打卡第九天-10天刷完高考真題（新高考Ⅰ和Ⅱ卷2021-2023）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考前必刷題（新高考）解析版

第第頁10天刷完高考真題（新高考Ⅰ和Ⅱ卷2021-2023）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考前必刷題（新高考通用）新高考真題限時訓(xùn)練打卡第九天Ⅱ真題限時訓(xùn)練新高考真題限時訓(xùn)練打卡第九天難度：一般建議用時:60分鐘一、多選題1．（2021·全國·高考真題）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（

）A．樣本的標準差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)【答案】AC【分析】考查所給的選項哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢即可確定正確選項.【詳解】由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選：AC.2．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.3．（2021·全國·高考真題）已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當(dāng)最小時，D．當(dāng)最大時，【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.4．（2021·全國·高考真題）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時，的周長為定值B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【分析】對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)．【詳解】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi)．二、填空題5．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.【答案】1【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數(shù)，故，時，整理得到，故，故答案為：16．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為.【答案】【分析】先用坐標表示，再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設(shè),因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.7．（2021·全國·高考真題）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展開化簡后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.8．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．【答案】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.三、解答題9．（2021·全國·高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式即可求得數(shù)列的前20項和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項起，若為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列滿足．所以，，則．所以，數(shù)列的通項公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前20項和為：．【整體點評】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項公式，然后累加求數(shù)列的通項公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.10．（2021·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．11．（2021·全國·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點為，連接.因為，，則，而，故.在正方形中，因為，故，故，因為，故，故為直角三角形且，因為，故平面，因為平面，故平面平面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.12．（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當(dāng)時，（舍去）．當(dāng)時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.13．（2021·全國·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進而可得，即可得解；（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得，進而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應(yīng)用，注意運算的準確性是解題的重中之重.14．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當(dāng)時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．Ⅲ精選模擬題預(yù)測一、多選題1．甲在一次面試活動中，7位考官給他們打分分別為：61、83、84、87、90、91、92.則下列說法正確的有（

）A．這7個分數(shù)的第70百分位數(shù)為87B．這7個分數(shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)C．去掉一個最低分和一個最高分后，分數(shù)的方差會變小D．去掉一個最低分和一個最高分后，分數(shù)的平均數(shù)會變小【答案】BC【分析】分別求得中位數(shù)、百分位數(shù)、平均值、方差判斷各選項．【詳解】對于A，由于，所以第70百分位數(shù)是第5個數(shù)90，故A錯誤；對于B，這7個數(shù)的均值為分，中位數(shù)是第4個數(shù)為87，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，故B正確；對于C，去掉一個最低分和一個最高分后，分數(shù)更加集中，故方差會變小，故C正確；對于D，去掉61和92后，平均數(shù)為分，因為，所以分數(shù)的平均數(shù)會變小，故D錯誤．故選：BC.2．已知點P是橢圓上一點，點、是橢圓的左、右焦點，若，則下列說法正確的是（

）A．的面積為B．若點M是橢圓上一動點，則的最大值為9C．內(nèi)切圓的面積為D．點P的縱坐標為【答案】AC【分析】由橢圓的定義得，焦點三角形中結(jié)合余弦定理，得，由面積公式求值判斷選項A；定義法求向量數(shù)量積判斷選項B；面積法求內(nèi)切圓半徑，計算面積判斷選項C；由面積求點P的縱坐標判斷選項D.【詳解】橢圓的方程為，則，，，根據(jù)橢圓定義得.對于A選項，（Ⅰ），在中，由余弦定理得，即（Ⅱ），由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，則的面積，故A選項正確.對于B選項，設(shè)點，則，，當(dāng)時，取得最大值5，故B選項錯誤.對于C選項，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由A選項知的面積為，則，即，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故C選項正確.對于D選項，由A選項知的面積為，則，即，故D選項錯誤.故選：AC.3．已知點和：，過P點的兩條直線分別與相切于A，B兩點.則以下命題正確的是（

）A．B．C．P、A、Q、B均在圓上D．A，B所在直線方程為【答案】ACD【分析】結(jié)合圖象可知，逐項判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，圓心，半徑為2，過P點的兩條直線分別與相切于A，B兩點，如圖，則，所以，，所以A正確，B錯誤；四邊形為正方形，中心為所以P、A、Q、B均在圓上，C正確；所在直線方程為，D正確.故選：ACD.4．如圖，點是正四面體底面的中心，過點且平行于平面的直線分別交，于點，，是棱上的點，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交于點，則（

