上海版高中二年級第二學(xué)期《棱柱的體積》說課稿

1、棱柱的體積教材 上海教育出版社高中二年級第二學(xué)期（試驗(yàn)本）教學(xué)目標(biāo)（1）理解祖暅原理的含義，理解利用祖暅原理計算幾何體體積的方法；（2）在發(fā)現(xiàn)祖暅原理的過程中，體會從“平面”到“空間”的類比、猜想、論證的數(shù)學(xué)思想方法；體會祖暅原理中由“面積都相等”推出“體積相等”的辯證法的思想；（3）在推導(dǎo)棱柱體積公式的過程中，理解從特殊到一般，從一般到特殊的歸納演繹的數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方法；掌握棱柱的體積公式，并會利用棱柱的體積公式解決實(shí)際問題；（4）通過介紹我國古代數(shù)學(xué)家和西方數(shù)學(xué)家對幾何體體積研究的成果，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點(diǎn)祖暅原理和棱柱體積公式的推導(dǎo).教

2、學(xué)難點(diǎn)祖暅原理的含義.教學(xué)過程一、實(shí)際問題引入，說明研究棱柱體積的必要性：引例：青藏鐵路是西部大開發(fā)標(biāo)志性工程，計劃投資約262億元，鐵路全長1142公里，是世界上海拔最高，線路最長，穿越凍土里程最長的高原鐵路針對不同情況的多年凍土，有不同的解決辦法與技術(shù)比如埋設(shè)熱棒或通風(fēng)管，就是在路堤中埋設(shè)直徑30厘米左右的金屬或混凝土橫向通風(fēng)管，可以有效降低路基溫度；也可以采用拋石路基，即用碎塊石填筑路基，利用填石路基的通風(fēng)透氣性，隔阻熱空氣下移，同時吸入冷量，起到保護(hù)凍土的作用；在少數(shù)極不穩(wěn)定凍土地段修建低架旱橋，工程效果有保證，但造價高假設(shè)在青藏鐵路的某段路基需要用碎石鋪墊已知路基的形狀尺寸如圖所示（

3、單位：米），問每修建1千米鐵路需要碎石多少立方米？說明：在生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常遇到體積的計算問題，如興修水利、修建道路需要計算土方，修建糧倉、水池需要計算建材數(shù)量和容積因此有必要研究幾何體的體積計算上例就是一個直四棱柱的體積計算問題提出問題：棱柱的體積如何計算？二、探究棱柱體積公式1從已知到未知，從特殊到一般：首先想到已經(jīng)學(xué)過的正方體、長方體的體積公式，然后探究一般棱柱的體積公式（1）（棱長）；（2）長方體（長，寬，高，底面積）2進(jìn)一步考慮正方體、長方體的體積公式的來龍去脈：（1）請學(xué)生談?wù)剬w積的理解，并小結(jié)：幾何體占空間部分的大小叫做它的體積（2） 提問：體積是如何度量的？(類比長度的度量和面

4、積的度量)學(xué)生討論后小結(jié)：1）我們在度量長度時，有一個標(biāo)準(zhǔn)，比如說，1米，1厘米等；將一段線段用1厘米來截，看這個線段是1厘米的多少個倍數(shù)，就是這個線段有多少厘米5倍就是5厘米，1.5倍就是1.5厘米2）在度量面積時，也有一個標(biāo)準(zhǔn)，比如說1平方米即邊長為1米的正方形作為1個單位面積，去度量平面圖形的面積因此，我們?nèi)菀椎玫秸叫蔚拿娣e等于棱長的平方，長方形的面積等于底乘以高因?yàn)槿我舛噙呅味伎梢苑指畛扇舾蓚€三角形，三角形可以補(bǔ)成平行四邊形，平行四邊形可以割補(bǔ)成長方形，所以任意平面多邊形的面積都可以度量（直邊形）3）在體積中，我們也要先選定一個單位，用來度量體積，然后求出幾何體是單位體積的多少倍，多

5、少個倍數(shù)就是幾何體的體積數(shù)值通常把棱長等于單位長度的正方體所占空間的大小作為一個體積單位只要直接把單位正方體盡可能地堆在所量的幾何體內(nèi)，來確定所量幾何體的體積的量數(shù)因此我們?nèi)菀椎玫秸襟w和長方體的體積公式，但是不容易得到一般棱柱的體積公式（可以先把一般棱柱分割成三棱柱，三棱柱補(bǔ)成平行六面體，平行六面體割補(bǔ)成長方體）4）如何找到長方體的體積和一般棱柱的體積之間的關(guān)系？3從平面到空間的類比猜想：（利用幾何畫板的動態(tài)演示）（1）等底等高的長方形和平行四邊形的面積有何關(guān)系？（2）等底等高的三角形的面積有何關(guān)系？（3）等底等高的梯形的面積有何關(guān)系？結(jié)論：根據(jù)面積公式我們可以得到面積均相等初中我們學(xué)過的面

