特征值估計與表示

關于特征值估計與表示§5.1特征值的估計

一、特征值的界

1.定理5.1：設A=(aij)

Rn×n，若

表示A的任一特征值，則其中。2.推論實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天3.引理1：設B

Cn×n，y

Cn為單位列向量，則證明：設B=(bij)

n×n，，則第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天4.定理5.2：設A

Cn×n，則A的任一特征值

滿足

(1)||

||A||m

(2)|Re(

)|0.5||A+AH||m

(3)|Im(

)|0.5||A－AH||m

。證明：設A屬于

的單位特征向量為y，則有Ay=

y，即yHAy=yHy=，因此由引理，于是有第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例：估計矩陣特征值的上界。5.推論

Hermite矩陣的特征值都是實數(shù)，反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù)．解：由定理5.2，對A特征值

，有：|

|2，|Re(

)|2，|Im(

)|1.3，由定理5.1，知其虛部的另一逼近為：其特征值為：第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天6.定義5.1設A=(aij)

Cn×n,記Rr=

s

r|ars|,

r=1,…,n，如果|arr|＞Rr(r=1,2,…,n)，則稱矩陣A按行嚴格對角占優(yōu)；如果|arr|

Rr(r=1，…，n)，且有l(wèi)

ro

n，使得|aroro|>Rro成立，則稱矩陣A按行(弱)對角占優(yōu)。7.定義5.2設A

Cn×n，如果AT按行嚴格對角占優(yōu)，則稱A按列嚴格對角占優(yōu)；如果AT按行(弱)對角占優(yōu)、則稱A按列(弱)對角占優(yōu)。

第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天二、特征值的包含區(qū)域1.定義5.3

設A=(aij)

Cn×n，稱區(qū)域Gi:|z-aii|

Ri為矩陣A的第i個蓋爾圓，其中Ri=

ji|aij|稱為蓋爾圓Gi的半徑(i=l，…，n)。2.定理5.6矩陣A=(aij)

Cn×n的一切特征值都在它的n個蓋爾圓的并集之內(nèi)。證明:設λ為其特征值，為對應特征向量，且為其絕對值最大者，則有即第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天3.定理5.7由矩陣A的所有蓋爾圓組成的連通部分中任取一個，如果它是由k個蓋爾圓構(gòu)成的，則在這個連通部分中有且僅有A的k個特征值(蓋爾圓相重時重復計數(shù)．特征值相同時也重復計數(shù))．證明思路：考慮由A的對角線元素構(gòu)成的矩陣D=diag(a11,a22,…,ann)，定義矩陣B(u)=(1-u)D+uA則其特征值變化連續(xù)依賴于參數(shù)u，D的蓋爾圓連續(xù)變化成為A的蓋爾圓。因此第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例：討論矩陣的特征值的分布。解：A的蓋爾圓分別為|z-1|≤0.8和|z|≤0.5，這兩個蓋爾圓為連通的，因此包含兩個特征值。其特征值為不在蓋爾圓|z|≤0.5內(nèi)。第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天考慮滿秩對角陣則矩陣DAD-1與A具有同樣的特征值，因此有若將Ri改作ri=

ji(|aij|

i/

j)

，則兩個蓋爾定理仍然成立，其中

i都是正數(shù)。第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天隔離矩陣特征值原則選取的一般方法是：觀察A的n個蓋爾圓，欲使第i個蓋爾圓Gi的半徑變大(或小)些，就取

i＞1(或

i＜1)．而取其它正數(shù)=1。此時，B=DAD-1的第i個蓋爾圓的半徑變大(或小)，而B的其余蓋爾圓的半徑相對變小(或變大)．但是，這種隔離矩陣特征值的辦法還不能用于任意的具有互異特征值的矩陣．比如主對角線上有相同元素的矩陣．如果矩陣A按行(列)嚴格對角占優(yōu)，則detA

0。第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例:

隔離矩陣A=的特征值．

A的3個蓋爾圓為G1:|z-20|

5.8，G2:|z-10|

5，G3:|z-10j|

3。G1與G2相交；而G3孤立，其中恰好有A的一個特征值，記作

3(見左圖)．選取D=diag(1，1，2)，則B=DAD-1的三個蓋爾圓為G1’:|z-20|

5.4，G2’:|z-10|

4.5，G3’:|z-10j|

6。易見，這是3個孤立的蓋爾圓，每個蓋爾圓中恰好有B的(也是A的)一個特征值(見右圖)．第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天定理5.11：設矩陣A=(aij)

