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安徽省蕪湖市中華藝術(shù)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共5小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.使角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,則225°是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2.已知,()A. B. C. D.3.已知,則的值等于()A. B. C. D.4.在半徑為2的圓中,弧長為π的弧所對(duì)的圓心角為()A.60° B.90° C.120° D.180°5.已知函數(shù)圖象恰好關(guān)于y軸對(duì)稱,則下列說法正確的是()A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.f(x)在上單調(diào)遞增 D.若f(x)在區(qū)間上存在最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為二、多選題:本題共3小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.(多選)6.下列命題正確的有()A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B.單位向量都相等C.若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同D.若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),且,則四邊形ABCD是平行四邊形(多選)7.下列正確的是()A.sin158°cos48°+cos22°sin48°=1 B.sin20°cos110°+cos160°sin70°=1 C.D.(多選)8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,把函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則()A. B.為偶函數(shù) C.g(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共20分.9.函數(shù)的定義域?yàn)開_____.10.已知α,β為三角形的兩個(gè)內(nèi)角,,則β=______.11.已知關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是______.四、解答題:本題共4小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.12.(10分)已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(﹣8,m),且.(1)求m的值;(2)求的值.13.(12分)已知函數(shù),x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.14.(12分)已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)把y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位(x)的圖象,若,求函數(shù)y=g(x)15.(12分)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用,一個(gè)半徑為3m的筒車,按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周的時(shí)長為2min,筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒,設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為y(單位:m)(在水面下則y為負(fù)數(shù)),則y與時(shí)間t(單位:min)之間的關(guān)系為y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,).(Ⅰ)求A,ω,φ,b的值;(Ⅱ)盛水筒出水后至少經(jīng)過多長時(shí)間就可以到達(dá)最高點(diǎn)?安徽省蕪湖市中華藝術(shù)學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題:本題共5小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【分析】利用第三象限角的范圍即可做出判斷.【解答】解:因?yàn)榈谌笙藿堑姆秶鸀閧α|180°+360°k<α<270°+360°k,k∈Z},若α=225°,則k=0,所以225°是第三象限角.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了象限角的判斷,屬于基礎(chǔ)題.2.【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,求得所給式子的值.【解答】解:∵tanα=2,,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式即可化簡求值.【解答】解:∵,∴.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合弧長公式,即可求解.【解答】解:在半徑為2的圓中,弧長為π的弧所對(duì)的圓心角為.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧長公式,屬于基礎(chǔ)題.5.【分析】利用三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性及誘導(dǎo)公式求得f(x)的解析式,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【解答】解:因?yàn)閳D象恰好關(guān)于y軸對(duì)稱,即,所以,解得ω=4k﹣4,又因?yàn)?<ω<π,所以k=5,,選項(xiàng)A:f(x)的最小正周期為,正確;選項(xiàng)B:由可得,錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí),,所以由余弦函數(shù)的圖象可得f(x)=5cos2x在單調(diào)遞增,在,錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:當(dāng)時(shí),,若f(x)在區(qū)間上存在最大值,解得a>0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.二、多選題:本題共3小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.6.【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合相反向量、單位向量,向量相等的定義,即可依次判斷.【解答】解:方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線,故A正確;單位向量方向可以不同,故B錯(cuò)誤;向量可以平移,即使兩個(gè)向量相同、終點(diǎn)可以不同;若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),且,則,,故四邊形ABCD是平行四邊形,故D正確.故選:AD.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相反向量、單位向量,向量相等的定義,屬于基礎(chǔ)題.7.【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系逐項(xiàng)計(jì)算,可得合適的選項(xiàng).【解答】解:對(duì)于A選項(xiàng),sin158°cos48°+cos22°sin48°=sin(180°﹣22°)cos48°+cos22°sin48°=sin22°cos48°+cos22°sin48°=sin(22°+48°)=sin70°≠1;對(duì)于B選項(xiàng),sin20°cos110°+cos160°sin70°=sin20°cos(90°+20°)+cos(180°﹣20°)sin(90°﹣20°)=﹣sin220°﹣cos820°=﹣1,B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),,D對(duì).故選:CD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.8.【分析】由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ,由五點(diǎn)作圖求出ω,可得f(x)的解析式,再根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,求得g(x)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),得出結(jié)論.【解答】解:根據(jù)函數(shù)的部分圖象,可得A=2,,所以,故A正確;結(jié)合五點(diǎn)法作圖,可得,所以,所以.把函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍,得到函數(shù)的圖象,則,顯然不是偶函數(shù);B錯(cuò)誤由于,是最值,故g(x)的圖象關(guān)系直線對(duì)稱,故C正確;由,可得,而正弦函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞減,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選:ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求函數(shù)的解析式,由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ,由五點(diǎn)作圖求出ω,還考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于中檔題.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共20分.9.【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域,解,k∈Z,即可得出原函數(shù)的定義域.【解答】解:解得,,k∈Z,∴原函數(shù)的定義域?yàn)椋海蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)定義域的定義及求法,正切函數(shù)的定義域,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10.【分析】由已知數(shù)據(jù)可得sinα和cos(α+β)的值,而sinβ=sin[(α+β)﹣α]=cosαsin(α+β)﹣sinαcos(α+β),代值計(jì)算可得.【解答】解:∵α,β為三角形的兩個(gè)內(nèi)角,∴,∵,,∴或,∴或.由,故.故答案為:或.【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式,涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系,屬中檔題.11.【分析】由題意可得,在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,作出函數(shù)在上的圖象,結(jié)合圖象即可求解.【解答】解;因?yàn)殛P(guān)于x的方程在,即在,結(jié)合函數(shù)圖象可知,﹣1<m<2.故答案為:(﹣3,2).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題.四、解答題:本題共4小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.12.【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)定義可直接構(gòu)造方程求得m;(2)根據(jù)三角函數(shù)定義可得tanα,利用誘導(dǎo)公式化簡所求式子,代入tanα的值即可求得結(jié)果.【解答】解:(1)∵sinα<0,∴m<0,又,解得:m=﹣6.(2)由(1)得:,∴.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.13.(【分析】(1)利用二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)化簡,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;(2)利用整體代換的方法,分別計(jì)算,求解可得答案.【解答】(1)解:,所以函數(shù)f(x)的最小正周期.(2)令,解得,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;令,解得,∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式,二倍角公式,還考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.14.【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象可得A=2,得B=1,由圖象和公式求得,由求得,即可求解;(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換可得,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)g(x)的值域.【解答】解:(1)根據(jù)函數(shù)圖象可得2A=3﹣(﹣6)=4,∴A=2,∴B=4,,得,∴,又∵,∴,∴,∴得,又∵,∴,∴;(2)把y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到,再向下平移一個(gè)單位得到,再向左平移個(gè)單位得到,∴,當(dāng)時(shí),,又函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞增,在,∴,∴,即g(x)值域?yàn)椋军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的圖象變換,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.15.【分析】(Ⅰ)由題知T利用周期公式可
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