6、積公式的推導(dǎo)是因?yàn)槿我馄矫娑噙呅危ㄖ边呅危┒伎梢杂酶钛a(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為長方形的面積得到在利用幾何畫板動態(tài)演示的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，用平行于底邊的任意直線截兩個平面圖形得到的截線長度總相等啟發(fā)思考：這是否可以成為兩個平面圖形面積相等的條件呢？繼續(xù)探究：線是由無窮多個點(diǎn)構(gòu)成的，面是由無窮多條線構(gòu)成的，立體是由無窮多個平面構(gòu)成的因此我們可以得到：夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形，被平行于這兩條直線的任意直線所截，如果所得的兩條截線長度相等，那么，這兩個平面圖形的面積相等猜想：類比到兩個空間圖形體積相等的條件有什么相似的結(jié)論呢？用平行于底面的任意平面截兩個空間圖形得到的截面面積總相等，則這兩個空間圖形的體

7、積相等 4祖暅原理的引入利用“小試驗(yàn)”驗(yàn)證以上猜想：（1）取一疊裁切相同的紙張堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改變其形狀啟發(fā)思考：1) 推斜以后體積變化了嗎？（幾何體所占空間的大小不變）2) 推斜前后的兩個幾何體（前為長方體，后為平行六面體）還有什么共同之處？（高度沒有改變，每頁紙張的順序和面積也沒有改變）3) 這種共同之處是不是就是兩個幾何體體積相等的條件呢？（2）用一摞不同的書，推移成各種形狀，繼續(xù)探討結(jié)論是否正確（不一定是棱柱）（3）由學(xué)生總結(jié)歸納出祖暅原理的大致內(nèi)容5祖暅原理：“夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異”（1）內(nèi)容解釋：這里的“冪”是指水平截面的面積，“勢”是指高即體積可

8、看成是由面積疊加而成，用一組平行平面截兩個空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對應(yīng)相等，則兩空間圖形的體積必然相等還可表達(dá)為：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等（我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，明確肯定了這一點(diǎn)）（2）由“面積都相等”推出“體積相等”，體會辯證法的思想（3）祖暅原理實(shí)際上是一個定理，但證明它需要用到高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識，中學(xué)階段不能證明它只能判定兩個幾何體是否等積，不能用它具體求出某幾何體的體積要想完成求體積的任務(wù)，還必須已知一個幾何體的體積作為基礎(chǔ)（4）幾何畫板動態(tài)演示任意一個平面截兩個

9、幾何體所得截面的各種位置6 利用祖暅原理推導(dǎo)棱柱體積公式：（1）利用祖暅原理推導(dǎo)棱柱體積，需要構(gòu)造一個幾何體，此幾何體必須符合兩個條件：它的計算公式是已知的；它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與棱柱能夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截它們時，截得的截面面積總相等（2）方法：如果一個棱柱與一個長方體的高相同（都為）且底面面積相等（都為），那么當(dāng)我們用一個與底面平行的平面去截它們時，可以證明截面的面積都等于各自底面的面積，根據(jù)祖暅原理可知，棱柱的體積與長方體的體積相等，即，其中表示棱柱的體積，表示棱柱底面的面積，表示棱柱的高7 介紹祖沖之父子及我國古代數(shù)學(xué)家和西方數(shù)學(xué)家對幾

10、何體體積的研究：中國古代數(shù)學(xué)，在魏晉南北朝達(dá)到新的高峰這一時期的代表人物是劉徽（公元263年左右）、祖沖之（429500）和他的兒子祖暅劉徽為九章算術(shù)作注，祖沖之父子在此基礎(chǔ)上撰寫了綴術(shù)等著作祖沖之精確地計算圓周率，提出約率和密率，是世界數(shù)學(xué)史上的重大成就他們?nèi)诉€先后研究并最終給出了球的體積公式在這過程中，他們利用了“夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異”的原理，唐朝的李淳風(fēng)在為九章算術(shù)作注時稱求球體體積公式的方法是“祖暅之開立園術(shù)”，祖暅之即祖暅，因此我國稱之為祖暅原理意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里1635年提出了相同的原理，西方稱之為卡瓦列里原理，為微積分學(xué)創(chuàng)立作了準(zhǔn)備8祖暅原理的簡單應(yīng)用：（1）

11、 底面積和高都相等的圓柱和長方體的體積相等嗎？（2） 底面積和高都相等的斜六棱柱和三棱錐的體積相等嗎？三、鞏固與應(yīng)用1引例的解答：這是一個底面是梯形的直四棱柱的體積問題2例2已知三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊和的長分別為和，側(cè)棱的長為，求滿足下列條件的三棱柱的體積：（1） 側(cè)棱垂直于底面；（2） 側(cè)棱與底面所成的角為解：（1）因?yàn)閭?cè)棱底面，所以三棱柱的高等于側(cè)棱的長，而底面三角形的面積，于是三棱柱的體積（2）如圖所示，過作平面的垂線，垂足為，于是為三棱柱的高因?yàn)閭?cè)棱與底面所成的角為，所以,可計算得又由（1）可知底面三角形的面積，故三棱柱的體積3 例3一個造橋用的鋼筋混凝土預(yù)制件的尺寸如圖所

