【數(shù)學(xué)】變量的相關(guān)關(guān)系課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

在必修課程中,我們學(xué)習(xí)了單個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計(jì)特征的刻畫(huà)等知識(shí)與方法.例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，用方差刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度等．這些方法主要適用于通過(guò)樣本認(rèn)識(shí)單個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.在現(xiàn)實(shí)中，我們還經(jīng)常需要了解兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的關(guān)系.例如，教育部門(mén)為掌握學(xué)生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關(guān)系;醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)要制定預(yù)防青少年近視的措施需要了解有哪些因素會(huì)影響視力,以及這些因素是如何影響視力的;商家要根據(jù)顧客的意見(jiàn)改進(jìn)服務(wù)水平，希望了解哪些因素影響服務(wù)水平，以及這些因素是如何起作用的;等等.為此，我們需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)通過(guò)樣本推斷變量之間關(guān)系的知識(shí)和方法.

本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容有成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、一元線(xiàn)性回歸模型和2×2列聯(lián)表等，這些知識(shí)與方法在解決實(shí)際問(wèn)題中非常有用.可以發(fā)現(xiàn),兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析;利用一元線(xiàn)性回歸模型可以研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測(cè);利用2×2列聯(lián)表可以檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.本章的學(xué)習(xí)對(duì)于提高我們解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)都是非常有幫助的.8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

我們知道,如果變量y是變量x的函數(shù)，那么由x就可以唯一確定y.然而，現(xiàn)實(shí)世界中還存在這樣的情況:兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但密切程度又達(dá)不到函數(shù)關(guān)系的程度.例如，人的體重與身高存在關(guān)系，但由一個(gè)人的身高值并不能確定他的體重值.那么，該如何刻畫(huà)這兩個(gè)變量之間的關(guān)系呢?下面我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系

我們知道，一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系．一般而言，個(gè)子高的人往往體重值較大，個(gè)子矮的人往往體重值較小,但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時(shí)間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系.一、探究新知

兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在.例如:

1.子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，父親的個(gè)子高，其子女的個(gè)子也會(huì)比較高;父親個(gè)子矮,其子女的個(gè)子也會(huì)比較矮.但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高.

2.商品銷(xiāo)售收入y與廣告支出x之間的關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，廣告支出越多，商品銷(xiāo)售收入越高.但廣告支出并不是決定商品銷(xiāo)售收入的唯一因素,商品銷(xiāo)售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān).

3.空氣污染指數(shù)y與汽車(chē)保有量x之間的關(guān)系.一般來(lái)說(shuō)，汽車(chē)保有量增加，空氣污染指數(shù)會(huì)上升.但汽車(chē)保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素.

4.糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系.在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)量就越高.但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響.一、探究新知

因?yàn)樵谙嚓P(guān)關(guān)系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無(wú)法直接用函數(shù)去描述變量之間的這種關(guān)系.對(duì)上述各例中兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們往往會(huì)根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗(yàn)作出推斷.“經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律”,經(jīng)驗(yàn)的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)驗(yàn)推斷又有不足.例如，不同經(jīng)驗(yàn)的人對(duì)同一情形可能會(huì)得出不同結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗(yàn)可循等．因此，在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，我們需要借助數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)，即通過(guò)樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ?再利用模型進(jìn)行估計(jì)或推斷.一、探究新知

在對(duì)人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表所示.表中每個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)體的觀測(cè)結(jié)果,它們構(gòu)成了成對(duì)數(shù)據(jù).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎?一、探究新知編號(hào)1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.2編號(hào)891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/％29.630.231.430.833.535.234.6

為了更加直觀地描述上述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類(lèi)似于用直方圖描述單個(gè)變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征．用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表中每個(gè)編號(hào)下的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了如下圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.二、散點(diǎn)圖

利用統(tǒng)計(jì)較件畫(huà)散點(diǎn)圖,Excel較款件可以通過(guò)插入圖表,

從圖表類(lèi)型中選取散點(diǎn)圖;R軟件可以用函數(shù)plot.

觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線(xiàn)附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢(shì).這樣，由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì),我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱(chēng)這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).三、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)

你能夠推斷下圖中脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量是正相關(guān)或負(fù)相關(guān)嗎？

(1)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)?

(2)你能舉出生活中兩個(gè)變量正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的一些例子嗎?三、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)

散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法．觀察下面散點(diǎn)圖，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點(diǎn)落在某條直線(xiàn)附近.四、線(xiàn)性相關(guān)

一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線(xiàn)附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān).四、線(xiàn)性相關(guān)

下面三個(gè)圖中的變量具有相關(guān)性嗎？

如果具有相關(guān)性，那么是線(xiàn)性相關(guān)嗎？

觀察散點(diǎn)圖，我們發(fā)現(xiàn):圖(1)中的散點(diǎn)落在某條曲線(xiàn)附近，而不是落在一條直線(xiàn)附近，說(shuō)明這兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線(xiàn)性相關(guān);類(lèi)似地，圖(2）中的散點(diǎn)落在一條折線(xiàn)附近，這兩個(gè)變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān);圖(3）中的散點(diǎn)雜亂無(wú)章，無(wú)規(guī)律可言，看不出兩個(gè)變量有什么相關(guān)性.五、非線(xiàn)性相關(guān)或曲線(xiàn)相關(guān)

一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線(xiàn)性相關(guān)，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量非線(xiàn)性相關(guān)或曲線(xiàn)相關(guān).五、非線(xiàn)性相關(guān)或曲線(xiàn)相關(guān)例1考察下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系:(1)商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)；(2)糧食產(chǎn)量與施肥量；(3)人體的脂肪含量與年齡.

這些問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系嗎?六、精典例題例2對(duì)于給定的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是(

)

A.都可以分析出兩個(gè)變量的關(guān)系

B.都可以用一條直線(xiàn)近似地表示兩者的關(guān)系

C.都可以作出散點(diǎn)圖

D.都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系六、精典例題例3在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得

了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡

關(guān)系的散點(diǎn)圖.根據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是()

A.人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%

B.人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%

C.人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%

D.人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%六、精典例題例4某公司抽查5位職工的月收人x及儲(chǔ)蓄額y(單位:元),得到如下

表的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).

(1)作散點(diǎn)圖；

(2)根據(jù)散點(diǎn)圖觀察,猜測(cè)兩個(gè)變量間具否具有相關(guān)關(guān)系.六、精典例題x70080095010001200y254281317331382七、課堂小結(jié)1.正相關(guān)和負(fù)相關(guān)：

2.線(xiàn)性相關(guān)：

3.非線(xiàn)性相關(guān)或曲線(xiàn)相關(guān)：

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的

相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì),我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)

一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，

則稱(chēng)這兩個(gè)變