條件P不成立為止,此時不再執(zhí)行A框,離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。(2)、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu),如下右圖所示,它的功能是先執(zhí)行,然后判斷給定的條件P是否成立,如果P仍然不成立,則繼續(xù)執(zhí)行A框,直到某一次給定的條件P成立為止,此時不再執(zhí)行A框,離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。當(dāng)型循注意:1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán),這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此,循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu),但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù),累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的,累加一次,計(jì)數(shù)一次。1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句1、輸入語句(1)輸入語句的一般格式(2)輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能;(3)“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息,變量是指程序在運(yùn)行時其值是可以變化的量;(4)輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù),不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式;(5)提示內(nèi)容與變量之間用分號“;”隔開,若輸入多個變量,變量與變量之間用逗號“,”隔開。2、輸出語句(1)輸出語句的一般格式(2)輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能;(3)“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息,表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù);(4)輸出語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。3、賦值語句(1)賦值語句的一般格式(2)賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量;(3)賦值語句中的“=”稱作賦值號,與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換,它將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量;(4)賦值語句左邊只能是變量名字,而不是表達(dá)式,右邊表達(dá)式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式;(5)對于一個變量可以多次賦值。注意:①賦值號左邊只能是變量名字,而不能是表達(dá)式。如:2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。(如化簡、因式分解、解方程等)④賦值號“=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。1.2.2條件語句1、條件語句的一般格式有兩種:(1)IF—THEN—ELSE語句;(2)IF—THEN語句。2、IF—THEN—ELSE語句IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1,對應(yīng)的程序框圖為圖2。圖1圖2分析:在IF—THEN—ELSE語句中,“條件”表示判斷的條件,“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容;“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容;ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時,首先對IF后的條件進(jìn)行判斷,如果條件符合,則執(zhí)行THEN后面的語句1;若條件不符合,則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IF—THEN語句IF—THEN語句的一般格式為圖3,對應(yīng)的程序框圖為圖4。注意:“條件”表示判斷的條件;“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容,條件不滿足時,結(jié)束程序;ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時首先對IF后的條件進(jìn)行判斷,如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句,若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句,轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。1.2.3循環(huán)語句循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu),一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句(1)WHILE語句的一般格式是(2)當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時,先判斷條件的真假,如果條件符合,就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體;然后再檢查上述條件,如果條件仍符合,再次執(zhí)行循環(huán)體,這個過程反復(fù)進(jìn)行,直到某一次條件不符合為止。這時,計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體,直接跳到WEND語句后,接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此,當(dāng)型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語句(1)UNTIL語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是(2)直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán),從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析,計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時,先執(zhí)行一次循環(huán)體,然后進(jìn)行條件的判斷,如果條件不滿足,繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體,然后再進(jìn)行條件的判斷,這個過程反復(fù)進(jìn)行,直到某一次條件滿足時,不再執(zhí)行循環(huán)體,跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句,是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。分析:當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別:(先由學(xué)生討論再歸納)(1)當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行,直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷;在WHILE語句中,是當(dāng)條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體,在UNTIL語句中,是當(dāng)條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法,用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下:(1):用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商0S和一個余數(shù)0R;(2):若0R=0,則n為m,n的最大公約數(shù);若0R≠0,則用除數(shù)n除以余數(shù)0R得到一個商1S和一個余數(shù)1R;(3):若1R=0,則1R為m,n的最大公約數(shù);若1R≠0,則用除數(shù)0R除以余數(shù)1R得到一個商2S和一個余數(shù)2R;……依次計(jì)算直至nR=0,此時所得到的1nR即為所求的最大公約數(shù)。2、更相減損術(shù)我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法,就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟:可半者半之,不可半者,副置分母?子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之。翻譯為:(1):任意給出兩個正數(shù);判斷它們是否都是偶數(shù)。若是,用2約簡;若不是,執(zhí)行第二步。(2):以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把較小的數(shù)與所得的差比較,并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).