12、示（單位：米），澆制一個這樣的預(yù)制件需要多少立方米混凝土？（鋼筋體積略去不計，精確到立方米）解：將預(yù)制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的直四棱柱（平方米），（立方米）答：略說明：在實(shí)際問題中，可能需要將幾何體割、補(bǔ)成棱柱，然后計算其體積，本題意在提高學(xué)生這方面的能力四、課堂小結(jié)：1學(xué)生小結(jié)：2老師小結(jié)：（1）本節(jié)課的主要內(nèi)容有兩個：一是棱柱體積公式的推導(dǎo)所采用的方法是利用祖暅原理，根據(jù)長方體的體積公式推導(dǎo)出棱柱的體積公式應(yīng)用祖暅原理可以根據(jù)已知幾何體的體積求未知幾何體的體積，這是一種求體積的辦法，但要注意是否滿足祖暅原理的條件二是應(yīng)用棱柱體積公式解決實(shí)際問題在具體問題中要結(jié)合直觀圖，認(rèn)

13、真分析棱柱的底面積和高從而得到體積（2）本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法主要體現(xiàn)在：由特殊棱柱長方體的體積推導(dǎo)一般棱柱的體積，再根據(jù)一般棱柱的體積公式去解決具體問題中的特殊棱柱的體積，這種從特殊到一般，再從一般到特殊的歸納演繹的數(shù)學(xué)思想方法常常是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的方法從兩個平面圖形面積相等的條件類比猜想到兩個空間圖形體積相等的條件，然后在實(shí)踐中理解論證，這種歸納、猜想、論證的數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)常用在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理和規(guī)律的過程中在祖暅原理的理解中，體會由“截線都相等”推出“面積相等”，由“面積都相等”推出“體積相等”的辯證法的思想，實(shí)際上就是微積分的思想（3）若用割補(bǔ)的辦法把一般棱柱轉(zhuǎn)化為長方體也是可以的，但是由于課

14、堂時間有限，留給同學(xué)們課后研究教學(xué)設(shè)計說明體積的計算在現(xiàn)實(shí)中大量存在，學(xué)生對它們已有一定的感性認(rèn)識本節(jié)課用一個需要利用棱柱體積公式才能解決的實(shí)際問題引入，說明研究棱柱體積公式的必要性這個實(shí)例是學(xué)生熟知的青藏鐵路的凍土解決方案，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，本節(jié)課的重點(diǎn)是棱柱體積公式的推導(dǎo)首先啟發(fā)學(xué)生思考體積是如何度量的從長度的度量、面積的度量都是必須先找一個度量單位，類比得出體積的度量也是必須先找一個度量單位即單位正方體所占空間的大小然后得到正方體和長方體的體積公式，但是一般棱柱體積的公式不容易得到通過幾何畫板的動態(tài)演示，把平面上等底等高的平行四邊形面積相等、等底等高的三角形面積相等的本質(zhì)揭示出來，即若

15、用平行于底邊的任意直線截兩個平面圖形得到的截線長度總相等，則兩個平面圖形面積相等然后由學(xué)生從平面到空間類比猜想得出祖暅原理的基本內(nèi)容，并且利用實(shí)物道具的“小試驗(yàn)”驗(yàn)證猜想首先討論推斜前后的兩疊裁切相同的紙的體積是否相等，主要把握整疊紙張的大小、順序和厚度不變?nèi)齻€共同特點(diǎn)在祖暅原理內(nèi)容的理解中，使學(xué)生體會從“面積都相等”得到“體積相等”的辯證法的思想然后，把“小試驗(yàn)”中的裁切相同的紙換成一摞不同的書，讓學(xué)生繼續(xù)討論這摞書經(jīng)過推斜后是否體積相等，從棱柱到非棱柱，進(jìn)一步理解祖暅原理的含義因?yàn)樽鏁溤淼陌l(fā)現(xiàn)是從實(shí)踐中得來的，因此設(shè)置一些從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的“小試驗(yàn)”，讓學(xué)生觀察試驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律通過設(shè)置試驗(yàn)和啟發(fā)引導(dǎo)，呈現(xiàn)原理的發(fā)現(xiàn)過程用幾何畫板動態(tài)演示“任意一個平面截兩個幾何體所得截面的各種位置”，幫助學(xué)生理解祖暅原理中的“任意”和“總相等”，有效地突破教學(xué)難點(diǎn)最后說明祖暅原理實(shí)際上是一個定理，但證明它需要用到高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識，中學(xué)階段不能