2023-2024學(xué)年青島超銀高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)（下）4月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年青島超銀高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)（下）4月考試卷2024.4考試時(shí)長：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目填寫在規(guī)定的位置上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，請(qǐng)將對(duì)應(yīng)題目的答案寫在答題紙相應(yīng)位置上．第Ⅰ卷（共60分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．若，，則等于（）A．B．C． D．2．在中，，，若點(diǎn)滿足，以作為基底，則等于（）A．B．C． D．3．已知向量，滿足，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知，則等于（）A．－ B．± C．－1 D．15．將曲線C1：上的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2，則C2的方程為（

）A． B．C． D．6．已知，且，則（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)的直線與邊分別交于兩點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C．2 D．8．若O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．10．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖像，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．將函數(shù)圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，則為奇函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增12．已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）（

）A． B．C． D．在方向上的投影為第Ⅱ卷（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）13．直線l上有不同的三點(diǎn)A，B，C，O是直線l外一點(diǎn)，對(duì)于向量(是銳角)總成立，則．14．已知向量，則在方向上的投影向量是．15．已知平面直角坐標(biāo)系中，向量，，若與的夾角為銳角.則實(shí)數(shù)的取值范圍為．16．如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知向量和，則,,求：(1)的值；(2)的值；(3)與的夾角θ的余弦值．18．如圖，在中，，E是AD的中點(diǎn)，設(shè)，.(1)試用，表示，；(2)若，與的夾角為，求.19．已知是鈍角，是銳角，，.(1)求的值；(2)求的值.20．試分別解答下列兩個(gè)小題：(1)設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量，試確定實(shí)數(shù)，使得和共線；(2)已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，在上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．已知函數(shù)，，，.(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求的值.22．如圖所示，摩天輪的半徑為，最高點(diǎn)距離地面高度為，摩天輪的圓周上均勻地安裝著個(gè)座艙，并且運(yùn)行時(shí)按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周大約需要.甲，乙兩游客分別坐在，兩個(gè)座艙里，且他們之間間隔個(gè)座艙(本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)).

（1）求劣弧的弧長(單位：)；（2）設(shè)游客丙從最低點(diǎn)處進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式；（3）若游客在距離地面至少的高度能夠獲得最佳視覺效果，請(qǐng)問摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周能有多長時(shí)間使甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果.1．D【分析】根據(jù)直接求解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選:D.2．A【分析】結(jié)合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.【詳解】如圖，因，則，即，解得：.故選：A.3．B【分析】由平面向量運(yùn)算律根據(jù)模長可得，再由數(shù)量積定義可得夾角為.【詳解】根據(jù)題意由可得，又，可得，設(shè)向量的夾角為，所以，可得，即.故選：B4．D【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式以及輔助角公式即可求解.【詳解】，故選：D5．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】解：將向右平移個(gè)單位長度得到，再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變得到；故選：A6．D【分析】使用二倍角公式得到關(guān)于一元二次方程，求解，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后根據(jù)二倍角正弦公式計(jì)算可得；【詳解】由得，即，解得或（舍）.又，所以，所以.故選：D.7．A【分析】由三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算得到，再由三點(diǎn)共線，即可求解.【詳解】如圖所示，由三角形重心的性質(zhì)，可得，所以，所以，即，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，所以.故選：A．

8．D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可以得出，進(jìn)而得到，由此可判斷出的形狀.【詳解】∵，，∴，兩邊平方，化簡得∴.∴為直角三角形.因?yàn)椴灰欢ǖ扔冢圆灰欢榈妊苯侨切?故選：D.9．AC【分析】A選項(xiàng)，由正切的和角公式化簡得到答案；B選項(xiàng)，由余弦二倍角公式求出答案；C選項(xiàng)，由正切二倍角公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，通分后，利用輔助角公式，倍角公式和誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，，即，化簡得：，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選：AC10．AC【分析】對(duì)于A：利用向量共線的條件可以判斷；對(duì)于B：直接求出，即可判斷；對(duì)于C：計(jì)算出，即可判斷；對(duì)于D：直接計(jì)算出即可判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，所?故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，所?故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，所以，所?故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．ACD【解析】根據(jù)函數(shù)圖象求得解析式，再根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)及伸縮平移變換分別判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由圖象得函數(shù)最小值為，故，，故，，故函數(shù)，又函數(shù)過點(diǎn)，故，解得，又，即，故，對(duì)稱軸：，解得，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)稱中心：，解得，對(duì)稱中心為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，為奇函數(shù)，故C選項(xiàng)正確；的單調(diào)遞增區(qū)間：，解得，又，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.12．BCD【分析】以E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可.【詳解】由題意可知：E為中點(diǎn)，則，以E為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

所以，設(shè)，，所以，解得，即O是中點(diǎn)，，所以B正確；，所以C正確；因?yàn)椋?，所以A錯(cuò)誤；易知，則在方向上的投影為，所以D正確.故選：BCD13．【分析】利用共線向量基本定理可求出，由平面向量基本定理可建立的等量關(guān)系，求解即可求出的取值.【詳解】因?yàn)橹本€l上有不同的三點(diǎn)A，B，C,所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，即，所以，所以，因?yàn)槭卿J角，所以．故答案為：14．【分析】在方向上的投影向量是:，先求出，代入即可.【詳解】因?yàn)?則在方向上的投影向量是:故答案為：.15．且【分析】根據(jù)題意得，且與不同向共線，再利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式以及向量共線列式即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，由，得，則；由與共線，得，則，此時(shí)與同向共線，故；綜上，且.故答案為：且16．【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.17．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求解；（3）根據(jù)平面向量的夾角公式即可求解．【詳解】（1）∵,,.∴；（2）∵,∴

；（3）∵,∴18．(1)，(2)【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數(shù)乘運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)?，與的夾角為，所以，由（1）知，，，所以.19．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求出，，由及兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】（1）.（2）因?yàn)槭氢g角，是銳角，，所以，，，所以，.所以,20．(1)；(2)存在或滿足題意，理由見解析.【分析】（1）利用向量共線定理即得；（2）設(shè)，，然后利用向量共線的坐標(biāo)表示及向量垂直的坐標(biāo)表示可得，即得.【詳解】（1）由于和共線，設(shè)，，由于，是不共線的兩個(gè)向量，所以，解之得．（2）設(shè)，，則，從而，，，∵，∴，從而，即，解之得：或，所以存在或滿足題意．21．(1)，（開閉均可）(2)【分析】(1)利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為的形式,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出周期及單調(diào)區(qū)間；（2）利用，再由角的變換,誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求值即可.【詳解】（1），所以周期，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（開閉均可）（2），，即，.22．（1）；（2），其中；（3）.【分析】（1）根據(jù)弧長的計(jì)算公式可求的長度.（2）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)的定義可求關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果的時(shí)間長度.【詳解】（1）因?yàn)槟μ燧喌膱A周上均勻地安裝著個(gè)座艙，故每個(gè)座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，故.（2）建立如圖所示