）A．若平面，則B．存在點與直線，使C．存在點與直線，使平面D．【答案】ACD【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可判斷A；由空間向量數(shù)量積可判斷B；當(dāng)直線平行于直線，時，通過線面垂直的判定定理可判斷C，由共面向量定理可判斷D.【詳解】對于A，平面，平面與棱的延長線相交于點，與棱的延長線相交于點，平面平面，又平面，平面，，點在面上，過點的直線交，于點，，平面，又平面，平面平面，，，故A正確；對于B，設(shè)正四面體的棱長為，，故B錯誤；對于C，當(dāng)直線平行于直線，為線段上靠近的三等分點，即，此時平面，以下給出證明：在正四面體中，設(shè)各棱長為，，，，均為正三角形，點為的中心，，由正三角形中的性質(zhì)，易得，在中，，，，由余弦定理得，，，則，同理，，又，平面，平面，平面，存在點S與直線MN，使平面，故C正確；對于D，設(shè)為的中點，則，又∵，，三點共線，∴，∵，，三點共線，∴，∵，，三點共線，∴，設(shè)，，，則，∵，，，四點共面，∴，又∵，∴，∴，即，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理，考查了空間向量數(shù)量積和共面向量定理，解題的關(guān)鍵是熟悉利用空間向量的共面定理，考查了轉(zhuǎn)化能力與探究能力，屬于難題.二、填空題5．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則．【答案】【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解．【詳解】因為是奇函數(shù)，則，所以即，則，經(jīng)檢驗，滿足題意.故答案為：．6．拋物線繞其頂點逆時針旋轉(zhuǎn)之后，得到拋物線，其準線方程為，則拋物線的焦點坐標為．【答案】【分析】利用旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點到準線的距離等于頂點到其焦點的距離，求出，進而得到結(jié)果.【詳解】由于拋物線繞其頂點逆時針旋轉(zhuǎn)之后，拋物線的頂點到其準線的距離與到其焦點的距離相等，即為且可知，則，則，所以拋物線的焦點坐標為．故答案為：.7．在平行四邊形中，已知，，，，則．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)題意化簡求得，再由，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，因為，，可得，，又因為，，可得，，兩式相減得到，可得，又由，所以.故答案為：.

8．拋物線上一點到焦點的距離為2，則延長交拋物線于點，則的值為【答案】/【分析】設(shè)，如圖，由拋物線的定義可得，求得，進而求出直線MN方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理求出，結(jié)合計算即可求解.【詳解】由題意知，，則，設(shè)，如圖，由拋物線的定義知，得，代入方程，得，由解得，即，所以直線MN的斜率為，則直線MN方程為，即，代入方程，得，則，所以.故答案為：.三、解答題9．在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若記為中落在區(qū)間內(nèi)項的個數(shù)，求的前k項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合通項公式求解即得.（2）解不等式求出，再利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求解.【詳解】（1）等差數(shù)列中，由，得，而，解得，因此數(shù)列的公差，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，由，得，整理得，因此正整數(shù)滿足，從而得，所以的前k項和為.10．5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動通信網(wǎng)絡(luò)的簡稱，是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一．2020年初以來，我國5G網(wǎng)絡(luò)正在大面積鋪開．市某調(diào)查機構(gòu)為了解市民對該市5G網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量的滿意程度，從使用了5G手機的市民中隨機選取了200人進行問卷調(diào)查，并將這200人根據(jù)其滿意度得分分成以下6組：、、、…、，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：

(1)由直方圖可認為市市民對5G網(wǎng)絡(luò)滿意度得分（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標準差，并已求得．若市恰有2萬名5G手機用戶，試估計這些5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表）；(2)該調(diào)查機構(gòu)為參與本次調(diào)查的5G手機用戶舉行了抽獎活動，每人最多有3輪抽獎活動，每一輪抽獎相互獨立，中獎率均為．每一輪抽獎，獎金為100元話費且繼續(xù)參加下一輪抽獎；若未中獎，則抽獎活動結(jié)束．現(xiàn)小王參與了此次抽獎活動，求小王所獲話費總額的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，即，則，．【答案】(1)13654；(2)元.【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用正態(tài)分布計算即可.（2）先得X的可能取值，再求概率，然后用數(shù)學(xué)期望公式計算即可.【詳解】（1）由題意知樣本平均數(shù)為，于是，而，所以，，而，所以2萬名5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數(shù)約為（人）.（2）依題意，X的可能取值有0，100，200，300，；；；，所以的數(shù)學(xué)期望（元）.11．如圖，已知在圓柱中，A，B，C是底面圓O上的三個點，且線段為圓O的直徑，，為圓柱上底面上的兩點，且矩形平面，D，E分別是，的中點．(1)證明：平面．(2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面與平面的夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）運用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】（1）如圖，取的中點F，連接，，因為D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，所以，．又因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面．因為，，平面，所以平面平面．又因為平面，所以平面．（2）如圖，連接，．因為E，O分別為，的中點，所以，且，又因為D為的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面，所以平面．又因為平面，所以，可得．因為是等腰直角三角形，所以．又矩形平面，可得平面，以A為原點，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，則，可得，，，，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，取