分析:(略)3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別:(1)都是求最大公約數(shù)的方法,計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主,更相減損術(shù)以減法為主,計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對較少,特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來看,輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到,而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到1.3.2秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念:f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0求多項(xiàng)式的值時,首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項(xiàng)式的值,即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0這樣,把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項(xiàng)式的值的問題。2、兩種排序方法:直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想:插入排序的思想就是讀一個,排一個。將第1個數(shù)放入數(shù)組的第1個元素中,以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較,確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置.將該位置以及以后的元素向后推移一個位置,將讀入的新數(shù)填入空出的位置中.(由于算法簡單,可以舉例說明)2、冒泡排序基本思想:依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.1.3.3進(jìn)位制1、概念:進(jìn)位制是一種記數(shù)方式,用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù),基數(shù)為n,即可稱n進(jìn)位制,簡稱n進(jìn)制?，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制,通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對于任何一個數(shù),我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如:十進(jìn)數(shù)57,可以用二進(jìn)制表示為111001,也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39,它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地,若k是一個大于一的整數(shù),那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為:110()110...(0,0,...,,)nnknnaaaaakaaak--<<≤<,而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)第二章統(tǒng)計(jì)2.1.1簡單隨機(jī)抽樣1.總體和樣本在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體.把每個研究對象叫做個體.把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量.為了研究總體的有關(guān)性質(zhì),一般從總體中隨機(jī)抽取一部分:,,,研究,我們稱它為樣本.其中個體的個數(shù)稱為樣本容量.2.簡單隨機(jī)抽樣,也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等,完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是:每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等),樣本的每個單位完全獨(dú)立,彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時,才采用這種方法。3.簡單隨機(jī)抽樣常用的方法:(1)抽簽法;?隨機(jī)數(shù)表法;?計(jì)算機(jī)模擬法;?使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中,主要考慮:①總體變異情況;②允許誤差范圍;③概率保證程度。4.抽簽法:(1)給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號;(2)準(zhǔn)備抽簽的工具,實(shí)施抽簽(3)對樣本中的每一個個體進(jìn)行測量或調(diào)查例:請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。5.隨機(jī)數(shù)表法:例:利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動。2.1.2系統(tǒng)抽樣1.系統(tǒng)抽樣(等距抽樣或機(jī)械抽樣):把總體的單位進(jìn)行排序,再計(jì)算出抽樣距離,然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。K(抽樣距離)=N(總體規(guī)模)/n(樣本規(guī)模)前提條件:總體中個體的排列對于研究的變量來說,應(yīng)是隨機(jī)的,即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下,從不同的樣本開始抽樣,對比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別,說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律,且這種循環(huán)和抽樣距離重合。2.系統(tǒng)抽樣,即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊筝^低,實(shí)施也比較簡單。更為重要的是,如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用,總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話,使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。2.1.3分層抽樣1.分層抽樣(類型抽樣):先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟?然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本,最后,將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法:1.先以分層變量將總體劃分為若干層,再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2.先以分層變量將總體劃分為若干層,再將各層中的元素按分層的順序整齊排列,最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2.分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個個同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體,再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體,所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn):(1)以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。(2)以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。(3)以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3.分層的比例問題:(1)按比例分層抽樣:根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。(2)不按比例分層抽樣:有的層次在總體中的比重太小,其樣本量就會非常少,此時采用該方法,主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時,則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理,調(diào)整樣本中各層的比例,使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1、本均值:nxxxxn+++=212、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差:nxxxxxxssn222212)()()(-++-+-==3.用樣本估計(jì)總體時,如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以反映總體的信息,但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中,這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差,而只是一個估計(jì),但這種估計(jì)是合理的,特別是當(dāng)樣本量很大時,它們確實(shí)反映了總體的信息。4.