浙江省寧波市余姚市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市余姚市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，解得，所以，又，故，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B.2 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，所以.故選：C.3.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)與的夾角為因?yàn)?，所以所以，因?yàn)?，所?故選：A.4.已知點(diǎn)A，在直線：上運(yùn)動(dòng),且,點(diǎn)在圓上，則的面積的最大值為（）A. B.5 C.2 D.1〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓心到直線的距離為，到直線的距離為，易得，易知當(dāng)最大時(shí)，，此時(shí)面積也最大，.故選：B.5.命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，即，恒成立，，，當(dāng)，取得最大值，所以，選項(xiàng)中只有是的真子集，所以命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件為.故選：D6.將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，由題意得，故當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)，即為的一個(gè)零點(diǎn)，要想在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，若，解得，若，無(wú)解，若，無(wú)解.故選：A7.人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增長(zhǎng)模型.已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)這段時(shí)間的人口的年增長(zhǎng)率為0.3%.根據(jù)模型預(yù)測(cè)________年世界人口是1650年的2倍.（參考數(shù)據(jù)：，）A.1878 B.1881 C.1891 D.1993〖答案〗B〖解析〗設(shè)年后世界人口是1650年2倍，由題意得，解得，故在1881年世界人口是1650年的2倍.故選：B8.已知為雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，C上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，，則C的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，連接，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為平行四邊形，所以，因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所以；在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，?故選：D.二、選擇題9.下列結(jié)論正確的有（）A.相關(guān)系數(shù)越接近1，變量，相關(guān)性越強(qiáng)B.若隨機(jī)變量，滿足，則C.相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差D.設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：由相關(guān)系數(shù)的定義可知，相關(guān)系數(shù)越接近，變量正相關(guān)性越強(qiáng)；相關(guān)系數(shù)越接近，變量負(fù)相關(guān)性越強(qiáng)，故A正確.對(duì)于B：由隨機(jī)變量，滿足，則，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：由相關(guān)指數(shù)的定義可知，相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差，故C正確.對(duì)于D：，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，當(dāng)時(shí)，，則（）A.是奇函數(shù)B.C.的最小值是D.方程在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)實(shí)數(shù)解〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，又，所以，又，得到，所以是奇函?shù)，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，得到的周期為，所以，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，又是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，則，得到，因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以在上的圖像如圖所示，由圖知，在有4個(gè)交點(diǎn)，又的周期為，且在區(qū)間上共有506個(gè)周期，所以方程在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)實(shí)數(shù)解，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，Q為線段的中點(diǎn)，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有A.P為中點(diǎn)時(shí)，的值最小B.不存在點(diǎn)P，使得平面平面C.P與端點(diǎn)C重合時(shí)，三棱錐的外接球半徑為D.P為中點(diǎn)時(shí)，過D，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的周長(zhǎng)為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A,由側(cè)面展開圖,當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí)，的值最小，此時(shí),故P不為中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若存在點(diǎn)，使得平面平面，由平面平面，平面平面，可知,顯然不成立，若點(diǎn)與重合，則平面平面，顯然也不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D,P與端點(diǎn)C重合時(shí)，三棱錐即是三棱錐,三棱錐的外接球即是以為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，此時(shí)外接球半徑為，故C正確；對(duì)于D，連接,由三角形中位線性質(zhì)和正方體的性質(zhì)知，,所以過D，P，Q三點(diǎn)的截面為梯形,,故周長(zhǎng)為，故D正確，故選：BCD.12.