垂直平分線的證明

關(guān)于垂直平分線的證明問題:如圖,A、B、C三個(gè)村莊合建一所學(xué)校,要求校址P點(diǎn)距離三個(gè)村莊都相等.請(qǐng)你幫助確定校址.

ABC第2頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABMNC

P第3頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天MN

CABQ

第4頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABMNP.Q.C

第5頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.定理(線段垂直平分線的性質(zhì)定理)第6頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.定理第7頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.定理第8頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.定理第9頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.定理第10頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天直線MNAB，垂足是C，且AC=CB.點(diǎn)P在MN上.已知：PA=PB求證：ABCN

MP第11頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明:∵M(jìn)NAB（已知）∴PCA=PCB(垂直的定義)在PCA和PCB中,AC=CB(已知),PCA=PCB(已證)PC=PC(公共邊)∴PCA≌PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)ABCMN

P第12頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABCMN

P當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),上述證明有什么缺陷?PCA與PCB將不存在.PA與PB還相等嗎?相等!此時(shí),PA=CA,PB=CB已知AC=CB∴PA=PB第13頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天已知線段AB,有一點(diǎn)P,并且PA=PB.那么,點(diǎn)P是否一定在AB的垂直平分線上?PABMN

C

P/這樣的點(diǎn)P/不存在第14頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABPC

已知:線段AB,且PA=PB求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上.

過點(diǎn)P作PCAB垂足為C.∵PA=PB(已知)∴PAB是等腰三角形(等腰三角形的定義)∴AC=BC(等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線)∴PC是線段AB的垂直平分線.即點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上.證明:第15頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.逆定理第16頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié):1.線段的垂直平分線上的點(diǎn),和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.2.和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.第17頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABC

MN

第18頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天C

ABMN第19頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.線段的垂直平分線可以看作是第20頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

已知:如圖ABC中,邊AB、BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證:PA=PB=PC.∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等)證明:∵點(diǎn)A在線段AB的垂直平分線上(已知)同理PB=PC∴PA=PB=PC.ACBMPNM/N/第21頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天問題:如圖,A、B、C三個(gè)村莊合建一所學(xué)校,要求校址P點(diǎn)距離三個(gè)村莊都相等.請(qǐng)你幫助確定校址.

ABCP

點(diǎn)P為校址第22頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天作圖題:如圖,在直線l上求一點(diǎn)P,使PA=PB

l

BAP點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)第23頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天填空：1.已知:如圖,AD是ABC的高,E為AD上一點(diǎn),且BE=CE,則ABC為

三角形.ABCE

D1題圖等腰第24頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天填空：1.已知:如圖,AD是ABC的高,E為AD上一點(diǎn),且BE=CE,則ABC為

三角形.2.已知:等腰ABC,AB=AC,AD為BC邊上的高,E為AD上一點(diǎn),則BE

EC.(填>、<或=號(hào))ABCE

DABCE

D1題圖2題圖等腰=第25頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.已知:如圖,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分線MN交AC于D,則1=

,2=

.ABCDMN30o1275o30o60o45o第26頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天填空：4.已知:如圖,在ABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=3cm,ABD的周長(zhǎng)為13cm,則ABC的周長(zhǎng)為

cmABDCE

3cm3cm1913cm第27頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.如圖,CD、EF分別是AB、BC的垂直平分線.請(qǐng)你指出圖中相等的線段有哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BE123CF=DF即:BF=CF=DFACEBFD

第28頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明題:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D.求證:D點(diǎn)在AB的垂直平分線上.ABCD

證明:30o∵C=90o,A=30o(已知)∴ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理)∴A=ABD(等量代換)∴D點(diǎn)在AB的垂直平分線上.(和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.)∵BD平分ABC(已知)∴ABD=30o(角平分線的定義)30o∴AD=BD(等角對(duì)等邊)第29頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明題:2.已知:如圖,線段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求證:AD∥BC.ABCDO123證明:∵線段CD垂直平分AB(已知)∴CA=CB(線段垂直平分線的性質(zhì)定理)∴1=3(等邊對(duì)等角)又∵AB平分CAD(已知)∴1=2(角平分線的定義)∴2=3(等量代換)∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)第30頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明題:3.已知:如圖,在ABC中,AB=AC,A=120o,AB的垂直平分線交AB于E,交BC于F.求證:CF=2BF.ABCEF300

60O30030OCF=2AFAF=BFCF=2BF第31頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),

在這條線段的垂直平分線上.線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.小結(jié)：第32頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天作業(yè):P952.3.4第33頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明題:4.已知:如圖,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)AF.求證:CAF=B.ABCDEF

1234第34頁(yè),共36頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABCDEF

1234∴1+2=4(等邊對(duì)等角)又∵4=B+3(三角形