Cn×n的，0

α

1，λ是A的任一個特征值，則存在i使得|λ–aii|[Ri(A)]α[Ri(AT)]1-α例：討論矩陣的特征值的分布。解：R1(A)=0.8,R2(A)=0.5;R1(AT)=0.5,R2(AT)=0.8.取α=0.5,則A的特征值λ滿足不等式|λ–1|[R1(A)]1/2[R1(AT)]1/2=0.41/2=0.6324|λ|[R2(A)]1/2[R2(AT)]1/2=0.41/2=0.6324第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天§5.2廣義特征值問題

定義:

稱Ax=

Bx的特征值問題為(對稱)矩陣A相對于(對稱)矩陣B的廣義特征值問題，稱數(shù)

為矩陣A相對于矩陣B的特征值；而與

相對應的非零解x稱之為屬于

的特征向量．廣義特征值由det(A-

B)=0的根給出。一、廣義特征值問題的等價形式1.

等價形式1：B可逆時B-1Ax=

x，等價地化為非對稱陣B-1A的普通特征值問題。2.

等價形式2：B正定時B=GGT使得Sy=

y，其中y=GTx，對稱陣S=G-1AG-T。等價地轉(zhuǎn)化為對稱矩陣S的普通特征值問題第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天因此，當B=GGT

正定時有正交矩陣P，使得令Q=G-TP,則有設A與B為正定對稱陣，則A+B仍為正定對稱陣，由以上結(jié)論，存在可逆矩陣Q，使得因此有第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天二、特征向量的共軛性1.在等價的普通特征值問題Sy=

y中，特征向量系y1,y2,…,yn是完備的標準正交系。令xj=G－Tyj，j=1,2,…,n，則有xiTBxj=xiTGGTxj=(GTxi)T(GTxj)=yiTyj=

ij，向量系x1，…，xn稱為按B標準正交化向量系。2.

按B標準正交化向量系的性質(zhì)：性質(zhì)1xj

0(j=1,2,…,n)(j=1，…，n)；性質(zhì)2x1，…，

xn線性無關。第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天§5.3對稱矩陣特征值的極性一、實對稱矩陣的Rayleigh商的極性1.定義：設A是n階實對稱矩陣，x∈Rn．稱為矩陣A的Rayleigh商．2.Rayleigh商的性質(zhì)：性質(zhì)1

R(x)是x的連續(xù)函數(shù)．性質(zhì)2

R(x)是x的零次齊次函數(shù)．即，對任意的實數(shù)

0，有R(

x)=R(x)=

0R(x)第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3

x

L(x0)(x0

0)時，R(x)是一常數(shù)．性質(zhì)4

R(x)的最大值和最小值存在，且能夠在單位球面S={x|x

Rn,||x||2=1}上達到．證：S是閉集，在S上R(x)=xTAx連續(xù)，所以必有x1，x2

S，使得minx

SR(x)=R(x1)maxx

SR(x)=R(x2)

任取0

y

Rn，令y0=y/||y||2，則y0

S，根據(jù)性質(zhì)3，有R(y)=R(y0)，從而R(x1)R(y)R(x2)。第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天實對稱矩陣A的特征值(都是實數(shù))按其大小升序排列：

1

2

…

n，對應的標準正交特征向量系設為P=[p1，…，pn]，則有

定理：設A為實對稱矩陣，則minx

SR(x)=

1，maxx

SR(x)=

n

證：任取x

S，則x=Pc,||c||=1,Ax=APc=Pc

R(x)=xTAx=cTc

1

R(x)

n，Api=

ipi

R(pi)=

i。第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天推論1：在S上p1和pn分別是R(x)的一個極小點和極大點，即R(p1)=

1，R(pn)=

n

推論2

若

1=…=

k(1

k

n)．則在||x||2=l上R(x)的所有極小點為[p1，…，pk]

，||

||2=1。定理：設x

L(pr，…，ps)

，1

r

s

n

，則有minxR(x)=

r，maxxR(x)=

s

Courant-Fischer定理:設實對稱矩陣A的特征值按升序排列，則A的第k個特征值其中Vk是Rn的任意—個k維子空間，1＜k＜n。第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天Courant-Fischer定理的證明構(gòu)造Rn的子空間Wk=L(pk,…,pn)

，則dimWk=n-k+1．由于Vk+Wk

Rn，所以ndim(Vk+Wk)=dim(Vk)+dim(Wk)-dim(Vk

Wk)=n+1-dim(Vk

Wk)dim(Vk

Wk)1

故存在x0=[pk,…,pn]

Vk

Wk，||

||2=1滿足||x0||2=1使得xTAx=

T

k，即max{xTAx|x

Vk,||x||2=1}

k

根據(jù)Vk的任意性，可得:第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天令Vk=L(p1,…,pk)，取x=[pk,…,pn]

Vk滿足||x||2=l，則有xTAx

k，即max{xTAx|x

Vk,||x||2=1}

k

于是第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天二、廣義特征