2024年北京市朝陽區(qū)高三數(shù)學(xué)4月第一次模擬質(zhì)檢卷附答案解析

年北京市朝陽區(qū)高三數(shù)學(xué)4月第一次模擬質(zhì)檢卷2024.4（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知全集，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在△ABC中，若a=2bsinA,則B為A． B． C．或 D．或4．已知，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知直線和圓相交于A，B兩點.若，則（

）A．2 B． C．4 D．6．已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．257．已知雙曲線：的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點.若M是線段的中點，則C的漸近線方程為（

）A．B．C． D．8．在中，，，點在線段上.當(dāng)取得最小值時，（

）A． B． C． D．9．在棱長為的正方體中，，，分別為棱，，的中點，動點在平面內(nèi)，且.則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得直線與直線相交B．存在點，使得直線平面C．直線與平面所成角的大小為D．平面被正方體所截得的截面面積為10．已知個大于2的實數(shù)，對任意，存在滿足，且，則使得成立的最大正整數(shù)為（

）A．14 B．16 C．21 D．23第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．在的展開式中，的系數(shù)為(用數(shù)字作答)12．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，則；設(shè)為原點，點在拋物線上，若，則.13．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則；的取值范圍是.14．已知函數(shù).若曲線在點處的切線與其在點處的切線相互垂直，則的一個取值為.15．設(shè)A，B為兩個非空有限集合，定義其中表示集合S的元素個數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學(xué)，生物}，{地理，物理，化學(xué)}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個結(jié)論：①若，則{思想政治，歷史，生物}；②若，則{地理，物理，化學(xué)}；③若{思想政治，物理，生物}，則；④若，則{思想政治，地理，化學(xué)}.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)若，，求的值；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，確定的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：的最大值為2；條件②：的圖象關(guān)于點中心對稱；條件③：的圖象經(jīng)過點.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.17．如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，.(1)求證：；(2)已知，，，是線段上一點，當(dāng)時，求二面角的余弦值.18．為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中的問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向全市高中學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模論文征文活動.對于參加征文活動的每篇論文，由兩位評委獨立評分，取兩位評委評分的平均數(shù)作為該篇論文的初評得分.從評委甲和評委乙負責(zé)評審的論文中隨機抽取10篇，這10篇論文的評分情況如下表所示.序號評委甲評分評委乙評分初評得分1678274.528086833617668.547884815708577.56818382784868586874719667771.510648273(1)從這篇論文中隨機抽取1篇，求甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過的概率；(2)從這篇論文中隨機抽取3篇，甲、乙兩位評委對同一篇論文的評分之差的絕對值不超過的篇數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)對于序號為的論文，設(shè)評委甲的評分為，評委乙的評分為，分別記甲、乙兩位評委對這10篇論文評分的平均數(shù)為，，標(biāo)準(zhǔn)差為，，以作為序號為的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分.對這10篇論文按照初評得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進行排名，判斷序號為2的論文的兩種排名結(jié)果是否相同?（結(jié)論不要求證明）19．已知橢圓：的離心率為，A，B分別是E的左、右頂點，P是E上異于A，B的點，的面積的最大值為.(1)求E的方程；(2)設(shè)O為原點，點N在直線上，N，P分別在x軸的兩側(cè)，且與的面積相等.（i）求證：直線與直線的斜率之積為定值；（ⅱ）是否存在點P使得，若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.20．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式無整數(shù)解，求的取值范圍.21．若有窮自然數(shù)數(shù)列：滿足如下兩個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，其中，表示，這個數(shù)中最大的數(shù)；②，其中，表示，這個數(shù)中最小的數(shù).(1)判斷：2，4，6，7，10是否為數(shù)列，說明理由；(2)若：是數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；(3)證明：對任意數(shù)列：，存在實數(shù)，使得.（表示不超過的最大整數(shù)）1．D【分析】求出集合A，再利用補集的定義求解即得.【詳解】全集，則，所以.故選：D2．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算，化解復(fù)數(shù)，并結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，為第一象限的點.故選：A3．C【詳解】，，則或，選C.4．A【分析】分，，討論函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)充分性和必要性的概念確定答案.【詳解】對于函數(shù)當(dāng)時，，為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分而不必要條件.故選：A.5．D【分析】借助點到直線的距離公式與垂徑定理計算即可得.【詳解】圓的圓心為：，半徑為，則圓心到直線的距離為，由垂徑定理可得.故選：D.6．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，.故選：C7．C【分析】設(shè)雙曲線的右焦點，求出點和的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式列式計算得關(guān)系，進而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點，過第一象限的漸近線方程為，當(dāng)時，，即，又，因為M是線段的中點，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.8．B【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示數(shù)量積，并求最小值，求得的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】如圖，以所在直線為軸，以的垂直平分線建立軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由，，則，所以，，，設(shè)，則，，則，當(dāng)時，取得最小值，此時，.