(1)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差不變(2)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k,標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍(3)一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響,區(qū)間)3,3(sxsx+-的應(yīng)用;“去掉一個最高分,去掉一個最低分”中的科學(xué)道理2.3.2兩個變量的線性相關(guān)1、概念:(1)回歸直線方程(2)回歸系數(shù)2.最小二乘法3.直線回歸方程的應(yīng)用(1)描述兩變量之間的依存關(guān)系;利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測;把預(yù)報(bào)因子(即自變量x)代入回歸方程對預(yù)報(bào)量(即因變量Y)進(jìn)行估計(jì),即可得到個體Y值的容許區(qū)間。(3)利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化,通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。4.應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)(1)做回歸分析要有實(shí)際意義;(2)回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖;(3)回歸直線不要外延。第三章概率3.1.1—3.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義1、基本概念:(1)必然事件:在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫相對于條件S的必然事件;(2)不可能事件:在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫相對于條件S的不可能事件;(3)確定事件:必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件;(4)隨機(jī)事件:在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫相對于條件S的隨機(jī)事件;(5)頻數(shù)與頻率:在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=nnA為事件A出現(xiàn)的概率:對于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上,把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率。(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系:隨機(jī)事件的頻率,指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值nnA,它具有一定的穩(wěn)定性,總在某個常數(shù)附近擺動,且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多,這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率,概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念:(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若A∩B為不可能事件,即A∩B=ф,那么稱事件A與事件B互斥;(3)若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件;(4)當(dāng)事件A與B互斥時,滿足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);若事件A與B為對立事件,則A∪B為必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性質(zhì):1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0≤P(A)≤1;2)當(dāng)事件A與B互斥時,滿足加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B);3)若事件A與B為對立事件,則A∪B為必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B);4)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系,互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生,其具體包括三種不同的情形:(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生;(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生;(3)事件A與事件B同時不發(fā)生,而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生,其包括兩種情形;(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生;(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生,對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1—3.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、(1)古典概型的使用條件:試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。(2)古典概型的解題步驟;①求出總的基本事件數(shù);②求出事件A所包含的基本事件數(shù),然后利用公式P(A)=總的基本事件個數(shù)包含的基本事件數(shù)A3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念:(1)幾何概率模型:如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型;(2)幾何概型的概率公式:P(A)=積)的區(qū)域長度(面積或體試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成積)的區(qū)域長度(面積或體構(gòu)成事件A;(2)幾何概型的特點(diǎn):1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個;2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.高中數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)第一章三角函數(shù)?????正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱α為第幾象限角.第一象限角的集合為{}36036090,kkkαα?<<?+∈Z第二象限角的集合為{}36090360180,kkkα?+<?+∈Z第三象限角的集合為{}360180360270,kkkαα?+<<?+∈Z第四象限角的集合為{}360270360360,kkkαα?+<<?+∈Z終邊在x軸上的角的集合為{}180,kkαα=?∈Z終邊在y軸上的角的集合為{}18090,kkαα=?+∈Z終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{}90,kkαα=?∈Z3、與角α終邊相同的角的集合為{}360,kkββα=?+∈Z4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.5、半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,則角α的弧度數(shù)的絕對值是lrα=.6、弧度制與角度制的換算公式:2360π=,1180π=,180157.3π??=≈???.7、若扇形的圓心角為()αα為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則lrα=,2Crl=+,21122Slrrα==.8、設(shè)α是一個任意大小的角,α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(),xy,它與原點(diǎn)的距離是()rr=,則sinyrα=,cosxrα=,()tan0yxxα=≠.9、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正.10、三角函數(shù)線:sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.11、角三角函數(shù)的基本關(guān)系()221sincos1αα+=()2222sin1cos,cos1sinαααα=-=-()sin2tancosααα=sinsintancos,costanαααααα??==???.12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式:()()1sin2sinkπαα+=,()cos2coskπαα+=,()()tan2tankkπαα+=∈Z.()()2sinsinπαα+=-,()coscosπαα+=-,()tantanπαα+=.()()3sinsinαα-=-,()coscosαα-=,()tantanαα-=-.()()4sinsinπαα-=,()coscosπαα-=-,()tantanπαα-=-.口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限.()5sincos2παα??-=???,cossin2παα??-=???.()6sincos2παα??+=???,cossin2παα??+=-???.口訣:正弦與余弦互換,符號看象限.13、①的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移?