2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題及答案解析

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖1,AB是O。的弦，AB=5c”，點(diǎn)P是弦AB上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是弧旗上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接CP并延長，交。。于點(diǎn)。.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對AC,PC,PD

長度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究

圖1圖2

（I）對于點(diǎn)C在廂上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段AC,PC,的長度的幾

組值，如表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9

AC1cm00.371.001.822.103.003.503.915.00

PCIem1.000.810.690.751.262.112.503.004.00

PD/cm4.005.005.806.003.001.901.501.321.00

在AC,PC,P。的長度這三個(gè)量中，確定的長度是自變量，其他兩條線段的長度

都是這個(gè)自變量的函數(shù)；

（2）請你在如圖2所示的同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中所確定的兩個(gè)函數(shù)

的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：

①當(dāng)PC=PO時(shí)，AC的長度約為2.88（答案不唯一）ent：

②當(dāng)△APC為等腰三角形時(shí)，PC的長度約為0.8,0.69,1（答案不唯一）

解：（1）根據(jù)變量的定義，AC的長度是自變量，

故答案為：AC；

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)描繪如下函數(shù)圖象：

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y/cm

從圖象看，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)即為所求點(diǎn),

此時(shí)x%2.88,

故答案為2.88(答案不唯一)；

②從表格看，

當(dāng)x=0時(shí)，CP=1=AP,PD=4=PB,

即AP=1,BP=4.

(I)當(dāng)AP=AC時(shí)，

則AP=AC=\,

當(dāng)x=4C=l時(shí)，ypc—0.69,

即PC=0.69；

(II)當(dāng)4C=PC時(shí)，

即ypc=x,

作直線y=x,該直線與曲線PC的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn),

此時(shí)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x^0.8=AC=PC；

(III)當(dāng)AP=PC時(shí)，

第2頁共4頁

AP=PC=\；

故當(dāng)△APC為等腰三角形時(shí)，PC的長度約為0.8,0.69,1(答案不唯一)，

故答案為：0.8,0.69,1(答案不唯一).

2.如圖，拋物線y=o?+6or+c(〃<0)與x軸交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，拋物

線與y軸正半軸交于點(diǎn)C,分別連接AC、BC,則有tanNABC=2,NACB=90°,

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)。為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E(m,0)為線段04上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線

分別交直線AC及拋物線于點(diǎn)八點(diǎn)G,當(dāng)△AO尸是銳角三角形時(shí)，求〃2的取值范圍.

(3)在(2)的前提下，設(shè)FG=s,求2s+3”?的最大值.

【解答】解：⑴'：ZACB=90°,

：.ZBCO+ZACO=90°,

ZACO+ZCAO=90°,

1

??.NCAO=/BCO,貝ijtan/CAO=tan/BCO=

故設(shè)08=x,則OC=2x,O4=4x,則點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(-4%0)、(x,0),

函數(shù)的對稱軸為x——=—3,

由中點(diǎn)公式得-3=號(hào)(-4x+x),解得冗=2,

故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-8,0)、(2,0)、(0,4),

第3頁共4頁

64a—8b+c=0a=—

將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得卜a+2b+c=0,解得<,

b=一

c=4

5=4

故拋物線的表達(dá)式為尸-#-|尤+4；

（2）由拋物線的表達(dá)式知，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-3,—）,

4

由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)知，直線AC的表達(dá)式為）=3+4,

1

二?點(diǎn)、E（機(jī)，0）,則點(diǎn)尸（加，一/%+4）,

2

①當(dāng)NA。F為直角時(shí)，

過點(diǎn)。作y軸的垂線，交EF于點(diǎn)、N,交過點(diǎn)A與y軸的平行線于點(diǎn)M,

???NMDA+NNDF=90°,NMOA+NM4￡>=90°,

:./MAD=/NDF,

tanZMAD=tanZNDF,

--m-4n

%h，解得，〃=-急

②當(dāng)NO切為直角時(shí)，

同理可得：m=—1

???一|<^〈一靠時(shí)，產(chǎn)是銳角三角形;

11q

（3）由（2）知，點(diǎn)E（施,0）,點(diǎn)尸（施,-m+4）,則點(diǎn)GCm,-#-為+4）,

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