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線交C于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），過線段的中點(diǎn)P作垂直于拋物線準(zhǔn)線的直線，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則下列說法正確的是（）A.C的準(zhǔn)線方程為 B.C.三角形的面積 D.〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線，即，聯(lián)立得，，設(shè)，則，所以，即，所以，又，所以，所以，故，因?yàn)?，所以，所以，B正確；C選項(xiàng)，點(diǎn)到直線的距離為，故三角形的面積為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可得，則由焦半徑公式可知，故，D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題13.已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________.〖答案〗〖解析〗由題意得隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，由，所以，即求的常數(shù)項(xiàng)，由二項(xiàng)式定理得常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.〖答案〗1〖解析〗代入得，，即，，即，則，，所以.故〖答案〗為：.15.已知，求__________.〖答案〗8〖解析〗設(shè)，則在上為增函數(shù)，且，所以只有一解：；同理：方程只有一解：.所以：.故〖答案〗為：16.已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則__________.〖答案〗〖解析〗令球半徑為，則，解得，由平面與直線成角，得平面截球所得小圓半徑，因此，由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)為弦中點(diǎn)，如圖，依題意，，，，顯然，于是，所以.故〖答案〗為：四、解答題17.在中，，.（1）求A；（2）已知M為直線上一點(diǎn)，，，求的面積.解：（1）在中，，，則，∵，即，又，則；（2）因?yàn)?，，所以，所以，在中，，解得（?fù)值舍去），所以18.已知數(shù)列滿足，，，（1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：∵，即∴數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列.（2）解：由（1）可知：∴①②故①-②19.如圖所示，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為，平面，，，點(diǎn)P是棱上的任意一點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線和平面所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以.（2）解：由題意，，，互相垂直，以為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.則，，，設(shè)平面的法向量為，所以由，得，令，可得，設(shè)直線和平面所成角為，則，所以直線CN和平面AMN所成角的正弦值為.20.杭州亞運(yùn)會(huì)男子乒乓球團(tuán)體賽采用世界乒乓球男子團(tuán)體錦標(biāo)賽（斯韋思林杯）的比賽方法，即每隊(duì)派出三名隊(duì)員參賽，采用五場(chǎng)三勝制.比賽之前，雙方隊(duì)長(zhǎng)應(yīng)抽簽決定A、B、C和X、Y、Z的選擇，并向裁判提交每個(gè)運(yùn)動(dòng)員分配到一個(gè)字母的隊(duì)伍名單.現(xiàn)行的比賽順序是第一場(chǎng)A對(duì)X；第二場(chǎng)B對(duì)Y；第三場(chǎng)C對(duì)Z；第四場(chǎng)A對(duì)Y；第五場(chǎng)B對(duì)X.每場(chǎng)比賽為三局兩勝制.當(dāng)一個(gè)隊(duì)已經(jīng)贏得三場(chǎng)個(gè)人比賽時(shí)，該次比賽應(yīng)結(jié)束.已知在某次團(tuán)隊(duì)賽中，甲隊(duì)A、B、C三位選手在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率均為如下表所示，且每場(chǎng)比賽之間相互獨(dú)立場(chǎng)次第一場(chǎng)第二場(chǎng)第三場(chǎng)第四場(chǎng)第五場(chǎng)獲勝概率（1）求最多比賽四場(chǎng)結(jié)束且甲隊(duì)獲勝的概率；（2）由于賽場(chǎng)氛圍緊張，在教練點(diǎn)撥、自我反思和心理調(diào)控等因素影響下，從第二場(chǎng)開始，每場(chǎng)比賽獲勝的概率會(huì)發(fā)生改變，改變規(guī)律為：若前一場(chǎng)獲勝，則該場(chǎng)獲勝的概率比原先獲勝的概率增加0.2；若前一場(chǎng)失利，則該場(chǎng)獲勝的概率比原先獲勝的概率減少0.2.求已知A第一場(chǎng)獲勝的條件下甲隊(duì)最終以3：1贏得比賽的概率.解：（1）設(shè)事件表示甲隊(duì)第場(chǎng)比賽獲勝.（2）設(shè)事件表示第一場(chǎng)甲獲勝，事件A表示甲以3：1獲勝，則.所以A第一場(chǎng)獲勝的條件下甲隊(duì)最終以3：1贏得比賽的概率為.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在內(nèi)恒成立，求整數(shù)的最大值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由可得：，記，，①若，即，，則上單調(diào)遞增，又時(shí)，，不合題意；②若，即，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，則令，解得：，令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故整數(shù)的最大值為.22.在平面直角坐標(biāo)系中，，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為的直線交直線上一點(diǎn)M，已知為等腰三角形，.（1