個單位長度,得到函數(shù)()sinyx?=+的圖象;再將函數(shù)()sinyx?=+的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的1ω倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)()sinyxω?=+的圖象;再將函數(shù)()sinyxω?=+的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)()sinyxω?=A+的圖象.②數(shù)sinyx=的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的1ω倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)sinyxω=的圖象;再將函數(shù)sinyxω=的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移?ω個單位長度,得到函數(shù)()sinyxω?=+的圖象;再將函數(shù)()sinyxω?=+的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)()sinyxω?=A+的圖象.14、函數(shù)()()sin0,0yxω?ω=A+A>>的性質(zhì):①振幅:A;②周期:2πωT=;③頻率:12fωπ==T;④相位:xω?+;⑤初相:?.函數(shù)()sinyxω?=A++B,當(dāng)1xx=時,取得最小值為miny;當(dāng)2xx=時,取得最大值為maxy,則()maxmin12yyA=-,()maxmin12yyB=+,()21122xxxxT=-<.15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):sinyx=cosyx=tanyx=圖象定義域RR,2xxkkππ??≠+∈Z????值域[]1,1-[]1,1-R最值當(dāng)22xkππ=+()k∈Z時,max1y=;當(dāng)22xkππ=-()k∈Z時,min1y=-.當(dāng)()2xkkπ=∈Z時,max1y=;當(dāng)2xkππ=+()k∈Z時,min1y=-.既無最大值也無最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在2,222kkππππ??-+????在[]()2,2kkkπππ-∈Z上是增在,22kkππππ??-+???函數(shù)性質(zhì)()k∈Z上是增函數(shù);在32,222kkππππ??++????()k∈Z上是減函數(shù).函數(shù);在[]2,2kkπππ+()k∈Z上是減函數(shù).()k∈Z上是增函數(shù).對稱性對稱中心()(),0kkπ∈Z對稱軸()2xkkππ=+∈Z對稱中心(),02kkππ??+∈Z???對稱軸()xkkπ=∈Z對稱中心(),02kkπ??∈Z???無對稱軸第二章平面向量16、向量:既有大小,又有方向的量.數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.有向線段的三要素:起點(diǎn)、方向、長度.零向量:長度為0的向量.單位向量:長度等于1個單位的向量.平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量:長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運(yùn)算:?三角形法則的特點(diǎn):首尾相連.?平行四邊形法則的特點(diǎn):共起點(diǎn).?三角形不等式:ababab-≤+≤+.?運(yùn)算性質(zhì):①交換律:abba+=+;②結(jié)合律:()()abcabc++=++;③00aaa+=+=.?坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)()11,axy=,()22,bxy=,則()1212,abxxyy+=++.18、向量減法運(yùn)算:?三角形法則的特點(diǎn):共起點(diǎn),連終點(diǎn),方向指向被減向量.?坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)()11,axy=,()22,bxy=,則()1212,abxxyy-=--.設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為()11,xy,()22,xy,則()1212,xxyyAB=--.19、向量數(shù)乘運(yùn)算:?實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作aλ.①aaλλ=;②當(dāng)0λ>時,aλ的方向與a的方向相同;當(dāng)0λ<時,aλ的方向與a的方向相反;當(dāng)0λ=時,0aλ=.?運(yùn)算律:①()()aaλμλμ=;②()aaaλμλμ+=+;③()ababλλλ+=+.?坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)(),axy=,則()(),,axyxyλλλλ==.baCBAabCC-=A-AB=B20、向量共線定理:向量()aa≠與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ,使baλ=.設(shè)()11,axy=,()22,bxy=,其中0b≠,則當(dāng)且僅當(dāng)12210xyxy-=時,向量a、()0bb≠共線.21、平面向量基本定理:如果1e、2e是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)1λ、2λ,使1122aeeλλ=+.(不共線的向量1e、2e作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè)點(diǎn)P是線段12PP上的一點(diǎn),1P、2P的坐標(biāo)分別是()11,xy,()22,xy,當(dāng)12λPP=PP時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是1212,11xxyyλλλλ++???++??.(當(dāng)時,就為中點(diǎn)公式。)1=λ23、平面向量的數(shù)量積:?()cos0,0,0180abababθθ?=≠≠≤≤.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.?性質(zhì):設(shè)a和b都是非零向量,則①0abab⊥??=.②當(dāng)a與b同向時,abab?=;當(dāng)a與b反向時,abab?=-;22aaaa?==或a.③abab?≤.?運(yùn)算律:①abba?=?;②()()()abababλλλ?=?=?;③()abcacbc+?=?+?.?坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)兩個非零向量()11,axy=,()22,bxy=,則1212abxxyy?=+.若(),axy=,則222axy=+,或a=.設(shè)()11,axy=,()22,bxy=,則12120abxxyy⊥?+=.設(shè)a、b都是非零向量,()11,axy=,()22,bxy=,θ是a與b的夾角,則cosababθ?==.第三章三角恒等變換24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:?()coscoscossinsinαβαβαβ-=+;?()coscoscossinsinαβαβαβ+=-;?()sinsincoscossinαβαβαβ-=-;?()sinsincoscossinαβαβαβ+=+;?()tantantan1tantanαβαβαβ--=+?(()()tantantan1tantanαβαβαβ-=-+);?()tantantan1tantanαβαβαβ++=-?(()()tantantan1tantanαβαβαβ+=+-).25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:?sin22sincosααα=.222)cos(sincossin2cossin2sin1ααααααα±=±+=±??2222cos2cossin2cos112sinααααα=-=-=-?升冪公式2sin2cos1,2cos2cos122αααα=-=+?降冪公式2cos21cos2αα+=,21cos2sin2αα-=.?22tantan21tanααα=-.26、?(后兩個不用判斷符號,更加好用)27、合一變形?把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù),一個角,一次方”的BxAy++=)sin(??形式。()sincosααα?A+B=+,其中tan?B=A.28、三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換,提高三角變換能力,要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件,靈活運(yùn)用三角公式,掌握運(yùn)算,化簡的方法和技能.常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下:(1)角的變換:在三角化簡,求值,證明中,表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角,可根據(jù)角與角之間的和差,倍半,互補(bǔ),互余的關(guān)系,運(yùn)用角的變換,溝通條件與結(jié)論中角的差異,使問題獲解,對角的變形如:①α2是α的二倍;α4是α2的二倍;α是2α的二倍;2α是4α的二倍;②2304560304515oooooo=-=-=;問:=12sinπ;=12cosπ;③ββαα-+=)(;④)4(24αππαπ--=+;⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=;等等(2)函數(shù)名稱變換:三角變形中,常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ),通常化切為弦,變異名為同名。(