故選：B9．C【分析】連接，，取的中點，連接，點到線段的最短距離大于，即可判斷；建立空間直角坐標(biāo)系，點到平面的距離為，即可判斷；由平面，連接交于點，與全等，所以，即可判斷；平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為，可求截面面積.【詳解】連接，，所以，，取的中點，連接，所以，點到線段的最短距離大于，所以不存在點，使得直線與直線相交，故不正確；以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，，所以，所以點到平面的距離為，而，所以不存在點，使得直線平面，故不正確；因為，所以平面，連接交于點，所以為的中點，，所以為直線與平面所成角，因為，在中，，所以，因為與全等，所以，故正確；延長交的延長線于，連接交于，連接，取的中點，的中點，連接，，，，，，平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為，所以截面面積為，故不正確.故選：.10．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得，則有，即可得解.【詳解】由，且，，故，即，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，即，故，，又，故，即，若，則有，即，由，故.故最大正整數(shù)為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合其單調(diào)性得到，從而得到，則有，即可得解.11．15【分析】集合二項式展開式的通項公式即可求出結(jié)果.【詳解】由二項式的展開式的通項公式，得，令，則，所以系數(shù)為，故答案為：15.12．##0.5【分析】借助拋物線的性質(zhì)及其定義計算即可得.【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，則，，由在拋物線上，故，由，可得，即，即.故答案為：；.13．【分析】結(jié)合分段函數(shù)與絕對值函數(shù)的性質(zhì)，可得，且時，關(guān)于對稱，即可得解.【詳解】由，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且有，，，，，由，則，由時，，則關(guān)于對稱，故，則.故答案為：；.14．(答案不唯一)【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合條件可知，，再根據(jù)函數(shù)的取值，即可求解.【詳解】，由題意可知，，即，所以，得，，，或，得，，，所以，，,所以的一個取值為.故答案為：(答案不唯一)15．①③【分析】對于①③：直接根據(jù)定義計算即可；對于②：通過定義計算得到必為偶數(shù)，討論和兩種情況下的求解即可；對于④：通過舉例{物理，地理，歷史}來說明.【詳解】對于①：，所以，所以，又{地理，物理，化學(xué)}，所以{思想政治，歷史，生物}，①正確；對于②：，即，所以，所以必為偶數(shù)，又，當(dāng)時，，不符合，所以，且，此時情況較多，比如{物理，地理，生物}，②錯誤；對于③：若{思想政治，物理，生物}，則，所以，③正確；對于④：當(dāng){物理，地理，歷史}時，，滿足，但不是{思想政治，地理，化學(xué)}，④錯誤.故選：①③【點睛】方法點睛：對于新定義題目，一定要深刻理解定義的意義，然后套用定義進行計算即可，很多時候新定義題目難度并不很大，關(guān)鍵是要大膽做，用心做.16．(1)(2)，單調(diào)遞增區(qū)間，，【分析】（1）根據(jù)條件，代入，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，選擇條件，代入后，即可求解函數(shù)的解析式，利用三角恒等變換，代入函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】（1）因為，，則，且，則；（2）因為函數(shù)的最小正周期為，則，若選①②，則，且，且，則，則，則，所以；若選擇①③，則，且，則，，則，則，則，所以；若選擇②③，由②可知，，由③可知，，則，所以.，，令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計算即可得.【詳解】（1）取中點，連接、，由，，故、，又、平面，，則平面，又平面，故；（2）由側(cè)面底面，且，平面，平面平面，故平面，又平面，故，即有、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，則，，即、、、、，、、，令，則，由，故，解得，故，令平面的法向量為，則有，令，則有，由軸平面，故平面的法向量可為，則，故二面角的余弦值為.18．(1)(2)分布列見解析，(3)相同【分析】（1）直接利用古典概型的公式求解即可；（2）的可能取值為，，，利用超幾何分布分別求出概率，然后再求期望即可；（3）計算序號為2的論文和序號為3的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分的排名即可.【詳解】（1）設(shè)事件為從這10篇論文中隨機抽取1篇，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過，又在這10篇論文中，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過的有篇，所以；（2）由已知的可能取值為，，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望為；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)序號為2的論文初評得分排名為第，由已知，，明顯序號為7的論文甲乙兩評委評分均最高，故初評得分排名為第，標(biāo)準(zhǔn)化得分排名仍然為第，現(xiàn)在就看初評得分排名為第的序號為的論文其標(biāo)準(zhǔn)化得分排名是否會發(fā)生變化，根據(jù)表中數(shù)據(jù)觀察可得評委甲的評分波動大，故，所以，即，所以序號為2的論文標(biāo)準(zhǔn)化得分排名為第，所以序號為2的論文的兩種排名結(jié)果相同.19．(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）不存在點【分析】（1）利用待定系數(shù)法，列方程組，即可求解；（2）（?。┦紫壤米鴺?biāo)表示和，利用面積相等，以及點在橢圓上的條件，即可化簡斜率乘積的公式，即可證明；（ⅱ）由條件，確定邊長和角度的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合，即可判斷是否存在點滿足條件.【詳解】（1）當(dāng)點是短軸端點時，的面積最大，面積的最大值為，則，得，，所以橢圓的方程為；（2）（?。┰O(shè)，，，，由題意可知，，，即，所以；（ⅱ）假設(shè)存在點，使得，因為，，，所以，，，則，由（?。┛芍?，，又，所以三點共線，如圖，則，所以，則點與點重合，這與已知矛盾，所以不存在點，使.20．(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分三種情況討論的單調(diào)性；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的取值范圍，再結(jié)合不等式，討論的取值，即可求解.【詳解】（1），當(dāng)，得，當(dāng)時，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上可知，時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，時，函數(shù)的增區(qū)間是，無減區(qū)間.（2）不等式，即，設(shè)，，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不等式無整數(shù)解，即無整數(shù)解，若時，不等式恒成立，有無窮多個整數(shù)解，不符合題意，若時，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，，所以無整數(shù)解，符合題意，當(dāng)時，因為，顯然是的兩個整數(shù)解，不符合題意，綜上可知，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵1是不等式的變形，第二個關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)